精品解析：江苏省南京秦淮区2024-2025学年八年级上学期数学期中测试卷

2024/2025学年度第一学期第一阶段学业质量监测试卷 八年级数学 （满分：100分 考试时间：100分钟） 注意： 1．选择题答案请用2B铅笔填涂在答题卡相应位置上． 2．非选择题答案必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下图是2024年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物“弗里热”，它的座右铭是“独行快，众行远”，下列与该图片是全等的是（ ） A. B. C. D. 2. 一艘轮船以3海里/时的速度从港口 出发向北航行，另一艘轮船以4海里/时的速度同时从港口 出发向东航行，离开港口1小时，两船相距（ ） A. 3海里 B. 4海里 C. 5海里 D. 10海里 3. 如图，点 ， 在 上，且．若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 4. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆 上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳 与 ，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 垂线段最短 C. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 5. 如图， 的边，， 是 三条角平分线的交点，若的面积为15，则的面积为（ ） A. 11 B. 17 C. 18 D. 20 6. 如图， 、 分别是 的高和角平分线， 与 相交于 ，平分交 于 ，交 于 ，连接 交 于 ，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于______． 8. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，且AB=DE，请添加一个条件_____，使△ABC≌△DEF． 9. 如图是用尺规作已知角的平分线的示意图，则的依据是______． 10. 如图，在 中，， 平分 ，交 于点 ． 于 ．若，，则 的长为______． 11. 如图， 中，，， 、 分别平分、，过点 作直线平行于 ，交 、 于 、 ，则的周长为______． 12. 如图，在 中， ， 是高，若，则 与 之间的数量关系为______． 13. 如图，将三角形纸片 沿 折叠，使点 落在 边上的点 处．，，则的值为______． 14. 我国数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为81，小正方形面积为9，用表示直角三角形的两直角边，下列四个推断：①；②；③；④．其中所有正确推断的序号是______． 15. 如图， ， 是的边 上的两个点，，， ，若边上有且只有1个点 ，满足是等腰三角形，则 的取值范围是______． 16. 如图，长方形 中，，， 是 的中点，线段 在边 上左右滑动，若，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤） 17. 如图，在 中， ， 是高．求证：． 18. 如图，点C是线段 的中点，，．求证：． 19. 如图，在正方形网格上有一个 ， 、 、 三点都在格点上． （1）在图中画出 关于直线 的对称图形；（要求点 与， 与， 与相对应）； （2）线段 与线段的数量关系为______． 20. 如图，在一块三角形土地上，准备规划出图中阴影部分作为绿地，若规划图设计中要求，，，，，求绿地的面积．     21. 如图，在锐角 中，点 是 边上一点， ，于点 ， 与 交于点 ．判断的形状并说明理由． 22. 如图， 是 的中线，延长 至点 ，使，连接 ． （1）证明：； （2）若 ，，设，可得 的取值范围是______． 23. 如图，在一条笔直的马路 同侧有 两个小区， 小区到马路的垂直距离 为10千米， 小区到马路的垂直距离 为2千米， 的长度为15千米． （1）求 小区之间的距离； （2）现要在线段 上修建一个车站 ，使得车站 到 两小区的距离相等，请用无刻度的直尺和圆规在图中确定车站 的位置．（保留作图痕迹，不写画法） 24. 定义：如果一个三角形中有两个内角 、满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． （1）若 是近直角三角形，，则______． （2）如图，在 中，，，，若 是的平分线． ①求证： 为近直角三角形； ②求 的长． 25. 阅读材料：如图， 中，为底边 上任意一点，点 到两腰的距离分别为，，腰上的高为 ，连接，则，即：，（定值），即为定值． （1）深入探究 将“在 中，为 上一点”改成“ 为等边三角形 内一点”，作，，垂足分别为、 ，有类似结论吗?请写出结论并证明； （2）理解与应用 当点 在 外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样的关系，并说明理由． 26. 如图，在 中， ，于点 ，， 分别交 、 于 、 ． （1）如图1，，，求的长度； （2）如图2，取中点 ，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点 作于点 ，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024/2025学年度第一学期第一阶段学业质量监测试卷 八年级数学 （满分：100分 考试时间：100分钟） 注意： 1．选择题答案请用2B铅笔填涂在答题卡相应位置上． 2．非选择题答案必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下图是2024年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物“弗里热”，它的座右铭是“独行快，众行远”，下列与该图片是全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形定义直接选择即可． 【详解】解：由题意得，与题中图片形状、大小都相同的全等图形的是D， 故选：D． 2. 一艘轮船以3海里/时的速度从港口 出发向北航行，另一艘轮船以4海里/时的速度同时从港口 出发向东航行，离开港口1小时，两船相距（ ） A. 3海里 B. 4海里 C. 5海里 D. 10海里 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，熟练运用勾股定理是解题的关键；根据两艘轮船出发的方向，可以得到，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意，如图所示， 可知，，海里，海里， 在 中，（海里）， 故两船相距 海里 故选：C． 3. 如图，点 ， 在 上，且．若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质得到，根据，从而可得的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆 上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳 与 ，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 垂线段最短 C. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形 “三线合一”的性质，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”， 熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ， ∴工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”， 故选D． 5. 如图， 的边，， 是 三条角平分线的交点，若的面积为15，则的面积为（ ） A. 11 B. 17 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．由角平分线的性质可得，点 到 ，， 的距离相等，设点 到 ，的距离为h，根据，求出，最后根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解： 点 是三条角平分线的交点， 点 到 ，的距离相等， 设点 到 ，的距离为h， 则， 解得：， ∴， 的面积为18． 故选：C． 6. 如图， 、分别是 的高和角平分线， 与相交于 ， 平分交于 ，交于 ，连接 交 于 ，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据 是 的高，，结合是 的角平分线， 平分，得到即可得到，判断①正确；先证明，再证明，可判定②正确；根据得到 ，结合得到，结合，等量代换即可得到，可判定③正确；延长 交 于点N，得到，得到，可以判断④错误． 【详解】解：∵ 是 的高， ∴， ∴， ∵是 的角平分线， 平分， ∴ ∴， ∴，故①正确； ∵ 是 的高，， ∴， ∵， ∴， ∵ 平分，是 的角平分线， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 延长 交 于点N， 在和 中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误， 故选：B 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，角的平分线的定义，同一三角形中，大角对大边，直角三角形的特征量，熟练掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征量，三角形内角和定理是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 7. 等腰三角形的顶角等于，则它的底角等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角和三角形内角和定理，等腰三角形两底角相等结合三角形内角和为180度即可求出答案． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角等于， ∴它的底角等于， 故答案为：． 8. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，且AB=DE，请添加一个条件_____，使△ABC≌△DEF． 【答案】∠A=∠D或BC=EF或BE=CF或∠ACB=∠F 【解析】 【分析】判定一般三角形全等一共有四种方法，根据这四种方法一一选择即可． 【详解】解：添加BE=CF ∵BE=CF， ∴BC=EF， ∵AB∥DE， ∴∠B=∠DEF， ∵AB=DE， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 故答案为：AB=DE（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，根据判定的方法选择合适的方法，关键是要能熟练运用三角形的判定方法． 9. 如图是用尺规作已知角的平分线的示意图，则的依据是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据尺规作图痕迹可得，两个三角形对应边相等，进而可得答案． 【详解】解：由图可知， 故答案为：． 10. 如图，在 中，， 平分 ，交于点 ． 于 ．若，，则 的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两端的距离相等，据此可求出 的长，进而可求出 的长． 【详解】解：∵ 平分 ，， ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 11. 如图， 中，，， 、 分别平分、，过点 作直线平行于，交 、 于 、 ，则的周长为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的判定，通过等量代换证明，，进而得出 ，，即可求解． 【详解】解： 分别平分，， ，， ， ，， ，， ，， ， 即的周长为15． 故答案为：15． 12. 如图，在 中，， 是高，若，则 与 之间的数量关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和含30度角的直角三角形的性质的应用，解题的关键是掌握：在直角三角形中，如果有一个角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．求出，根据含30度角的直角三角形的性质求出，，即可得出答案． 【详解】解： 在 中，，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，将三角形纸片沿 折叠，使点 落在 边上的点 处．，，则的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，由折叠的性质可得，根据，，求出，根据勾股定理可求的值． 【详解】解： 将三角形纸片沿 折叠，使点 落在 边上的点 处， ， ，， 在 中，， 在中，， ， 故答案为：9． 14. 我国数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为81，小正方形面积为9，用表示直角三角形的两直角边，下列四个推断：①；②；③；④．其中所有正确推断的序号是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据所给图形，分别表示出各部分的面积，再结合各部分图形面积之间的关系即可解决问题． 【详解】解：由题可知，大正方形的面积为， 大正方形的边长为 ， ，故①正确； 小正方形面积为9， 小正方形的边长为 ，故②正确； ，故③正确； （舍负），故④错误； 故答案为：①②③． 15. 如图， ， 是的边 上的两个点，，， ，若边上有且只有1个点 ，满足是等腰三角形，则 的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会特殊位置解决问题．作线段 的垂直平分线交于点，连接，，则，是等腰三角形，另外当是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个，求出此时a的值即可． 【详解】解：如图，作线段 的垂直平分线交于点，连接，，则，是等腰三角形， 过点M作于H，当，即时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 当时， ∵， ∴， ∴当时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 另外当是等边三角形时，满足构成等腰三角形的点P恰好只有一个， 此时，， ∴， ∴， ∴此时， 故答案为：或． 16. 如图，长方形 中，，， 是 的中点，线段 在边 上左右滑动，若，则的最小值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，确定最小时E，F位置是解题关键．作G关于 的对称点，在 上截取，然后连接交 于E，在 上截取，此时的值最小，利用轴对称和勾股定理，求出即可得出答案． 【详解】解：如图，作G关于 的对称点，在 上截取，然后连接交 于E，在 上截取， 根据轴对称可知：， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小， ∴最小，即最小， ∴最小值为的长， ∵，G为边 的中点， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 即的最小值为10． 故答案为：10． 三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤） 17. 如图，在 中，， 是高．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，找出全等三角形的条件是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得出，根据 证明三角形全等即可． 【详解】证明： ∵ 是高， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 如图，点C是线段 的中点，，．求证：． 【答案】 证明：∵点C是线段 的中点， ∴ ， 在 和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由点C是线段 的中点得出 ，再利用证明即可得证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】略 19. 如图，在正方形网格上有一个 ， 、 、 三点都在格点上． （1）在图中画出 关于直线 的对称图形；（要求点 与， 与， 与相对应）； （2）线段与线段的数量关系为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查作图，轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：由题意可得：线段与线段的数量关系为， 故答案为：． 20. 如图，在一块三角形土地上，准备规划出图中阴影部分作为绿地，若规划图设计中要求，，，，，求绿地的面积．     【答案】绿地的面积为24． 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理证明 为直角三角形，然后根据，利用三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：，，， ， 在 中，，， ， 为直角三角形，且， ， 答：绿地的面积为24． 21. 如图，在锐角 中，点 是 边上一点， ，于点 ， 与 交于点 ．判断的形状并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由等边对等角证明，再由三角形内角和定理和垂线的定义推出，进一步证明，得到，则可推出是等腰三角形． 【详解】解：是等腰三角形，理由如下： ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 22. 如图， 是 的中线，延长 至点 ，使，连接． （1）证明：； （2）若 ，，设，可得 的取值范围是______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）由三角形中线的定义得到 ，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，再由三角形的三边关系得到答案即可． 【小问1详解】 证明： 是 的中线， ， 在 和中， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 故答案为：． 23. 如图，在一条笔直的马路 同侧有 两个小区， 小区到马路的垂直距离 为10千米， 小区到马路的垂直距离 为2千米， 的长度为15千米． （1）求 小区之间的距离； （2）现要在线段 上修建一个车站 ，使得车站 到 两小区的距离相等，请用无刻度的直尺和圆规在图中确定车站 的位置．（保留作图痕迹，不写画法） 【答案】（1）17千米 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，平行线间间距线段，线段垂直平分线的尺规作图和线段垂直平分线的性质． （ ）过点 作于 ，由平行线间间距相等得到千米，千米，即得千米，再利用勾股定理即可求解； （2）如图所示，作线段 的垂直平分线交 于P，点P即为所求． 【小问1详解】 解：如图，过点 作于 ，则， ∵，， ∴，， ∴千米，千米， ∴千米， ∴千米， 答： ， 小区之间的距离为千米； 【小问2详解】 解：如图所示，作线段 的垂直平分线交 于P，点P即为所求． 24. 定义：如果一个三角形中有两个内角 、满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． （1）若 是近直角三角形，，则______． （2）如图，在 中，，，，若 是的平分线． ①求证： 为近直角三角形； ②求 的长． 【答案】（1） （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的性质定理，勾股定理等，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据“近直角三角形”的定义可知，由此可解； （2）①由已知条件证明即可； ②利用勾股定理求出，作于点E，根据角平分线的性质定理可得，根据求出，进而即可求出 的长． 【小问1详解】 解： 是近直角三角形，，， ， ； 【小问2详解】 解：①证明： 中，， ， 是的平分线， ， 中，， 为近直角三角形； ② 中，，，， ， 如图，作于点E， 是的平分线，，， ， ， ， ， 解得， ． 25. 阅读材料：如图， 中，为底边上任意一点，点 到两腰的距离分别为，，腰上的高为 ，连接 ，则，即：，（定值），即为定值． （1）深入探究 将“在 中，为上一点”改成“ 为等边三角形内一点”，作，，垂足分别为、 ，有类似结论吗?请写出结论并证明； （2）理解与应用 当点 在 外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样的关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积； （1）连接 、 、 ，利用计算即可； （2）连接 、 、 ，利用计算即可． 【小问1详解】 ，理由如下： 连接 、 、 ，则 ∵等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ，理由如下： 连接 、 、 ，则 ∵等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 26. 如图，在 中，，于点 ，， 分别交 、 于 、 ． （1）如图1，，，求 的长度； （2）如图2，取中点 ，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点 作于点 ，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，由勾股定理计算可得 的长，由等腰直角三角形性质得，最后由线段的差可得结论； （2）连接，由题意可知 是的垂直平分线，可知，，可得，由勾股定理可得，结合，可得，由 是的中点，可知，可得是 的垂直平分线，易知，得，则，由，，可知，继而可得，利用 即可证明，即可证得结论； （3）设，则，根据勾股定理求出，根据等积法求出，根据勾股定理求出，最后求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴ 是等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：连接， ∵，， ∴，则 是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 中，， ∵，， ∴，则， ∵ 是的中点， ∴，则， ∵，， ∴， ∴， 即：， ∵，， ∴是 的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：设，则， ∴， ∴在中，根据勾股定理得： ， ∵， ∴， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，正确作出辅助线,根据等面积法求线段长，是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $