4.1指数与指数运算同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第二册

4.1指数与指数运算 一、单选题 1．已知a＞0，将表示成有理指数幂，其结果是（   ） A． B． C． D． 2．若函数（，且）的图像经过定点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．33 4．下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．若正实数满足，则函数与函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，经过8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 8．已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，当时，函数有（   ） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 二、多选题 9．已知函数，若，且，则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于y轴对称 D．若，且（a，b均不为0），则 11．已知定义域为的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（    ） A． B．的图象关于点成中心对称 C． D． 三、填空题 12．的单调递增区间为 . 13．已知定义在上的函数满足以下两个条件：①对任意恒有；②在上单调递减．请写出一个满足上述条件的函数 ．（答案不唯一） 14．已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为 四、解答题-计算题 15．（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①；    ② 16．已知，且，函数是指数函数，且． (1)求和的值； (2)求的解集． 17．已知函数，． (1)当时，求的值域： (2)若单调递增，求m的取值范围． 18．已知函数（且）的图象过点，． (1)求m的值； (2)当时，解关于x的方程； (3)记，在区间上的值域分别为集合A，B，若是的必要条件，成立，求实数k的取值范围． 19．函数（且）是定义在R上的奇函数． (1)求a的值. (2)判断并用定义法证明的单调性. (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1指数与指数运算 一、单选题 1．已知a＞0，将表示成有理指数幂，其结果是（   ） A． B． C． D． 【详解】.故选：C. 2．若函数（，且）的图像经过定点，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【详解】令，则，所以的坐标为.故选：A. 3．已知函数，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．33 【详解】函数，则，所以.故选：B. 4．下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 【详解】对于，由指数函数的性质可知， 当时，在上单调递减，所以，，B说法错误，D说法正确； 当时，在上单调递增，所以，，AC说法正确；故选：B 5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】要使函数有意义，必须，即， 由指数函数的单调性可得，解得，所以函数的定义域为：，故选：B. 6．若正实数满足，则函数与函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【详解】令，可得或， 对于，若，则的零点，A满足，B不满足； 对于，若，则的零点，C、D不满足.故选：A 7．某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以的增长率生长，经过8天后，该植物的长度是原来的倍，则24天后该植物的长度是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【详解】设植物原来长度m，经过8天后，该植物的长度是原来的倍， 故，即，即 24天后该植物的长度是，即为原来的倍， 则，即24天后该植物的长度是原来的倍，故选：C 8．已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，当时，函数有（   ） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 【详解】由题设，且，则， 所以，则时，， 所以，令，则， 当且仅当时取等号，故最大值为.故选：B 二、多选题 9．已知函数，若，且，则下面结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【详解】由指数函数的单调性可知在上单调递增， 又，所以，故正确； 因为，， 所以， 又，所以上式取不到等号，所以，故正确； ，， ，，，故错误； ，，故正确.故选：C. 10．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．的值域为 B．的解集为 C．的图象与的图象关于y轴对称 D．若，且（a，b均不为0），则 【详解】对A：因为的值域为，所以的值域为．故A正确； 对B：．所以不等式的解集为，故B错误； 对C：与的图象关于y轴对称的图象对应函数的解析式为，所以的图象与的图象关于y轴对称(（且）与的图象关于y轴对称）．故C正确； 对D：作出函数，的图象如图所示，由图可知，当，时，；当，时，． 故D错误.故选：AC 11．已知定义域为的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（    ） A． B．的图象关于点成中心对称 C． D． 【详解】对A，满足，令， 则，即，又为偶函数，，故A对； 对B，， ， 故的周期，再根据，即， 的图象关于点成中心对称，故B对；对C，由B知：的周期， 故，，令，则， 又当时，，即， 即，，故，故C错误； 对D，满足，关于中心对称，又当时， 在上单调递增； 当时，， 当时，为偶函数，，， 当且仅当时，即时等号成立，，故D对.故选：ABD. 三、填空题 12．的单调递增区间为 . 【详解】易知函数是由指数函数和二次函数复合而来， 由复合函数单调性可知求出函数的单调递减区间即可， 利用二次函数性质可知，在上单调递减， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 13．已知定义在上的函数满足以下两个条件：①对任意恒有；②在上单调递减．请写出一个满足上述条件的函数 ．（答案不唯一） 【详解】根据题意知函数满足以下两个条件：①对任意恒有； ②在上单调递减，则在上单调递减， 且，即满足，故符合题意， 14．已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为 【详解】方程化为：，则或， 由，得或，解得或， 由方程有五个不同的实数根，得方程有三个不同的实数根， 因此直线与函数的图象有3个交点， 在直角坐标系中作出的图象，如图，    观察图象知，当时，直线与函数的图象有3个交点， 所以实数的取值范围为.故答案为： 四、解答题-计算题 15．（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①；    ② 【详解】（1） . （2）①由，两边平方得，则， 而，则， 所以； ②由①知，，，所以. 16．已知，且，函数是指数函数，且． (1)求和的值； (2)求的解集． 【详解】（1）因为函数是指数函数， 所以，又，故解得，则， 又，则（负值舍去）． （2），它是定义在R上的减函数， 不等式化为， 所以，解得．所以不等式的解集为． 17．已知函数，． (1)当时，求的值域： (2)若单调递增，求m的取值范围． 【详解】（1）当时，， 令，则，故，所以的值域为． （2）由（1）可得，，因为在上单调递增， 要使在上单调递增，只需在上单调递增即可， ①当时，在上单调递减，不符合题意； ②当时，的图象开口向下，不符合题意； ③当时，则需，解得：. 所以m的取值范围是. 18．已知函数（且）的图象过点，． (1)求m的值； (2)当时，解关于x的方程； (3)记，在区间上的值域分别为集合A，B，若是的必要条件，成立，求实数k的取值范围． 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点， 所以； （2）由（1）知，当时，方程可化为 ． 因为恒成立，所以； （3）由（1）得，当时，函数单调递增， 因为，，所以函数在上的值域． 当时，函数单调递减， 因为，，所以函数在上的值域． 因为是的必要条件，所以． 所以．所以实数k的取值范围为． 19．函数（且）是定义在R上的奇函数． (1)求a的值. (2)判断并用定义法证明的单调性. (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）由题意，得，解得， 当时，，则， 所以函数为奇函数，适合题意，故. （2）函数为R上的增函数.证明如下： 任取，且，则 ， ，，即，，， 所以，即， 所以函数为R上的增函数. （3）由（1）得在上单调递增，， 存在，使得成立，即， 令，易知在上单调递增， 所以，即，当且仅当时等号成立， ，所以实数的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $