精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第六十八中学集团校2025—2026学年上学期八年级期中考试数学科试题

乌市68中集团校2025/2026学年度第一学期期中阶段性检测 初二年级 数学试卷 一、选择题（本题共9小题，每小题3分，共27分） 1. 观察下面的网络图标，其中可以看成轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、不可以抽象成轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不可以抽象成轴对称图形，故本选项不符合题意； C、可以抽象成轴对称图形，故本选项符合题意； D、不可以抽象成轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 2. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质和三角形外角性质的应用，根据三角形外角性质求出，根据平行线性质得出，代入求出即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3. 下列图形中对称轴条数最多的是（ ）. A. 等边三角形 B. 正方形 C. 等腰三角形 D. 线段 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称轴的定义逐一判断出每种图形的对称轴条数，然后即可得出结论． 【详解】解：A． 等边三角形有3条对称轴； B． 正方形有4条对称轴； C． 等腰三角形有1条对称轴； D． 线段有2条对称轴． ∵4＞3＞2＞1 ∴正方形的对称轴条数最多． 故选B． 【点睛】此题考查的是轴对称图形对称轴条数的判断，掌握轴对称图形的定义是解决此题的关键． 4. 如图，中，与的平分线相交于点，过点作，则的周长为（ ） A. 11 B. 14 C. 13 D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和角平分线的定义以及等腰三角形的判定．熟练掌握两直线平行，内错角相等，以及等角对等边，是解题的关键．注意题目中既有角平分线又有平行线，往往会有等腰三角形．根据角平分线的定义，以及平行线的性质，得到均为等腰三角形即可得解． 【详解】分别是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 故选择：B． 5. 在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形特殊点(重心、内心、垂心、外心)的性质，解题的关键是理解 “游戏公平” 意味着凳子到 A、B、C 三点的距离相等，进而判断哪种特殊点到三角形三个顶点的距离相等． 先明确 “公平” 的本质：凳子位置到 A、B、C 三点距离相等；再分别回忆各选项特殊点的性质 —— 三边中线交点(重心)到顶点距离与到对边中点距离成；三条角平分线交点(内心)到三边距离相等；三边上高的交点(垂心)是高的交点，无到顶点距离相等的性质；三条垂直平分线交点(外心)到三个顶点距离相等，据此匹配符合条件的选项． 【详解】解：A、选项为三边中线的交点(重心) 重心的性质是到三角形顶点的距离与到对边中点的距离之比为，并非到三个顶点距离相等，无法保证游戏公平，此选项不符合题意； B、选项为三条角平分线的交点(内心) 内心的性质是到三角形三边的距离相等，而非到三个顶点距离相等，无法保证游戏公平，此选项不符合题意； C、选项为三边上高的交点(垂心) 垂心是三角形三条高的交点，无 “到三个顶点距离相等” 的性质，无法保证游戏公平，此选项不符合题意； D、选项为三条垂直平分线的交点(外心) 外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，此时凳子到 A、B、C 三名同学的距离相同，能保证游戏公平，此选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，、、、四点共线，，．要使，可添加的条件是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键：全等三角形的判定定理有等等． 【详解】解：∵， ∴， 添加条件，结合，不可以证明，故A不符合题意； 添加条件，结合，不可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件，结合不可以证明，故C不符合题意； 添加条件，则，即，结合，可以利用证明，故D符合题意； 故选：D． 7. 如图，直线DE过点A，且．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行同旁内角互补求出∠BAE，即可求出∠2． 【详解】∵， ∴， ∴， 即：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质，熟记平行线的基本性质是解题关键． 8. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径的画弧，分别交BA，BC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，则下列说法中不正确的是（） A. BP是∠ABC的平分线 B. AD=BD C. D. CD=BD 【答案】C 【解析】 【分析】A、由作法得BD是∠ABC的平分线，即可判定； B、先根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再由BP是∠ABC的平分线得出∠ABD＝30°＝∠A,即可判定； C，D、根据含30°的直角三角形，30°所对直角边等于斜边的一半，即可判定. 【详解】解：由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确； ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝30°＝∠A， ∴AD＝BD，所以B选项的结论正确； ∵∠CBD＝∠ABC＝30°， ∴BD＝2CD，所以D选项的结论正确； ∴AD＝2CD， ∴S△ABD＝2S△CBD，所以C选项结论错误． 故选C． 【点睛】此题考查含30°角的直角三角形的性质，尺规作图（作角平分线），解题关键在于利用三角形内角和进行计算. 9. 如图，在中，是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、等角的余角相等等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明是解答的关键． 先根据垂直定义和等角的余角相等证得，再利用可判断①正确；再证明可判断②正确；利用全等三角形的面积相等可判断③正确；根据全等三角形的性质和三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】在中，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， 故③正确； 中， ， 故④错误， 综上，正确的是①②③， 故选：C． 二、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是_____． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的性质，关键是弄清人字梯与拉杆构成三角形；根据构成的图形是三角形即可解答. 【详解】解：由于人字梯与拉杆构成三角形，这样可以使梯子稳固， 所以，依据是三角形具有稳定性； 故答案为：三角形具有稳定性 ． 11. 在中，：：1：2：3，于点D，若，则______ 【答案】2.5 【解析】 【分析】先求出△ABC是∠A等于30°的直角三角形，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解． 【详解】解：根据题意，设∠A、∠B、∠C为k、2k、3k， 则k+2k+3k=180°， 解得k=30°， 2k=60°， 3k=90°， ∵AB=10， ∴BC=AB=5， ∵CD⊥AB， ∴∠BCD=∠A=30°， ∴BD=BC=2.5． 故答案为2.5． 【点睛】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质和三角形内角和定理，掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半、求出△ABC是直角三角形是解本题的关键． 12. 已知点，关于轴对称，则_______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了点与坐标，关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此作答即可． 【详解】解：因点，关于轴对称， 所以，， 故， 故答案为：7． 13. 如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为．若，则的度数为 _________． 【答案】##125度 【解析】 【分析】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质的运用，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 根据长方形的性质和，可以得出的度数，进而得出的度数，根据平行线的性质得出的度数，根据折叠重合的角相等得出，最后利用平行线的性质和折叠的性质即可得出答案． 【详解】解：四边形为长方形， ，． 在直角三角形中，， ， ， 根据折叠重合的角相等，得． ， ， 再根据折叠的性质得到． 故答案为：． 14. 如图，中，，，于E，于D， ，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据垂线的性质证得，进而证得，由全等三角形的性质证得、，据此计算的长即可． 【详解】解：、，、 、 在和中 、 故答案为：． 15. 如图，在中，面积是的垂直平分线分别交边于两点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小作为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键．由垂直平分线的性质可得A与B关于对称，连接，交于点P，则当三点共线时，周长最小为的长． 【详解】∵是线段的垂直平分线， ∴A与B关于对称，连接，交于点P， ∵， ∴周长， 当三点共线时，周长最小， ∵为边的中点，， ∴， 的面积为， ， ， ， 的周长的最小值， 故答案为：． 三、计算与解答题（16题6分，17题6分，18题12分，19题5分，20题6分，21题6分，22题6分，23题8分，共55分） 16. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式运算，幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的、积的乘方运算法则，同底数幂的乘法运算法则． （1）利用积的乘方运算法则计算； （2）利用幂的、积的乘方运算法则计算； （3）利用幂的、积的乘方、同底数幂的乘法运算法则计算． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：． 17. 如图，点D，E分别在AC，AB上，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）65° 【解析】 【分析】（1）根据，，可得AB=AC，可证得△ABD≌△ACE，即可求证； （2）根据△ABD≌△ACE，可得∠B=∠C=30°，从而得到∠ADB=95°，再由三角形外角的性质，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，． ∴AD+CD=AE+BE，即AB=AC， 在△ABD和△ACE中， ∵AD=AE，∠A=∠A，AB=AC， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE； 【小问2详解】 解：∵△ABD≌△ACE，， ∴∠B=∠C=30°， ∵， ∴∠ADB=180°-∠A-∠B=95°， ∵∠ADB=∠C+∠COD， ∴∠COD=65°． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，是解题的关键． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为 （1）在图中作出关于轴对称的． （2）写出的坐标(直接写答案)∶ ______， _______，___________． （3）的面积为______(直接写答案)． （4）在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）图见解析 （2） （3） （4）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质画出，即可； （2）根据点在坐标轴中的位置，直接写出点的坐标即可； （3）借助网格求三角形的面积即可； （4）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，进而写出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 由图可知：， 故答案为：； 【小问3详解】 的面积为； 【小问4详解】 如上图，点即为所求，由图可知：． 19. 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图）．求作这个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了复杂作图，等腰三角形的性质．首先作射线，截取，再作的中垂线，垂足为O，然后截取，再连接即可． 【详解】解：如图，即所求． ． 20. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．求和的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，外角的性质，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，外角的性质进行解答即可． 【详解】解：∵在中，是高， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵在中， ，是角平分线， ∴，， ∴， ∴． 21. 如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，则的长为多少？ 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质： （1）根据线段垂直平分线的性质可得，，等量代换可得； （2）先根据已知条件得出，再通过等量代换得出，进而得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA(如图1)． (1)求证：∠BAD=∠EDC； (2)若点E关于直线BC的对称点为M(如图2)，连接DM，AM．求证：DA=AM． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出∠BAC=∠ACB=60°，然后根据三角形的内角和和外角性质，进行计算即可. （2）根据轴对称的性质，可得DM=DA，然后结合（1）可得∠MDC=∠BAD，然后根据三角形的内角和，求出∠ADM=60°即可. 【详解】解：(1)如图1， ∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°， ∴∠BAD=60°﹣∠DAE，∠EDC=60°﹣∠E， 又∵DE=DA， ∴∠E=∠DAE， ∴∠BAD=∠EDC． (2)由轴对称可得，DM=DE，∠EDC=∠MDC， ∵DE=DA， ∴DM=DA， 由(1)可得，∠BAD=∠EDC， ∴∠MDC=∠BAD， ∵△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°﹣∠B=120°， ∴∠MDC+∠ADB=120°， ∴∠ADM=60°， ∴△ADM是等边三角形， ∴AD=AM． 【点睛】本题主要考查了轴对称和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质. 23. 如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，点D在AB边上运动（D不与A、B重合），连结CD．作∠CDE=30°，DE交AC于点E． （1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是 ； （2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)、直角三角形；(2)、△ECD可以是等腰三角形，∠AED=60°或105°. 【解析】 【分析】(1)、由DE∥BC得到∠BCD=∠CDE=30°，再由∠ACB=120°，得到∠ACD=120°﹣30°=90°，则△ACD是直角三角形； (2)、分类讨论：当∠CDE=∠ECD时，EC=DE；当∠ECD=∠CED时，CD=DE；当∠CED=∠CDE时，EC=CD；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算． 【详解】(1)、∵△ABC中，AC=BC， ∴∠A=∠B===30°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B=30°， 又∵∠CDE=30°， ∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=30°+30°=60°， ∴∠ACD=180°﹣∠A﹣∠ADC=180°﹣30°﹣60°=90°， ∴△ACD是直角三角形； 故答案为:直角三角形 (2)、△ECD可以是等腰三角形．理由如下： ①当∠CDE=∠ECD时，EC=DE， ∴∠ECD=∠CDE=30°， ∵∠AED=∠ECD+∠CDE， ∴∠AED=60°， ②当∠ECD=∠CED时，CD=DE， ∵∠ECD+∠CED+∠CDE=180°， ∴∠CED===75°， ∴∠AED=180°﹣∠CED=105°， ③当∠CED=∠CDE时，EC=CD， ∠ACD=180°﹣∠CED﹣∠CDE=180°﹣30°﹣30°=120°， ∵∠ACB=120°， ∴此时，点D与点B重合，不合题意． 综上，△ECD可以是等腰三角形，此时∠AED的度数为60°或105° 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌市68中集团校2025/2026学年度第一学期期中阶段性检测 初二年级 数学试卷 一、选择题（本题共9小题，每小题3分，共27分） 1. 观察下面的网络图标，其中可以看成轴对称图形的是( ) A B. C. D. 2. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中对称轴条数最多的是（ ）. A. 等边三角形 B. 正方形 C. 等腰三角形 D. 线段 4. 如图，中，与的平分线相交于点，过点作，则的周长为（ ） A. 11 B. 14 C. 13 D. 19 5. 在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 6. 如图，、、、四点共线，，．要使，可添加的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线DE过点A，且．若，，则度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径的画弧，分别交BA，BC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，则下列说法中不正确的是（） A. BP是∠ABC的平分线 B. AD=BD C. D. CD=BD 9. 如图，在中，是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③④ 二、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是_____． 11. 在中，：：1：2：3，于点D，若，则______ 12 已知点，关于轴对称，则_______． 13. 如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为．若，则的度数为 _________． 14. 如图，中，，，于E，于D， ，，则的长为________． 15. 如图，在中，的面积是的垂直平分线分别交边于两点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小作为_______． 三、计算与解答题（16题6分，17题6分，18题12分，19题5分，20题6分，21题6分，22题6分，23题8分，共55分） 16. 计算： （1） （2） （3） 17. 如图，点D，E分别在AC，AB上，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为 （1）在图中作出关于轴对称的． （2）写出的坐标(直接写答案)∶ ______， _______，___________． （3）面积为______(直接写答案)． （4）在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标． 19. 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图）．求作这个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．求和的度数． 21. 如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，则的长为多少？ 22. 在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA(如图1)． (1)求证：∠BAD=∠EDC； (2)若点E关于直线BC的对称点为M(如图2)，连接DM，AM．求证：DA=AM． 23. 如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，点D在AB边上运动（D不与A、B重合），连结CD．作∠CDE=30°，DE交AC于点E． （1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是 ； （2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $