4.2对数函数的性质与图象、指数函数与对数函数的关系同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第二册

4.2对数函数的性质与图象、指数函数与对数函数的关系A卷 一、单选题 1．已知函数，且的图象恒过点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【详解】令，解得，又， 所以函数，且）的图象恒过点， 即，所以．故选：B． 2．如图所示，函数图像①②③④⑤⑥⑦⑧中不属于函数：，的是（    ） A．①⑤ B．②⑥ C．③⑦ D．④⑧ 【详解】由指数函数的图像性质可知，①②③④为指数函数图像， 且③④为单调递增的指数函数，取可知，③④分别对应， 又①④图像关于轴对称，则①对应，即②不属于； 由对数函数的图像性质可知，⑤⑥⑦⑧为对数函数图像， 其中⑦⑧为单调递减的对数函数，由“底大图低”可知⑧对应，⑦对应， 且⑤⑧图像关于轴对称，则⑤对应，即⑥不属于；故选：B 3．函数=的单调减区间为 A．() B．() C．() D．(0,) 二次函数,在区间(0,)单调递增,在区间()单调递减. 根据复合函数的单调性可知,函数=的单调减区间为(0,).故选D. 4．已知函数（且）在上单调递增，且，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．27 【详解】因为函数在上单调递增，所以， 因为，所以，即， 解得或（舍），所以.故选：C 5．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，得且．即函数的定义域为，选：D 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，，可得.故选：A. 7．函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，解得.故选：D. 8．设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【详解】，， ，.故选：D. 二、多选题 9．已知函数，则（   ）． A．的定义域为 B．在区间单调递增 C．的图象关于对称 D． 【详解】选项A：的定义域为，选项A正确； 选项B：当时，， 因为在区间单调递增，根据复合函数单调性，所以在区间单调递增，选项B正确； 选项C：，所以的图象关于点对称，选项C错误； 选项D：由C可知，所以，即， 因为，所以，当时，， 因为在为增函数且恒成立，所以在区间单调递增， 所以，即，选项D正确．故选：ABD． 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则是增函数 C．不存在实数，使得为偶函数 D．若的值域为，则的取值范围为 【详解】对于A：，A选项正确； 对于B：若，函数，函数，都是定义域上的增函数， 则由复合函数的单调性知，在定义域内是增函数，B选项正确； 对于C：若存在实数，使得为偶函数，则， 即， ， 而偶函数定义要求等式对定义域内所有成立，不仅仅是， 故不存在实数使得为偶函数， 所以不存在实数，使得为偶函数，C选项正确； 对于D：若的值域为，则要取遍所有正数， 所以或，解得，D选项错误；故选：ABC. 11．已知，则（ ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，故B正确； 因为，故C错误；因为 ，故D正确.ABD 三、填空题 12．设函数，若存在，满足，则实数的最小值为 ． 【详解】函数在上单调递减，函数在单调递增， 则函数在上单调递减， 由存在，满足，得， 即，则， 因此，解得，所以故答案为： 13．已知，，且函数是上的单调函数，则实数的取值范围是 . 【详解】由题意可知， 当x<0时，函数为二次函数，函数具有单调性，则对称轴满足：，解得， 此时函数在区间上单调递减，当x>0时，若函数单调递减，则0<a<1， 且当x=0时应有：，即，解得， 综上可得，实数a的取值范围是.故答案为． 14．设，若的反函数的图象经过点，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为的反函数的图象经过点，所以，函数的图象经过点， 所以，，可得，解得.故选：A. 四、解答题-问答题 15．已知（，且），且． (1)求a的值及的定义域； (2)求在上的最小值． 【详解】（1），即，则， 由题意得，∴，的定义域为：. （2），令，则， 的对称轴：，∴在上单调递增，在上单调递减； ∵，∴在单调递减，由复合函数可知：时，单调递减，时，单调递增，∴. 16．已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求的最小值． 【详解】（1）因为，令，，则， 函数转化为，， 则二次函数， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值，即， 由，可知当时，取到最大值，即， 故当时，函数的值域为． （2）由题得， 令，则，即，解得或， 即或，解得或. 故不等式的解集为. （3）由于对于恒成立， 令，，则，即对于恒成立， 即对于恒成立，所以对于恒成立． 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，则时，， 故当时，对于恒成立．所以，的最小值为． 17．已知函数. (1)设函数是定义在R上的奇函数，当时，，求函数的解析式； (2)已知时，函数的最小值为，求实数a的值. 【详解】（1）当时，， 当时，，为R上的奇函数 ，. 综上所述，函数的解析式为； （2） ， 设，则， 函数化为. ①当，即时，函数在上是增函数， 的最小值为，解得（不合题意，舍去）， ②当，即时，函数在上是减函数， 的最小值为，解得， ③当，即时，函数在上有最小值， 的最小值为， 解得或（不合题意，舍去）， 综上所述，实数a的值为或5. 18．已知函数且点（4,2）在函数f（x）的图象上. (1)求函数f(x)的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象； (2)求不等式f(x)<1的解集； (3)若方程f(x)－2m＝0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【详解】（1）∵点在函数的图象上， ∴， ∴． ∴ . 画出函数的图象如下图所示． （2）不等式等价于或 解得，或， 所以原不等式的解集为． （3）∵方程f(x)－2m＝0有两个不相等的实数根， ∴函数的图象与函数的图象有两个不同的交点． 结合图象可得， 解得 ∴实数的取值范围为． 19．已知是偶函数． (1)求的值； (2)证明：在上单调递增； (3)若锐角满足，证明：． 【详解】（1）易知的定义域为，对，都有． 因为是偶函数， 所以 ， 所以． （2）因为，所以． 设，则， 又， 因为，所以，，， 所以， 所以，，， 又， 所以，，所以在上单调递增． （3）因为是偶函数，所以， 因为为锐角，所以，， 因为在上单调递增所以， 所以，， 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2对数函数的性质与图象、指数函数与对数函数的关系A卷 一、单选题 1．已知函数，且的图象恒过点，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．如图所示，函数图像①②③④⑤⑥⑦⑧中不属于函数：，的是（    ） A．①⑤ B．②⑥ C．③⑦ D．④⑧ 3．函数=的单调减区间为 A．() B．() C．() D．(0,) 4．已知函数（且）在上单调递增，且，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．27 5．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则（   ）． A．的定义域为 B．在区间单调递增 C．的图象关于对称 D． 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则是增函数 C．不存在实数，使得为偶函数 D．若的值域为，则的取值范围为 11．已知，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题 12．设函数，若存在，满足，则实数的最小值为 ． 13．已知，，且函数是上的单调函数，则实数的取值范围是 . 14．设，若的反函数的图象经过点，则（   ） A． B． C． D． 四、解答题-问答题 15．已知（，且），且． (1)求a的值及的定义域； (2)求在上的最小值． 16．已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求的最小值． 17．已知函数. (1)设函数是定义在R上的奇函数，当时，，求函数的解析式； (2)已知时，函数的最小值为，求实数a的值. 18．已知函数且点（4,2）在函数f（x）的图象上. (1)求函数f(x)的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象； (2)求不等式f(x)<1的解集； (3)若方程f(x)－2m＝0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 19．已知是偶函数． (1)求的值； (2)证明：在上单调递增； (3)若锐角满足，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $