3.1.1椭圆及其标准方程专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

§3.1.1 椭圆及其标准方程 题型1：求动点轨迹(方程) 【例1.1.】 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，点在线段的延长线上，且，，则点的轨迹方程为 ．    【例1.2.】 已知点P是圆上的动点，作轴于点H，则线段PH的中点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 已知平面直角坐标系中不同的三点，，，圆心在轴上的圆经过三点，设点的坐标为，则点的轨迹方程为 ． 题型2：椭圆定义的应用 【例2.1.】 已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在 【例2.2.】 设是椭圆的长轴，若把线段等分，过每个分点作的垂线，交椭圆的上半部分于、、…、，为椭圆的左焦点，则的值是 A． B． C． D． 【例2.3.】 已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点.且，则 . 【例2.4.】 已知为椭圆的右焦点，点，点P为椭圆上任意一点，且的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【例2.5.】 已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最小值为 ． 【例2.6.】 已知椭圆，点在椭圆上，已知点与点，则的最小值为 . 【例2.7.】 已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D． 题型3：椭圆方程的求解 【例3.1.】 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在轴上，长轴长为4，焦距为2； (2)经过两点. (3)经过点，且与椭圆有共同的焦点； 【例3.2.】 如图，已知椭圆的中心为原点为的左焦点，为上一点，满足且，则椭圆的标准方程为 ．    【例3.3.】 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为 ． 题型4：椭圆的焦点三角形 【例4.1.】 已知，是椭圆的焦点，，且过点. (1)求C的方程； (2)若点P在C上，，求的面积. 【例4.2.】 设分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，的周长为，且，则的面积为（   ） A．3 B． C．4 D． 【例4.3.】 已知点为椭圆上的一个动点，点分别为椭圆的左、右焦点，当的面积为1时，（   ） A． B． C． D． 【例4.4.】 设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【例4.5.】 设是椭圆的两个焦点，P在椭圆上，已知是一个直角三角形的三个顶点，且，则的值是（    ） A．或2 B．或 C．或 D．或2 【例4.6.】 （多选）已知椭圆上有一点P，分别为左､右焦点，，的面积为S，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．使得为直角三角形的点共6个 C．若为钝角三角形，则 D．的最大值是9 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §3.1.1 椭圆及其标准方程 题型1：求动点轨迹(方程) 【例1.1.】 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，点在线段的延长线上，且，，则点的轨迹方程为 ．    【答案】 【难度】0.85 【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆 【分析】根据已知条件得到向量，然后用坐标表示出来，根据线段的长度即可求得点的轨迹方程. 【详解】设， 由题意，又， 所以，即， 所以，所以， 所以曲线C的方程为. 故答案为：. 【例1.2.】 已知点P是圆上的动点，作轴于点H，则线段PH的中点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆 【分析】设出中点，利用几何关系建立与点P坐标的关系，代入圆方程即可整理出轨迹方程. 【详解】如下图所示：    不妨设，则满足； 易知， 又线段的中点为，可得； 即，代入方程可得， 整理得 故选：D 【例1.3.】 已知平面直角坐标系中不同的三点，，，圆心在轴上的圆经过三点，设点的坐标为，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示、求平面轨迹方程 【分析】结合题意得到，再利用平面向量数量积的坐标表示求解轨迹方程即可. 【详解】由题意得圆心在轴上的圆经过点，，三点， 可得线段为圆的直径，而点在圆上，则，得到， 又，，则，而不重合，得到， 故点的轨迹方程为． 故答案为： 题型2：椭圆定义的应用 【例2.1.】 已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求平面轨迹方程、椭圆定义及辨析 【分析】根据与的关系判断点的轨迹. 【详解】由题设知， 则动点P的轨迹不存在． 故选：D 【例2.2.】 设是椭圆的长轴，若把线段等分，过每个分点作的垂线，交椭圆的上半部分于、、…、，为椭圆的左焦点，则的值是 A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆的对称性 【解析】直接根据椭圆的对称性和椭圆定义得到答案. 【详解】根据椭圆的对称性知： . 故选：. 【例2.3.】 已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点.且，则 . 【答案】/2.5 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析 【分析】根据余弦定理和椭圆的定义求解即可. 【详解】 由，知， 所以，， 所以，解得， 故答案为：. 【例2.4.】 已知为椭圆的右焦点，点，点P为椭圆上任意一点，且的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】利用求出最小值，进而可列方程求出. 【详解】椭圆，即， 则， 则， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 解得. 故选：D. 【例2.5.】 已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值、椭圆定义及辨析 【分析】根据点与圆的位置关系，及椭圆的定义可得，即可得最小值. 【详解】 如图所示， 由圆，可知圆心，半径， 设椭圆的左焦点为，且， 则， 再由椭圆定义可知， 即， 当且仅当点，在线段上时，等号成立， 又， 即的最小值为， 故答案为：. 【例2.6.】 已知椭圆，点在椭圆上，已知点与点，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合线段和差大小关系求解即得. 【详解】椭圆的长轴长，焦距，则点为左焦点， 设右焦点为， 又在椭圆内，， 于是，， 当且仅当点是射线与椭圆的交点时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【例2.7.】 已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求椭圆中的最值问题、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】设点，用焦半径公式代入化简成二次函数，求其最值即得. 【详解】由，可得， 设点，则， 于是 ， 因，故当时，取得最大值为4. 故选：C. 题型3：椭圆方程的求解 【例3.1.】 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在轴上，长轴长为4，焦距为2； (2)经过两点. (3)经过点，且与椭圆有共同的焦点； 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、求共焦点的椭圆方程 【分析】 （1）由定义和椭圆关系式可直接求解； （2）设所求椭圆的方程，将代入即可求解； （3）设出标准方程，将代入，结合相同联立方程可求解. 【详解】（1）∵椭圆的焦点在x轴上， ∴设椭圆的方程为（）， ∵长轴长为4，焦距为2， ∴，， ∴，， ∴， ∴椭圆的方程为； （2）设所求椭圆的方程， 将代入上式得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为； （3）椭圆，即，故， 焦点为，， 设所求椭圆的标准方程， 所以，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 【例3.2.】 如图，已知椭圆的中心为原点为的左焦点，为上一点，满足且，则椭圆的标准方程为 ．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用椭圆定义求方程 【分析】先根据椭圆的性质确定焦点坐标与焦距，再利用等腰三角形的性质推出垂直关系，通过勾股定理求出相应线段长度，最后依据椭圆的定义即可求出. 【详解】由题意可得，设右焦点为，连接，如图，    由知，，，，，即． 在中，，,由勾股定理，得， 由椭圆的定义，得，从而，于是，椭圆的标准方程为． 故答案为：. 【例3.3.】 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围 【分析】方程表示焦点在轴上的椭圆，可得的分母均为正数，且的分母较大，由此建立关于的不等式，求解即可． 【详解】∵方程表示焦点在轴上的椭圆， ∴，解得， 则的取值范围为是. 故答案为：. 题型4：椭圆的焦点三角形 【例4.1.】 已知，是椭圆的焦点，，且过点. (1)求C的方程； (2)若点P在C上，，求的面积. 【答案】(1) (2)2. 【难度】0.85 【知识点】椭圆定义及辨析、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】（1）根据椭圆顶点坐标和焦距长代入标准方程即可求得结果； （2）利用椭圆定义以及勾股定理计算可得，再由的面积是的面积的一半即可求解. 【详解】（1）因为是椭圆短半轴的一个顶点，则， 又，则， 由，则， 所以C的方程为. （2）如下图所示： 根据椭圆的定义及可得 ① ② 联立①②得， 则的面积为， 因为的面积是的面积为， 所以的面积为2. 【例4.2.】 设分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，的周长为，且，则的面积为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆的性质得到，结合求得，由余弦定理求的值，得到三角形面积. 【详解】由椭圆的性质可得， 又∵，∴，又，所以，，由余弦定理可得，即， ∴，C选项正确； 故选：C 【例4.3.】 已知点为椭圆上的一个动点，点分别为椭圆的左、右焦点，当的面积为1时，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、椭圆中焦点三角形的面积问题、余弦定理解三角形 【分析】结合椭圆的定义根据余弦定理得，代入三角形面积公式并化简得，根据同角三角函数基本关系求解角即可. 【详解】由已知，所以， 由余弦定理可得：， 所以，整理得，即， 又的面积为1，所以， 所以，所以，即， 所以，又，所以，所以. 故选：D. 【例4.4.】 设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出； 方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出． 【详解】方法一：因为，所以， 从而，所以． 故选：B. 方法二： 因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又，平方得： ，所以． 故选：B. 【例4.5.】 设是椭圆的两个焦点，P在椭圆上，已知是一个直角三角形的三个顶点，且，则的值是（    ） A．或2 B．或 C．或 D．或2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点的距离及最值、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】由题设可知轴或，由此进行分类讨论，利用已知条件结合椭圆的定义求出，即可求出的值． 【详解】因为为椭圆两个焦点， 所以，， 则，， 因为，则P点位于x轴右侧，则轴或 故当轴时，P的横坐标为，其纵坐标为， 则，， 故； 当时，设，，则， 由勾股定理可得，即， 解得或（舍去）， 故， 综上，的值为或， 故选：D 【例4.6.】 （多选）已知椭圆上有一点P，分别为左､右焦点，，的面积为S，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．使得为直角三角形的点共6个 C．若为钝角三角形，则 D．的最大值是9 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求积的最大值、椭圆中焦点三角形的其他问题、椭圆中焦点三角形的面积问题、余弦定理解三角形 【分析】对于A，利用椭圆的定义结合余弦定理和三角形的面积公式可求得结果，对于B，利用余弦定理求出，结合椭圆的性质进行判断，对于C，当时，为钝角三角形，从而可求出三角形面积的范围，对于D，利用基本不等式结合椭圆的定义求解. 【详解】对于A，由，得，则， 设，则由椭圆的定义， 在中，，则余弦定理得， ，所以，，得， 所以的面积为，所以A正确， 对于B，当时，为直角三角形的点有2个，当时，为直角三角形的点有2个， 设椭圆的上顶点为，则，在中， ， 所以为锐角，所以在中不可能为是直角， 综上，使得为直角三角形的点共4个，所以B错误， 对于C，设，由选项B可知，当时，为钝角三角形， 当时，，得， 所以时，， 所以，即，所以C正确， 对于D，因为，所以， 当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为16，所以D错误， 故选：AC ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $