18.5 相似三角形的判定（第1课时 平行线法、AA判定相似 题型提分练）数学北京版九年级上册

18.5 相似三角形的判定（平行线法、AA）同步练习 题型一 相似三角形的判定 1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6．将△ABC沿图中的线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（　　） A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④ 3．如图，已知∠DAB＝∠CAE，那么添加一个条件后，依然无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠AED＝∠C B．∠D＝∠B C． D． 4．如图，在△ABC中，点E在AB边上，已知AC∥BD，添加一个条件，使△BDE∽△ABC．你添加的条件是 　 　． 5．如图：已知△ABC中，D是AB上一点，添加一个条件 　 　，可使△ABC∽△ACD． 6．如图所示，AB＝AC，∠A＝36°，AB的中垂线交AC于D，则下列结论：①∠C＝72°；②BD平分∠ABC；③△ABD是等腰三角形；④△CBD∽△CAB．正确的选项是 　 　． 7．如图，一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的边BC上，并且使一条直角边经过点D．另一条直角边与AB交于点Q． 求证：△BPQ∽△CDP． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，F是边AB上一点，且CB＝CF，过点A作CF的垂线，交CF的延长线于点D，求证：△ADF∽△ACB． 9．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠B+∠DEC＝180°．求证：△ADE∽△ACB． 10．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ⋅AB．求证： （1）AE＝AF； （2）△CAF∽△BFQ． 1．下列条件：①∠A＝45°，AB＝12，AC＝15，∠A'＝45°，A'B'＝16，A'C'＝20；②∠A＝47°，AB＝1.5，AC＝2，∠B'＝47°，A′B′＝2.8，B'C'＝2.1；③AB＝BC＝2，AC＝3，A'B'＝B'C'＝4，A'C'＝6，其中能判定△ABC与△A'B'C'相似的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（　　） A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④ 3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E、F分别为AC、BC的中点，连接EF，H为AE的中点，过点H作HD⊥AC，交BC于点D，连接DE，则与△ABC相似（不含△ABC）的三角形个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，连接DE，交AC于点G，交BC于点F，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（　　） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 5．如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠1＝∠2＝∠3，则下列结论中不正确的是（　　） A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△EDC D．△ABC∽△ACD 6．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，点D在边AB上，且AD＝2，在AC上找一点E，使得△ADE与原三角形相似，则AE的长是（　　） A．2.4 B． C．2.4或 D． 7．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长度为（　　）时，△ADP和△ABC相似． A．9 B．6 C．4或9 D．6或9 8．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论：①∠BAE＝30°；②CE2＝AB•CF；③CFCD；④△ABE∽△AEF．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在△ABC中，高BD，CE相交于点F，图中与△BEF相似的三角形共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.5 相似三角形的判定（平行线法、AA）同步练习 题型一 相似三角形的判定 1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用△ABC中，∠ACB＝135°，AC，BC＝2，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定即可． 【详解】解：在△ABC中，∠ACB＝135°，AC，BC＝2， 在B、C、D选项中的三角形都没有135°，而在A选项中，三角形的钝角为135°，它的两边分别为1和， 因为，所以A选项中的三角形与△ABC相似． 故选：A． 2．如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6．将△ABC沿图中的线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（　　） A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似； ②阴影部分的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似； ③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似； ④两三角形对应边成比例（4﹣1）：6＝（6﹣4）：4且夹角相等，故两三角形相似． 故选：D． 3．如图，已知∠DAB＝∠CAE，那么添加一个条件后，依然无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠AED＝∠C B．∠D＝∠B C． D． 【答案】D 【分析】利用相似三角形的判定依次判断即可得出答案． 【详解】解：∵∠DAB＝∠CAE， ∴∠DAE＝∠BAC， A、若∠C＝∠AED，且∠DAE＝∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项A不符合题意； B、若∠B＝∠D，且∠DAE＝∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项B不符合题意； C、若，且∠DAE＝∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项C不符合题意； D、若，且∠DAE＝∠BAC，无法判定△ABC∽△ADE，故选项D符合题意； 故选：D． 4．如图，在△ABC中，点E在AB边上，已知AC∥BD，添加一个条件，使△BDE∽△ABC．你添加的条件是 　∠BDE＝∠ABC或∠BED＝∠ACB　． 【答案】∠BDE＝∠ABC或∠BED＝∠ACB（答案不唯一）． 【分析】由题意可得∠DBE＝∠BAC，结合相似三角形的判定条件进行分析即可． 【详解】解：∵AC∥BD， ∴∠DBE＝∠BAC， 则添加的条件为：∠BDE＝∠ABC或∠BED＝∠ACB． 故答案为：∠BDE＝∠ABC或∠BED＝∠ACB（答案不唯一）． 5．如图：已知△ABC中，D是AB上一点，添加一个条件 　∠ADC＝∠ACB　，可使△ABC∽△ACD． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题目所给的条件，利用利用一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，即可得出答案． 【详解】解；由图可知∠CAD＝∠BAC，再加一个对应角相等即可， 所以，可以为：∠ADC＝∠ACB或∠ABC＝∠ACD， 故答案为：∠ADC＝∠ACB． 6．如图所示，AB＝AC，∠A＝36°，AB的中垂线交AC于D，则下列结论：①∠C＝72°；②BD平分∠ABC；③△ABD是等腰三角形；④△CBD∽△CAB．正确的选项是 　①②③④　． 【答案】①②③④． 【分析】由等腰三角形性质及三角形内角和可确定①；由线段垂直平分线性质及等腰三角形性质可判定③与②；由相似三角形判定可判定④． 【详解】解：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴； 故①正确； ∵AB的中垂线交AC于D， ∴DA＝DB， ∴△ABD是等腰三角形， ∴∠A＝∠DBA＝36°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝36°， ∴BD平分∠ABC； 故②③正确； ∵∠C＝∠C，∠DBC＝∠BAC＝36°， ∴△CBD∽△CAB； 故④正确； 故答案为：①②③④． 三．解答题（共4小题） 7．如图，一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的边BC上，并且使一条直角边经过点D．另一条直角边与AB交于点Q． 求证：△BPQ∽△CDP． 【答案】见解析过程． 【分析】由余角的性质可证∠BPQ＝∠PDC，由相似三角形的判定可得结论． 【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝90°， ∵∠QPD＝90°， ∴∠BPQ+∠DPC＝90°＝∠DPC+∠PDC， ∴∠BPQ＝∠PDC， ∴△BPQ∽△CDP． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，F是边AB上一点，且CB＝CF，过点A作CF的垂线，交CF的延长线于点D，求证：△ADF∽△ACB． 【答案】证明见解析． 【分析】根据CB＝CF证得∠B＝∠CFB，根据对顶角相等∠CFB＝∠AFD，再根据∠D＝∠BCA可证得△ADF∽△ACB． 【详解】解：∵CB＝CF， ∴∠B＝∠CFB， ∴∠CFB＝∠AFD， ∵AD⊥CD，∠ACB＝90°， ∴∠D＝∠BCA， ∴△ADF∽△ACB． 9．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠B+∠DEC＝180°．求证：△ADE∽△ACB． 【答案】见解析． 【分析】根据两角对应相等两三角形相似证明即可． 【详解】证明：∵∠DEC+∠AED＝180°，∠B+∠DEC＝180°， ∴∠AED＝∠B， 又∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB． 10．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ⋅AB．求证： （1）AE＝AF； （2）△CAF∽△BFQ． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，利用SAS证明△ACE≌△ABF，根据全等三角形的性质即可得解； （2）利用全等三角形的性质，结合题意证明△ABF∽△AFQ，根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】解（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵CF＝BE， ∴CE＝BF， 在△ACE和△ABF中， ， ∴△ACE≌△ABF（SAS）， ∴AE＝AF； （2）∵AE2＝AQ⋅AB， 由（1）知AE＝AF， ∴AF2＝AQ⋅AB， ∴， ∵∠FAQ＝∠BAF， ∴△AFQ∽△ABF， ∴∠AQF＝∠AFB ∴∠BQF＝∠AFE， ∵∠B＝∠C， ∴△CAF∽△BFQ， 1．下列条件：①∠A＝45°，AB＝12，AC＝15，∠A'＝45°，A'B'＝16，A'C'＝20；②∠A＝47°，AB＝1.5，AC＝2，∠B'＝47°，A′B′＝2.8，B'C'＝2.1；③AB＝BC＝2，AC＝3，A'B'＝B'C'＝4，A'C'＝6，其中能判定△ABC与△A'B'C'相似的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】由相似三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：①由∠A＝∠A′，，判定△ABC∽△A'B'C'相似，故①符合题意； ②由∠A＝∠B′，，判定△ABC∽△B′C′A′，故②符合题意； ③由，判定△ABC∽△A'B'C'相似，故③符合题意． ∴能判定△ABC与△A'B'C'相似的有3个． 故选：D． 2．如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（　　） A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据相似三角形的旋转可知，相似三角形的对应角相等即可判断． 【详解】解：由图形知，⑤中∠AHG＝135°， 而①②③④中，只有①∠BAC＝135°和③∠ADE＝135°， 再根据两边成比例可判断，与⑤相似的三角形是①③， 故选：A． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E、F分别为AC、BC的中点，连接EF，H为AE的中点，过点H作HD⊥AC，交BC于点D，连接DE，则与△ABC相似（不含△ABC）的三角形个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由三角形中位线定理可得EF∥AB，可得△CEF∽△CAB，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证△CAB∽△CDH，可得结论． 【详解】解：∵E、F分别为AC、BC的中点， ∴EF∥AB， ∴△CEF∽△CAB， ∵HD⊥AC， ∴∠DHC＝∠ABC＝90°， 又∵∠C＝∠C， ∴△CAB∽△CDH， 故选：B． 4．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，连接DE，交AC于点G，交BC于点F，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（　　） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠EBF＝∠EAD，∠EFB＝∠EDA， ∴△EFB∽△EAD； 同理可得，△FGC∽△DGA，△EBF∽△DCF，△GAE∽△GCD，△ADE∽△CDF． 故选：B． 5．如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠1＝∠2＝∠3，则下列结论中不正确的是（　　） A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△EDC D．△ABC∽△ACD 【答案】C 【分析】有两组角对应相等的两个三角形相似，由此即可判断． 【详解】解：∵∠1＝∠2，∠DAE＝∠BAC， ∴△ADE∽△ABC， 故A不符合题意； ∵∠1＝∠3，∠DAE＝∠DAC， ∴△ADE∽△ACD， 故B不符合题意； 在△ADE和△EDC中，只有条件∠1＝∠3，不能判定△ADE∽△EDC， 故C符合题意； ∵∠2＝∠3，∠BAC＝∠DAC， ∴△ABC∽△ACD， 故D不符合题意． 故选：C． 6．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，点D在边AB上，且AD＝2，在AC上找一点E，使得△ADE与原三角形相似，则AE的长是（　　） A．2.4 B． C．2.4或 D． 【答案】C 【分析】由题意知，分△ADE∽△ABC，△AED∽△ABC两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分△ADE∽△ABC，△AED∽△ABC两种情况求解； 当△ADE∽△ABC时，，即， 解得，AE＝2.4； 当△AED∽△ABC时，，即， 解得，； 综上所述，AE的长是2.4或， 故选：C． 7．如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长度为（　　）时，△ADP和△ABC相似． A．9 B．6 C．4或9 D．6或9 【答案】C 【分析】当AP：AB＝AD：AC时，△APD∽△ABC，当AP：AC＝AD：AB时，△APD∽△ACB，两种情况，分别求出AP的长，即可得到答案． 【详解】解：∠PAD＝∠BAC， 当AP：AB＝AD：AC时，△APD∽△ABC， ∴AP：12＝6：8， ∴AP＝9； 当AP：AC＝AD：AB时，△APD∽△ACB， ∴AP：8＝6：12， ∴AP＝4， ∴AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似． 故选：C． 8．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论：①∠BAE＝30°；②CE2＝AB•CF；③CFCD；④△ABE∽△AEF．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据题意，可以先求出tan∠BAE的值，即可判断①；根据题意求出△ABE∽△ECF即可判断②；根据②中的结论可以得到CF，然后即可得到CF和CD的关系，从而可以判断③；根据相似三角形的判定方法可以判断④． 【详解】解：设正方形ABCD的边长为2a， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE＝a， ∴tan∠BAEtan30°， ∴∠BAE≠30°，故①错误； ∵AE⊥BF， ∴∠AEB+∠FEC＝90°， 而∠AEB+∠EAB＝90°， ∴∠EAB＝∠FEC， 又∵∠B＝∠C＝90°， ∴Rt△ABE∽Rt△ECF， ∴， ∴BE•EC＝AB•CF， ∵BE＝EC， ∴CE2＝AB•CF，故②正确； ∴CF， ∴，故③错误； 在Rt△CEF中，， 在Rt△ABE中，AEa， ∵， ∴， 而∠ABE＝∠AEF， ∴△ABE∽△AEF，故④正确； 故选：B． 9．如图，在△ABC中，高BD，CE相交于点F，图中与△BEF相似的三角形共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由三角形的两条高线可得∠BDA＝∠BDC＝∠CEA＝∠CEB＝90°、根据∠FBE＝∠ABD知△FBE∽△ABD、∠BFE＝∠CFD知△BFE∽△CFD、∠FCD＝∠ACE知△CFD∽△CAE，从而得△BFE∽△CAE，据此可得答案． 【详解】解：∵BD⊥AC、CE⊥AB， ∴∠BDA＝∠BDC＝∠CEA＝∠CEB＝90°， ∵∠FBE＝∠ABD， ∴△FBE∽△ABD， ∵∠BFE＝∠CFD， ∴△BFE∽△CFD， ∵∠FCD＝∠ACE， ∴△CFD∽△CAE， ∴△BFE∽△CAE， 综上，图中与△BEF相似的三角形有△BAD、△CFD、△CAE这3个， 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$