精品解析：贵州省遵义航天高级中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

遵义航天高级中学2025-2026学年高一上学期期中检测 数学试题 一、单选题（本大题共7小题） 1. 已知集合集合则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，周期为的是（ ） A. B. C. D. 3. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 4. 已知平面向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知是夹角为的两个非零向量，且，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 4 D. 6. 在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知函数的最小正周期，且是函数的一条对称轴，是函数的一个对称中心，则函数在上的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题） 8. 下列结论正确的是（ ） A. 是第二象限角 B. 函数的最小正周期是 C. 若，则 D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 9. 设样本空间含有等可能的样本点，记事件，事件，事件，则下列说法正确的是（ ） A. 事件A与事件B相互独立 B. 事件A与事件C相互独立 C. 事件A与事件B互斥 D. 事件A与事件C互斥 10. 关于函数，如下结论中正确的是（ ）． A. 函数的周期是 B. 函数的值域是 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上递增 三、填空题（本大题共3小题） 11. 的值为____. 12. 已知函数 ，若且，则的取值范围是_____． 13. 如图，在中，，，，是的中点，是以为圆心，为半径的圆上任意一点，则的取值范围为______． 四、解答题（本大题共5小题） 14. 已知，，与的夹角是. （1）计算； （2）当k为何值时，？ 15. 某校高一年级20名学生期末考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间为. （1）求图中的值： （2）根据频率分布直方图，估计这200名学生数学成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； （3）若从数学成绩在内的学生中用分层随机抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人分析学习情况，求抽到数学成绩在内各1人的概率. 16. 化简： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 17. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 3 0 0 （1）求出实数和函数的解析式； （2）将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.已知图象的一个对称中心为，求的最小值； （3）在（2）的条件下，当取最小值时，若对，关于的方程恰有两个实数根，求实数的取值范围. 18. 定义非零向量的“相伴函数”为，，向量称为函数的“相伴向量”（其中点为坐标原点）． （1）设函数，求函数的“相伴向量”的坐标； （2）记的“相伴函数”为，设函数，，若方程有四个不同实数根，求实数k的取值范围； （3）已知点，满足条件：，且向量的“相伴函数”在时取得最大值，当点M运动时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义航天高级中学2025-2026学年高一上学期期中检测 数学试题 一、单选题（本大题共7小题） 1. 已知集合集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合A，利用交集定义能求出 【详解】解：集合 故选：B 2. 下列函数中，周期为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举反例排除A，利用三角函数的周期公式判断BC，利用周期函数的定义结合诱导公式判断D. 【详解】对于A，因为， 所以， 则，所以不以为周期，故A错误； 对于B，因为，所以的最小正周期为，故B错误； 对于C，因为，所以的最小正周期为，故C错误； 对于D，因为， 所以， 则的周期为，故D正确. 故选：D. 3. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数平移变换对解析式的影响求解即可. 【详解】对于A，向左平移个单位长度得，故A错误； 对于B，向右平移个单位长度得，故B错误； 对于C，向左平移个单位长度得，故C正确； 对于D，向右平移个单位长度得，故D错误； 故选：C. 4. 已知平面向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】若与的夹角为钝角，则且与不共线，结合向量的坐标运算求得的取值范围，再根据范围之间的关系即可判断. 【详解】“且”，即“且”，是“”的充分不必要条件， 故选:A． 5. 已知是夹角为的两个非零向量，且，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，计算出向量在向量上的投影向量为，由题知投影向量为，所以，解出的值. 【详解】设，则，， 所以向量在向量上的投影的数量为， 因为投影向量是，所以，解得， 故选：A. 6. 在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，将用和表示，再利用，，三点共线，求得，再利用基本不等式求得最值. 【详解】由，，共线，可设， 由,,三点共线，故可设， 则有，解得：， 故， 由题意，，，三点共线， 故可设， 则，整理得， 故， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为； 故选：C 7. 已知函数的最小正周期，且是函数的一条对称轴，是函数的一个对称中心，则函数在上的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意求出的解析式，再根据x的取值范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】函数的最小正周期， ∴，解得：， 由于是函数的一条对称轴，且为的一个对称中心， ∴，（），则，（），则， 又∵，，由于，∴，故， ∵，∴，∴，∴. 故选：B． 二、多选题（本大题共3小题） 8. 下列结论正确的是（ ） A. 是第二象限角 B. 函数的最小正周期是 C. 若，则 D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：根据负角的定义和象限角的范围进行判断即可； B：根据正弦函数的周期性，结合绝对值的性质进行判断即可； C：根据同角的三角函数关系式中的商关系进行求解判断即可； D：利用弧长公式、扇形面积公式进行求解判断即可. 【详解】解：对于A：根据象限角的范围，为第二象限角，故A正确； 对于B：因为函数的最小正周期是， 所以函数的最小正周期是，故B正确； 对于C：若，则，故C错误； 对于D：若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的半径为6，所以扇形的面积为，故D正确. 故选：ABD. 9. 设样本空间含有等可能的样本点，记事件，事件，事件，则下列说法正确的是（ ） A. 事件A与事件B相互独立 B. 事件A与事件C相互独立 C. 事件A与事件B互斥 D. 事件A与事件C互斥 【答案】AD 【解析】 【分析】由互斥事件，独立事件的定义以及概率性质逐项判断可得. 【详解】对于A，，因为，则， 所以，即事件A与事件B相互独立，故A正确； 对于B，，所以，而， 所以，故B错误； 对于C，，所以事件A与事件B不互斥，故C错误； 对于D，，所以事件A与事件C互斥，故D正确； 故选：AD. 10. 关于函数，如下结论中正确的是（ ）． A. 函数的周期是 B. 函数的值域是 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据周期定义判断A，结合周期性可求函数值域，判断B，利用对称性定义判断C，同样利用周期性判断D． 【详解】A．∵， ∴， ∴是周期为的周期函数，A正确， B．当时，，此时，，∴，又的周期是，∴时，值域是，B错； C．∵， ∴函数的图象关于直线对称，C正确； D．由B知时，，当时，，单调递增，而是周期为的周期函数，因此在上的图象可以看作是在上的图象向右平移单位得到的，因此仍然递增．D正确． 故选：ACD． 【点睛】本题考查与三角函数有关的周期性、对称性、单调性、值域，解题关键是是函数的周期性，根据周期的定义证明周期性，然后可以在一个周期内研究函数的性质，再推广到整个定义域． 三、填空题（本大题共3小题） 11. 的值为____. 【答案】## 【解析】 【分析】先运用诱导公式化简，再应用两角差余弦公式计算即可. 【详解】 . 故答案为：##. 12. 已知函数 ，若且，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题设，结合对数函数的单调性即可得，再根据基本不等式即可求得答案. 【详解】解：由对数复合函数的单调性得函数在上单调递增， 因为， 所以函数在上，在上， 因为且， 所以，即， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 由于，所以等号不能取到， 所以， 所以的取值范围是 故答案为： 13. 如图，在中，，，，是的中点，是以为圆心，为半径的圆上任意一点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合图形和题设条件，推出，以及和，利用向量数量积的运算律化简得出，根据图形，即可确定的最大最小值，从而得到的取值范围. 【详解】因，，，则有， 又因是的中点，是以为圆心，为半径的圆上任意一点， 则得， 因，， 则 ， 由图知，当与同方向时，取得最大值1， 当与反方向时，取得最小值， 故. 故答案为：． 四、解答题（本大题共5小题） 14. 已知，，与的夹角是. （1）计算； （2）当k为何值时，？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据数量积的计算规则计算. 【小问1详解】 ，，与的夹角是， 则， 即有； 【小问2详解】 由 可得，即， 即，解得.则当k为时，；、 综上，（1），（2）. 15. 某校高一年级20名学生期末考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间为. （1）求图中的值： （2）根据频率分布直方图，估计这200名学生数学成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； （3）若从数学成绩在内的学生中用分层随机抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人分析学习情况，求抽到数学成绩在内各1人的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图小矩形面积之和为1，进而求解； （2）利用频率分布直方图计算平均数即可求解； （3）应用分层抽样的等比例性质求中各抽取的学生人数，再利用列举法及古典概型的概率求法求概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图得， 解得； 【小问2详解】 平均分约为. 【小问3详解】 应从数学成绩在内的学生中抽取人， 记为. 从数学成绩在内的学生中抽取人，记为. 从这7人中随机抽取2人的样本空间 成绩在内各1人的情况有, 所以抽到数学成绩在内各1人的概率. 16. 化简： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】 【分析】（1）（2）（5）（6）应用诱导公式、两角和差正弦公式化简求值； （3）（4）应用二倍角正余弦公式化简求值. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由， ∴. 【小问3详解】 . 【小问4详解】 . 【小问5详解】 . 【小问6详解】 . 17. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 3 0 0 （1）求出实数和函数的解析式； （2）将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.已知图象的一个对称中心为，求的最小值； （3）在（2）的条件下，当取最小值时，若对，关于的方程恰有两个实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据表中数据可知，根据，可解得的值，从而得出解析式； （2）根据伸缩平移变换可得的解析式，结合为对称中心，从而求得的最小值； （3）在（2）的条件下结合，利用三角函数的性质，数形结合即可得解. 【小问1详解】 由题意得，所以，且， 所以，且，所以， 故，. 【小问2详解】 的图象向右平移个单位，得到的图象， 再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）， 可得的图象， 因为图象的一个对称中心为， 则，得， 因为，所以当时，此时取得最小值为. 【小问3详解】 当取最小值时，， 当时，， 此时，如图： 恰有两个实数根， 结合图象可知，即， . 18. 定义非零向量的“相伴函数”为，，向量称为函数的“相伴向量”（其中点为坐标原点）． （1）设函数，求函数的“相伴向量”的坐标； （2）记的“相伴函数”为，设函数，，若方程有四个不同实数根，求实数k的取值范围； （3）已知点，满足条件：，且向量的“相伴函数”在时取得最大值，当点M运动时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意，将可化为进而根据题意得答案； （2）去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得k的范围 （3）由可求得时，取得最大值，其中，换元求得的范围，再利用二倍角的正切可求得的范围． 【小问1详解】 解： ， 所以函数的相伴向量． 【小问2详解】 解：由题知：， 所以． ①当时，； ②当时，． 所以， 可求得在单调递增，单调递减，单调递增， 单调递减且， ∵图像与有且仅有四个不同的交点， 所以实数k的取值范围为 【小问3详解】 解：的“相伴函数”，其中，，． 当，即，时取得最大值． 所以， 当时，此时，，，所以无意义， 当时，所以， 令，则，， 因为在上单调递增， 所以时， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $