3.1 列代数式表示数量关系 第3课时 反比例关系 课件- 2025--2026学年人教版数学七年级上册

人教版（2024）版数学7年级上册 第三章 代数式 3.1 列代数式表示数量关系- 第3课时 反比例关系 1. 知道反比例关系的概念 2. 掌握反比例关系的表示 3.会判断两个量是否成反比例关系 3.1.3 反比例关系 第一页：情境引入——发现特殊的数量关系 生活中存在许多相互关联的量，它们的变化往往遵循一定规律。请观察以下两个场景，思考其中变量的关系： 场景1：运输任务中的时间与速度 一批货物共120吨，需要用货车运完。若货车行驶速度不同，完成运输所需的时间也会不同，具体数据如下表： 行驶速度（千米/时） 20 30 40 60 80 运输时间（时） 6 4 3 2 1.5 场景2：铺地中的方砖面积与块数 用正方形方砖铺一间面积为24平方米的客厅，方砖的面积与所需块数如下表： 方砖面积（平方米） 0.3 0.4 0.6 0.8 1.2 所需块数（块） 80 60 40 30 20 思考：每个场景中的两个变量如何变化？它们的乘积有什么特点？ 第二页：探究新知——反比例关系的定义 1. 分析变量规律 结合上一页的场景数据，我们进行如下分析： - 场景1：速度（v）增大时，时间（t）随之减小；且“速度×时间=货物总吨数”，即v×t=120（定值）。 - 场景2：方砖面积（S）增大时，块数（n）随之减小；且“方砖面积×块数=客厅总面积”，即S×n=24（定值）。 共同点：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随之变化，且它们的乘积始终是一个固定的数。 2. 反比例关系的定义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 3. 反比例关系的字母表示 若用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（k为非零定值），则反比例关系可表示为： x × y = k（一定） 或 y = $\frac{k}{x}$（k≠0） 注意：k必须是固定不变的非零常数，若乘积不是定值，则两个量不成反比例关系。 第三页：核心特征——反比例关系的判断依据 判断两种量是否成反比例关系，需同时满足以下两个条件，缺一不可： 1. 条件一：两个量是相关联的量——一个量的变化会引起另一个量的变化（如“速度”变化会引起“时间”变化，二者相关联；而“身高”和“成绩”无关联，不可能成反比例）。 2. 条件二：相对应的两个数的乘积一定——取两种量中任意几组对应值，计算它们的乘积，若结果始终相同（为定值k），则满足条件；若乘积不固定，则不成反比例。 小练习：判断下列量是否成反比例关系 - （1）路程一定，汽车行驶的速度和时间； 解析：速度×时间=路程（定值），满足两个条件，成反比例。 - （2）长方形的面积一定，它的长和宽； 解析：长×宽=面积（定值），满足两个条件，成反比例。 - （3）小明的年龄和身高； 解析：年龄和身高无固定乘积关系，不成反比例。 - （4）总价一定，商品的单价和购买数量； 解析：单价×数量=总价（定值），满足两个条件，成反比例。 第四页：例题解析——反比例关系的应用 反比例关系的应用主要涉及“判断关系”“利用定值求未知量”两类问题，核心是抓住“乘积一定”这一关键。 例1：判断反比例关系并说明理由 下列各题中的两种量是否成反比例关系？请说明理由。 1. （1）加工一批零件，工作效率和工作时间； 解：成反比例关系。理由：工作效率×工作时间=零件总数（定值），满足反比例关系的两个条件。 2. （2）一个人的体重和他的饮食量； 解：不成反比例关系。理由：体重和饮食量的乘积不是固定值，饮食量相同体重可能不同，不满足“乘积一定”的条件。 3. （3）用一笔钱购买文具，文具的单价和购买的数量； 解：成反比例关系。理由：单价×数量=总钱数（定值），满足反比例关系的两个条件。 例2：利用反比例关系求未知量 一批货物，若用载重8吨的卡车运，需要15辆才能运完。若改用载重10吨的卡车运，需要多少辆？ 分析：货物总质量是定值，“卡车载重×车辆数=货物总质量”，二者成反比例关系。 解答： 1. 步骤1：计算货物总质量（定值k） 总质量=8×15=120（吨） 2. 步骤2：设需要x辆载重10吨的卡车，根据反比例关系列等式 10×x=120 3. 步骤3：求解x x=120÷10=12（辆） 答：需要12辆。 第五页：易错警示——常见误区剖析 1. 误区一：混淆“反比例”与“正比例” 错误：认为“一个量增大另一个量减小”就是反比例关系，如“减数增大，差减小”，错判为反比例。 剖析：正比例关系是“比值一定”，反比例是“乘积一定”；“减数×差”不是定值，二者不成比例。 区分技巧：列表计算“比值”或“乘积”，比值一定为正比例，乘积一定为反比例。 2. 误区二：忽略“相关联的量”这一前提 错误：判断“冰箱的容积和耗电量”成反比例关系。 剖析：冰箱容积和耗电量无直接关联，容积大的冰箱耗电量不一定小，二者乘积也不是定值，不成比例。 3. 误区三：未确认“乘积是否为定值” 错误：判断“正方形的边长和面积”成反比例关系。 剖析：边长×面积=边长³，不是定值；且面积=边长²，二者是平方关系，不成比例。 第六页：能力提升——反比例关系的拓展应用 例：多变量中的反比例关系 某工程队修一条公路，原计划每天修20米，15天修完。实际施工时，每天修的长度是原计划的1.2倍，实际多少天能修完？ 分析：公路总长度是定值，“每天修的长度×天数=总长度”，二者成反比例关系；先求实际每天修的长度，再利用反比例关系求解天数。 解答： 1. 步骤1：计算公路总长度（定值k） k=20×15=300（米） 2. 步骤2：求实际每天修的长度 实际每天修：20×1.2=24（米） 3. 步骤3：设实际x天修完，列等式求解 24x=300 → x=300÷24=12.5（天） 答：实际12.5天能修完。 拓展练习：比例关系的综合判断 判断下列两种量成正比例、反比例还是不成比例，并说明理由： - （1）圆的周长和它的直径；（正比例，周长/直径=π，比值一定） - （2）圆的面积和它的半径；（不成比例，面积/半径=πr，不是定值） - （3）被除数一定，除数和商；（反比例，除数×商=被除数，乘积一定） 第七页：课堂小结——核心要点回顾 1. 反比例关系的定义：两种相关联的量，乘积一定，这两种量成反比例关系。 2. 字母表示：x×y=k（一定）或y=$\frac{k}{x}$（k≠0）。 3. 判断方法：一看是否相关联，二看乘积是否为定值。 4. 应用关键：先找到“定值k”，再利用“乘积一定”列等式求解未知量。 5. 与正比例的区分：正比例“比值一定”，反比例“乘积一定”，可通过计算比值或乘积区分。 学习目标 一般地，对于工程问题，当工作效率保持不变，工作量与工作时间是成正比的量. 工作效率×工作时间 = 工作量 （保持不变） 什么关系？ 情景导入 问题 北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市，在冬季奥运会前，某赛场计划造雪260 000 m3.解答下列问题： （1）根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写表3.1-1. 每天造雪量/m3 5 000 5 200 6 500 … 造雪天数 … 表3.1-1 造雪总量 造雪天数= 52 50 40 探究新知 4 （2）每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关系？ 每天造雪量/m3 5 000 5 200 6 500 … 造雪天数 … 表3.1-1 52 50 40 每天造雪量变大 造雪天数变小 可以发现，造雪天数随着每天造雪量的变大而变小，而且造雪天数与每天造雪量的乘积一定，总是260 000. 像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系. 探究新知 5 如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积（k是一个确定的值，且k≠0），反比例关系可以用xy=k或y=来表示，其中k叫作比例系数. 无论x，y如何变化，x与y的乘积始终等于常数k. 探究新知 6 例1 如图，四个圆柱形容器内部的底 面积分别为10 cm2，20 cm2，30 cm2，60 cm2. 分别往这四个容器中注入300cm3的水. （1）四个容器中水的高度分别是多少厘米？ 分析：题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量，它们之间具有关系：圆柱的体积=底面积×高，高= . 解：（1）四个容器中水的高度分别为 =30（cm）, =15（cm）,=10（cm）, =5（cm）. 探究新知 7 例1 （2）分别用x（单位：cm2）和y （单位：cm）表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示y与x的关系，y与x成什么比例关系？ 容器内部的底面积×水的高度=水的体积 水的高度= x y =300 y = y与x成反比例关系. 探究新知 8 思考 生活中，成反比例关系的例子是很常见的.例如，在购买某种物品时，总价一定，购物的数量与商品的单价成反比例关系，你还能举出一些例子吗？ 机器加工一批零件，加工的总数量一定时，每小时加工的数量与加工的时间成反比例关系. 探究新知 9 知识点3 正比例与反比例关系的区别 正比例关系 反比例关系 两个相关联的量x，y的比值一定，这两个量就叫作正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系.即=k（k是一个确定的值，且k≠0）. 两个相关联的量x，y的乘积一定，这两个量就叫作反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.即xy=k（k是一个确定的值，且k≠0）. 探究新知 10 例2 判断下面各题中的两个量x，y是否成反比例关系，并说明理由. （1）普通投影仪灯泡的使用寿命约为1 500小时，它的可使用天数y（天）与平均每天使用的时间x（时）； 知识点3 正比例与反比例关系的区别 解：（1）y = 是反比例关系，因为y与x的积是定值. 探究新知 11 例2 判断下面各题中的两个量x，y是否成反比例关系，并说明理由. （2）一种商品的单价为a（元/件），所花费的钱数y（元）与购买的 件数x（件）； 知识点3 正比例与反比例关系的区别 解：（2）y = ax,不是反比例关系，因为y与x的比值是定值，是正比例关系. 探究新知 12 例2 判断下面各题中的两个量x，y是否成反比例关系，并说明理由. （3）小明应完成的作业量a一定，他已完成的作业量x和未完成的作业量y； 知识点3 正比例与反比例关系的区别 解：（3）x+y = a,不是反比例关系，因为y与x的和是定值. 探究新知 13 例2 判断下面各题中的两个量x，y是否成反比例关系，并说明理由. （4）一批零件300个，一个工人每小时做15个，人数x与完成任务所需的时间y. 知识点3 正比例与反比例关系的区别 解：（4）y = = ,是反比例关系，因为y与x的积是定值. x个工人每小时做15x个 探究新知 14 知识点 反比例关系 1.下列等式中，与 成反比例关系的是( ) B A. B. C. D. 探究新知 15 2.下列各组变量中，成反比例关系的是( ) B A.人的身高与年龄 B.汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 C.长方形的周长一定，它的长和宽 D.圆的周长与它的半径 探究新知 16 3.在总价、单价、数量这三个量中，当单价一定时，总价和数量成____ 比例关系；当总价一定时，单价和数量成____比例关系.（填“正”或 “反”） 正 反 探究新知 17 4.下表中和 两个量成反比例关系，请把表格填写完整. 2 40 5 0.1 50 100 0.25 12 探究新知 18 5.（8分）石衡高速开通后，极大方便了两地居民的出行，淇淇了解到 石衡高速主线全长约 ，一辆轿车从石家庄出发开往衡水，轿车到 达衡水所需的时间和行驶的平均速度 之间有怎样的关系？ 解：根据题意，得这辆轿车到达衡水所需时间 与行驶的平均速度 之间的关系式为，和 成反比例关系. 探究新知 19 6. 物理上用压强来表示压力产生的效果，压强越大， 压力的作用效果越明显.对于固体，物体的压力（单位： ）一定时， 压强与受力面积成反比例，其部分对应数值如下表，则 的值为 ( ) 受力面积（单位： ） 10 7 压强（单位： ） 70 98 140 C A.980 B.920 C.14 D.10 探究新知 20 7.某公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数 之间的关 系如下表： 每天运输的吨数 500 250 100 50 … 运输的天数 1 2 5 10 … 下列结论：①这批货物共有500吨；②用式子表示与 的关系是 ；③每天运输的吨数与运输的天数是反比例关系；④如果该公 司计划4天运完货物，则每天需要运输货物120吨.其中正确结论的个数 是( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 探究新知 21 课堂小结 反比例关系 反比例关系 正比例关系与反比例关系的区别 反比例关系的表示方法 探究新知 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系. 用 xy = k 或 来表示，其中 k 叫作比例系数. 课堂小结 谢谢观看！ $