18.5相似三角形的判定（基础篇）练习2025-2026学年北京版数学九年级上册

18.5相似三角形的判定 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、定义判定法 如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似。（此方法是相似三角形定义的直接应用，也是最基本的判定方式，但在实际判定中较少直接使用，通常作为其他判定方法的理论依据。） 二、平行判定法 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。（该定理揭示了三角形相似与平行线之间的关系，是后续一些判定定理推导的基础，在解决与平行线相关的三角形相似问题时非常便捷。） 三、两角对应相等判定法 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。（此判定方法应用广泛，因为三角形内角和为180°，若两个角对应相等，则第三个角必然相等，从而满足相似三角形的定义条件，使用时只需找到两组对应角相等即可判定相似。） 四、两边对应成比例且夹角相等判定法 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。（这里需要注意“夹角”的条件，必须是两组对应成比例边的夹角相等，若不是夹角，即使两边成比例且有一个角相等，也不能判定两个三角形相似。） 五、三边对应成比例判定法 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。（该方法通过比较三角形三条边的比例关系来判定相似，只要三组对应边的比值相等，即可确定两个三角形相似，无需考虑角的大小关系。） 六、直角三角形相似的特殊判定法 1. 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（这是直角三角形特有的相似判定方法，类似于直角三角形全等判定中的“HL”定理，适用于已知直角三角形斜边和一条直角边关系的情况。） 2. 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。（此结论在解决与直角三角形斜边上的高相关的相似问题时经常用到，可得到三个两两相似的直角三角形，便于进行边之间的比例转化。） 型 习 练 题 利用两角对应判定相似 1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点，分别在边，上，添加一个条件仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点，则图中与相似的三角形（不含）有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，在平行四边形中，F是边上的点，连接交于点E，延长交的延长线于点G，则图中的相似三角形共有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 5．平行四边形的对角线相交于点O，，则与相似的三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 利用三边对应成比例判定相似 6．如图，在中，，，分别是边，，上的点，且，，，则图中的相似三角形有（    ） A．3组 B．2组 C．1组 D．0组 7．在和中，，根据下列条件，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，根据图中给出的数据，一定能得到（   ） A． B． C． D． 9．已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（   ） A．①组和②组的两个三角形都相似 B．①组和②组的两个三角形都不相似 C．只有①组的两个三角形相似 D．只有②组的两个三角形相似 10．如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 补充条件使三角形相似 11．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 12．如图，中，D、E分别在AB、AC边上，添加以下条件不能证明与相似的是（    ） A． B． C． D． 13．如图，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 14．如图，给出下列条件：①；②；③；④．其中不能够判定的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．如图，D是的边上一点，添加下列一个条件，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 相似三角形的判定综合 16．如图，已知点D，E，F分别是三边的中点，求证：． 17．已知：在和中， ．求证：． 18．已知，如图甲，中，点、分别在、上，且．求证：． 19．如图，，，于点，于点． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 20．如下图． (1)判断与是否相似，并说明理由． (2)若，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.5相似三角形的判定 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、定义判定法 如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似。（此方法是相似三角形定义的直接应用，也是最基本的判定方式，但在实际判定中较少直接使用，通常作为其他判定方法的理论依据。） 二、平行判定法 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。（该定理揭示了三角形相似与平行线之间的关系，是后续一些判定定理推导的基础，在解决与平行线相关的三角形相似问题时非常便捷。） 三、两角对应相等判定法 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。（此判定方法应用广泛，因为三角形内角和为180°，若两个角对应相等，则第三个角必然相等，从而满足相似三角形的定义条件，使用时只需找到两组对应角相等即可判定相似。） 四、两边对应成比例且夹角相等判定法 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。（这里需要注意“夹角”的条件，必须是两组对应成比例边的夹角相等，若不是夹角，即使两边成比例且有一个角相等，也不能判定两个三角形相似。） 五、三边对应成比例判定法 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。（该方法通过比较三角形三条边的比例关系来判定相似，只要三组对应边的比值相等，即可确定两个三角形相似，无需考虑角的大小关系。） 六、直角三角形相似的特殊判定法 1. 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（这是直角三角形特有的相似判定方法，类似于直角三角形全等判定中的“HL”定理，适用于已知直角三角形斜边和一条直角边关系的情况。） 2. 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。（此结论在解决与直角三角形斜边上的高相关的相似问题时经常用到，可得到三个两两相似的直角三角形，便于进行边之间的比例转化。） 型 习 练 题 利用两角对应判定相似 1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定及三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键； 先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、∵，， ∴，故此选项不符合题意； B、添加，无法判断，故此选项符合题意； C、∵，， ∴，故此选项不符合题意； D、∵，， ∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，在中，点，分别在边，上，添加一个条件仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． ①有两个角相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，则两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似； 根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：由题意得：， A．，有两个角对应相等，能使与相似，不符合题意． B．由得，有两个角对应相等，能使与相似，不符合题意． C．，有两组对应边的比相等，且其夹角相等，能使与相似，不符合题意． D． ，有两组对应边的比相等但夹角不一定相等，不能使与相似，符合题意． 故选：D． 3．如图，在锐角中，、分别是边、上的高，它们相交于点，则图中与相似的三角形（不含）有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据已知及相似三角形的判定方法从而找到图中存在的相似三角形即可． 【详解】解：①∵， ∴， 又， ∴； ②∵； ∴， 又， ∴； ③∵， ∴， 又， ∴， ∴； ∴图中与相似的三角形（不含）有3个 故选：C． 4．如图，在平行四边形中，F是边上的点，连接交于点E，延长交的延长线于点G，则图中的相似三角形共有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．由平行四边形可得，，进而找出等角，判断相似三角形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，，， ，，， ，，， ，，， ，，， ，，， 图中的相似三角形共有6对， 故选：D． 5．平行四边形的对角线相交于点O，，则与相似的三角形有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，由得到，即可得到，由平行四边形得到，，进而得到． 【详解】∵ ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∴ ∴与相似的三角形有2个． 故选：A． 利用三边对应成比例判定相似 6．如图，在中，，，分别是边，，上的点，且，，，则图中的相似三角形有（    ） A．3组 B．2组 C．1组 D．0组 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定． 由已知可得，，再由夹角，，即可判定，，再由相似的传递性可得． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴共有3组， 故选：A． 7．在和中，，根据下列条件，不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定是解题的关键．根据三角形相似的判定定理判断即可． 【详解】解：A、满足“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”，所以选项A正确，不符合题意； B、虽然两边对应成比例，但不满足这两边的夹角相等，所以选项B错误，符合题意； C、满足“两对对应角分别相等的两个三角形相似”，所以选项C正确，不符合题意； D、满足“两对对应角分别相等的两个三角形相似”，所以选项D正确，不符合题意． 故选：B． 8．如图，根据图中给出的数据，一定能得到（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 根据题意，推得，再利用相似三角形的判定即可求解． 【详解】解：，，，， ，， ，， ， ， ． 故选：C． 9．已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（   ） A．①组和②组的两个三角形都相似 B．①组和②组的两个三角形都不相似 C．只有①组的两个三角形相似 D．只有②组的两个三角形相似 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 根据相似三角形的判定去判断两个三角形是否相似即可． 【详解】解：在图①中：第一个三角形三个角分别为：，，；第二个三角形的两个角分别为：，；故根据两个角分别相等的两个三角形相似，得两个三角形相似； 在图②中：，， ∴， ∵， ∴， 故①组和②组的两个三角形都相似． 故选：A． 10．如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键． 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 【详解】解：在三角形纸片中，，，． A．因为，则，又由，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项符合题意； B．因为 ，，，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； C．因为 ，，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； D、因为 ，， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； 故选：A． 补充条件使三角形相似 11．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．本题先根据，求出，再根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴， A、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意； B、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； C、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； D、添加，无法判定，故本选项符合题意； 故选：D． 12．如图，中，D、E分别在AB、AC边上，添加以下条件不能证明与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴∽，故该选项不合题意； B、∵，， ∴∽，故该选项不合题意； C、∵，， ∴∽，故该选项不合题意； D、∵，而与不一定相等，不能证明相似，故该选项符合题意． 故选：D ． 13．如图，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据两角分别相等的两个三角形相似和两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，逐项进行判定即可得到答案． 【详解】解：A、∵，， ∴，故A选项能判定，不符合题意； B、，不能判定， 因为两边成比例且夹角相等的两个三角形才能判定相似，故B选项不能判定，符合题意； C、∵，， ∴，故C选项能判定，不符合题意； D、∵，， ∴，故D选项能判定，不符合题意； 故选：B． 14．如图，给出下列条件：①；②；③；④．其中不能够判定的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 本题考查选择或补充条件使两个三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解：和中，， 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，不能满足两边对应成比例且夹角相等，不能判定； 添加，即后，满足两边对应成比例且夹角相等，可以判定， 故选：A． 15．如图，D是的边上一点，添加下列一个条件，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添加条件证明三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定方法（两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例或两角对应相等的两个三角形相似），逐一进行判断即可． 【详解】解：A．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意； B．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意； C．当，即时，再由，可得出，故此选项不符合题意； D．当时，再由，无法判定，故此选项符合题意． 故选：D． 相似三角形的判定综合 16．如图，已知点D，E，F分别是三边的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三角形中位线定理；由三角形中位线定理得，，，求出对应边的比值，即可得证． 【详解】证明：∵点D，E，F分别是三边的中点， ∴是的中位线， ，，， ， ． 17．已知：在和中， ．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三边对应成比例的两个三角形相似，灵活运用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，全等三角形的判定是解决本题的关键． 在线段（或它的延长线）上截取，过点D作，交于点E，先证明，然后再证明即可． 【详解】证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点D作，交于点E，    ∵， ∴， ∴， 又，， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 18．已知，如图甲，中，点、分别在、上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 利用平行线的性质得到角相等，再通过构造平行四边形，结合平行线分线段成比例定理，证明三角形的对应角相等、对应边成比例，从而证明相似． 【详解】解：过点作交于点． ∵ ， ∴ 四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ，，且 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ，，，且 ∴ 19．如图，，，于点，于点． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余． 根据直角三角形的两个锐角互余，可证，根据垂直定义可证，利用可证； 根据全等三角形的性质可得：，，利用对顶角相等可知，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可证：，根据相似三角形的性质可得：，设，则，从而可得：，解方程求出的值，即为的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 又，， ， 在和中，， ； （2）解：由可知， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得：， ． 20．如下图． (1)判断与是否相似，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)相似．理由见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可证得； （2）由相似三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：相似．理由如下： ， ． （2）解：由（1），得． 又， ． 学科网（北京）股份有限公司 $