精品解析：四川省广安友谊中学2025-2026学年九年级上学期期中测试数学试卷

四川省广安友谊中学2025年下期 初2023级半期考试试题 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷（1～6页）和答题卡两部分． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上的相应位置，非选择题用0.5毫米黑色字迹签字笔答在答题卡上的相应位置．超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；作图题应先用铅笔画，确定不修改后，再用黑色字迹签字笔描黑． 3．考试结束后，只交答题卡． A卷（共100分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（　　） A. 0.620 B. 0.618 C. 0.610 D. 1.000 3. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x增大而增大 5. 某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 6. 已知的半径为6，点P到圆心O的距离为4，则点P在（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 无法确定 7. 如图，是的外接圆，作于点，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A. B. C. D. 9. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11. 内接于，若，，，则的半径是________． 12. 函数的最小值是___________． 13. 如图，正六边形的边长为3，B，F在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为___________． 14. 已知是关于的一元二次方程，则___________． 三、解答题：本题共5小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）； （3）． 16. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 17. 目前人工智能市场分为A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次共调查了_____人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为_____； （2）该学校根据调查结果计划开展一门社团课，从众数的角度考虑，应将主题定为_____类（填A、B、C或D）； （3）将四个类型的图标依次制成A、B、C、D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，用树状图或列表求抽取到的两张卡片内容相同的概率． 18. 某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于20元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若此类产品的日销售利润为150元，求销售价应定为多少元； （3）求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 19. 如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． （1）求的长． （2）已知，求的长． B卷（共50分） 四、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 20. 如图，的对角线，相交于点，、过点，且点，在边上，点，在边上，向内部投掷飞镖（每次均落在内，且落在内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为_______． 21. 已知点和关于原点对称，则的值是_______． 22. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式为________． 23. 若、是方程的两根，则的值是_____． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上；将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上；按照这种旋转方式依次进行下去……，则点的坐标为__________． 五、解答题：本题共3小题，共30分．解答应写出证明过程或演算步骤． 25. 如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的半径． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点、分别在轴、轴上，，，将线段绕点逆时针旋转，得到线段． （1）如图1，求点的坐标； （2）若点是轴上一个动点， ①当时，求点的坐标． ②求周长的最小值． 27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的一个动点． （1）求该二次函数的解析式． （2）若点在直线的下方，则当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出此时点的坐标以及的面积的最大值． （3）若是轴上的一动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省广安友谊中学2025年下期 初2023级半期考试试题 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷（1～6页）和答题卡两部分． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上的相应位置，非选择题用0.5毫米黑色字迹签字笔答在答题卡上的相应位置．超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；作图题应先用铅笔画，确定不修改后，再用黑色字迹签字笔描黑． 3．考试结束后，只交答题卡． A卷（共100分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：A选项：该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故A选项符合题意； B选项：该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意． 故选：A． 2. 如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（　　） A. 0.620 B. 0.618 C. 0.610 D. 1.000 【答案】B 【解析】 【分析】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 结合给出的图形以及在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，解答即可． 【详解】解：由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618． 故选B． 3. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一元二次方程的一般形式为，其中叫做一次项，b叫做一次项系数解答即可． 【详解】解：根据题意，得一元二次方程的一次项系数， 故选：B． 4. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键 由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标，进一步可得出其增减性，即可得出答案． 【详解】解：抛物线中， A．因为，所以抛物线开口向下，故A不符合题意； B．由题意知：抛物线的对称轴为直线，故B不符合题意； C．由题意知：抛物线的顶点坐标是，故C符合题意； D．时，y随x增大而减小，故D不符合题意； 故选：C． 5. 某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 6. 已知的半径为6，点P到圆心O的距离为4，则点P在（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据点P到圆心O的距离小于圆的半径，可知点P在内． 本题主要考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离小于圆的半径，点在圆内，是解题关键． 【详解】∵的半径为6，点P到圆心O的距离为4，且， ∴点P在内． 故选：A． 7. 如图，是的外接圆，作于点，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角得到，然后根据等边对等角求的度数即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和圆锥的侧面展开图．圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．将圆锥的侧面展开如图所示，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． 【详解】解：如图，将圆锥侧面沿母线展开，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线．     ∵， ∴ ，即． ∵， ∴ ． ∴ 小虫爬行的最短距离为． 故选：D 9. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】解：连接， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． ∴截面圆中弦的长为． 故选：C． 10. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，根据二次函数的图象与性质，逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点，， ∴抛物线对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， 即，故①正确； 对称轴为直线， 整理得，故②正确； 由图象可知，当时，即图象在x轴上方时， 或，故③错误， 由图象可知，当时，， 当时，， ， 即， 则，故④不正确； ， ， ， ， ， 即，故⑤错误． 则正确的有①②，共2个， 故选：C． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11. 内接于，若，，，则的半径是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，三角形的外心的确定，解题的关键是熟练掌握锐角三角形外心在三角形内部，钝角三角形外心在三角形外部，直角三角形外心在斜边中点处． 先根据勾股定理逆定理确定是直角三角形，再根据直角三角形外心在斜边中点处求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵内接于， 则圆心为斜边的中点， ∴的半径， 故答案为：5． 12. 函数的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线，最值为．根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵, ∴抛物线开口向上， ∵函数的顶点坐标是， ∴函数的最小值是． 故答案为：． 13. 如图，正六边形的边长为3，B，F在上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的内角和，即可求得内角的度数，进而根据边长等于的半径，根据弧长公式求得弧的长，再根据底面圆的周长就是弧的长，求得底面圆的半径，进而根据母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形，求解． 【详解】解：∵正六边形的边长为3， ∴，， ∴弧的长为：， ∵图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图， ∴弧的长即为圆锥底面的周长， 设圆锥底面圆的半径为，则， 解得：， ∴圆锥的高， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的内角，圆锥的侧面展开图的弧长与底面圆的关系，母线、底面圆的半径和圆锥的高构成直角三角形的关系，勾股定理，弄清弧长与圆锥的底面圆的周长的关系及母线、底面圆的半径和高的关系是解题的关键． 14. 已知是关于的一元二次方程，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，先求出使得未知数最高次数为的的值，再排除二次项系数为的情况． 【详解】解：根据一元二次方程的定义，可知：， 解得：， 所以． 故答案为：． 三、解答题：本题共5小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），； （2），； （3），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． （）利用直接开平方法求解即可； （）利用公式法求解即可； （）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：， 或， ∴，． 16. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入即可解答． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 即当时，方程有两个实数根． 【小问2详解】 解：∵， ∴由根与系数的关系，得，． ∵， ． ， ． 解方程，得或． ∵， ． 17. 目前人工智能市场分为A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次共调查了_____人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为_____； （2）该学校根据调查结果计划开展一门社团课，从众数的角度考虑，应将主题定为_____类（填A、B、C或D）； （3）将四个类型的图标依次制成A、B、C、D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，用树状图或列表求抽取到的两张卡片内容相同的概率． 【答案】（1）400， （2）D （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、用列表法或树状图法求概率、求扇形统计图圆心角度数，求众数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用B类的人数除以所占的百分比即可得出总人数，用乘以C类所占的比例即可得出圆心角度数； （2）求出D类的人数，再根据众数的定义求解即可； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：此次共调查了人， ∴扇形统计图中C类对应的圆心角度数为； 故答案为：400，； 【小问2详解】 解：D类的人数为（人）， ∵， ∴D类的人数最多，即众数为D类，故选：D； 【小问3详解】 解：画出树状图如下： ； 由树状图可得，共有16种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有4种， 抽取到的两张卡片内容一致的概率为； 故答案为：． 18. 某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于20元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若此类产品的日销售利润为150元，求销售价应定为多少元； （3）求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售价应定为15元 （3），当销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键，结合实际情况利用二次函数的性质解决问题． （1）设函数关系式，把，代入求出k和b即可，由成本价为10元/千克，销售价不高于20元/千克，得出自变量x的取值范围； （2）根据日销售利润为150元，列出一元二次方程，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值； （3）根据销售利润销售量每一件的销售利润得到w和x的关系，利用二次函数的性质得最值即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式，把，代入得 ， 解得， ∴y与x之间的函数关系式； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元； 【小问3详解】 解：根据题意得：， 对称轴为直线，在对称轴的左侧随着x的增大而增大， ∵， ∴当时，最大，最大为200． 即当销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． 19. 如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． （1）求的长． （2）已知，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【小问1详解】 解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设， 则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； 【小问2详解】 解：，，， ∴半周长， 又， ， ， 则的长为． B卷（共50分） 四、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 20. 如图，的对角线，相交于点，、过点，且点，在边上，点，在边上，向内部投掷飞镖（每次均落在内，且落在内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率、中心对称的性质，正确记忆相关知识是解题关键． 所求概率等于阴影部分面积与平行四边形面积之比． 【详解】解：由题意可知：和关于点中心对称， ， ， 飞镖恰好落在阴影区域的概率． 故答案为：． 21. 已知点和关于原点对称，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中点关于原点对称，解决本题的关键是熟练掌握点关于原点对称的性质． 根据点关于原点对称，则对应坐标互为相反数，再由乘方运算计算即可． 【详解】解：点和关于原点对称， ，， ，， ． 故答案为：． 22. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数平移．根据二次函数平移的规律“左加右减，上加下减，即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，得， 再向上平移2个单位长度，得， 即． 故答案为： 23. 若、是方程的两根，则的值是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系得到的值，再根据一元二次方程根的定义推出，最后整体代入即可解决问题． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴当时， ， 将代入中， ， 同理可得，， ∵、是方程的两根， ∴， ∴ ， 故答案为：2． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上；将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上；按照这种旋转方式依次进行下去……，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了点的坐标规律变换，勾股定理，通过图形旋转，找到所有B点坐标之间的关系是本题的关键． 过旋转发现每两个偶数之间的相差相同长度，根据这个规律可以求得的横坐标，进而可得点的坐标． 【详解】解：点，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 五、解答题：本题共3小题，共30分．解答应写出证明过程或演算步骤． 25. 如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 平分， ； ， ； ， ， ， ， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键。 （1）连接，证明，得到，即可得证． （2）连接，，证明，求得、的长，半径即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接，， 是直径，是圆的切线， ， ； ， ； ， ， ， ， ，， ， 解得， ， 圆的半径为． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点、分别在轴、轴上，，，将线段绕点逆时针旋转，得到线段． （1）如图1，求点的坐标； （2）若点是轴上一个动点， ①当时，求点的坐标． ②求周长的最小值． 【答案】（1） （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）先理解题意，分别过点C和点A作，，根据旋转的性质，证明，再结合，，即可作答． （2）①先求出，再结合，则，得，再根据，故或，即可作答． ②先理解题意，作点关于轴的对称点，故，运用勾股定理得，周长，即可作答． 【小问1详解】 解：过点B作直线轴，再分别过点C和点A作，，如图所示： ∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， 则， 即点 则， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴在中， ∵， ∴， ∵点是轴上一个动点， ∴ 则， ∵ 则或， ∴点的坐标为或； ②如图所示：作点关于轴的对称轴点， ∵点在轴的正半轴上，， ∴， 则， 连接交轴于一点，连接， ∵旋转 ∴， ∵ ∴ 则周长 ． 【点睛】本题考查了点的坐标，全等三角形的判定与性质，勾股定理，最短路径，旋转性质，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的一个动点． （1）求该二次函数的解析式． （2）若点在直线的下方，则当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出此时点的坐标以及的面积的最大值． （3）若是轴上的一动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）当时，有面积最大值，此时点的坐标为； （3）存在，点的坐标为或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，解一元二次方程等知识点，灵活运用相关性质是解题的关键． （）直接运用待定系数法求解即可； （）过点作轴的平行线交直线于点，连接，再求得直线的解析式为，设 ，，则，进而用表示出的面积，最后运用二次函数的性质即可解答； （）由题意可得: ，，设，，然后分为对角线，分别根据平行四边形对角线相互平分解答即可． 【小问1详解】 解：由二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点， 将点，点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴二次函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴的平行线交直线于点，连接， 设直线的解析式为，将点，点坐标分别代入，得， 解得：， ∴直线得解析式为， 设，， 则 ∵ ， ∵， ∴当时，面积有最大值，此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形；理由如下： 由题意可得：，， 设，， 当为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分， 由中点坐标公式可得：， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴点的坐标为； 当为对角线时，同理可得：， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴点的坐标为； 当为对角线时，同理可得：， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $