第24章 解直角三角形 单元测试 2025-2026学华东师大版数学九年级上册

第24章 解直角三角形（单元测试）2025-2026学华东师大版数学九年级上册 一、单选题 1．如图，中，，是斜边的中点，过点作于点，则线段的长度为（       ） A．4 B．4.8 C．5 D．5.2 2．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′等于(   ) A．1 B． C． D． 3．如图所示的是一水库大坝横截面的一部分，坝高h＝6 m，迎水坡AB＝10 m，斜坡的坡角为a，则tan a的值为       (       ) A． B． C． D． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BCD=30°，CD是△ABC的高，且BD=2，则AD的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 5．如图，点在双曲线（，k是常数）位于第一象限的图象上，轴，B为垂足，，则k的值是（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，线段AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接BD．若CD=1，则AD的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 7．如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高，∠BDE=∠CDF=30°，在下列结论中：①△ABD≌△ACD；②2DE=2DF=AD；③△ADE≌△ADF；④4BE=4CF=AB．正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在中，，与分别是斜边上的高与中线，以下判断中正确的个数有（　　） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 10．如图，在矩形中，点E是边上一点，将延折叠，使点D的对应点F为恰好落到边上，若，则（　　） A． B． C． D． 11．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于..，为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.8 二、填空题 12．计算：　 　． 13．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=10，则AC=　 　. 14．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若，则tan∠DEC的值是　 　． 15．一个三角形的两边长为4和6，第三边的边长是方程的根，则这个三角形的周长为　 　． 16．如图，在中，，，点D为边上的点，连接，将沿翻折，点B落在平面内点E处，边交边于点F，连接，如果，那么的值为 　 　． 17．如图，，，和都是等边三角形，F为中点，交于G点，下列结论中，正确的结论是　 　． ①；②；③四边形是菱形；④． 18．如图，将等边沿翻折得，连接交于点． 点E为边上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即），交于点P，连接，若 则长为　 　． 三、解答题 19．已知△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）若a，b，c满足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状； （2）若a＝4，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长． 20．如图，是的高，，，，求的长． 21．如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为． （1）求第三边x的范围； （2）若该三角形是等腰三角形，求三角形的周长． 22．如图，△ABC中，∠B=45°，AB=3，D是BC中点，tanC=． 求：(1)BC的长； (2)sin∠ADB． 23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin∠A= ，求BC的长和tan∠B的值． 24．如图所示，小明家小区空地上有两颗笔直的树CD、EF．一天，他在A处测得树顶D的仰角∠DAC=30°，在B处测得树顶F的仰角∠FBE=45°，线段BF恰好经过树顶D．已知A、B两处的距离为2米，两棵树之间的距离CE=3米，A、B、C、E四点在一条直线上，求树EF的高度．（≈1.7，≈1.4，结果保留一位小数） 25．已知直线（，为常数，）分别与轴，轴交于点，点，将线段绕着点顺时针旋转，旋转角为，得到线段，的对应点为点． （1）如图①，当，，且时，______；______；点的坐标为______； （2）如图②，当，，且时，求点的对应点的坐标； （3）已知点，点在轴正半轴上，，若旋转后点的坐标为，则直线的解析式为______． 26．如图，在等边中，点D、点E分别在、上，且，连接、相交于点F． （1）求的度数； （2）连接，若，，求的长． 答案解析部分 1． 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角是解题的关键；由勾股定理 2．【答案】B 3．【答案】D 【详解】过A点作垂线交底部于C点，则△ACB为直角三角形， 4．【答案】A 【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BCD=30°，BD=2 ∴，. ∴，， ∵CD是△ABC的高 ， ∴， ∴. ∴. 故答案为：A. 【分析】利用直角三角形中所对应的边是斜边的一半求出BC的长度，根据勾股定理求出CD的长度，再利用含直角三角形的性质求出AC的长度，最后根据勾股定理求出AD的长度. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：∵ 点在双曲线（，k是常数）位于第一象限的图象上，轴， ∴， ∵， ∴，解得，m=4， ∴ 点，将其代入， ∴． 故选：D 【分析】根据正切值求出AB的值，进而得到m的值，求得点A坐标，再将其代入反比例函数解析式，即可求得k的值. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∴∠DBA=∠A=30°， ∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， ∴∠ABC=60°， ∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=30°， ∴BD=AD=2CD=2. 故答案为：C. 【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AD=BD，则∠DBA=∠A=30°，根据三角形的内角和及角的和差得∠CBD=30°，进而根据含30°角直角三角形的性质可得BD的长，从而即可得出答案. 7．【答案】D 【解析】【解答】∵等边△ABC中，AD是BC边上的高， ∴BD=DC，AB=AC，∠B=∠C=60°， 在△ABD与△ACD中 ， ∴△ABD≌△ACD，故①正确； 在△ADE与△ADF中 ， ∴△ADE≌△ADF，故③正确； ∵在Rt△ADE与Rt△ADF中， ∠EAD=∠FAD=30°， ∴2DE=2DF=AD，故②正确； 同理2BE=BD，2CF=CD ∵AB=2BD=2CD， ∴4BE=4CF=AB，故④正确， 故选D． 【分析】根据等边三角形的性质得出BD=DC，AB=AC，∠B=∠C=60°，然后在△ABD与△ACD中，利用SAS判断出△ABD≌△ACD，故①正确；在△ADE与△ADF中，利用ASA判断出△ADE≌△ADF，故③正确；在Rt△ADE与Rt△ADF中，由于∠EAD=∠FAD=30°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出2DE=2DF=AD，故②正确；同理2BE=BD，2CF=CD，又根据等腰三角形的三线合一得出AB=2BD=2CD，从而得出结论4BE=4CF=AB，故④正确，综上所述即可得出答案。 8．【答案】C 9．【答案】D 10．【答案】A 11．【答案】B 12．【答案】 13．【答案】 【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠A=60°， ∴∠B=90°-60°=30°； 而BC=10， ∴. 故答案为：. 【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠B=30°，然后根据含30度角直角三角形的性质就可求出AC. 14．【答案】 15．【答案】15 【解析】【解答】解：， ， 或， ， 分两种情况： 当第三边为2时， ∵， ∴不能组成三角形， 当第三边为5时，这个三角形的周长， 综上所述：这个三角形的周长为15， 故答案为：15． 【分析】先利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤求解x的值，再分类讨论：①当第三边为2时，②当第三边为5时，最后利用三角形三边的关系及周长公式分析求解即可. 16．【答案】 17．【答案】①②④ 18．【答案】 19．【答案】（1）等边三角形 （2）9或10或11 20．【答案】 21．【答案】（1） （2） 22．【答案】（1）BC=18；（2） 23．【答案】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA= = ， ∴BC=4， 根据勾股定理得：AC= =2 ， 则tanB= = = 【解析】【分析】在直角三角形ABC中，根据sinA的值及AB的长，利用锐角三角函数定义求出BC的长，再利用勾股定理求出AC的长，利用锐角三角函数定义即可求出tanB的值． 24．【答案】解：设CD=xm， 在Rt△BCD中，∵∠DBC=45°， ∴BC=CD=x， 在Rt△DAC中，∵∠DAC=30°， ∴tan∠DAC=， ∴x+2=x，解得x=+1， ∴BC=CD=+1， 在Rt△FBE中，∵∠DBC=45°， ∴FE=BE=BC+CE=+1+3≈5.7． 答：树EF的高度约为5.7m． 【解析】【解答】设CD=xm，先在Rt△BCD中，由于∠DBC=45°，则根据等腰直角三角形的性质得BC=CD=x，再在Rt△DAC中，利用正切定义得到x+2=x，解得x=+1，即BC=CD=+1，然后在Rt△FBE中根据等腰直角三角形的性质得FE=BE=BC+CE≈5.7． 【分析】此题考查了解直角三角形中俯角与仰角的问题，通过构造直角三角形利用三角函数求解即可. 25．【答案】（1）；； （2） （3） 26．【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABC=∠BCA=60°， 在△ABD与△BCE中， ∵AB=BC，∠ABC=∠BCA=60°，BD=CE， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD=∠CBE， ∴∠AFE=∠BAF+∠ABF=∠ABF+∠CBF=∠ABC=60°； （2）解：如图，延长BE至点H，使FH=AF，连接AH、CH， 由（1）知∠AFH=60°， ∴△AFH是等边三角形， ∴AF=FH=AH，∠FAH=60°， ∵∠BAC=∠FAH=60°， ∴∠BAC-∠DAC=∠FAH-∠DAC，即∠BAF=∠CAH， 在△ABF与△ACH中， ∵AB=AC，∠BAF=∠CAH，AF=AH， ∴△ABF≌△ACH（SAS）， ∴BF=CH=3，∠ABF=∠ACH， ∵∠BAD=∠CBE， ∴∠BAC-∠BAD=∠ABC-∠CBE，即∠DAC=∠ABF， ∴∠DAC=∠ACH， ∴AF∥CH， ∴∠HCF=180°-∠AFC=90°， 又∵∠CFH=∠AFC-∠AFH=90°-60°=30°， ∴FH=2CH=6， ∴AF=FH=6. 【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得AB=BC，∠ABC=∠BCA=60°，从而由SAS证△ABD≌△BCE，得∠BAD=∠CBE，进而根据三角形外角性质、等量代换及角的和差可得∠AFEF=∠ABC，从而得出答案； （2）如图，延长BE至点H，使FH=AF，连接AH、CH，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，得△AFH是等边三角形，由等边三角形性质得AF=FH=AH，∠FAH=60°，根据等式的性质推出∠BAF=∠CAH，从而用SAS判断出△ABF≌△ACH，得BF=CH=3，∠ABF=∠ACH；进而根据等式性质推出∠DAC=∠ABF=∠ACH，由内错角相等，两直线平行，得AF∥CH，再由二直线平行，同旁内角互补得∠HCF=90°，然后根据含30°角直角三角形的性质可得FH=2CH=6，从而即可得出AF的长. 学科网（北京）股份有限公司 $