专题6.3相交线(知识点+题型+分层提升)讲义 2025-2026学年苏科版七年级数学上册

该初中数学讲义以“相交线”为核心，通过表格目录与知识框架图系统构建单元体系，梳理相交线概念、对顶角与邻补角、垂线性质及易错点，突出“有且只有一个公共点”等本质特征，呈现知识内在逻辑与重难点分布，培养几何直观与空间观念。 讲义亮点在于题型分类与分层提升设计，如“垂线段最短”应用（直角三角形动点最小值问题）、对顶角性质推理题，易错点辨析强化推理意识。分层题覆盖选择、填空、解答，适配不同学生，助力自主复习与教师精准教学，提升数学思维与应用能力。

专题6.3 相交线 *目录* 知识 点 梳理 1.相交线核心概念 2.相交形成的角 3.特殊相交--垂线 4.易错与注意事项 题型 清单 1.相交线 2.垂线的定义理解 3.画垂线 4.垂线段最短 5.点到直线的距离 6.对顶角的定义 7.对顶角相等 8.邻补角的定义理解 9.利用邻补角互补求角度 分层 提升 1.选择题(5) 2.填空题(5) 3.解答题(4) 知识点梳理 知识点1.相交线核心概念 定义：在同一平面内，有且只有一个公共点的两条直线叫做相交线，这个唯一的公共点叫做两条直线的交点。 注意：同一平面内，两条直线的位置关系仅有两种 —— 相交或平行，“有且只有一个公共点” 是相交线的本质特征。 知识点2.相交形成的角 在平面几何中，两条直线相交是基础位置关系，会形成两类核心角 ——对顶角和邻补角， 1.邻补角 定义：两条直线相交时，有一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角，叫做邻补角。 核心性质：邻补角互为补角，即它们的和为 180°。因为两个角有一条公共边，另一边在同一直线上，刚好构成一个平角（平角为 180°）。 2.对顶角 定义：两条直线相交时，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角没有公共边，这样的两个角叫做对顶角。 核心性质：对顶角相等。这是相交线角度计算的重要依据，可通过邻补角的性质推导（同角的补角相等）。 知识点3.特殊相交--垂线 一、垂线的定义 在同一平面内，两条直线相交成的四个角中，如果有一个角是直角（90°），那么这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 注意：垂线的定义必须满足两个条件 ——① 在同一平面内；② 相交成直角。缺少任何一个条件，都不能判定两条直线互相垂直。 二、垂线的表示方法 若直线 AB 与直线 CD 互相垂直，垂足为点 O，可记作：AB ⊥ CD（读作 “AB 垂直于 CD”），也可记作CD ⊥ AB，垂足可标注为 “AB ⊥ CD，垂足为 O”。 三、垂线的性质（重点考点） 1. 基本性质（过一点画垂线的唯一性）. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 2. 距离性质（垂线段最短） 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 知识点4.易错与注意事项 一、概念辨析易错点 1.对顶角与邻补角分不清 易错表现：觉得有公共顶点的角就是对顶角；把邻补角等同于 “和为 180° 的两个角”。 注意事项：对顶角要满足 “有公共顶点 + 两边互为反向延长线”；邻补角既要满足上述位置条件，又要满足两角和为 180°。 2.垂线与垂线段混淆 易错表现：说 “距离是垂线的长度”；画垂线时误画成垂线段。 注意事项：垂线是无限长的直线，垂线段是有端点的线段；点到直线的距离，是垂线段的长度。 二、性质应用易错点 1.对顶角性质用错 易错表现：否认 “对顶角的余角 / 补角相等”；把非对顶角按 “对顶角相等” 计算。 注意事项：对顶角一定相等，其餘角、补角也相等；用之前先确认是不是对顶角。 2.漏记垂线性质的前提 易错表现：忽略 “过一点有且只有一条直线与已知直线垂直” 的 “同一平面内” 条件。 注意事项：初中只学平面几何，默认在同一平面内应用该性质。 三、作图与计算易错点 1.作图不规范 易错表现：画垂线不标直角符号；垂足位置画错；垂线段没连好点与垂足。 注意事项：画垂线必须标 “┐”；用直尺和三角板按课本步骤画，垂线段要连接直线外一点和垂足。 2.角度计算漏条件 易错表现：忘记垂线形成的角是 90°；算邻补角时加减出错。 注意事项：邻补角和为 180°，对顶角相等，先标已知角和直角，再逐步计算。 四、图形识别易错点 1.复杂图形中角数错 易错表现：多条直线相交时，漏数、多数对顶角 / 邻补角；混淆同位角、内错角等概念。 注意事项：两条直线相交有 2 对对顶角、4 对邻补角；多条直线相交时，逐对分析两条直线的相交情况。 2.忽略隐藏的角 易错表现：垂直图形中，漏认邻补角。 注意事项：垂线形成 4 个直角，每个直角通常有两个邻补角，要全面观察。 （练习题） 题型1.相交线 1．下列说法中正确的是（   ） A．不相交的两条直线叫平行线 B．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离 C．互相垂直的两条线段一定相交 D．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理、点到直线的距离的概念、平面内两直线的位置关系等是解题的关键．根据平行线的判定、点到直线的距离、平面内两直线的位置关系等求解判断即可． 【详解】解：A．在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，故A说法不符合题意； B．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故B说法不符合题意； C．平面内，互相垂直的两条直线一定相交，而平面内，互相垂直的两条线段不一定相交，故C说法不符合题意； D．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故D说法符合题意； 故选：D． 2．直线的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线交于点；④点在直线外；⑤直线两两相交．以上表述正确的有 ．（只填写序号）    【答案】②③④⑤ 【分析】本题考查了点和直线的位置关系，直线和直线的位置关系，根据图性逐项判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可知，点在直线外，故①错误； 由图可知，直线经过点，故②正确； 由图可知，直线交于点，故③正确； 由图可知，点在直线外，故④正确； 由图可知，直线两两相交，故⑤正确； ∴以上表述正确的有②③④⑤， 故答案为：②③④⑤． 3．两条直线斜交所形成的四个角中，有一个是，那么这两条直线的夹角的度数是 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了相交线，对顶角的性质，邻补角的定义，角的计算，依题意画出图形，再根据对顶角的性质及邻补角的定义分别求出四个角的度数，进而可得这两条直线的夹角的度数． 【详解】解：依题意如下图所示： 直线，相交于点，且， ， ， ， ， 两条直线斜交所形成的四个角中，有一个是，那么这两条直线的夹角的度数是或． 故答案为：或． 4．平面内有n条直线，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是直线的交点问题，解答此题的关键是找出规律，需注意的是条直线相交时最少有一个交点． 分别求出2条直线、3条直线、4条直线、5条直线的交点个数，找出规律即可解答． 【详解】解：2条直线相交最多可以有1个交点，最少有1个交点； 3条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 4条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 5条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 6条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 所以，而， ． 故选：D． 题型2.垂线的定义理解 5．如图，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了垂直的定义，余角的性质等知识，根据垂直的定义得到，则，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6．两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是（    ）． A．有两个角相等 B．有两对角相等 C．有三个角相等 D．有四对邻补角 【答案】C 【分析】两直线相交所成的四个角中，有一个角为90°，则这两条直线互相垂直，根据的定义判断即可． 【详解】解：A、两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，是两个对顶角相等，那么这两条直线不一定垂直，故本选项错误； B、两条直线相交成四个角，如果有两对角相等，是两对对顶角相等，那么这两条直线不一定垂直，故本选项错误； C、两条直线相交成四个角，则这四个角中有2对对顶角．如果三个角相等，则这四个角相等，都是直角，所以这两条直线垂直．故正确； D、两条直线相交成四个角，如果有四对邻补角，是四对普通的邻补角，那么这两条直线不一定垂直，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了垂线的定义，对顶角的定义，邻补角的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 7．图为《天工开物》记载用于春（）捣谷物的工具“碓（）”的平面结构示意图，与水平线相交于点，于点，于点，．若，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用四边形内角和是进行计算，即可求解，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：∵于点，于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，且其中一个角比另一个角的三倍少，则这两个角的度数分别为 ． 【答案】和或和 【分析】本题考查了垂线，两个角的两边两两互相垂直，则这两个角相等或互补，如图，再结合其中一个角比另一个角的三倍少列方程求解即可．解决问题的关键在于分情况讨论，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观． 【详解】解：如图，这两个角之间的数量关系是：相等或互补． 设一个角为，另一个角为， 根据题意得，①当时，，即， 解得：； ②当时， ，即， 解得：，则， ∴这两个角的度数分别为和或和， 故答案为：和或和． 题型3.画垂线 9．过点向线段所在直线作垂线，正确的画法是（    ）A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线，掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直是解题的关键．根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可． 【详解】解：A．没有垂直于，故该选项不符合题意； B．没有过点，故该选项不符合题意； C．过点作的垂线，垂线是直线，故该选项符合题意； D．为线段，不是直线，故该选项不符合题意； 故选：C． 10．如图，在纸片上有一直线l，点A在直线l上，过点A作直线l的垂线、嘉嘉使用了量角器，过90°刻度线的直线a即为所求；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】C 【分析】根据垂直的定义即可解答． 【详解】解：嘉嘉利用量角器画90°角，可以画垂线，方法正确； 淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a垂直直线l，方法正确， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了作图、垂线的定义，掌握垂直的定义是解答本题的关键． 11．如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答案． 【详解】解：∵，，为垂足， ∴，，三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 12．在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了垂线段的画法的判断，根据垂线段的画法依次判断即可． 【详解】解：四个图形中，只有第一个图形是过点B作线段所在直线的垂线段，其余均错误， 故选：C． 题型4.垂线段最短 13．设A，B，C是直线l上的点，P是直线l外一点，，，，则点P到直线L的距离（    ） A．等于 B．等于 C．不大于 D．等于 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短的性质．根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”可知垂线段的长度不能超过的长． 【详解】解：根据垂线段最短的性质可知点P到直线的距离不能超过的长． 故选：C． 14．如图，在直角三角形中，，，，，点M是线段上的动点，则的最小值为（  ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，三角形的面积，根据垂线段最短可得当时，最小，根据三角形可求出此时的长，即可解答． 【详解】解：当时，最小， 此时， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：A． 15．观察图形，以下结论： ①线段的长必大于点A到直线l的距离； ②线段的长小于线段的长，根据是两点之间线段最短； ③图中共有两对角互为余角； ④线段的长是点D到直线的距离，正确的是 （填序号）． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了点到直线的距离、垂线段最短、余角的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据点到直线的距离、垂线段最短可判断①②④，根据余角的定义可判断③，即可得出结论． 【详解】解：线段的长必大于点A到直线l的距离，故①正确； 线段的长小于线段的长，根据是垂线段最短，故②错误； 图中共有8对角互为余角，故③错误； 线段的长是点D到直线的距离，故④正确； 综上所述，正确的是①④． 故答案为：①④． 16．如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的轴对称性、最短路径问题，先过C作于H，根据角平分线的轴对称性，可作N关于对称点，连接，则，由得当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值，利用三角形的面积公式求得，进而可求解． 【详解】解：∵平分，如图，过C作于H，作N关于对称点， ∴在上， 连接，则，当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值， ∵在锐角三角形中，，的面积为7， ∴， ∴ ， 即的最小值为， 故答案为：． 题型5.点到直线的距离 17．为直线l外一点，是直线l上三点，且，则点到直线l的距离为（   ） A． B． C．不大于 D．不小于 【答案】C 【分析】本题考查的是点到直线的距离，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，是解答此题的关键．根据点到直线距离的定义进行解答即可． 【详解】解：∵A、B、C为直线l上三点，，且， ∴根据垂线段最短得出P到直线l的距离是不大于． 故选：C． 18．如图，直线、相交于点，，则直线、的夹角是 ．若于点，于点，则线段 的长度表示点到直线的距离． 【答案】 /度 / 【分析】本题考查的是邻补角的含义，点到直线的距离，根据邻补角与点到直线的距离的含义可得答案． 【详解】解：直线、相交于点，，则直线、的夹角是： ， ∵于点， ∴线段的长度表示点到直线的距离． 故答案为：， 19．如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，由题意可得点在与直线平行且距离为的两条直线上，点在与直线平行且距离为的两条直线上，从而可得上述四条直线相交的交点就是“距离坐标”是的点，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“距离坐标”的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵点到直线的距离为，点到直线的距离为， ∴点在与直线平行且距离为的两条直线上，点在与直线平行且距离为的两条直线上， ∴上述四条直线相交的交点就是“距离坐标”是的点，两两相交共个交点，即“距离坐标”是的点共有个， 故选：D． 20．已知直线，a与b之间的距离为5，平面内有一点P，点P到a的距离是2，则点P到b的距离是 ． 【答案】3或7 【分析】本题考查了点到直线的距离． 分当P在a、b之间和当P在a、b同侧两种情况作答即可． 【详解】解：当P在a、b之间时， ∵a与b之间的距离为5，点P到a的距离是2， ∴点P到b的距离是； 当P在a、b同侧时， ∵a与b之间的距离为5，点P到a的距离是2， ∴点P到b的距离是； 故答案为：3或7． 题型6.对顶角的定义 21．下列说法正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．成对顶角的两个角不可能是直角 C．三条直线相交于同一点，共可构成6对对顶角 D．若，则与是对顶角 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义，掌握其定义是解题的关键； 直接根据对顶角的定义解答即可． 【详解】A，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故该选项错误，不符合题意； B，对顶角可以是直角，故该选项错误，不符合题意； C，三条直线相交于同一点，每两条直线构成2对对顶角，共构成对对顶角； D，相等的角不一定是对顶角，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 22．如图，直线、、相交于点O，的对顶角是 ，的邻补角是 ．若，，则 ， ． 【答案】 ， 【分析】本题考查对顶角和邻补角及其性质，根据对顶角和邻补角的定义及性质即可解答． 【详解】解：的对顶角是，的邻补角是，． ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：；，；； 23．我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，… （1）10条直线交于一点，对顶角有 对． （2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有 对． 【答案】 90 n（n﹣1） 【分析】（1）仔细观察计算对顶角的式子，发现式子不变的部分及变的部分的规律，求出本题结论； （2）利用（1）中规律，用字母表示数得出答案即可． 【详解】解：（1）如图① 两条直线交于一点，图中共有=2对对顶角；如图②三条直线交于一点，图中共有=6对对顶角；如图③四条直线交于一点，图中共有=12对对顶角；…； 按这样的规律，10条直线交于一点，那么对顶角共有：=90， 故答案为：90； （2）由（1）得：n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有：=n（n﹣1）． 故答案为：n（n﹣1）． 【点睛】此题主要考查了对顶角以及图形变化规律，本题是一个探索规律型的题目，解决时注意观察每对数之间的关系．这是中考中经常出现的问题． 24．6条直线相交于一点，有（　　）对不同的对顶角． A．30 B．42 C．36 D．40 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握定义并总结出一般规律是解题的关键．分别列出两条直线、三条直线、四条直线相交于一点时的情况，从而总结一般规律，即可解决问题． 【详解】解：两条直线相交与一点，共形成对不同的对顶角； 三条直线相交于一点，共形成对不同的对顶角； 四条直线相交于一点，共形成对不同的对顶角； 条直线相交于一点，共形成对不同的对顶角； 6条直线相交于一点，共形成对不同的对顶角； 故选：A． 题型7.对顶角相等 25．如图，直线相交于点O，射线平分，若，求的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； 根据角平分线的定义求出，再由对顶角相等即可解答． 【详解】解：因为平分，， 所以， 所以． 故选：C． 26．若与是对顶角，且，则的补角是 °． 【答案】130 【分析】本题考查了对顶角的性质，补角的定义，根据对顶角相等结合已知条件求出的度数，再根据度数之和为180度的两个角互补即可求出答案． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， 又∵， ∴， ∴的补角是， 故答案为：130． 27．下列说法正确的有（   ） 如果，那么、、互为补角； ，那么是的余角； 互为补角的两个角的平分线互相垂直； 有公共顶点且相等的角是对顶角； 如果两个角相等，那么它们的余角也相等． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查对顶角，余角，补角． 根据对顶角，余角，补角的定义，对各说法进行分析判断即可． 【详解】解：和为的两个角互为补角，故原说法不正确； ，那么是的补角，故原说法不正确； 互为补角的两个角的平分线不一定互相垂直，故原说法不正确； 有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，故原说法不正确； 等角的余角相等，故原说法正确； ∴说法正确的有个． 故选：A． 28．已知，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝70°，过点O作射线OE，使∠BOE＝130°，则∠COE＝ ． 【答案】20°或120° 【分析】如图，当OE在AB的上面时，根据邻补角的定义得到∠BOC＝180°−∠AOC＝180°−70°＝110°，于是得到∠COE＝∠BOE−∠BOC＝130°−11°＝20°；当OE在直线AB的下面时，根据邻补角的定义得到∠BOC＝180°−∠AOC＝180°−70°＝110°，于是得到∠COE′＝180°−∠DOE′＝180°−60°＝120°． 【详解】如图， 当OE在AB的上面时， ∵∠AOC＝70°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°， ∵∠BOE＝130°， ∴∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝130°﹣11°＝20°； 当OE在直线AB的下面时， ∵∠AOC＝70°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°， ∵∠BOD＝∠AOC＝70°， ∴∠DOE′＝∠BOE′﹣∠BOD＝130°﹣70°＝60°， ∴∠COE′＝180°﹣∠DOE′＝180°﹣60°＝120°， 综上所述，∠COE＝20°或120°， 故答案为：20°或120°． 【点睛】本题考查了对顶角，邻补角．解题的关键是采用形数结合的方法分情况讨论． 题型8.邻补角的定义理解 29．如图，两条直线相交形成四个角，可以用推理说明图中的． 推理过程： 因为：，（平角等于）， 所以：，也就有：，这里运用了（ ） A．加法交换律 B．等式的性质 C．加法结合律 【答案】B 【分析】该题考查了等式的性质、邻补角定义，根据题意判断即可． 【详解】解：根据题意知，运用了等式的性质， 故选：B． 30．和是邻补角，且比大，则 度， 度． 【答案】 【分析】本题考查了邻补角的性质：邻补角互补，即和为．也考查了一元一次方程的解法，根据邻补角性质列出方程是解题的关键．设，，根据和是邻补角列出方程，解方程即可． 【详解】解：设，， 根据题意得， 解得． ． ，． 故答案为：；． 31．有下列几种说法：①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角；②两条直线相交所成的四个角相等；③两条直线相交所成的四个角中有一组邻补角相等；④两条直线相交对顶角相等．其中能判断两条直线互相垂直的序号有 ． 【答案】①②③ 【分析】根据两条直线相交所得的四个角相对的两个角互为对顶角，且邻角互补，然后根据垂线的定义可进行排除选项． 【详解】解：①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，则根据垂直的判定可得这两条直线互相垂直；故符合题意； ②两条直线相交所成的四个角相等，由于这四个角之和为360°，且每个角相等，可得这四个角每个角都为90°，由此可得这两条直线互相垂直，故符合题意； ③两条直线相交所成的四个角中邻角互补，又因为这组邻补角相等，则有这两个角都为90°，由此可得这两条直线互相垂直，符合题意； ④两条直线相交对顶角相等，并不能得出某个角为直角，故不符合题意； ∴能判断两条直线互相垂直的序号有①②③； 故答案为①②③． 【点睛】本题主要考查邻补角、对顶角及垂直的定义，熟练掌握邻补角、对顶角及垂直的定义是解题的关键． 32．如图，已知，点P为a与b之间一点，过点P作9条不同的直线均与直线a相交，探究图中相交线形成的所有角中，互为邻补角的对数是（　　） A． B．180 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线，相交线和邻补角，根据两条直线相交有对邻补角，即可解决问题． 【详解】解：∵两条直线相交有对邻补角， ∴过点作9条直线，从条直线中选条的组合数为，则邻补角对数为； 9条不同的直线分别与直线、、相交，确定邻补角对数是， ∴总共对， 故选：D． 题型9.利用邻补角互补求角度 33．如图，∠1还可以用 表示，若∠1=62°，那么∠BCA= 度． 【答案】 【分析】根据角的表示和邻补角的性质计算即可； 【详解】∠1还可以用表示； ∵∠1=62°，， ∴； 故答案是：；． 【点睛】本题主要考查了角的表示和邻补角的性质，准确计算是解题的关键． 34．如图，过直线上一点作直线，已知，（   ）                         A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了邻补角的定义，对顶角相等，根据邻补角的定义求得，根据对顶角相等得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故选：C． 35．小明从A处向北偏东方向走到达B处，小亮也从A处出发向南偏西方向走到达C处，则的度数为 度． 【答案】 【分析】本题考查方位角的应用，邻补角，掌握知识点是解题的关键． 先推导出，，再求出 则，即可解答． 【详解】解：如图所示，由题意，得   ，， ∴， ∴． 故答案为：． 36．如图，直线和相交于点O，，则的度数为（    ） A． B． C．94° D．93° 【答案】A 【分析】本题考查角度的计算，垂直的定义，根据垂直的定义，可得的度数，根据角的和差，可得的度数，根据角的倍分关系，可得的度数，根据，可得答案． 【详解】解：∵， ， ∵， ， ∵， ， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 分层提升题 一.选择题 37．点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是  (    ) A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm 【答案】D 【分析】根据直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短，因为PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，可得三条线段的最短的线段，点P到直线l的距离应该不超过这条线段的长，据此判断即可． 【详解】解：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短； 因为PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm， 所以三条线段的最短的是2 cm， 所以点P到直线l的距离不超过2 cm． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了点到直线的距离的含义以及特征，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是要明确：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短． 38．下列说法正确的是（   ） ①在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种； ②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ③相等的两个角是对顶角； ④两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ⑤如果一条直线和两条直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据对顶角、两条直线的位置关系、垂线段性质求解判断即可． 【详解】解：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种，故正确，符合题意； 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故正确，符合题意； 相等的两个角不一定是对顶角，故错误，不符合题意； 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故错误，不符合题意； 如果一条直线和两条平行直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直，故错误，不符合题意； 综上，符合题意得有个， 故选：B． 【点睛】此题考查了对顶角、两条直线的位置关系、垂线段性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 39．如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE在∠AOD内部，且OE⊥CD于点O，若∠AOC＝35°，则∠BOE的度数为（  ） A．120° B．110° C．125° D．115° 【答案】C 【分析】根据垂直定义可得∠EOD=90°，再根据对顶角相等可得∠AOC=∠BOD=35°，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵OE⊥CD， ∴∠EOD=90°， ∵∠AOC=35°， ∴∠AOC=∠BOD=35°， ∴∠BOE=∠EOD+∠DOB=125°， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线，邻补角、对顶角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 40．如图，已知，，是的平分线，，则（   ） A．射线的方向为东偏北 B．射线的方向为北偏东 C．射线的方向为西偏南 D．射线的方向为南偏西 【答案】D 【分析】本题主要考查了方向角，角平分线的定义，垂直的定义，熟悉掌握角度的运算是解题的关键． 根据，，是的平分线，求出的度数，即可判断A和B，再求出的度数，通过垂直的定义求出即可判断C和D． 【详解】解：∵，，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴射线的方向为北偏东或东偏北，故A和B错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线的方向为西偏南或南偏西，故C错误，D正确； 故选：D． 41．如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，,故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：      则， ∴． 即的最小值为． ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 故选：B． 【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 二.填空题 42．下列说法中：①延长射线AB；②经过三点一定能画出三条直线；③如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；④点C是直线AB上的点，如果，则点C为AB的中点．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据直线，射线，线段和中点的定义判断对错求解． 【详解】解：①射线无限长，不可延长，故①错误． ②经过三点一定能画出1或3条直线，故②错误． ③如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，相等的两个角不一定是对顶角，故③错误． ④点C是直线AB上的点，当点C在点A 的左侧时，也可以满足，但点C不是AB的中点．故④错误． 综上所述0个正确． 故选：A． 【点睛】本题考查直线，射线，线段和中点的定义和性质，解题的关键是数量掌握基本定义及性质． 43．下列说法错误的是（    ） A．如图（1），建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释是：两点确定一条直线． B．如图（2），将甲，乙两把尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校定是直的，那么乙尺不是直的，判断依据是：经过两点有且只有一条直线． C．如图（3），要测量两堵围墙形成的的度数，但人不能进入围墙，可先延长得到，然后测量的度数，再计算出的度数，其中依据的原理是：等角的余角相等． D．如图（4），从小明家到学校原有三条路线：路线①；路线②；路线③，后又开通了一条直道，路线④，这四条路线中路线④路程最短，其中依据的原理是：两点之间线段最短． 【答案】C 【分析】根据对两点确定一条直线、经过两点有且只有一条直线、互余、邻补角、两点之间线段最短即可判断． 【详解】解：A、应用了知识“两点确定一条直线”，故正确，不符合题意； B、应用了知识“经过两点有且只有一条直线”，故正确，不符合题意； C、应用了知识邻补角，而不是等角的余角相等，故错误，符合题意； D、应用了知识“两点之间线段最短”，故正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了两点确定一条直线、经过两点有且只有一条直线、互余、邻补角、两点之间线段最短等知识，解题的关键是读懂实际情境，结合数学知识进行理解． 44．如图，直线，相交于点，在内部画射线OA，使OC恰为的平分线，在内部画射线OB，使，将直线绕点旋转，下列数据与大小变化无关的是（    ） A．的度数 B．的度数 C．的度数 D．的度数 【答案】B 【分析】根据角平分线和对顶角相等分别找到与各个选项的角度的关系即可． 【详解】∵，相交于点， ∴=，A选项不符合题意； ∵OC恰为的平分线， ∴=，D选项不符合题意； ∵=180°- ∴=180°-，C选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查对顶角相等、角平分线的定义，准确找到与各个选项的角度的关系最后利用排除法得到正确答案是解题的关键． 45．如图，在线段上，下列说法：①直线上以为端点的线段共有6条；②图中有2对互补的角；③若，，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为；④若，，点F是线段上任意一点，则点F到点的距离之和最大值为15，最小值为11，其中说法正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了线段的计数、互补角的概念、角的度数和计算以及线段上点到多个点的距离之和的最值问题，解题的关键是掌握线段计数的方法、互补角的定义、角的和差关系以及利用坐标或线段和差分析距离之和的最值． 【详解】解：①以为端点的线段、、、、、共6条，故①正确； ②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即和互补，和互补，故②正确； ③由，，根据图形可以求出，故③错误； ④当F在线段上，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为故④错误． 因此正确的个数共有2个. 故选：B． 46．如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝120°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（    ） A．5 B．6 C．5或23 D．6或24 【答案】D 【分析】分别讨论ON的反向延长线恰好平分锐角∠AOC和ON在∠AOC的内部；两种情况，根据角平分线的定义及角的和差关系即可得答案． 【详解】∵∠BOC=120°， ∴∠AOC=60°， ①如图，当ON的反向延长线恰好平分锐角∠AOC时， ∴∠BON=∠AOC=30°， 此时，三角板旋转的角度为90°−30°=60°， ∴t=60°÷10°=6； ②如图，当ON在∠AOC的内部时， ∴∠CON=∠AOC=30°， ∴三角板旋转的角度为90°+120°+30°=240°， ∴t=240°÷10°=24； ∴t的值为：6或24． 故选：D． 【点睛】此题考查了角平分线的定义及角的运算，解题的关键是灵活运用分类讨论的思想． 三.解答题 47．按照下列要求完成画图及相应的问题解答． （1）画直线； （2）画； （3）画线段； （4）过点画直线的垂线，垂足为点； （5）点到直线的距离是线段 的长度﹒ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；（5）CD 【分析】（1）画直线AB即可； （2）画∠BAC即可； （3）画线段BC即可； （4）过C点画直线AB的垂线，交直线AB于点D即可； （5）根据点到直线的距离即可得点C到直线AB的距离． 【详解】解： 如图所示： （1）直线AB即为所求作的图形； （2）∠BAC即为所求作的图形； （3）线段BC即为所求作的图形； （4）过C点画直线AB的垂线，交直线AB于点D，CD即为所求作的图形； （5）点C到直线AB的距离为线段CD的长． 【点睛】本题考查了作图，作直线、射线、线段、垂线、点到直线的距离，解决本题的关键是根据语句准确画出图形． 48．如图，直线，相交于点，射线平分，，若，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线定义，垂直定义，由对顶角相等可得，又平分，则，然后通过垂直定义得到，最后由角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 49．如图，直线和相交于点把分成两部分，且，平分． (1)如图1，如果，求的度数； (2)如图2，如果，则的度数为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义． （1）求解，，，结合角平分线的定义进一步求解即可． （2）设，可得，，，，进一步列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：设， ∵，平分， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 50．综合与实践 【模型建立】 （1）如图1，在与中，D是边上的动点，，，，连接． ①求的最小值； ②判断，，之间的数量关系，并证明． 【模型应用】 （2）如图2，已知是等边三角形，，，求的最小值． 【答案】（1）①2；②，理由见解析 （2） 【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得出要使最小，即最小，即时，最小．再由等腰直角三角形的性质求解即可； ②先证明，得到，，即可得出，再由勾股定理求解即可． （2）延长到点，使．先证明，得到，，从而得出，即可证得是等边三角形，得到．当时，最短，然后由等边三角形的性质与勾股定理求解． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴， ，． 要使最小，则最小，当时，最小． 由等腰直角三角形的性质，可得此时， ∴． ②． 证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ∴． 在中，由勾股定理得． ∵，， ． （2）如图，延长到点，使． ∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 当时，最短， 由等边三角的性质可知，． 由勾股定理得， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，全等三角形的判定与性质．此题是三角形综合题目，熟练掌握相关性质与判定的综合运用是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 相交线 *目录* 知识 点 梳理 1.相交线核心概念 2.相交形成的角 3.特殊相交--垂线 4.易错与注意事项 题型 清单 1.相交线 2.垂线的定义理解 3.画垂线 4.垂线段最短 5.点到直线的距离 6.对顶角的定义 7.对顶角相等 8.邻补角的定义理解 9.利用邻补角互补求角度 分层 提升 1.选择题(5) 2.填空题(5) 3.解答题(4) 知识点梳理 知识点1.相交线核心概念 定义：在同一平面内，有且只有一个公共点的两条直线叫做相交线，这个唯一的公共点叫做两条直线的交点。 注意：同一平面内，两条直线的位置关系仅有两种 —— 相交或平行，“有且只有一个公共点” 是相交线的本质特征。 知识点2.相交形成的角 在平面几何中，两条直线相交是基础位置关系，会形成两类核心角 ——对顶角和邻补角， 1.邻补角 定义：两条直线相交时，有一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角，叫做邻补角。 核心性质：邻补角互为补角，即它们的和为 180°。因为两个角有一条公共边，另一边在同一直线上，刚好构成一个平角（平角为 180°）。 2.对顶角 定义：两条直线相交时，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角没有公共边，这样的两个角叫做对顶角。 核心性质：对顶角相等。这是相交线角度计算的重要依据，可通过邻补角的性质推导（同角的补角相等）。 知识点3.特殊相交--垂线 一、垂线的定义 在同一平面内，两条直线相交成的四个角中，如果有一个角是直角（90°），那么这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 注意：垂线的定义必须满足两个条件 ——① 在同一平面内；② 相交成直角。缺少任何一个条件，都不能判定两条直线互相垂直。 二、垂线的表示方法 若直线 AB 与直线 CD 互相垂直，垂足为点 O，可记作：AB ⊥ CD（读作 “AB 垂直于 CD”），也可记作CD ⊥ AB，垂足可标注为 “AB ⊥ CD，垂足为 O”。 三、垂线的性质（重点考点） 1. 基本性质（过一点画垂线的唯一性）. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 2. 距离性质（垂线段最短） 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 知识点4.易错与注意事项 一、概念辨析易错点 1.对顶角与邻补角分不清 易错表现：觉得有公共顶点的角就是对顶角；把邻补角等同于 “和为 180° 的两个角”。 注意事项：对顶角要满足 “有公共顶点 + 两边互为反向延长线”；邻补角既要满足上述位置条件，又要满足两角和为 180°。 2.垂线与垂线段混淆 易错表现：说 “距离是垂线的长度”；画垂线时误画成垂线段。 注意事项：垂线是无限长的直线，垂线段是有端点的线段；点到直线的距离，是垂线段的长度。 二、性质应用易错点 1.对顶角性质用错 易错表现：否认 “对顶角的余角 / 补角相等”；把非对顶角按 “对顶角相等” 计算。 注意事项：对顶角一定相等，其餘角、补角也相等；用之前先确认是不是对顶角。 2.漏记垂线性质的前提 易错表现：忽略 “过一点有且只有一条直线与已知直线垂直” 的 “同一平面内” 条件。 注意事项：初中只学平面几何，默认在同一平面内应用该性质。 三、作图与计算易错点 1.作图不规范 易错表现：画垂线不标直角符号；垂足位置画错；垂线段没连好点与垂足。 注意事项：画垂线必须标 “┐”；用直尺和三角板按课本步骤画，垂线段要连接直线外一点和垂足。 2.角度计算漏条件 易错表现：忘记垂线形成的角是 90°；算邻补角时加减出错。 注意事项：邻补角和为 180°，对顶角相等，先标已知角和直角，再逐步计算。 四、图形识别易错点 1.复杂图形中角数错 易错表现：多条直线相交时，漏数、多数对顶角 / 邻补角；混淆同位角、内错角等概念。 注意事项：两条直线相交有 2 对对顶角、4 对邻补角；多条直线相交时，逐对分析两条直线的相交情况。 2.忽略隐藏的角 易错表现：垂直图形中，漏认邻补角。 注意事项：垂线形成 4 个直角，每个直角通常有两个邻补角，要全面观察。 （练习题） 题型1.相交线 1．下列说法中正确的是（   ） A．不相交的两条直线叫平行线 B．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离 C．互相垂直的两条线段一定相交 D．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．直线的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线交于点；④点在直线外；⑤直线两两相交．以上表述正确的有 ．（只填写序号）    3．两条直线斜交所形成的四个角中，有一个是，那么这两条直线的夹角的度数是 ． 4．平面内有n条直线，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型2.垂线的定义理解 5．如图，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6．两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是（    ）． A．有两个角相等 B．有两对角相等 C．有三个角相等 D．有四对邻补角 7．图为《天工开物》记载用于春（）捣谷物的工具“碓（）”的平面结构示意图，与水平线相交于点，于点，于点，．若，则的大小为 度． 8．如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，且其中一个角比另一个角的三倍少，则这两个角的度数分别为 ． 题型3.画垂线 9．过点向线段所在直线作垂线，正确的画法是（    ）A．B．C．D． 10．如图，在纸片上有一直线l，点A在直线l上，过点A作直线l的垂线、嘉嘉使用了量角器，过90°刻度线的直线a即为所求；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对 11．如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 12．在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型4.垂线段最短 13．设A，B，C是直线l上的点，P是直线l外一点，，，，则点P到直线L的距离（    ） A．等于 B．等于 C．不大于 D．等于 14．如图，在直角三角形中，，，，，点M是线段上的动点，则的最小值为（  ） A． B．6 C．8 D．10 15．观察图形，以下结论： ①线段的长必大于点A到直线l的距离； ②线段的长小于线段的长，根据是两点之间线段最短； ③图中共有两对角互为余角； ④线段的长是点D到直线的距离，正确的是 （填序号）． 16．如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ． 题型5.点到直线的距离 17．为直线l外一点，是直线l上三点，且，则点到直线l的距离为（   ） A． B． C．不大于 D．不小于 18．如图，直线、相交于点，，则直线、的夹角是 ．若于点，于点，则线段 的长度表示点到直线的距离． 19．如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．已知直线，a与b之间的距离为5，平面内有一点P，点P到a的距离是2，则点P到b的距离是 ． 题型6.对顶角的定义 21．下列说法正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．成对顶角的两个角不可能是直角 C．三条直线相交于同一点，共可构成6对对顶角 D．若，则与是对顶角 22．如图，直线、、相交于点O，的对顶角是 ，的邻补角是 ．若，，则 ， ． 23．我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，… （1）10条直线交于一点，对顶角有 对． （2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有 对． 24．6条直线相交于一点，有（　　）对不同的对顶角． A．30 B．42 C．36 D．40 题型7.对顶角相等 25．如图，直线相交于点O，射线平分，若，求的度数为（   ） A． B． C． D． 26．若与是对顶角，且，则的补角是 °． 27．下列说法正确的有（   ） 如果，那么、、互为补角； ，那么是的余角； 互为补角的两个角的平分线互相垂直； 有公共顶点且相等的角是对顶角； 如果两个角相等，那么它们的余角也相等． A．个 B．个 C．个 D．个 28．已知，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝70°，过点O作射线OE，使∠BOE＝130°，则∠COE＝ ． 题型8.邻补角的定义理解 29．如图，两条直线相交形成四个角，可以用推理说明图中的． 推理过程： 因为：，（平角等于）， 所以：，也就有：，这里运用了（ ） A．加法交换律 B．等式的性质 C．加法结合律 30．和是邻补角，且比大，则 度， 度． 31．有下列几种说法：①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角；②两条直线相交所成的四个角相等；③两条直线相交所成的四个角中有一组邻补角相等；④两条直线相交对顶角相等．其中能判断两条直线互相垂直的序号有 ． 32．如图，已知，点P为a与b之间一点，过点P作9条不同的直线均与直线a相交，探究图中相交线形成的所有角中，互为邻补角的对数是（　　） A． B．180 C． D． 题型9.利用邻补角互补求角度 33．如图，∠1还可以用 表示，若∠1=62°，那么∠BCA= 度． 34．如图，过直线上一点作直线，已知，（   ）                         A． B． C． D． 35．小明从A处向北偏东方向走到达B处，小亮也从A处出发向南偏西方向走到达C处，则的度数为 度． 36．如图，直线和相交于点O，，则的度数为（    ） A． B． C．94° D．93° 分层提升题 一.选择题 37．点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是  (    ) A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm 38．下列说法正确的是（   ） ①在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种； ②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ③相等的两个角是对顶角； ④两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ⑤如果一条直线和两条直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直． A．个 B．个 C．个 D．个 39．如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE在∠AOD内部，且OE⊥CD于点O，若∠AOC＝35°，则∠BOE的度数为（  ） A．120° B．110° C．125° D．115° 40．如图，已知，，是的平分线，，则（   ） A．射线的方向为东偏北 B．射线的方向为北偏东 C．射线的方向为西偏南 D．射线的方向为南偏西 41．如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 二.填空题 42．下列说法中：①延长射线AB；②经过三点一定能画出三条直线；③如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；④点C是直线AB上的点，如果，则点C为AB的中点．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 43．下列说法错误的是（    ） A．如图（1），建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释是：两点确定一条直线． B．如图（2），将甲，乙两把尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校定是直的，那么乙尺不是直的，判断依据是：经过两点有且只有一条直线． C．如图（3），要测量两堵围墙形成的的度数，但人不能进入围墙，可先延长得到，然后测量的度数，再计算出的度数，其中依据的原理是：等角的余角相等． D．如图（4），从小明家到学校原有三条路线：路线①；路线②；路线③，后又开通了一条直道，路线④，这四条路线中路线④路程最短，其中依据的原理是：两点之间线段最短． 44．如图，直线，相交于点，在内部画射线OA，使OC恰为的平分线，在内部画射线OB，使，将直线绕点旋转，下列数据与大小变化无关的是（    ） A．的度数 B．的度数 C．的度数 D．的度数 45．如图，在线段上，下列说法：①直线上以为端点的线段共有6条；②图中有2对互补的角；③若，，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为；④若，，点F是线段上任意一点，则点F到点的距离之和最大值为15，最小值为11，其中说法正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 46．如图，点O在直线AB上，过O作射线OC，∠BOC＝120°，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边OM与OB重合，边ON在直线AB的下方．若三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（    ） A．5 B．6 C．5或23 D．6或24 三.解答题 47．按照下列要求完成画图及相应的问题解答． （1）画直线； （2）画； （3）画线段； （4）过点画直线的垂线，垂足为点； （5）点到直线的距离是线段 的长度﹒ 48．如图，直线，相交于点，射线平分，，若，求的度数． 49．如图，直线和相交于点把分成两部分，且，平分． (1)如图1，如果，求的度数； (2)如图2，如果，则的度数为___________． 50．综合与实践 【模型建立】 （1）如图1，在与中，D是边上的动点，，，，连接． ①求的最小值； ②判断，，之间的数量关系，并证明． 【模型应用】 （2）如图2，已知是等边三角形，，，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $