2.3 直线与圆的位置关系-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

2．3　直线与圆的位置关系 学习目标 1.结合教材实例了解直线与圆的位置关系．　2.会解决关于直线与圆的位置关系的问题．　3.会解决直线与圆相切、弦长等问题，能利用直线与圆的位置关系解决应用性问题. 一　直线与圆的位置关系的判断 直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 __个 __个 __个 判定 方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ (A，B不全为0) d<r d__r d>r 代数法：由方程组 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ__0 [答案自填] 2　1　0　＝　< 　求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足： (1)相交；(2)相切；(3)相离． 【解】　圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋y2＝4，故圆心(3，0)到直线x－my＋3＝0的距离d＝，圆的半径r＝2. (1)若相交，则d<r，即<2，所以m<－2或m>2. (2)若相切，则d＝r，即＝2，所以m＝±2. (3)若相离，则d>r，即>2， 所以－2<m<2. 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程联立所得方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． [跟踪训练1] 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，直线与圆： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 解：方法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0，则Δ＝4m(3m＋4). (1)当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当Δ<0，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 方法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为(2，1)，半径r＝2.圆心(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝. (1)当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当d>2，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 二　圆的切线问题 如图，直线l与圆C相切，切点为P，圆C的半径为r.则： (1)CP⊥l； (2)点C到直线l的距离d＝|CP|＝______； (3)切点P在直线l上，也在圆上． [答案自填] r 　若直线l过点P(2，3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，则直线l的方程为_____________________________________________． 【解析】　方法一(几何法)：因为(2－1)2＋(3＋2)2>1，所以点P在圆外． ①若直线l的斜率存在，设l：y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，因为直线l与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，所以＝1，所以k＝.所以直线l的方程为y－3＝(x－2)，即12x－5y－9＝0. ②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求．所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2. 方法二(代数法)：①若直线l的斜率存在，设l：y－3＝k(x－2)，即y＝k(x－2)＋3，与圆的方程联立消去y得(x－1)2＋[k(x－2)＋3＋2]2＝1，整理得(k2＋1)x2－(4k2－10k＋2)x＋4k2－20k＋25＝0，所以Δ＝(4k2－10k＋2)2－4(k2＋1)(4k2－20k＋25)＝0，所以k＝.此时直线l的方程为y－3＝(x－2)，即12x－5y－9＝0. ②若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝2也符合要求．所以直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2. 【答案】　12x－5y－9＝0或x＝2 【变式探究】 1．(条件变式)若本例点P的坐标改为P(2，－2)，其他条件不变，则直线l的方程为_______________________________________． 解析：因为(2－1)2＋(－2＋2)2＝1，所以点P在圆上．所以过P(2，－2)的切线方程为x＝2，即直线l的方程为x＝2. 答案：x＝2 2．(设问变式)在本例条件下，此切线长为__________________________． 解析：点P(2，3)到圆心(1，－2)的距离为＝，所以切线长为＝5. 答案：5 (1)求过某一点(x0，y0)的圆的切线方程 ①点(x0，y0)在圆上(一条切线) 过圆上一点的切线有且只有一条；先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程；如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. ②点(x0，y0)在圆外(两条切线) 过圆外一点的切线有两条；设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．若k值只有一个，则另外一条切线斜率不存在，方程为x＝x0. (2)求切线长的最值 ①(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长用一个变量表示，利用函数求最值； ②(几何法)把切线长的最值问题转化成圆心到直线的距离问题． [跟踪训练2] (1)圆A：x2＋y2－6y＝0在点P(，1)处的切线方程为(　　) A．x－2y－3＝0 B．x－2y＋3＝0 C．2x－y－3＝0 D．2x－y＋3＝0 解析：选A．因为()2＋12－6×1＝0，所以点P(，1)在圆x2＋y2－6y＝0上，x2＋y2－6y＝0的圆心为A(0，3)，故kAP＝＝－，设圆x2＋y2－6y＝0在点P(，1)处的切线的斜率为k，则k·kAP＝－1，解得k＝，所以圆x2＋y2－6y＝0在点P(，1)处的切线方程为y－1＝(x－)，即x－2y－3＝0.故选A． (2)过点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为______________________________________________________________． 解析：因为(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，所以点A在圆外．当切线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意；当切线l的斜率存在时，设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋4＋k＝0.圆心(2，3)到切线l的距离为＝1，解得k＝0或k＝－，因此，所求切线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0. 答案：y＝4或3x＋4y－13＝0 (3)若过直线y＝x＋1上一点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线，Q为切点，则|PQ|的最小值为________． 解析：方法一(函数思想)：如图，连接PC，CQ，则△PCQ为直角三角形，且∠CQP＝90°.设点P(a，a＋1)，则|PQ|2＝|PC|2－|CQ|2＝(a－3)2＋(a＋1)2－1＝2a2－4a＋9＝2(a－1)2＋7≥7(当且仅当a＝1时等号成立). 所以|PQ|≥ ，即|PQ|的最小值为. 方法二(数形结合思想)：如图，连接PC，CQ，则△PCQ为直角三角形，且∠CQP＝90°.则|PQ|2＝|PC|2－|CQ|2，|CQ|2＝r2＝1.当|PC| 取得最小值时，|PQ|最小，而点P是直线y＝x＋1上的动点，所以当CP垂直于直线y＝x＋1时，|CP|最小，则|CP|min＝＝＝2，|PQ|＝|PC|－|CQ|2＝8－1＝7, 即|PQ|min＝. 答案： 三　圆的弦长问题 求直线与圆相交时弦长的两种方法： (1)几何法：如图1所示，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有()2＋d2＝r2， 即|AB|＝2. (2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在). 点拨　(1)过圆内一点的直线与圆相交，最长弦长是直径的长，最短弦与最长弦所在的直线垂直． (2)过圆外或圆上一点的直线与圆相交，最长弦长是直径的长，没有最短弦长． (3)由弦长求直线方程时，需考虑斜率不存在的情况． 　已知直线l：3x＋y－6＝0和圆C：x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长． 【解】　方法一(代数法)：联立直线l与圆C的方程，得消去y得x2－3x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝1，所以直线l与圆C相交，把x1＝2，x2＝1分别代入方程①，得y1＝0，y2＝3，所以直线l与圆C的两个交点是(2，0)，(1，3).因此直线l被圆C所截得的弦长为＝. 方法二(几何法)：圆C的方程可化为x2＋(y－1)2＝5，因此圆心为C(0，1)，半径为，圆心C(0，1)到直线l的距离d＝＝<，所以直线l与圆C相交，所以直线l被圆C所截得的弦长为2＝. 求弦长常用的三种方法 (1)利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系(l)2＋d2＝r2解题． (2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． (3)利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝·|x1－x2|＝. [跟踪训练3] (1)若直线3x＋4y－8＝0被圆C：(x－a)2＋y2＝4截得的弦长为2，则a＝________________________________________. 解析：如图，设圆与直线交于A，B两点，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，|AC|＝2，|AD|＝|AB|＝，故|CD|＝＝＝1，因为C(a，0)，即＝1，解得a＝1或a＝. 答案：1或 (2)(2024·陕西西安期中)已知直线x＋2y－5＝0与圆x2＋y2＝9交于A，B两点，则线段AB的长为________． 解析：方法一：因为x2＋y2＝9的圆心为(0，0)，半径r＝3，圆心(0，0)到直线x＋2y－5＝0的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2×＝4. 方法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将x＝5－2y代入x2＋y2＝9得5y2－20y＋16＝0.于是得y1＋y2＝4，y1y2＝.又直线x＋2y－5＝0的斜率k＝－，所以|AB|＝＝ ＝4. 答案：4 易错点 忽略方程表示圆的隐含条件致错 [典例展示]　已知圆的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，一定点为A(1，2)，要使过定点A(1，2)作圆的切线有两条，求实数a的取值范围． [错解展示]　圆的方程配方得(x＋)2＋(y＋1)2＝，圆心为C(－，－1)，半径r＝.过点A(1，2)作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即>，化简得a2＋a＋9>0，解得a∈R. 正解：圆的方程配方得(x＋)2＋(y＋1)2＝，圆心为C(－，－1)，半径r＝，且4－3a2>0，过点A(1，2)作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即>，化简得a2＋a＋9>0.由解得－<a<.故实数a的取值范围是(－，). [易错警示]　不要忘记二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是D2＋E2－4F>0. 1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是(　　) A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 解析：选C．直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，由定点(0，1)在圆x2＋y2＝2内，知直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2一定相交．又直线y＝kx＋1不过圆心(0，0)，则位置关系是相交但直线不过圆心．故选C． 2．直线l：x－y－2＝0截圆C：x2＋y2－4x＋4y－1＝0所得的弦长为(　　) A． B． C．2 D．3 解析：选C．圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝9，则圆心C(2，－2)，半径r＝3，如图，点C到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，所以所求弦长为2＝2＝2.故选C． 3．过点P(1，－2)引圆C：x2＋y2＋2x－2y－2＝0的切线，则切线长是________． 解析：圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝4，得到圆心为C(－1，1)，圆的半径r＝2，因为|PC|＝＝，所以切线长是＝＝3. 答案：3 4．已知圆C的方程是x2＋y2＝9.当b为何值时，直线l：2x－y＋b＝0与圆C分别有两个不同的交点？一个交点？没有交点？ 解：联立整理得5x2＋4bx＋b2－9＝0(*)，则Δ＝(4b)2－4×5(b2－9)＝－4(b2－45).当－3<b<3时，Δ>0，方程(*)有两个不相等的实数根，从而原方程组有两组不同的实数解，所以直线l与圆C有两个不同的交点；当b＝－3或b＝3时，Δ＝0，方程(*)有两个相等的实数根，从而原方程组有两组相同的实数解，所以直线l与圆C只有一个交点；当b<－3或b>3 时，Δ<0，方程(*)没有实数根，从而原方程组没有实数解，所以直线l与圆C没有交点． 1．已学习：直线与圆的位置关系、圆的切线问题及弦长问题． 2．须贯通：判断直线与圆的位置关系的方法有代数法与几何法，其中几何法较为简捷，体现了数形结合思想． 3．应注意：根据直线与圆的位置关系求直线方程时，易忽略直线斜率不存在的情况． 学科网（北京）股份有限公司 $