精品解析：黑龙江省大庆市大庆中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

大庆中学2025--2026学年度上学期期中考试 高二年级数学试题 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一､单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，根据交集和并集的定义求，由此确定结论. 【详解】不等式的解集为， 不等式，所以不等式的解集为， 所以，， 所以，， 故选：C. 2. 若复数满足，则对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得，再由复数的几何意义可得. 【详解】， 所以对应的点为，在第四象限. 故选：D 3. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的离心率，求出的比值，再根据渐近线方程求解即可. 【详解】已知双曲线的离心率，即， 所以，所以， 所以其渐近线方程为. 故选：D 4. 圆与圆的公共弦的长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用两圆方程相减得公共弦方程，再结合垂径定理求解弦长即可. 【详解】因为，， 所以两圆方程相减得公共弦方程为，且圆心， 而到公共弦的距离为，所以所求弦长为. 故选：D 5. 已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为，由抛物线定义得到即可求解. 【详解】由题意知抛物线的焦点为，准线的方程为. 如图，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为. 由抛物线的定义得， 所以，当三点共线时取等号， 故的最小值为. | 故选：C 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，动点在椭圆上，点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的定义得出，于是有，只要求得的最大值即可得，而，从而可得结论． 【详解】由可知，， 所以，， 所以， 而，即， 故，当且仅当是的延长线与椭圆的交点时等号成立， 故选：C 7. 已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心率．过点的直线与椭圆相交于，两点，且为的中点，则弦长（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分别求出，求解椭圆方程，然后分别设，，利用点差法求出直线，然后再与椭圆方程联立从而求解. 【详解】由题知，，所以， 所以，椭圆的方程为， 由题知直线的斜率不为，设，，则， 代入椭圆方程得，作差得， 即，得， 所以直线的斜率，故直线的方程为，即， 联立，化简得，解得或， 所以，，所以弦长，故C正确. 故选：C. 8. 已知双曲线，、为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，记直线、的斜率分别为、，若，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的对称性和直线的斜率公式，结合已知条件，可得出与的关系，进而求出双曲线的离心率. 【详解】设，，又、为双曲线上关于原点对称的两点，则， 所以， 又点、在双曲线上，得，两式相减得， 可得，因为，所以， 因此. 故选：A 二､多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分） 9. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，，垂足为，则（ ） A. 准线的方程为 B. 点到的距离为2 C. 是等边三角形 D. 直线的斜率为1 【答案】BC 【解析】 【分析】根据抛物线方程，可得准线方程，即可判断A、B的正误；根据的长，结合焦半径公式，可得P点坐标，可得的长，根据抛物线定义，可判断C的正误；根据是等边三角形，即可求得直线的倾斜角，即可判断D的正误. 【详解】由题意，准线的方程为，点到的距离为2，故错误，B正确． 因为，所以点的横坐标为3， 由，得，即， 记与轴交于点，则， 所以， 所以，所以是等边三角形，故C正确． 由C选项得：， 所以，直线的斜率为，故D错误． 故选：BC 10. 下列说法错误的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 直线与直线之间的距离是 C. 点到直线的距离为 D. 经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线条数共有条 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用直线垂直的充要条件求出的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断A选项；利用平行线间的距离公式可判断B选项；利用点到直线的距离公式可判断C选项；对直线是否过原点进行分类讨论，结合直线的截距式方程可判断D选项. 【详解】对于A选项，若直线与直线互相垂直， 则，解得或， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，A错； 对于B选项，直线的方程可化为， 所以直线与直线之间的距离为，B对； 对于C选项，点到直线的距离为，C错； 对于D选项，要求经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线的方程，分以下三种情况讨论： 若直线过原点，设直线的方程为，将点的坐标代入直线方程可得，解得， 此时直线的方程为； 若直线不过原点且在两坐标轴上的截距相等，设直线的方程为，即， 将点的坐标代入直线方程可得，此时直线的方程为； 若直线不过原点且在两坐标轴上的截距相反，设直线的方程为，即， 将点的坐标代入直线方程可得，此时直线的方程为. 综上所述，经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线条数共有条，D错. 故选：ACD. 11. 若椭圆的左、右焦点分别是，，P是E上的动点，则（ ） A. 的周长为6 B. 面积的最大值为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆方程得到.由椭圆的定义即可得到的周长，判断A选项；设，由椭圆上的点坐标的范围即可求得面积的最大值，判断B选项；由的关系，消元化简，由的范围求得的范围，判断C选项；写出，坐标，然后得到，由椭圆中的范围得到结果，判断D选项. 【详解】由题意知，，. 由椭圆的定义，得，所以的周长为，故A正确； 设，则的面积，故B错误； 因为，所以，又， 所以，故C正确； ，，， 又，，所以，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三､填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 设椭圆：(，)的左､右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且，若的面积为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知公式，结合椭圆的定义，勾股定理和面积公式，即可求解. 【详解】根据题意，离心率为，所以，所以，设，， 由椭圆的定义可得，，因为，所以，因为的面积为， 所以，即，所以，即，解得， 因为，所以. 故答案为：. 13. 已知是双曲线的左、右焦点，点在上，，则的离心率为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，，结合双曲线的定义，推出，进而得到双曲线的离心率. 【详解】因，且， 可得， 在直角中，因为， 所以，， 因，由双曲线的定义，可得，即， 即，所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 14. 已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为3，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】首先利用抛物线的定义求出，确定抛物线方程；然后设直线的倾斜角为，利用焦点弦的面积公式求出；最后结合焦点弦的性质和弦长公式，即可求解. 【详解】由已知得，则，所以抛物线方程为， 设直线的倾斜角为， 由于直线过焦点，， 又，所以. 故答案为：8. 四､解答题（本题共5个大题，共77分） 15. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线定义求解； （2）利用韦达定理求得，再根据抛物线的定义求解即可. 【小问1详解】 根据抛物线的定义可知， ，即，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，抛物线焦点为, 若直线l的斜率不存在，则, 则，不满足题意， 所以直线的斜率存在且不为零，并设为，则， 设， 联立，消去可得，， 所以， 因为， 解得， 所以直线的方程为. 16. 已知直线，该直线与圆交于两点，且. （1）求的值； （2）求过点的的切线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线经过圆心，即可根据直径为6求解， （2）根据圆心到直线的距离与半径相等，即可求解. 【小问1详解】 的标准方程为，故圆心为， 由于直线恒过定点，故直线经过圆心， 因此为圆的直径，故，，则，故 【小问2详解】 ， 由于在圆外，故当切线斜率不存在时，方程为，满足题意， 当切线斜率存在时，设其方程为：， 则，解得，故方程为， 综上所述切线方程为：或 17. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是棱，，的中点，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离； 【答案】（1） 由题意知、分别、中点，则得， 因为平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理即可求证； （2）建立空间直角坐标系，然后求出直线的方向向量及平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解； （3）利用点到平面距离的向量法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，，则可以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则得， 设直线与平面所成角为，则， 故线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）可得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 18. 已知椭圆方程短轴长为，离心率为． （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的离心率为，列出方程，求得的值，即可求解； （2）设的方程为，联立方程组，设，，利用弦长公式和点到直线的距离公式，求得和，结合（为坐标原点）的面积为，列出方程求得的值，即可求解. 【小问1详解】 题意可知，椭圆的短轴长为， ∴，．又因为离心率为，可得， 解得，所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 由椭圆，可得，则右焦点为， 由题意知，直线的斜率不为零，设的方程为， 联立方程组，整理得到， 可得， 设，，则，， 所以 ， 又由点到直线的距离， 故的面积， 解得或（舍），所以， 所以l的方程为或， 即直线l的方程为或． 19. 动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，动点的轨迹构成的曲线记为． （1）曲线的方程； （2）若直线：（）与曲线相交于不同的两点、，点是曲线上的动点（异于点、）． ①当时，若直线，斜率均存在，判断是否为定值，并证明你的结论； ②当点的坐标为时，，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） ①（定值）. 证明如下：当时，易得两点关于原点对称， 设，则， 所以， 而均在曲线上， 所以， 从而，证毕. ② 【解析】 【分析】（1）设点的坐标为，根据题干直接列式即可求解； （2）①当，设，则，表示出并利用点都在曲线上即可证明；②设，的中点为， 直线与曲线联立得到的坐标，利用得到，进而求出，再根据即可求出的范围. 【小问1详解】 设点的坐标为，则 化简得，即曲线的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②由题意知，当时，显然； 设，的中点为， 由， 由，得（i）， ，则， 所以，因为，则，从而，即． 而，所以，化简得， 由得（ii），将代入（i） 则，得：（iii），由（ii）（iii）得， 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆中学2025--2026学年度上学期期中考试 高二年级数学试题 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一､单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 圆与圆的公共弦的长为（ ） A. B. C. 4 D. 5. 已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，动点在椭圆上，点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心率．过点的直线与椭圆相交于，两点，且为的中点，则弦长（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线，、为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，记直线、的斜率分别为、，若，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分） 9. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，，垂足为，则（ ） A. 准线的方程为 B. 点到的距离为2 C. 是等边三角形 D. 直线的斜率为1 10. 下列说法错误的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 直线与直线之间的距离是 C. 点到直线的距离为 D. 经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线条数共有条 11. 若椭圆的左、右焦点分别是，，P是E上的动点，则（ ） A. 的周长为6 B. 面积的最大值为 C. D. 第II卷（非选择题） 三､填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 设椭圆：(，)的左､右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且，若的面积为，则_______． 13. 已知是双曲线的左、右焦点，点在上，，则的离心率为___________. 14. 已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为3，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为___________． 四､解答题（本题共5个大题，共77分） 15. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程； （2）过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 16. 已知直线，该直线与圆交于两点，且. （1）求的值； （2）求过点的的切线方程. 17. 如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是棱，，的中点，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离； 18. 已知椭圆方程短轴长为，离心率为． （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求的方程． 19. 动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，动点的轨迹构成的曲线记为． （1）曲线的方程； （2）若直线：（）与曲线相交于不同的两点、，点是曲线上的动点（异于点、）． ①当时，若直线，斜率均存在，判断是否为定值，并证明你的结论； ②当点的坐标为时，，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $