专题4.1.1 实数指数幂及其运算（高效培优讲义）数学人教B版2019高一必修第二册

专题4.1.1 实数指数幂及其运算 教学目标 1．理解根式、分数/无理数指数幂的概念及性质 2．掌握有理数指数幂的运算性质并能计算 3．能区分正负分数指数幂的意义及0的指数幂限制 教学重难点 重点：根式性质；分数指数幂意义；有理数指数幂运算性质 难点：根式与分数指数幂的转化；无理数指数幂的理解 知识点01 根式 1.根式的概念 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且. （1）当是奇数时,正数的次方根是一个________,负数的次方根是一个________,这时,的次方根用符号________表示. （2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数________偶次方根. （3）0的任何次方根都是________,记作. 式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做________. 2.根式的性质 根据次方根的意义,可以得到:（1）________； （2）当是奇数时,;当是偶数时, ________ 温馨提示:中当为奇数时, ________为偶数时,,而中________. 【即学即练】 1．（   ） A． B． C． D． 2．当 时，化简: . 知识点02 指数幂 1．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定 负分数指数幂 规定________ 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个相乘． （2）对于正分数指数幂，规定其底数是________． 2．有理数指数幂的运算性质 （1）; （2）________; （3）. 3．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 (是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果． （2）是正无理数)． （3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了________范围． 【即学即练】 1．（   ） A．3 B．2 C． D． 2．若，则（    ） A．11 B．14 C．30 D．45 题型01 利用根式的性质化简 【例1】已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【例2】若，则实数的取值范围为 ． 【变式1-1】式子的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式1-2】若恒成立，则实数的取值范围为 ． 【变式1-3】若，则实数的取值范围是 ． 化简时需注意被开方数的取值范围：偶次根式的被开方数非负，奇次根式的被开方数无限制 题型02 根式与分数指数幂的互化 【例3】下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【例4】已知，将化为有理数指数幂形式，则 . 【变式2-1】经过化简，可得恒等式 （其中 ），则 【变式2-2】将写成根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（   ） A． B． C． D． 题型03 利用指数幂运算性质化简 【例5】已知正数满足，则的最小值为（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 【例6】已知，则关于的表达式 ． 【变式3-1】（多选）下列运算（化简）中正确的有（ ）． A． B． C． D． 【变式3-2】计算： 【变式3-3】计算下列各式： (1)； (2)． 题型04 解简单的指数方程 【例7】方程的解是（    ） A． B． C． D． 【例8】方程的解为 【变式4-1】已知，且，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】方程的解为 ． 【变式4-3】关于的方程的解为 ． 题型05 指数幂条件求值问题 【例9】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【例10】（1）已知，且，求的值． （2）已知，求的值． 【变式5-1】设，，已知，，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式5-2】（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知，.求及的值 解决指数幂条件求值问题，首先需观察已知条件与所求表达式的结构特征，优先对已知条件进行变形（如将幂的形式化为同底数、同指数，或通过因式分解、配方等转化为可整体代入的形式）；再利用实数指数幂的运算性质，对所求表达式进行拆解或重组，使其能代入已知条件变形后的整体值 题型06 根式与指数幂综合化简求值 【例11】计算求值 (1) (2)若，且，求代数式的值. 【例12】已知，，化简：． 【变式6-1】已知，则 ． 【变式6-2】（1）求值： （2）化简：； （3）已知，求的值. 【变式6-3】已知，求证：3k2+2＝2m2． 一、单选题 1．（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知且，下列三个式子，正确的个数为（    ） ①；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 4．化简的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．设大于1的实数，满足，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．10 B．12 C．18 D．24 7．若，则的值为（   ） A． B． C． 8．人们发现，可以通过公式来求方程（均为正实数）的正实数根.例如，方程的正实数根为，我们知道是的唯一正实数根，所以，这里规定.根据以上材料可得（    ） A．3 B．6 C．9 D．4 二、多选题 9．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，则（   ） A． B． C． D． 11．下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12． . 13．若，，用含的代数式表示，则 ． 14．若，则的值为 ． 四、解答题 15．求值： (1)； (2) (3)； 16．已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 17．先化简：，再从中选择一个合适的数代入并求值． 18．化简并求值． (1)若，，求的值； (2)设，求的值． 19．已知，求证: 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题4.1.1实数指数幂及其运算 内容概览 教学目标、教学重难点 根式 知识清单 指数冪 利用根式的性质化简 实数指数幂 根式与分数指数幂的互化 及其运算 利用指数幂运算性质化简 题型精讲 解简单的指数方程 指数幂条件求值问题 根式与指数幂综合化简求值 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解根式、分数/无理数指数幂的概念及性质 教学目标 2.掌握有理数指数幂的运算性质并能计算 3.能区分正负分数指数幂的意义及0的指数幂限制 重点：根式性质；分数指数幂意义；有理数指数幂运算性质 教学重难点 难点：根式与分数指数幂的转化；无理数指数幂的理解 知识清单 知识点01 根式 1.根式的概念 一般地，如果x”=a,那么x叫做a的n次方根，其中n>l,且n∈N (1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数这时，a的n次方根用符号a 表示 (2)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，记为±a,负数没有偶次方根 (3)0的任何次方根都是Q,记作W0=0 1/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 式子√a叫做根式，其中n(n>l,且n∈N)叫做根指数，a叫做被开方数 2.根式的性质 根据n次方根的意义，可以得到：(1)(a)”=a; a,a0, (2)当n是奇数时，√a=a;当n是偶数时，a=a= -a,a<0 温馨提示：(a)”中当n为奇数时，a∈R;n为偶数时，a0,而a)中a∈R 【即学即练】 1.π-3)3-() A.刀 B.π+3 C.3π-3 D.π-3 【答案】D 【详解】π-3)=（π-3=元-3 故选：D 2.当x<0时，化简：++= 【答案】-x 【详解】因为x<0 所以F++=x-x-x=-x, 故答案为：-x 知识点02指数幂 1.分数指数幂的意义 正分数指数幂 规定a"=√am(a>0,m,neN,且n>1 分数指数 幂 负分数指数幂 规定g日_三(a>0,mneN,且n> 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 温馨提示：(1)分数指数幂a”不可以理解为”个a相乘。 m (2)对于正分数指数幂，规定其底数是正数. 2.有理数指数幂的运算性质 (1)a'a=a+(a>0,r,seQ) (2)a）'=a(a>0,r,s∈Q) 2/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)(ab)'=ab(a>0,b>0,r∈Q) 3.无理数指数幂 一般地，无理数指数幂a“(a>0,a是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无 理数指数幂。 温馨提示：(1)对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果， (2)ab= (a>0,b是正无理数). (3)定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围. 【即学即练】 1.9ix275=（) 2 A.3 B.2 C. D.3 【答案】D 【详解】92×27=(32)2×3)f=33×32=3= 31 故选：D 2.若10°=3,10°=5，则102+b=（) A.11 B.14 C.30 D.45 【答案】D 【详解】由10°=3,100=5，得102a+b=1020×10=(10)2x10=32×5=45 故选：D 题型精讲 题型01 利用根式的性质化简 【例1】已知a<1,则Va-1)2+a=() A.-1 B.1 C.2a-1 D.1-2a 【答案】B 【详解】因为a<1,所以Va-)2+a=a-l+a=1-a+a=1. 故选：B 【例2】若V3a-1)2-1-3a)3，则实数a的取值范围为 3/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】a<3 【详解】因为3a-1)2=1-3a)3，即3a-=1-3a,所以3a-1<0, 解科a行 故答案为：a<3 【变式1-1】式子V(π-4)2+(3-π)的值为() A.7-2π B.2π-7 C.-1 D.1 【答案】A 【详解】V(π-4)2+3-π)=4-元+3-元=7-2π， 故选：A 【变式1-2】若a2-(a-l)=(1-a)va+1恒成立，则实数a的取值范围为 【答案】[-1， 【详解】a2-1(a-1刂≥0，则(1-aVa+1≥0， 1-a20 所以 a+1≥0' 解得-1≤a≤1. 故答案为：【-1， 【变式1-3】若a2-4a+4=2-a,则实数a的取值范围是 【答案】(-0,2] 【详解】因为a2-4a+4=a-22≥0， 所以2-a≥0，即2-a≥0，解得a≤2， 当a≤2时，即2-a≥0， 满足a2-4a+4=a-2)2=2-a2=2-a 所以实数a的取值范围是(-0,2]. 故答案为：(-0,2} 方法技巧 化简时需注意被开方数的取值范围：偶次根式的被开方数非负，奇次根式的被开方数无限制 题型02根式与分数指数幂的互化 【例3】下列等式成立的是() 4/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.x3=-(x≠0) B.-3=3 C.VR+严=(x+y月 D.V6=5 【答案】D 【详解】对于A,x=(x≠0)，故A错误； 对于B,-3)=3=9>0,3<0,故B错误： 对于C,当x=l,y=l,时，√+少=V2,(x+yi=22=22,故C错误： 对于D,√丽 =96=3“6=5,故D正确 故选：D 【例4】已知a>0,将aN后 a 化为有理数指数幂形式，则k=」 【陪】 7 00 【详解】a√a a·a2 故答案为： > 6 【变式2-1】经过化简，可得恒等式y=xy”(其中x>0,y>0),则m+n= 【答案】 34 【详解】依题意， y=xy,而y=x"y, 则m=3n=4,而neN,n>1,解得n=2,m= 、4 3 n n 1 所以m+n=2 故答案为：2 【变式2-2】将s3写成根式，正确的是() A.53 B.5 C.5 D. 【答案】C 5/20 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】5=5 故选：C 【变式2-3】（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是() A.-√x=(-x)2 B.F=y0<0) 1 C.x3=r+0 D.[-r=x>0 【答案】CD 【详解】因为-√F=-x2,所以选项A错误： 因为F=y:-y0<0·所以选项B错误： 因为x3= 行x≠0，所以选项C正确 3 因为- =x3(x>0, 所以选项D正确 故答案为：CD 题型3利用指数幂运算性质化简 【例5】已知正数a,b满足9×27=3，则3a+2b的最小值为() A.9 B.12 C.18 D.24 【答案】D 【详解】5×7=3x3-3-3所以2+21， 232,3 a b 因为a,b为正数， 所以3a+2b=(3a+2b2+=12++9≥12+2×0=24. a b a b a b 当且仅当0.90时，即a=4,6=6时，等号成立， a b 所以3a+2b的最小值为24 故选：D -2x6y2 【例6】已知x>0,y>0,则关于x,y的表达式 【答案】4 6/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】原式=4ryxy4ry号 51 15 =4, x2y2 x2y2 故答案为：4 【变式3-1】（多选）下列运算（化简）中正确的有(). B.(xy°(4y）=4x c.[--+++°=3-25 D. 【答案】ABD 【详解】对于A: ca-a=,A正确 对于B:(y(4y）=4xy=4g0=4x,故B正确： 对fc[-明-+例'++- [【6-月51=5-1--小1=i数c错误 [2x-4]号6.-56 a3b3,故D正确： 故选：ABD 【变式3-2】计算： aa÷aaa>0 【答案】1 【】声指源运英法则：原大--o。于-o女-a-】 故答案为：1， 【变式3-3】计算下列各式： 7/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 02+2-0oy ②(-8+002-10xw5-2+5-5r. 【答案】08 216 9 【10试-1传-(-1g0 〔g)+sm-10小5+2+1 g+105-10W5-20+1=-16 1 题型04解简单的指数方程 【例7】方程36=的解是() 9 A.2 B.-② 2 C.2 【答案】B 【详解】由3-)得3-， 所以√2x-1=-2,√2x=-1, 解得x=-② 2 故选：B 【例8】方程2+1=2的解为 2+1 【答案】1 【详解】方程可化为2+1=2(2+1)， 即25-2×2-1=0， 设2”=y, 8/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 原方程可化为y-2-1=0,即y-2-y=0, 解得y=2或y=-1(舍去)， 即2=2→x=1, 故答案为：1 【变式4-1】已知3×9"=3”，且x,y>0,则x+2y的最小值是() A.22 B.4 C.42 D.8 【答案】D 【详解】由题可得x+2y=xy,且x,y均为正数， 故x+2y=w=2x2y≤2 1x+2y)2 2 22 即x+2y≥8，当且仅当x=4,y=2时取等号 所以x+2y的最小值为8 故选：D √2x+2 【变式4-2】方程81x325✉ 的解为一 9 【答案】√2 V2x+2 【详解】81x32w5x 3×32=322,3=32， 4+2W2x=-2V2x-4,4V2x=-8:x=-V2 故答案为：√2 【变式4-3】关于x的方程4-2=2的解为 【答案】x=1 【详解】由4-2=2可得(2)-2-2=0，即(2+1)(2-2)=0， 因为2>0，可得2=2，故x=1 所以，方程关于x的方程4-2=2的解为x=1 故答案为：x=1 题型05指数幂条件求值问题 3m-2n 【例9】已知10”=2,10=3，则102=（） B. C.2 2 D. 2W2 9 3 【答案】D 9/20 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3m-2n) 【详解】根据题意， 得 102 =1020=10×10=(10×102-2×32=8, 3m-2n 3m-21 因为102>0， 所以102 82W2 =93 故选：D 【例10】1)已知0<x<1,且，+：6，求3-x2的值. x+x-1 （2)已知a+a=3aeR,求+a+的值. a+a+l 【答案】(1)- ；(2)6 4 【详解】(1)由题意可知2+x =x+x1+2=6,∴.x+x=4, x2-x2 =x+x1-2=2, 11_1 0<x<1,x2<x2,x2-x2=-√2， x-x2 +x寸s 4 2a+a=3a+aa+-2n=7, 11)2 11 a2+a2=(a+a1}2-2aa1=47, a2+a2+147+1 a+al+17+1 6 【变式5-1】设a>0,a≠1，已知m=d,n=d,m'm=a,则z的值为（） A.0 B.1 C.2 D.4 【答案】C 【详解】：m=a,∴m'=(a=a”, 又n=a',则n=a'）=a”, 所以mn=a09=02=0,2y=生，解得0z=2 故选：C 【变式5-2】（多选）已知a+=3,则() a 10/20