3.1.1 椭圆及其标准方程（十六大题型）专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.1 椭圆及其标准方程 题型一 椭圆定义及辨析 1．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．9 B．18 C．20 D．36 【答案】B 【分析】由得，设得，然后由勾股定理建立方程组，然后化简得到. 【详解】∵，∴， 设，则， ∵，∴，∴， 即. 故选：B. 2．椭圆的两个焦点都在轴上，且它们到原点的距离都是，是过的弦，且的周长为12，则椭圆的方程为 【答案】 【分析】设椭圆的方程为，根据题意，先求得，再由椭圆的定义，求得，进而求得椭圆的标准方程. 【详解】由椭圆的两个焦点都在轴上，设椭圆的方程为， 因为两个焦点都到原点的距离都是，可得， 又因为过 的弦，且的周长为，根据椭圆的定义，可得，解得， 所以，所以椭圆的方程为. 故答案为：. 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的点. (1)若点在第一象限内，且，求点的坐标； (2)若，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由可得P点在一个圆上，联立椭圆方程可得点的坐标； （2）由椭圆的定义知，再结合条件可得焦点三角形三边长，由余弦定理和同角关系可求出，再由面积公式，即可求解. 【详解】（1）因，所以在以原点为圆心，以为半径的圆上，即在上.如图，    联立，消去x得，解得（负值舍去），（负值舍去）. 所以点的坐标为. （2）因为椭圆上的点，由椭圆的定义得，，又， 所以，. 在中，由余弦定理得. 再由同角三角函数关系式可得，， 所以. 故的面积为. 题型二 利用椭圆定义求方程 4．已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的概念，求出椭圆标准方程即可. 【详解】由题意可知，所以动点的轨迹是椭圆，且，则， 所以椭圆标准方程为. 故选：A. 5．已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】利用圆心距与半径之差的关系式可判断出圆和圆为内含关系，根据圆与圆的位置关系可得出，根据椭圆的定义可确定动点的轨迹是椭圆，根据焦点和长轴求出标准方程即可. 【详解】由题意，圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为， 因为，所以圆和圆为内含关系. 设动圆的圆心，半径为，则，即， 所以圆心的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，即，则， 故其轨迹方程为. 故答案为：. 6．求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，焦点在轴上； (2)椭圆上一点到其两焦点的距离之和为10 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设椭圆的标准方程为，结合求解即可； （2）设椭圆的标准方程为，结合椭圆的定义利用求解即可. 【详解】（1）设焦点在轴上的椭圆标准方程为， 由,,得. 因此标准方程为，即. （2）由焦点、，可知焦点在轴上，且； 设椭圆的标准方程为， 由“点到两焦点的距离之和为10”，可知，即. 由，得， 因此标准方程为. 题型三 椭圆上点到焦点的距离及最值 7．已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义求得正确答案. 【详解】根据椭圆的定义可知， 所以. 故选：C 8．已知椭圆的左、右焦点分别为．为椭圆上的动点则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由椭圆方程得，由椭圆的定义得，再根据，计算即可求解. 【详解】由题意可得椭圆， 所以， ， 因为，即， 所以，即. 故答案为：. 9．设F，E分别是椭圆的左，右焦点，椭圆上存在点N，满足且的面积为20. (1)求b的值； (2)设点P的坐标为，直线过点P，与椭圆交于点A，B，线段的中点记为M.若是与的等比中项，求a的最小值，并求出此时直线l的方程. 【答案】(1) (2)a的最小值是7，或 【分析】（1）根据余弦定理以及椭圆定义得到焦点三角形中满足的边角关系，即可联立求解， （2）根据点点距离可求解,由向量的模长可得，结合等比中项即可得求解. 【详解】（1）设，根据题意得 ，解得, （2）由于是线段的中点，所以, 又, 因此故， 又因为是与的等比中项，所以 ，所以，—① 设，记， ， 同理， 所以，代入①，得. 整理，得，—② 由②得，因为， 所以a的最小值为7， 此时，即直线l的斜率为. 又点在椭圆内，于是两条直线均满足要求. 综上，a的最小值是7，此时直线l的方程为或. 【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 题型四 椭圆上点到坐标轴上的点的距离及最值 10．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标及半径，求出椭圆上的点到圆心距离的最大值，再利用圆的性质求得答案. 【详解】设圆的圆心为，其半径，则， 设椭圆上的点，则，即， 因此 ，当且仅当时取得最大值， 所以. 故选：D 11．过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，，当最大时，点的纵坐标为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用圆的切线长定理、结合四边形及三角形面积转化为求最大值问题. 【详解】圆的圆心，半径， 由切圆于点知，，则， 因此最大，当且仅当最大，设，， 则， 当且仅当时取等号，所以点的纵坐标为. 故答案为：    12．已知是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，且与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若点，，证明点在椭圆上，并求的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析，. 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即得. （2）将点的坐标代入椭圆方程计算得证；再利用两点间距离公式，结合余弦函数有界性求出范围. 【详解】（1）由与轴垂直得，即半焦距， 由点在椭圆上，得，解得， 所以椭圆的方程是. （2）由点，得， 所以点在椭圆上； 依题意， ，而，则  ， 所以的取值范围是. 题型五 椭圆中焦点三角形的周长问题 13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且.弦过点，则的周长为（   ） A．10 B．20 C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义求解. 【详解】因为，所以，解得， 由椭圆方程知，所以，解得，即. 所以的周长为， 故选：D. 14．若是椭圆的两个焦点，过作直线与椭圆交于两点，的周长为 . 【答案】 【分析】由椭圆方程定义即可求出的周长. 【详解】由椭圆可得，，由椭圆的定义可得， 所以的周长是 ， 故答案为：. 15．已知为椭圆上的两点，的左､右焦点分别为． (1)求的方程； (2)若过点的直线（不与轴重合）与交于两点，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入即可求解， （2）根据椭圆的定义即可求解. 【详解】（1）由题意得可得故椭圆的方程为． （2）根据椭圆的定义，得， 所以的周长为． 题型六 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 16．已知椭圆的左焦点为，为椭圆上任意一点，若点，则的最大值为（ ） A．4 B．3 C．6 D．5 【答案】D 【分析】由，结合图形即得. 【详解】因为椭圆， 所以，， 则椭圆的右焦点为， . 由椭圆的定义得： ， 当点Q在点处，取等号， 所以的最大值为5， 故选：D. 17．椭圆：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上的动点，Q为圆：上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】将圆的方程化为圆的标准方程，进而得圆心的坐标和半径，利用椭圆的方程得左右焦点的坐标，利用椭圆的定义得，进而得，当直线过圆心时，得，进而求解. 【详解】由圆：有：，所以圆心，半径， 又因为椭圆：，所以，所以， 由椭圆的定义有：，所以， 所以， 当直线过圆心时，， 所以， 故答案为：.    18．已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 【答案】(1)，－ (2)10－ 【分析】（1）连接并延长交椭圆于点，结合平面几何结论可得是使取得最大值的点，由此可得的最大值，延长交椭圆于点，可得是使取得最小值的点，由此可得结论； （2）结合椭圆的定义可得，连接，并延长交椭圆于点，，结合平面几何结论可得是使取得最小值的点，由此可求结论． 【详解】（1）由椭圆可知，，， 则，， 如图所示，连接并延长交椭圆于点， 则是使取得最大值的点， 于是， 因为， 则求的最小值，即求的最大值， 延长交椭圆于点，则是使取得最大值的点，即取得最小值的点， 于是 所以的最大值与最小值分别为和；    （2）连接，由椭圆的定义知， 则， 所以， 如图，连接，并延长交椭圆于点，， 则是使取得最小值的点， 于是， 题型七 椭圆中焦点三角形的面积问题 19．已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理，可求焦半径，从而可求三角形面积. 【详解】 由题意知：， 再由余弦定理得： 代入得：， 解得：，则的面积是, 故选：D. 20．设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若，则的面积为 . 【答案】/ 【分析】由椭圆的方程可知；根据椭圆的定义知，再由余弦定理得出，再利用三角形面积公式即可得到答案. 【详解】由椭圆知， 由椭圆的定义知：， 在中，由余弦定理得：， 即， . 故答案为：.    21．椭圆的中心为原点，左顶点为，左、右焦点分别为，，短轴长为6，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）由（1）和结论，利用椭圆的定义、余弦定理、三角形的面积公式求解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，，而， 解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，由（1）及椭圆的定义，得， 由余弦定理得， 因此， 所以的面积. 题型八 椭圆中焦点三角形的其他问题 22．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设上顶点为，得到，列出不等式，即可求解. 【详解】由椭圆，设上顶点为， 若存在一点使得，则， 可得，其中点为坐标原点， 所以，可得，所以. 故选：B.    23．设，为椭圆：的两个焦点，点在上，若，则 . 【答案】2 【分析】根据列方程得到点坐标，然后利用等面积的思路求. 【详解】设，则，由题意知，，， 所以，， ，解得，， 所以，则. 故答案为：2. 24．已知平面上两点，，动点满足. (1)求动点的轨迹的标准方程； (2)当时，求点的纵坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆定义可得答案； （2）设，可得，与椭圆方程联立可得答案. 【详解】（1）由，，动点满足， 可得动点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，， 所以，，， 所以轨迹的标准方程为； （2）当动点满足时，可得在以为直径的圆上， 设，可得， 又，解得，，则的纵坐标为. 题型九 判断方程是否表示椭圆 25．方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 【答案】D 【分析】结合椭圆的定义求解即可. 【详解】由题可得：方程左边的几何意义是点到点，点的距离之和， 即， 因为，所以， 所以满足点的轨迹不存在，即方程不表示任何图形． 故选：D. 26．设方程①；②．其中表示椭圆的方程是 ． 【答案】① 【分析】根据椭圆的定义和方程表示的几何意义分析判断即可. 【详解】对于①，方程表示平面内的动点到 定点与的距离之和等于8的点的轨迹，因为与之间的距离为6，且， 所以动点的轨迹是椭圆，所以方程①表示椭圆的方程， 对于②，方程表示平面内的动点到 定点与的距离之和等于2的点的轨迹，由于与之间的距离为2， 所以动点的轨迹是一条线段，所以方程②表示的不是椭圆方程， 故答案为：① 27．已知圆与轴相切，圆心在直线上且在第一象限内，圆在直线上截得的弦长为． (1)求圆的方程： (2)已知线段的端点的横坐标为，端点在（1）中的圆上运动，线段与轴垂直，求线段的中点的轨迹方程．并判断点的轨迹是否为圆，若是，求出圆心和半径；若不是，判断点的轨迹是哪种曲线?（无需说明理由）． 【答案】(1) (2)不是，点的轨迹是椭圆 【分析】（1）设所求圆的方程为，利用圆的弦长公式和题设条件，列出方程组，求得的值，即可求解. （2）设点的坐标为，由是线段的中点，得到，再由点在圆上运动，得到点满足，进而点的轨迹方程，结合圆的方程和椭圆的方程，即可得到答案. 【详解】（1）解：依题意，设所求圆的方程为， 可得圆心到直线的距离为， 则有，即，① 由于所求圆与轴相切，所以，② 又因为所求圆的圆心在直线上，所以，③ 联立①②③，解得， 故所求圆的方程为． （2）解：设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 又由是线段的中点，所以， 可得，① 因为点在圆上运动， 所以点满足，② 把①代入②，得，即为所求点的轨迹方程． 由圆的标准方程可知，点的轨迹不是圆， 由，可得，故点的轨迹是椭圆． 题型十 根据方程表示椭圆求参数范围 28．已知方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦点在y轴上的椭圆的标准方程列式求解即可. 【详解】因为方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆， 所以，解得，所以实数m的取值范围是. 故选：A. 29．若方程所表示的曲线为椭圆，且焦点在轴上，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程列出条件求解. 【详解】若曲线为椭圆，且焦点在轴上， 则，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：． 30．对于方程， (1)若该方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围； (2)若该方程表示椭圆，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据椭圆标准方程的特征，列式计算可得解. 【详解】（1）因为表示焦点在轴上的椭圆， 所以， 所以. （2）因为表示椭圆，所以， 解得且， 所以. 题型十一 根据椭圆方程求a、b、c 31．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点在上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的方程，求得的值，结合椭圆的定义和几何性质，即可求解. 【详解】由椭圆,可得，，所以， 如图所示，则的周长为. 故选:A.    32．椭圆左右焦点为，，椭圆上点满足， . 【答案】 【分析】由椭圆方程可得，再由椭圆的定义及条件求出，可得，即可得解. 【详解】由椭圆可知，， 所以，， 又，， 解得， 所以， 所以，即， 故答案为： 33．已知椭圆左右焦点分别为，，P为C上的动点，且. (1)求； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据椭圆的定义，解得即可； （2）首先求出，从而得到，结合（1）、，利用余弦定理求出，即可求出，再由面积公式计算可得. 【详解】（1）椭圆，则， 所以，又， 所以. （2）由，得，所以. 如下图所示： 由（1）可知，， 所以. 则， 故的面积为. 题型十二 椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征 34．已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，则的值等于（   ） A．4 B．7 C．9 D．12 【答案】B 【分析】根据条件，得，即可求解. 【详解】由题知，又椭圆的焦点在轴上，所以，解得， 故选：B. 35．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据已知列出不等式组，求解不等式组，即可得出答案. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得， 故答案为： 36．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过，； (2)长轴长是焦距的3倍，且经过点． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）设椭圆方程为，将点代入列方程求参数，即得方程； （2）由题设，讨论焦点位置设椭圆方程，将点代入求椭圆标准方程. 【详解】（1）令椭圆方程为，则， 所以椭圆标准方程为. （2）由题设，，则， 若焦点在x轴上，令，则，此时标准方程为； 若焦点在y轴上，令，则，此时标准方程为； 综上，椭圆方程为或. 题型十三 求椭圆上点的坐标 37．在平面直角坐标系中，已知点在椭圆上，且直线的斜率之积为，则（    ） A．1 B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】利用椭圆方程和的斜率之积为，建立A、B两点坐标的关系，代入原式化简计算即可. 【详解】因为在椭圆上， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以． 故选：A. 38．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，则线段 ． 【答案】/ 【分析】由已知可得点的横坐标为，代入椭圆方程即可求得点坐标，得出结果. 【详解】因为椭圆，则，所以，， 因为, 所以点的横坐标为，代入求得纵坐标为，即． 故答案为： 39．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的点. (1)若点在第一象限内，且，求点的坐标； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点的坐标为，根据得到，再根据求解即可. （2）根据得到，利用余弦定理得到，再利用三角形面积公式求面积即可. 【详解】（1）设点的坐标为（其中，）， 由，，，可得，.     由，有，可得，     又由点在椭圆上，有.     联立方程解得，， 故点的坐标为. （2）由椭圆的性质，有，     又由，可得.     又由，在中，有.     可得.     可得的面积为. 题型十四 根据a、b、c求椭圆标准方程 40．椭圆的短轴长为2，焦距为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知椭圆标准方程确定椭圆的焦点位置，再根据短轴长和焦距得出，进而求出，得出椭圆的标准方程． 【详解】椭圆的短轴长为，焦距为， ， ， 椭圆的标准方程为， 故选：A． 41．若椭圆焦点为，且长半轴的长等于5，则该椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，直接求出椭圆标准方程. 【详解】椭圆焦点为，且长半轴的长等于5，则短半轴长， 所以该椭圆的标准方程为. 故答案为： 42．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)经过两点，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点坐标得到，根据点坐标得到，然后解方程即可； （2）设椭圆方程，然后将点坐标带入，解方程即可. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为，则①， 将带入椭圆方程得到②， 联立①②解得，， 所以椭圆的标准方程为. （2）设椭圆的标准方程为，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. 题型十五 根据椭圆过的点求标准方程 43．经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求解椭圆标准方程. 【详解】根据题意设, 由在椭圆上， 则，解得 所以椭圆的标准方程. 故选：C 44．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过点，两点，则椭圆的方程为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法可求椭圆的方程. 【详解】设椭圆方程为， 由椭圆过点，，故 ，故， 故椭圆方程为：. 故答案为：. 45．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点. (1)若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程； (2)若，且的面积为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据焦距可以求解的值，然后再将点代入椭圆方程中，进而通过解方程求解，的值； （2）由的面积求解的值，再结合椭圆的定义和余弦定理进行求解即可. 【详解】（1）已知，所以得：，即， 由于点在椭圆上，将其代入椭圆方程， 可得：，即， 又因为，即. 联立，整理得：，解得：或（舍） 所以，故椭圆的标准方程为. （2）因为，所以的面积， 则，根据椭圆定义可得：. 根据余弦定理可得：， 整理得：， 代入得：，即，即得：. 题型十六 轨迹问题——椭圆 46．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，点在的延长线上，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据已知建立点坐标之间的关系，利用相关点法求解可得. 【详解】因为点在的延长线上，且，所以为的中点， 设，则，由中点坐标公式得， 因为点在曲线，所以， 即点的轨迹方程为. 故选：D      47．在平面直角坐标系中，已知动点分别在轴、轴上，是线段上靠近的三等分点，为关于轴的对称点．若，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设，可得，，利用向量的坐标运算结合条件即可求解. 【详解】设，是线段上靠近的三等分点，则，，为关于轴的对称点．则， 所以 若，则，即； 则点的轨迹方程为：； 故答案为： 48．已知圆O经过，，三点． (1)求圆O的标准方程； (2)若P是圆O上的动点，点P在x轴上的射影为H，点Q满足，求点Q的轨迹的方程； (3)设，记M为在（2）的条件下得到的曲线上的动点，以线段为直径作圆，请判断圆与圆O的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)圆与圆O相内切，理由见解析 【分析】（1）方法一：设圆O的标准方程为，然后将三个点的坐标代入形成方程组，求出参数即可得到圆的标准方程；方法二：设圆O的方程为，然后将三个点的坐标代入形成方程组，求出参数即可得到圆的标准方程. （2）用向量线性的坐标表示，即可求得轨迹的方程. （3）根据椭圆的定义，结合几何图形即可确定圆与圆的关系. 【详解】（1）方法一：设圆O的标准方程为， 则，解得 所以圆O的标准方程为. 方法二：设圆O的方程为， 则，解得， 所以圆O的标准方程为. （2）设，因为，所以，如图． 因为点P在圆O上，所以，即． 所以点Q的轨迹，即曲线的方程为. （3）位置关系：圆与圆O相内切． 显然为曲线的左焦点，设的右焦点为，如图． 由椭圆的定义可得， 由题意，以为直径作圆，所以为的中点． 因为O为的中点，所以为的中位线，所以， 所以， 所以，即圆心距等于两圆半径的差，所以圆与圆O相内切． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.1 椭圆及其标准方程 题型一 椭圆定义及辨析 1．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．9 B．18 C．20 D．36 2．椭圆的两个焦点都在轴上，且它们到原点的距离都是，是过的弦，且的周长为12，则椭圆的方程为 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的点. (1)若点在第一象限内，且，求点的坐标； (2)若，求的面积. 题型二 利用椭圆定义求方程 4．已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是 . 6．求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)，焦点在轴上； (2)椭圆上一点到其两焦点的距离之和为10 题型三 椭圆上点到焦点的距离及最值 7．已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 8．已知椭圆的左、右焦点分别为．为椭圆上的动点则的取值范围是 ． 9．设F，E分别是椭圆的左，右焦点，椭圆上存在点N，满足且的面积为20. (1)求b的值； (2)设点P的坐标为，直线过点P，与椭圆交于点A，B，线段的中点记为M.若是与的等比中项，求a的最小值，并求出此时直线l的方程. 题型四 椭圆上点到坐标轴上的点的距离及最值 10．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D． 11．过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，，当最大时，点的纵坐标为 ． 12．已知是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，且与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若点，，证明点在椭圆上，并求的取值范围. 题型五 椭圆中焦点三角形的周长问题 13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且.弦过点，则的周长为（   ） A．10 B．20 C． D． 14．若是椭圆的两个焦点，过作直线与椭圆交于两点，的周长为 . 15．已知为椭圆上的两点，的左､右焦点分别为． (1)求的方程； (2)若过点的直线（不与轴重合）与交于两点，求的周长． 题型六 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 16．已知椭圆的左焦点为，为椭圆上任意一点，若点，则的最大值为（ ） A．4 B．3 C．6 D．5 17．椭圆：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上的动点，Q为圆：上的动点，则的最大值为 . 18．已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 题型七 椭圆中焦点三角形的面积问题 19．已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 20．设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若，则的面积为 . 21．椭圆的中心为原点，左顶点为，左、右焦点分别为，，短轴长为6，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，，求的面积． 题型八 椭圆中焦点三角形的其他问题 22．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．设，为椭圆：的两个焦点，点在上，若，则 . 24．已知平面上两点，，动点满足. (1)求动点的轨迹的标准方程； (2)当时，求点的纵坐标. 题型九 判断方程是否表示椭圆 25．方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 26．设方程①；②．其中表示椭圆的方程是 ． 27．已知圆与轴相切，圆心在直线上且在第一象限内，圆在直线上截得的弦长为． (1)求圆的方程： (2)已知线段的端点的横坐标为，端点在（1）中的圆上运动，线段与轴垂直，求线段的中点的轨迹方程．并判断点的轨迹是否为圆，若是，求出圆心和半径；若不是，判断点的轨迹是哪种曲线?（无需说明理由）． 题型十 根据方程表示椭圆求参数范围 28．已知方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 29．若方程所表示的曲线为椭圆，且焦点在轴上，则的取值范围是 ． 30．对于方程， (1)若该方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围； (2)若该方程表示椭圆，求实数的取值范围. 题型十一 根据椭圆方程求a、b、c 31．已知椭圆：的两个焦点分别为，，点在上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 32．椭圆左右焦点为，，椭圆上点满足， . 33．已知椭圆左右焦点分别为，，P为C上的动点，且. (1)求； (2)求的面积. 题型十二 椭圆的方程与椭圆（焦点）位置的特征 34．已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，则的值等于（   ） A．4 B．7 C．9 D．12 35．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 . 36．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过，； (2)长轴长是焦距的3倍，且经过点． 题型十三 求椭圆上点的坐标 37．在平面直角坐标系中，已知点在椭圆上，且直线的斜率之积为，则（    ） A．1 B．3 C．2 D． 38．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，则线段 ． 39．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的点. (1)若点在第一象限内，且，求点的坐标； (2)若，求的面积. 题型十四 根据a、b、c求椭圆标准方程 40．椭圆的短轴长为2，焦距为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 41．若椭圆焦点为，且长半轴的长等于5，则该椭圆的标准方程为 . 42．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)经过两点，. 题型十五 根据椭圆过的点求标准方程 43．经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 44．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过点，两点，则椭圆的方程为 . 45．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点. (1)若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程； (2)若，且的面积为，求的值. 题型十六 轨迹问题——椭圆 46．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，点在的延长线上，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D．     47．在平面直角坐标系中，已知动点分别在轴、轴上，是线段上靠近的三等分点，为关于轴的对称点．若，则点的轨迹方程为 ． 48．已知圆O经过，，三点． (1)求圆O的标准方程； (2)若P是圆O上的动点，点P在x轴上的射影为H，点Q满足，求点Q的轨迹的方程； (3)设，记M为在（2）的条件下得到的曲线上的动点，以线段为直径作圆，请判断圆与圆O的位置关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $