4.4 幂函数同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第二册

4.4 幂函数 一、单选题 1．已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 2．若函数是幂函数，且，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．函数，在区间上说法错误的是（   ） A．的递增速度越来越快 B．的递减速度越来越慢 C．的递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于的递减速度 4．已知幂函数，则“”是“在上为增函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在同一坐标系内，函数和的图象可能是(　　) A．B．C． D． 6．科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（    ） A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg 7．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，则下列正确的是（    ） A．a B． C． D． 二、多选题 9．已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（    ） A． B．是偶函数 C． D．若，则 10．已知幂函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则在上单调递减 B．若，则是奇函数 C．函数过定点 D．若，则 11．土壤是自然界中最大的生态系统，具有十分重要的作用.利用绿色化学药剂来降低土壤中的重金属含量是改善土壤环境的一项重要工作，若在使用绿色化学药剂降低土壤中重金属含量的过程中，重金属含量(单位:与时间(单位:)满足关系式，已知处理后，重金属含量减少，则（    ）) A．表示未经处理时土壤中的重金属含量 B．的值为 C．使土壤中的重金属含量减少一半需要处理约 D．函数为减函数 三、填空题 12．汽车行驶的路程和时间之间的函数图像如图所示，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为 . 13．写出一个同时具有下列性质①②③的函数： ， ①；②当时，为增函数；③为R上偶函数. 14．创新是一个国家､一个民族发展进步的不竭动力，是推动人类社会进步的重要力量.某学校为了培养学生科技创新能力，成立科技创新兴趣小组，该小组对一个农场内某种生物在不受任何条件的限制下其数量增长情况进行研究，发现其数量（千只）与监测时间（单位：月）的关系与函数模型且）基本吻合.已知该生物初始总量为3千只，2个月后监测发现该生物总量为6千只.若该生物的总量再翻一番，则还需要经过 个月. 四、解答题 15．已知幂函数为奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求a的取值范围. 16．近日，DeepSeek火爆出圈，其本质在于技术创新和产业影响，它通过高效的算法和工程技术，显著降低了AI模型的训练成本，同时也代表着我国在AI技术方面的迅速发展和进步.相关数学建模小组通过对某AI软件的研究发现：当该程序利用后台的算法处理数据量为N（单位：字节）的数据时，处理时间t（单位：秒）满足关系式（其中，均为常数）．已知当时，；当时，． (1)求，的值； (2)若该程序利用后台算法处理一份数据量的数据，求所需的处理时间； (3)若将（2）中的数据分为两份，数据量分别为和，其中，，，依次由该程序处理，求所需的总处理时间的最小值． 17．学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下： （1）函数的图象接近图示； （2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； （3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分； （4）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择： ①；  ②；  ③. (1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由； (2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式； (3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）. 18．已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数在区间上的值域； (3)若存在，使得能成立，求实数的取值范围． 19．太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池两个重要组件，太阳能板通过电池板将太阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中．已知在一定条件下，入射光功率密度（E为入射光能量且为入射光入射有效面积），电池板转换效率与入射光功率密度成反比，且比例系数为k． (1)若平方米，求蓄电池电能储存量Q与E的关系式； (2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量，锂离子蓄电池的放电量．设，给定不同的Q，请分析并讨论为了使得太阳能板供电效果更好，应该选择哪种蓄电池？ 注：①蓄电池电能储存量； ②当S，k，Q一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 幂函数 一、单选题 1．已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为函数，所以该函数在区间上的平均变化率为 ，故选：A 2．若函数是幂函数，且，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【详解】设，由得，解得，所以，所以．故选：C 3．函数，在区间上说法错误的是（   ） A．的递增速度越来越快 B．的递减速度越来越慢 C．的递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于的递减速度 【详解】作出三个函数在区间上的图象， 根据指数函数，对数函数及幂函数的图象和性质可知，在区间上， 的递增速度越来越快，故A正确； 的递减速度越来越慢，故B正确； 的递减速度越来越慢，故C正确； 的递减速度快于的递减速度，故D错误，D 4．已知幂函数，则“”是“在上为增函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】当时，幂函数， 该函数在上单调递增, 当幂函数在上单调递增时， 需满足，即， 故“”是“幂函数在上单调递增”的充要条件.故选：C 5．在同一坐标系内，函数和的图象可能是(　　) A．B．C． D． 【详解】由题意，若时，函数在递增，此时递增，排除D；纵轴上截距为正数，排除C，即时，不合题意；若时，函数在递减，又由递减可排除A，故选B. 6．科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（    ） A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg 【详解】依题意，设，由，得，则， 当时， ，所以．故选：D 7．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：由，得，即， 解得，所以 的定义域为， 令，在上递增，在上递减，又，在上递减， 所以在上递减，所以函数的单调递减区间为，故选：C 8．已知，，，则下列正确的是（    ） A．a B． C． D． 【详解】因为幂函数在上为增函数，则， 因为指数函数在上为减函数，则， 因为对数函数在上为减函数，则， 因此，.故选：D. 二、多选题 9．已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（    ） A． B．是偶函数 C． D．若，则 【详解】设幂函数，代入点可得，解得； 所以，因此函数的定义域为，不存在，A错误； 易知，因此是偶函数，即B正确； 由可得，所以，即C正确； 由幂函数性质可得在上单调递减，又是偶函数, 所以不等式转化为，且； 整理可得，解得且； 即不等式的解集为，即D正确.故选：BCD 10．已知幂函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则在上单调递减 B．若，则是奇函数 C．函数过定点 D．若，则 【详解】因为为幂函数， 所以，得或， 对于A，当时，，则在上单调增，所以A错误， 对于B，当时，，则（），因为，所以是奇函数， 当时，，则，因为，所以是奇函数， 所以时， 是奇函数，所以B正确， 对于C，因为，所以， 当时，，所以函数过定点，所以C错误， 对于D，当时，，则，所以D正确，故选：BD 11．土壤是自然界中最大的生态系统，具有十分重要的作用.利用绿色化学药剂来降低土壤中的重金属含量是改善土壤环境的一项重要工作，若在使用绿色化学药剂降低土壤中重金属含量的过程中，重金属含量(单位:与时间(单位:)满足关系式，已知处理后，重金属含量减少，则（    ）) A．表示未经处理时土壤中的重金属含量 B．的值为 C．使土壤中的重金属含量减少一半需要处理约 D．函数为减函数 【详解】当时，，故表示未经处理时土壤中的重金属含量，A正确， 当时，，①，故，B错误， ，②，联立①②解得，， 则， 故使土壤中的重金属含量减少一半需要处理约．C错误， 由于，，所以单调递增，因此单调递减，D正确，故选：AD 三、填空题 12．汽车行驶的路程和时间之间的函数图像如图所示，在时间段，，上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为 . 【详解】解：因为，， ，由图可知，所以. 13．写出一个同时具有下列性质①②③的函数： ， ①；②当时，为增函数；③为R上偶函数. 【详解】由性质①可联想到幂函数，由性质②可知该幂函数的指数大于0， 由性质③可考虑将该幂数函数的自变量加上绝对值，或指数为偶数，或指数为分式形式且分子为偶数， 综上，可考虑或（为正偶数）或（为偶数，）， 不妨取，得.故答案为：（答案不唯一）. 14．创新是一个国家､一个民族发展进步的不竭动力，是推动人类社会进步的重要力量.某学校为了培养学生科技创新能力，成立科技创新兴趣小组，该小组对一个农场内某种生物在不受任何条件的限制下其数量增长情况进行研究，发现其数量（千只）与监测时间（单位：月）的关系与函数模型且）基本吻合.已知该生物初始总量为3千只，2个月后监测发现该生物总量为6千只.若该生物的总量再翻一番，则还需要经过 个月. 【详解】由题意，当时，，当时，， 则，解得，所以， 设还需要经过个月，该生物的总量再翻一番，则， 所以，即， 因为，所以，而函数在上时单调函数， 所以，解得，所以该生物的总量再翻一番，则还需要经过个月.故答案为：. 15．已知幂函数为奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求a的取值范围. 【详解】（1）由题意，幂函数，可得，     即，解得或，    当时，函数为奇函数，     当时，为非奇非偶函数，    因为为奇函数，所以. （2）由（1）知，可得在上为增函数，因为，所以，     解得，    所以a的取值范围为. 16．近日，DeepSeek火爆出圈，其本质在于技术创新和产业影响，它通过高效的算法和工程技术，显著降低了AI模型的训练成本，同时也代表着我国在AI技术方面的迅速发展和进步.相关数学建模小组通过对某AI软件的研究发现：当该程序利用后台的算法处理数据量为N（单位：字节）的数据时，处理时间t（单位：秒）满足关系式（其中，均为常数）．已知当时，；当时，． (1)求，的值； (2)若该程序利用后台算法处理一份数据量的数据，求所需的处理时间； (3)若将（2）中的数据分为两份，数据量分别为和，其中，，，依次由该程序处理，求所需的总处理时间的最小值． 【详解】（1）由题意得，故， 两式相减可得，故，故． （2）由（1）可知，当时，，故所需的处理时间为秒. （3）， 当且仅当时取等号，故所需的总处理时间的最小值为秒. 17．学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下： （1）函数的图象接近图示； （2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； （3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分； （4）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择： ①；  ②；  ③. (1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由； (2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式； (3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）. 【详解】（1）选模型三：，理由如下： 对于模型一，时匀速增长；对于模型二，时，先慢后快增长；对于模型3，时，先快后慢增长， 由图象可知应选择先慢后快增长的函数模型，故选择模型三比较合适. （2）将代入得， 所以. 当时，，满足每天最多得分不超过6分条件， 所以函数解析式为. （3）由， 所以，解得， 所以每天运动时间不少于4.5分，则每天至少运动55分钟. 18．已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数在区间上的值域； (3)若存在，使得能成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为幂函数在区间上单调递增， 则，解得， 故. （2）当时，可得， 令，因为，所以，即可得， 所以，函数在区间上单调递减， 当时，，当时，. 所以函数在区间上的值域为. （3）令，因为，所以， 因为，即转化为， 由参变量分离法可得，其中，所以，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以， 综上可知，实数的取值范围为. 19．太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池两个重要组件，太阳能板通过电池板将太阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中．已知在一定条件下，入射光功率密度（E为入射光能量且为入射光入射有效面积），电池板转换效率与入射光功率密度成反比，且比例系数为k． (1)若平方米，求蓄电池电能储存量Q与E的关系式； (2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量，锂离子蓄电池的放电量．设，给定不同的Q，请分析并讨论为了使得太阳能板供电效果更好，应该选择哪种蓄电池？ 注：①蓄电池电能储存量； ②当S，k，Q一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好． 【详解】（1）， 若平方米，则； （2）由，即， 铅酸蓄电池的放电量为：， 锂离子蓄电池的放电量为：， 则 ， 令，可得， 即时，，此时应选择铅酸蓄电池， 当时，，此时应选择锂离子蓄电池， 当时，，两种电池都可以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $