专题6.2角(知识点+题型+提升专练)讲义 2025-2026学年苏科版七年级数学上册

专题6.2 角 *目录 知识 点 梳理 1.角的基础定义与表示 2.角的度量 3.角的分类 4.角的相关特殊概念 5.角的核心性质与定理 6.角的运算与拓展 题型 巩固 1.角的概念理解 2,角的表示方法 3.角的分类 4.钟面角 5.方向角的表示 6.与方向角有关的计算题 7.角的单位与角度制 8.角的度数大小比较 9.三角板中角度计算问题 10.几何图形中角度计算问题 11.角度的四则运算 12.角平分线的有关计算 13.求一个角的余角 14.求一个角的补角 15.与余角.补角有关的计算 16.同(等)角的余(补)角相等的应用 分层 提升 1.单选题(7) 2.填空题(7) 3.解答题(7) 知识梳理 知识点1.角的基础定义与表示 一、角的基础定义 核心定义：由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角。 其中，两条射线的公共端点叫做角的顶点； 组成角的两条射线叫做角的两条边。 动态定义（拓展理解）：角也可以看作是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。射线旋转的起始位置叫做角的始边，旋转后的终止位置叫做角的终边。 关键特征：角的大小与两条边的长短无关，只与两条边张开的程度有关，张开得越大，角就越大。 二、角的规范表示方法 1.三字母表示法（通用规范） 方法：用角的顶点字母和两条边上各取的一个点的字母表示，顶点字母必须写在中间。 2. 单字母表示法（简洁适用) 方法：当顶点处只有一个角时，直接用顶点字母表示。 3.数字表示法（多用于复杂图形） 方法：在角的内部靠近顶点处画一条弧线，标注阿拉伯数字，用数字表示该角。 4.希腊字母表示法（多用于复杂图形) 方法：在角的内部靠近顶点处画弧线，标注小写希腊字母（如 α、β、γ 等） 知识点2.角的度量 一、角的度量单位 角的大小用度、分、秒来表示，它们是六十进制的计量单位，具体换算关系如下： 1 度（记为 1°）= 60 分（记为 60′） 1 分（记为 1′）= 60 秒（记为 60″） 二、度量工具 —— 量角器 量角器是测量角的常用工具，它的核心特征是：半圆刻度盘，范围从 0° 到 180°，中心有一个中心点，刻度盘上有内圈刻度和外圈刻度。 量角器的使用步骤（四步走） 1.对点：将量角器的中心点与角的顶点完全重合； 2.对线：将量角器的0° 刻度线与角的一条边完全重合（这条边作为角的始边）； 3.读数：观察角的另一条边（终边）所对应的量角器刻度，读取数值。注意：如果始边对齐的是内圈 0° 刻度线，就读内圈刻度；对齐外圈 0° 刻度线，就读外圈刻度； 4.记录：将读出的度数记录下来，即为该角的度数。 知识点3.角的分类 一、按角的度数大小分类（核心分类方式） 1.锐角 2.直角 3.钝角 4.平角 5.周角 二、按角的位置关系分类（拓展分类，适配综合题型） 1.对顶角 2.邻补角 3.同位角、内错角、同旁内角 知识点4.角的相关特殊概念 1.余角（互余） 定义：若两个角的和等于 90°（直角），则这两个角互为余角，简称 “互余”。例如：∠1+∠2=90°，则∠1 是∠2 的余角，∠2 也是∠1 的余角。 2.补角（互补） 定义：若两个角的和等于 180°（平角），则这两个角互为补角，简称 “互补”。 3.邻补角（位置 + 数量双重关系） 定义：既相邻又互补的角（前文已述，此处强化数量关系），本质是补角的特殊情况，有一条公共边，另一边互为反向延长线. 知识点5.角的核心性质与定理 一、角的基本性质（基础核心，贯穿几何学习） 1.角的大小不变性 核心内容：角的大小只与两条边张开的程度有关，与边的长短、粗细无关 周角与平角的基本关系 核心内容：1 个周角 = 2 个平角 = 4 个直角，即 360° = 2×180° = 4×90°。 2.角的和差性质 核心内容：若一个角由两个或多个角组成，则这个角的度数等于组成它的各个角的度数之和；反之，一个角可以拆分为若干个角的度数之差。 二、基于位置关系的角的定理（图形中高频应用） 1.对顶角定理 定理内容：对顶角相等。 2.邻补角定理 定理内容：邻补角互补，即两条直线相交形成的邻补角之和为 180°。 三、基于数量关系的角的定理（计算与证明核心） 1.余角相关定理 定理 1：若两个角互为余角，则它们的和为 90°。 定理 2：同角（或等角）的余角相等。 2.补角相关定理 定理 1：若两个角互为补角，则它们的和为 180°。 定理 2：同角（或等角）的补角相等。 四、角平分线的核心定理（线段与角结合的重点） 1.角平分线性质定理 定理内容：角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等。 符号表示：若射线 OC 平分∠AOB，点 P 在 OC 上，且 PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，则 PD=PE。 2.角平分线判定定理 定理内容：在一个角的内部，到角的两条边距离相等的点，在这个角的平分线上。 符号表示：若点 P 在∠AOB 内部，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，且 PD=PE，则点 P 在∠AOB 的平分线上。 知识点六.角的运算与拓展 一、角的基础运算（核心必备，筑牢计算根基） 1.度、分、秒的换算运算 度、分、秒是六十进制单位，换算核心是 “满 60 进 1，借 1 当 60”，常见运算包括单位换算和加减乘除。 3. 角的和差倍分运算 结合角的组成关系，通过已知角的度数求未知角，常与角平分线、特殊角（直角、平角）结合。 核心公式 和差：∠AOB = ∠AOC + ∠COB；∠AOC = ∠AOB - ∠COB 倍分：若 OC 平分∠AOB，则∠AOB = 2∠AOC = 2∠COB，∠AOC = ∠COB = 1/2∠AOB 二、结合图形的角的综合运算（高频考点，衔接几何证明） 1.相交线中的角运算 核心利用对顶角相等、邻补角互补的定理，解决两条直线相交时的未知角计算。 2.平行线中的角运算 .借助平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）和判定定理，实现角的数量关系转化。 3.三角形中的角运算（基础铺垫） 结合三角形内角和为 180°、直角三角形两锐角互余等性质，进行角的计算（后续三角形章节将详细展开）。 三、角的拓展运算（能力提升，适配综合题型） 角的动态问题运算 多角和差的复杂运算 四.角的运算实际应用拓展（联系生活，强化知识迁移） 1.钟表中的角运算 钟表可看作一个周角（360°），时针每小时转 30°（360°÷12），每分钟转 0.5°（30°÷60）；分针每分钟转 6°（360°÷60），核心是计算时针与分针的夹角。 2.方位角中的角运算 方位角以正北或正南为基准，描述物体的位置，运算时需明确基准方向，结合角的和差计算相对位置。 （练习题） 题型1.角的概念理解 1．下列说法正确的是（   ）. A．角是两条射线组成的图形 B．延长一个角的两边 C．周角是一条射线 D．反向延长射线得到一个平角 【答案】D 【分析】本题主要考查角，熟练掌握角的相关定义是解题的关键． 根据角的定义进行判断即可． 【详解】解：对于A，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，如果两条射线的端点不同，这样的两条射线组成的图形不一定是角，故A错误； 对于B，角的两条边是射线，只能反向延长，故错误； 对于C，角应该有一个顶点，由两条射线组成，不正确； 对于D，反向延长射线，成为平角的顶点，得到一个以为顶点的平角，故正确． 故选：D． 2．下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可． 【详解】解：图1中，角的顶点为，应表示为； 图2表示正确； 图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角； 图4表示正确． 所以表示正确的个数为2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识是解题关键． 3．已知都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算的结果依次是，其中只有一人计算正确，他是 ． 【答案】乙 【分析】本题重点考查了钝角的定义，大于90度小于180度的叫钝角，所以，，先计算的范围，再计算 的范围，即可确定哪一个是正确的． 【详解】解：∵，都是钝角， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，，四个结果中，只有48°是正确的． 所以算的正确的是乙． 故答案为：乙． 4．已知：如图1，点依次在直线上，现同时将射线绕点按逆时针方向分别以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为（）秒，经过 秒． 【答案】或或24 【分析】本题考查的是角的动态定义，角的和差关系，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键． 第一次追上之前，，得到；第一次追上之后，，得到；第二次追上之前，，得到；第二次追上之后，，，分别解方程，最后一次不成立． 【详解】解：①如图，第一次追上之前，， 由题可知， ， 的运动速度是每秒， ， ， 即， 解得； ②如图，第一次追上之后，， 此时，， ， ， 解得； ③如图，第二次追上之前，， 此时，， ， ， 解得； ④如图，第二次追上之后，， 此时，， ， ， 解得（不合题意）； 综上，的值为6或12或24． 故答案为：6或12或24． 题型2.角的表示方法 5．如图，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲和乙都不可以 【答案】A 【分析】本题考查的是角的表示方法．根据角的表示方法逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：甲：能用，，是同一个角，故符合题意； 乙：，是同一个角，不能用表示一个角，故不符合题意； 故选：A． 6．将图中的角用不同的方法表示出来，并填写下表：    万杰朝阳学校上午第二节课的下课时间是9：40，此时时针与分针的夹角是 ． 【答案】 50 【分析】根据角的表示方法结合图中角的位置可得到①-⑤；根据钟表上，一大格是求解⑥即可． 【详解】解：根据图形，填表如下： 万杰朝阳学校上午第二节课的下课时间是9：40，此时时针与分针的夹角是， 故答案为：，，，，，50． 【点睛】本题考查角的表示、钟面角，熟知角的表示方法和钟面上一大格是是解答的关键． 7．如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在内画1条射线，观察发现图中共有3个角：在内画2条射线时，则图中共有6个角：在内画3条射线时，则图中共有10个角：按照此规律，在内画条射线时，图中共有 个角． 【答案】 【分析】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律． 根据图形数出即可得出前三个的答案，根据结果得出规律． 【详解】解：在内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有个角， 故答案为：． 8．如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论：①以为顶点的角有15个； ②若平分，平分，，则 ③若为的中点，为的中点，则； ④若，，则．其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题综合考查了角平分线和线段中点的相关计算．根据角的表示方法可得以O为顶点的角的个数，判断①；根据角平分线的定义，以及角之间的和差关系，进行求解，判断②；根据线段的中点，进行求解，判断③；根据，，得到，判断④． 【详解】解：以O为顶点的角有个，故①正确； 由角平分线的定义可得：，， ∵， ∴ ∴， ∴， ， ∴， 故②正确； 由中点定义可得：，， ∴， ∵, ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴，即，故④错误； 故选：C. 题型3.角的分类 9．下列各角中，是钝角的为（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 【答案】B 【分析】本题考查了直角、平角、周角的概念．要知道大于而小于的角是钝角这样的常识． 通过给出的角分别计算出各角的度数，然后和、比较，即可得出答案． 【详解】解：∵周角，是直角，不符合题意； 平角，是钝角，符合题意； 平角，是锐角，不符合题意； 直角，是锐角，不符合题意； 故选：B． 10．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕．则 度． 【答案】 【分析】此题考查了角的计算，平角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据翻折的性质可知，，再根据平角的度数是，即可求出． 【详解】解：根据翻折的性质可知，，， 又∵， ∴． 故答案为：． 11． 用一副直角三角尺（一把直角尺和一把直角尺）可以在纸上画出的最大钝角 是 ． 【答案】150 【分析】首先我们找到这一副三角板的度数，一把为：、、，一把为：、、.从两幅中任意各选一个度数进行组合，找到最大的钝角即可解题． 【详解】因为； ； ； ； ； 所以用一副三角尺可以拼出105度，120度，135度，150度的钝角，其中最大是150度的钝角． 故答案为：． 【点睛】本题考查了钝角的概念，注意钝角是大于小于的角，熟悉三角板的度数也是解题的关键． 12.．如图，点C，D在线段上，O为上方一点，连接，，有下列结论：①图中共有8个锐角；②图中互余的角有3对；③图中共有线段10条；④若，，P为线段上一点，则点P到点A，C，D，B的距离之和最小为18．其中正确的结论有（   ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【分析】此题分别考查了线段、角的定义，解题时注意：互为余角的两个角的和为．①根据锐角的定义即可求解；②根据余角的定义即可求解；③按照一定的顺序数出线段的条数即可；④当P在线段上点P到点A，C，D，B的距离之和最小．据此判断即可． 【详解】解：①图中，，共有9个锐角；故①错误； ②互余的角有，，有3对；故②正确； ③图中有线段，，，，共有10条； 故③正确； ④根据题意当P在线段上，则点P到点A，C，D，B的距离之和最小为，④正确； 综上，②③④说法正确， 故选：A． .题型4.钟面角 13．时钟在12点25分时，分针与时针之间的夹角度数为（   ） A．120度 B．137.5度 C．150度 D．137度 【答案】B 【分析】本题考查钟面角，根据钟面上一个大格是30度，分针一分钟走6度，时针一分钟走0.5度，进行求解即可． 【详解】解：从12点开始到12点25分时，时针和分针均走了25分钟， 故分针与时针之间的夹角度数为； 故选B． 14．在8：30时，时钟的时针与分针所夹的锐角为 度． 某电台周六上午“少儿节目”9:05开始，这时时钟上时针与分针所夹的锐角为 度 【答案】 75° 117.5° 【分析】根据钟面平均分成12份，可得每份的度数，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 【详解】解：钟面每份是30°，8点30分时针与分针相距2.5份， 8点30分时，时钟的时针与分针所夹的锐角是30°×2.5=75°， 9:05时，时钟的时针与分针所夹的锐角是30°×=117.5°， 【点睛】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题关键． . 15．宁宁在早晨6点至7点之间晨练，出门和回来的时候，时针与分针的夹角都是110°，则宁宁晨练的时间为（   ）分钟． A．35 B． C．40 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．根据分针每分钟转，时针每分钟转，可列方程求解． 【详解】解：设宁宁开始晨练的时间是6点分， 根据题意，得， 解得：； 再设结束晨练的时间是6点分， ∴， 解得：， ∴宁宁晨练的时间为分钟． 故答案为：40． 16．如图，小文同学为研究12点t分（）时的钟面角，把数字12所在的刻度记为点 A，把时针记为，分针记为．当两两所夹的三个角中有两个角相等时，t的值为 （本题中所有角的度数均不超过 ）． 【答案】或 【分析】本题考查了钟面角和一元一次方程的应用，根据时针和分针的转动，用t表示出， ，，再根据有两个角相等可列方程，求解可得t的值． 【详解】解：∵钟表一周为 ∴分针每分钟走，时针每分钟走， 依题意得， ①当时，，，，不存在相等的两个角， ②当时，即：时，，， 此时可能相等的两个角是：当 时，即，解得：， ③当时，即：时，，， 此时可能相等的两个角是：当 时，即，解得：， 综上，当或时， 三个角中有两个角相等 题型5.方向角的表示 17．如图是学校、小敏家、小凯家的位置示意图，下列表述正确的是（    ） A．小敏家在学校北偏东的方向，距离处 B．小凯家在学校北偏东的方向，距离处 C．学校在小凯家南偏西的方向，距离处 D．学校在小敏家南偏西的方向，距离处 【答案】D 【分析】本题考查了方向角，在观测物体时，地球南北方向与观测者观测物体视线的夹角叫做方向角．根据方向角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A． 小敏家在学校北偏东的方向，距离处，故该选项不正确，不符合题意； B． 小凯家在学校北偏东的方向，距离处，故该选项不正确，不符合题意； C． 学校在小凯家南偏西的方向，距离处，故该选项不正确，不符合题意； D． 学校在小敏家南偏西的方向，距离处，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 18．小明面向北偏东方向站好，当他向左转时，他面向（   ）方向． A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】D 【分析】本题考查方向角的有关计算，根据题意，得到小明向左转，即逆时针转，进行求解即可． 【详解】解：由题意，小明向左转，即逆时针转， 故左转后，他面向的是北偏西； 故选：D． 19．在航行、测绘等工作中，经常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向．如图，一艘轮船行驶到B处时，测得小岛的方向分别为北偏西和北偏东方向，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方向角、角的和差等知识点，根据方向角的定义确定相关角的大小成为解题的关键． 由题意可得、，然后根据角的和差求解即可． 【详解】解：如图：由题意可得：、， ∴． 故答案为． 20．一次台风的大致路径如下图： （1）台风生成后，先是沿着正( )方向移动了( )，然后沿( )( )方向移动了( )，到达了A市． （2）接着，台风又改变方向，沿( )( )方向移动了( )，到达了B市． 【答案】 西 540 北偏西 60 600 北偏西 30 200 【分析】本题考查了方向角在生活中的实际应用．根据示意图中的方向指示，结合台风从生成地经A市到B市的实际运行方向和距离解答即可． 【详解】解：（1）根据“上北下南，左西右东”的地图方向，可知：台风从生成地开始沿着正西方向移动了，然后沿着北偏西移动了， 到达了A市． 故答案为：西；540；北偏西；；600． （2）同样由“上北下南，左西右东”，可知：接着，台风又改变方向，沿北偏西方向移动了，到达了B市． 故答案为：北偏西；；200． 题型6.与方向角有关的计算问题 21．如图，一艘轮船在海上由西往东行驶，在处测得灯塔位于北偏东方向，在处测得灯塔位于北偏东方向，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义以及三角形内角和定理是解决问题的关键． 根据方向角的定义，求出、，再根据三角形的内角和定理求出结果即可． 【详解】解：由方向角的定义可知，，， ． 故选：B． 22．如图，一艘轮船在大海中航行，在点处发现灯塔在北偏西方向，灯塔在南偏东的方向，则下列结论错误的是（   ）    A．与互为补角 B．平分 C．图中以为边的角有5个 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是角的和差运算，方向角的含义，根据方向角的含义，结合角的和差运算逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴与互为补角，故A不符合题意； ∵，， ∴， ∴平分，故B不符合题意； ∵以为边的角为：，，，，，，共6个， ∴C符合题意； ∵，，， ∴．故D不符合题意． 故选：C 23．芳芳从A点出发向北偏东方向走了到达B点，丽丽从A点出发向西偏南方向走了到达C点，那么B、C两点之间的距离是 m． 【答案】90 【分析】本题考查了方位角，线段的和差，角的和差，由方位角的定义得，，由角的和差得 ，可得C、A、B三点在同一条直线上，由线段的和差即可求解；理解方位角，会判断三点共线时是解题的关键． 【详解】解：如图， 根据题意，得，，，，， ∴， ∴C、A、B三点在同一条直线上， ∴， 即B、C两点之间的距离是， 故答案为：90． 24．如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，，射线是的反向延长线．    （1）射线的方向是 ． （2）若射线平分，则的度数是 °． 【答案】 北偏东/北偏东75度 150 【分析】本题考查了方向角，角平分线的定义，熟练掌握方向角的意义是解答本题的关键．在观测物体时，地球南北方向与观测者观测物体视线的夹角叫做方向角． （1）由方位角的定义得，然后求出即可求解； （2）先求出，再根据角平分线的定义求出，进而可求出的度数． 【详解】解：（1）∵射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴射线的方向是北偏东， 故答案为：北偏东；    （2）∵， ∴． ∵射线平分， ∴ ∴． 故答案为：150． 题型7.角的单位与角度制 25．将用度、分、秒表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查度、分、秒的互化，相对比较简单，注意以60为进制． 先求出，再求出，进而可得出答案． 【详解】解：，， 故把用度、分、秒表示为， 故选：B． 26．如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了钟面角．用乘以两针相距的份数的占比是解题关键． 根据钟面的特点，钟面平均分成12份，根据时针与分针相距的份数，可得答案． 【详解】解：． 故选：A． 27．若，与互余，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角的定义、度分秒的换算等知识点，掌握余角的定义、度分秒的换算法则是解题的关键． 先利用余角的定义列式，然后利用度分秒的换算法则计算即可． 【详解】解：∵，与互余， ∴． 故答案为：． 28．有下列说法： ①已知，则M点是线段的中点： ②把一个周角7等分，计算每份的结果（精确到秒）为：； ③如图甲，射线分别平分，若，则； 其中正确的是 （填序号） 【答案】①② 【分析】本题考查了线段中点的定义，度分秒的转化，角平分线的有关计算，熟练掌握各知识点是解题的关键． ①根据线段中点的定义即可判断；②根据度分秒的转化方法即可求解；根据角平分线依次得到，，，而，则，求出，再检验即可． 【详解】解：∵， ∴M点是线段的中点， 故①正确； ∵把一个周角7等分， ∴计算每份的结果为， ， ， ∴计算每份的结果（精确到秒）为：， 故②正确； ∵射线平分， ∴设， ∵平分，平分 ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故③错误， 故答案为：①②． 题型8.角的度数大小比较 29．如图，利用带角的三角板比较和的大小，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题主要考查角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键． 由图知，，故可比较大小． 【详解】解：图中为带角的三角板， ，， ． 故选：A． 30．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先∠1、∠2已经是度、分、秒的形式，故将∠3化为度、分、秒的形式；再根据三个角的度数进行大小比较，即可得到结论． 【详解】∵，，=25°， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查了角的大小比较，熟练掌握同一角的单位比较角的大小并灵活运用是解决本题的关键． 31．比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查角度的计算，比较大小，根据，度化成分，乘以进率；分化成度，除以进率，统一单位后进行比较即可，掌握角度的相互转换是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 32．如图，点О是量角器的中心点，射线OM经过刻度线90．若．射线OA、OB分别经过刻度线40和60，在刻度线OM的右侧． 下列结论： ①； ②若与互补，则射线经过刻度线160； ③若，则图中共有5对角互为余角． 其中正确的是 （填序号） 【答案】①② 【分析】根据等式的性质可判断①，根据补角的定义求出，从而得到可判断②，算出各角的度数，找到直角，根据余角的定义和性质可判断③． 【详解】解：①∵， ∴， ∴，故正确； ②由题意可得：， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即射线经过刻度线160，故正确； ③∵， ， ∴， ∴和互为余角， ∵射线OM经过刻度线90， ∴， ∴和，和，和，和，和互为余角， 即共有6对角互为余角，故错误； ∴正确的有①②， 故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查读角、余角和补角的定义、角的计算等，看清图形是解题的关键． 题型9.三角板中角度计算问题 33．一副三角尺按如图所示的方式摆放，且和互余，且比大，则的度数为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角的概念，互为余角的两角和为． 根据余角的概念得到，进而根据比大计算即可． 【详解】解：因为和互余， 所以． 又比大， 所以， 代入得， 解得， 所以． 故选：B． 34.如图，将一副三角尺的直角顶点重合，摆放在桌面上，若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查三角尺，角的和差，掌握知识点是解题的关键． 先推导出，继而求出，则，即可解得． 【详解】解：由图，得 ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 35．一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，两边组成的角时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线及角度加减，解题的关键是熟练掌握角平分线有关计算． 设三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，得到，点B的对应点为,当平分时，得，结合，由计算即可得到答案． 【详解】解：设三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，到的位置，点B的对应点为． 当平分时， ∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 36．题目： “一块含角的直角三角板和一块含角的直角三角板拼成如图1所示的图案后， 三角板固定不动， 将三角板绕顶点B旋转一周， 如图2． 当时（注： 均指图中不超过的角）， 求旋转角的度数．”对于其答案， 甲答：， 乙答：， 则正确的是 （    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】C 【分析】本题考查与三角板有关的计算，分两个三角板重合有得重合部分和不重合两种情况，进行讨论求解，判断即可． 【详解】解：由题意，可知：， ∴， 当两个三角板不重合时，如图： 则：， 当两个三角板有重合部分时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴； 故甲、乙答案合在一起才完整； 故选C． 题型10.几何图形中角度计算问题 37．如图，已知与，分别以和为圆心，以同样长为半径画弧，交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，作射线．下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，熟练掌握尺规作图是解题关键．根据作一个角等于已知角可得，据此逐项判断即可得． 【详解】解：由题意可知，，则选项C正确，不符合题意； ∵， ∴，则选项D正确，不符合题意； ∵，， ∴，则选项B正确，不符合题意； 假设正确，则， ∴， 又∵， ∴，但根据已知条件不能得出这个结论， ∴假设不成立，即选项A错误，符合题意． 故选：A． 38．如图，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”若，且射线是的“平衡线”，则的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的计算、一元一次方程的应用等知识点，理解“平衡线”的定义以及分类讨论思想是解题的关键． 根据“平衡线”的定义，分、、三种情况，分别列出关于的方程求解即可． 【详解】解：根据“平衡线”的定义，可分三种情况讨论： ①当时，即，解得：； ②当时， ， ，解得：； ③当时， ， ，解得：； 综上，的度数为或或． 故选：D． 39．如图，在线段上方作，点C、D分别为线段上动点，作射线、，过点O作射线、（和均在内部），满足，，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的和差，当在的左边时，设，，由角的和差得，即可求解；当在的右边时，同理可求；能根据角的边的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：如图，当在的左边时， 设，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图，当在的右边时， 同理可得：， ， ， ； 故答案为：或． 40．如图①，点O在直线上，过O作射线，三角板的顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 时，直线恰好平分锐角（图②）． 【答案】6或24/24或6 【分析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据直线恰好平分锐角，得到三角板旋转的度数，进而得到的值． 【详解】解：， ， 当直线恰好平分锐角时，如图： ， 此时，三角板旋转的角度为， ； 当在的内部时，如图： 三角板旋转的角度为， ； 的值为：6或24． 故答案为：6或24． 题型11.角度的四则运算 41．已知，且三个角的和为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角度的计算，用三个角的和乘以所占比例即可求出的度数． 【详解】∵，且三个角的和为， ∴． 故选：A． 42．下列四个说法：①射线AB和射线BA是同一条射线；②两点之间，线段最短；③和38.15°相等；④画直线AB=3cm；⑤已知三条射线OA，OB，OC，若，则射线OC是∠AOB的平分线．其中正确说法的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据射线的性质；数轴上两点间的距离的定义；角平分线的定义，线段的性质解答即可． 【详解】解：①射线AB和射线BA表示不是同一条射线，故此说法错误； ②两点之间，线段最短，故此说法正确； ③38°15'≠38.15°，故此说法错误； ④直线不能度量，所以“画直线AB=3cm”说法是错误的； ⑤已知三条射线OA，OB，OC，若，则OC不一定在∠AOB的内部，故此选项错误； 综上所述，正确的是②， 故选：A． 【点睛】本题考查了射线的性质；数轴上两点间的距离的定义；角平分线的定义，线段的性质等知识，解题的关键是了解直线的性质；数轴上两点间的距离的定义等． 43．已知：，，且与有公共边，则这两个角的另两条边的夹角为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了度分秒的换算，角的计算，分两种情况：当这两个角的另两条边在公共边的异侧时；当这两个角的另两条边在公共边的同侧时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当这两个角的另两条边在公共边的异侧时，如图： ∵，， ∴这两个角的另两条边的夹角； 当这两个角的另两条边在公共边的同侧时，如图： ∵，， ∴这两个角的另两条边的夹角； 综上所述：这两个角的另两条边的夹角为或， 故答案为：或． 44．拿一张长方形纸片，按图所示方法折叠，得到折痕，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），角的计算，根据折叠的性质可得：，然后利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 由折叠得：， ∴， 故答案为：． 题型12.角平分线的有关计算. 45．如图，点，，在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，邻补角的性质，明确题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键．根据，可得，从而得到，再由平分，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A 46．如图，一艘轮船行驶到O处时，测得小岛A、B分别在它的北偏东和南偏东方向，若小岛C在的平分线上，则的度数是 ．(用度分秒的形式表示) 【答案】 【分析】本题考查了方位角，角平分线的性质，先根据方位角的定义及平角的定义可得的度数，再根据角平分线的性质即可求解，熟练掌握方位角的概念是解题的关键． 【详解】解：∵小岛A、B分别在它的北偏东和南偏东方向， ∴， ∵小岛C在的平分线上， ∴平分， ∴， 故答案为：． 47．如图，与都是以为顶点的直角．有以下结论：①；②与互余；③与互补；④若平分，则也平分．其中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查余角、补角及角平分线的定义，熟练掌握余角、补角及角平分线的定义是解题的关键；由题意易得，，然后根据余角、补角及角平分线的定义可进行排除选项． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴，故①对，②错误； ∵， ∴，故③对； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故④正确； 综上所述：正确的有①③④； 故选C． 48．如图，，，分别是和的平分线，，分别是和的平分线，，分别是和的平分线，……，，分别是和的平分线，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查角平分线的性质，图形规律等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 由角平分线性质推理得，据此规律可解答． 【详解】解：∵分别是和的平分线， ， ， ∵分别是和的平分线， ， ， ∵分别是和的平分线， ，   ， ， 由此规律得：． 故答案为：． 题型13.求一个角的余角 49．若一个角的补角是它的余角的2倍多，则这个角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查补角、余角的概念、一元一次方程的应用等知识点，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 设这个角为，根据补角和余角的定义列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个角为， 由题意可得：， ， ， ． 故选B． 50．如果和互补，且，那么下列表示的余角的式子： ①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了余角和补角的定义，解题的关键是掌握余角和补角的定义．根据补角的定义可得：，，，根据余角的定义可得：的余角为，即可逐一判断． 【详解】解：和互补， ，，， 的余角为，故①正确； 的余角为，故②正确； 的余角为，故④正确； 和互补，且， 不是的余角，故③错误； 综上所述，正确的有个， 故选：B． 51．如图，直线两两相交于点平分平分．点在直线上，且．则下列结论：①图中总共有9条线段：②：③与互为余角：④．正确的是 ．（填相应的序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查线段的数量，与角平分线有关的计算，数出线段的条数，判断①；根据角平分线的定义，平角的定义推出，根据同角的余角相等判断②，求出，判断③；根据②和③判断④即可． 【详解】解：图中线段有，，故①错误； ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴与互为余角；故③正确； ∵，故④正确； 故答案为：②③④． 52．如图一副三角板和三角板中（，，，），若，则能用图中字母表示出的角中互余的角有 对． 【答案】10 【分析】本题考查三角板中角度的计算，与余角有关的计算，根据和为90度的两个角互为余角，进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 综上：能用图中字母表示出的角中互余的角有10对； 故答案为：10 题型14.求一个角的补角 53．若一个角是，则这个角的补角是（　　） A． B． C． 【答案】B 【分析】本题考查补角的概念，熟练掌握补角的概念是解题的关键． 根据一个角与它补角的和为进行计算求解即可． 【详解】解：一个角与它的补角的和为 补角 （借位换算） 补角． 故选：B． 54．下列说法：①平角就是一条射线；②同角或等角的补角相等；③线段，，则线段；④两点之间线段最短，其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了平角的定义，补角的性质，线段的性质，掌握基本概念与性质是解题的关键．根据平角的定义判断①；根据补角的性质判断②；根据线段的和与差判断③；根据线段的性质判断④ 【详解】解：①平角不是一条射线，错误； ②同角或等角的补角相等，正确； ③若在同一条直线上，线段，，则线段或，错误； ④两点之间线段最短，正确． 共有2个正确； 故选：B． 55．如图所示，将一副三角板摆放在一起，使一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的补角是 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个角的补角，根据角的和差关系求出的度数，进而求出的度数，再根据和为180度的两个角互为补角，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴的补角为； 故答案为：． 56．如图，点、、分别为内部三点，连接、、，，，，，则的补角的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了角平分线，角的和差，余角和补角等知识点，掌握余角和补角的定义成为解题的关键． 根据题意可得，进而得到，再根据余角的定义求得，然后求得，最后根据补角的定义即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ∴的补角为． 故答案为：． 题型15.与余角.补角有关的计算. 57．如图，点、、分别为内部三点，连接、、，，，，，则的补角的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了角平分线，角的和差，余角和补角等知识点，掌握余角和补角的定义成为解题的关键． 根据题意可得，进而得到，再根据余角的定义求得，然后求得，最后根据补角的定义即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ∴的补角为． 故答案为：． 58．若的余角为，的补角为，，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的单位与角度制，与余角、补角有关的计算．通过计算每个角的度数，并转换为度分秒形式，然后比较大小，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵的余角为， ∴， ∵的补角为， ∴， 则， ∵， ∴， 故选：A． 59．如果一个角的余角的度数比它补角的一半少，那么这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过设未知数，利用“余角的度数比补角的一半少”这一条件建立方程求解． 【详解】解：设这个角的度数为则它的余角为，补角为 根据题意列方程： 故选：C ． 【点睛】本题考查了余角和补角的定义，解题关键是设出这个角的度数，根据余角与补角的数量关系列出方程求解． 60．龙岗某校积极响应“双减”政策，开展课后延时服务，七年级某数学兴趣小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点O放在互相垂直的两条直线的垂足O处，并使两条直角边落在直线上，若将绕着点O顺时针旋转一个小于的角得到，射线是的角平分线且满足，则 ． 【答案】或 【分析】分两种情况进行讨论，①当在内部时，②当在内部时，根据角平分线的定义，以及角度之间的和差关系，即可进行解答． 【详解】解：设， ①当在内部时， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴，解得： ∴； ②当在内部时， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义以及角度之间的和差关系． 题型16.同(等)角的余(补)角相等的应用 61．下列说法：（1）；（2）若，则是线段的中点；（3）等角的补角相等；（4）在的边的延长线上取一点；（5）过两点有且只有一条直线；其中正确的有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了度分秒的换算，角定义、线段的中点定义，补角定义、直线性质，解题的关键是掌握度分秒的换算，角定义、线段的中点定义，补角定义、直线性质．据此判断即可． 【详解】解：（1），故原说法错误； （2）若，且点、、三点在同一直线上，则是线段的中点，故原说法错误； （3）等角的补角相等，故原说法正确； （4）在的边的延长线上取一点，这种说法错误，角的边是射线不能说延长； （5）过两点有且只有一条直线，故原说法正确； ∴正确的有（3）（5），共个． 故选：B． 62．如下图，将一副三角板按如图所示位置摆放，其中与相等的是 ，与互补的是 ．（填序号） 【答案】 ②、③ ④ 【分析】依次分析各图中与，即可得到答案． 【详解】①中；②中；③中；④中， 故答案为：②、③；④． 【点睛】此题考查与三角板有关的角度计算，余角及补角的性质，了解三角板各角的度数，理解图形中角度计算方法是解题的关键． 63．如图所示的是光的反射定律示意图，分别是入射光线、反射光线和法线（提示：反射角和入射角分别是反射光线和入射光线与法线的夹角，且反射角等于入射角；法线是过入射点垂直于镜面的虚线）．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的和差运算，互余关系及互余的性质；由及，得，再由互余关系即可求解． 【详解】解：由题意知：， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵，， ∴． 故选：B． 64．如图，在中，若，于点，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同角的余角相等，一元一次方程． 根据，得到，，根据同角的余角相等列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． (分层提升题) 一.选择题 65．下列叙述中，正确的是（    ） A．由两条射线组成的图形叫做角 B．一个角的余角一定比这个角小 C．钝角没有余角只有补角 D．平分一个角的直线叫做这个角的平分线 【答案】C 【分析】根据角的定义、角平分线的定义和角的相关性质判断即可； 【详解】具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故A错误； 如的余角是，，故B错误； 钝角没有余角只有补角，故C正确； 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线，故D错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查了角的定义、角平分线的定义、角的认识，准确分析判断是解题的关键． .66．玲玲家在学校的东偏南方向上，则学校在玲玲家的（    ）方向上． A．东偏南 B．南偏东 C．西偏北 D．北偏西 【答案】C 【分析】本题考查方向角． 根据位置的相对性即可求解． 【详解】解：∵玲玲家在学校的东偏南方向上， ∴学校在玲玲家的西偏北方向上． 故选：C． 67．用一副三角板不能画出的角是（    ）． A．75° B．105° C．110° D．135° 【答案】C 【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一副三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°角可以用一副三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一副三角板中的直角和90°角或45°角画；110°角用一副三角板不能画出． 【详解】解：105°角可以用一副三角板中的60°角和45°角画； 75°角可以用一副三角板中的45°角和30°角画； 110°角用一副三角板不能画出； 135°角可以用一副三角板中的直角和90°角或45°角画。 故选：C． 【点睛】本题考查了利用一副三角板画出的特殊角，找出规律是解决此类题的最好方法，应让学生记住凡是能用一副三角板画出的角的度数都是15°的整数倍． 68．下列说法中：①40°35′＝2455′；②如果∠A+∠B＝180°，那么∠A与∠B互为余角；③经过两点有一条直线，并且只有一条直线；④在同一平面内，不重合的两条直线不是平行就是相交．正确的个数为（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角的性质计算，可得到①不正确；根据补角和余角的定义，可得到②不正确；根据直线的性质分析，可得③和④正确，从而得到答案． 【详解】，故①不正确； 如果∠A+∠B＝180°，那么∠A与∠B互为补角，故②不正确； ③、④正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了角、直线的知识；解题的关键是熟练掌握角的计算、余角和补角、直线的性质，从而完成求解． 69．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了度分秒的换算，整式的加减运算，有理数的混合运算，分别计算各选项，再进行判断即可． 【详解】解：A、，此选项正确，符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项错误，不符合题意． 故选：A． 70．通常我们把时钟的时针与分针所成的角叫做钟面角，若某整点时刻，钟面角恰好是的余角的倍，此时在点至点内对应的时间应是(   ) A．点或点 B．点或点 C．点或点 D．点或点 【答案】D 【分析】本题考查了钟面角，余角的相关计算，先利用钟面角∠α恰好是∠α的余角的2倍，求出钟面角∠α，再确定几点即可． 【详解】解：∵钟面角恰好是的余角的2倍， ∴， 解得， ∵点或点时钟的时针与分针所成的角 故选：D． .71．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方向角的概念及角度的计算，解题的关键是正确理解北偏西、南偏东等方向角的含义，通过分析各方向角与基准方向（正北、正南）的夹角，计算出的度数． 轮船A在北偏西，即与正北方向夹角为（向西偏）；轮船B在南偏东，即与正南方向夹角为（向东偏）．与正西方向的夹角为；与正东方向的夹角为．利用正西与正东方向夹角为，得． 【详解】解：根据方向角的定义及角度关系分析如下： ∵轮船A位于北偏西方向， ∴与正北方向的夹角为（向西偏转），则与正西方向的夹角为． ∵轮船B位于南偏东方向， ∴与正南方向的夹角为（向东偏转），则与正东方向的夹角为． ∵正西方向与正东方向在同一直线上，夹角为， ∴与正西方向的夹角正西到正东的夹角与正东方向的夹角， 即． 故选：B． 二.填空题 72．一班同学学完角一节后，有两名同学因为两个角的大小争论起来，请你帮助判断比较大小： ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】将转化为度分的形式，再与比较大小．本题主要考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒之间的换算关系是解题的关键． 【详解】解：， ∵ ， ∴ ． 故答案为：． 73．比较两个角和的大小关系：小明用度量法测得；小丽采用叠合法比较这两个角的大小，她将和的顶点重合，边与重合，边和置于重合边的同侧，则边 ．（填序号：①“在的内部”；②“在的外部”；③“与边重合”） 【答案】① 【分析】将两个角的顶点重合，一边重合，另一边置于重合边的同侧，哪个角的另一条边在外面，就是哪个角大；据此即可得答案． 【详解】∵将和的顶点重合，边与重合，边和置于重合边的同侧，； ∴边在的内部， 故答案为：① 【点睛】本题考查角的大小比较的方法，度量法、叠合法是常用的方法，叠合法的前提是使两个角的一条边重合，两个角的另一条边都在重合边的同侧． 74．计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了度分秒的换算，关键是掌握，． 根据度分秒的减法，可得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 75．双减政策实施后，我校调查到学生上床休息的时间一般在晚上9点50分，该时刻时针与分针的夹角是 度． 【答案】5 【分析】根据时针每小时转，每分钟转，得出9点50分时针转过，分针每分钟转，得出分针一共转过，据此即可求解． 【详解】解：时钟指示9时50分时，分针指到10，时针指到9与10之间． ∵时针从12到这个位置经过了50分钟，时针每小时转，每分钟转，因而转过， 分针每分钟转过，因而转过了， ∴时针和分针所成的夹角是． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了钟面角，正确分析出钟表中时针与分针每分钟转过的度数是解题关键． .76．如图，，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线于，以为圆心，以为半径画弧，交前弧于点，过作射线，则 【答案】/140度 【分析】本题考查的知识点是尺规作等角的方法及角的和差运算；通过尺规作图得，再利用已知角的度数，结合角的和差关系求出所求角的度数． 【详解】解：由尺规作图可知，(以为圆心画弧，再以为圆心、长为半径画弧得到点，这种作图方法是作角平分线的方法)， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 77．如图，将直角三角板的直角顶点O放在直线上，射线平分，，将三角板绕点O旋转（旋转过程中与均大于且小于）一周，的度数为 （用含的代数式表示）． 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角板中角度的计算，余角和补角，熟练掌握角平分线定义是解题的关键．分两种情况：当点C在上方时以及当点在下方时，根据补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，结合三角板的度数计算即可． 【详解】解：当点C在上方时，如图， ， ， 平分， ， ； 当点在下方时，如图， 同理可得， ， ， 故答案为：或． 78．如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线是的“启仔等分线”．如图2，，若射线绕点P从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为秒当 时，射线是的“启仔等分线”． 【答案】秒或5秒或20秒 【分析】本题考查角的运算中的新定义，仔细分析动态过程，确定三种情况是解题的关键． 根据旋转的过程，依次设定，，，四种情况进行分析． 【详解】解：由题意，可分四种情况： 当时，， 所以 秒； 当时，， 所以 秒； 当时，， 所以 秒； 当时，， 不符合条件“当首次等于时停止旋转”，舍去． 故答案为：5秒或秒或20秒． 三.解答题. 79．已知点为直线上一点，将直角三角板如图1所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分． (1)若，则是______； (2)若，求的度数； (3)如图2，是射线上一点，且，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)50 (2)的度数为 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了角的平分线性质与角的和差运算，解题的关键是利用直角、平角的度数，结合角平分线定义，通过设未知数或直接计算推导角度关系． （1）先由和求出，再由角平分线得，最后用平角求 （2）设为，根据与的关系及角平分线，结合列方程求，进而求 （3）设为，利用角平分线、平角和直角的性质，分别表示出、、，从而推导与的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵、、共线， ∴． 故答案为：． （2）解：设，则， ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 答：的度数为． （3）解：，理由如下： 设， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即． 80．下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，． (1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______； (2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数； (3)如图3，若在的内部，则______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角的n等分线，角的和与差，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可知，，再根据求解即可； （2）由（1）同理可知，即可求解； （3）由（1）同理可知，，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，， ∴，， ∴． 故答案为：； （2）解：由（1）可知； （3）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 81．（1）一个角的余角比它的补角的多，求这个角的度数． （2）已知一个角的余角的4倍与这个角的补角的和是，求这个角的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题重点考查余角和补角以及一元一次方程的实际应用，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）根据题意，先设这个角的度数为，再列方程进行计算． （2）根据题意，先设这个角的度数为，再列方程进行计算． 【详解】解：（1）设这个角的度数为，由题意得， ， 解得， 答：这个角的度数为． （2）设这个角的度数为，由题意得， ， 解得， 答：这个角的度数为． 82．将一副三角板按图甲的位置放置， （1）∠AOD ∠BOC（选填“＜”或“＞”或“＝”）； （2） 猜想∠AOC和∠BOD在数量上的关系是 ． （3）若将这副三角板按图乙所示摆放，三角板的直角顶点重合在点O处．（1）（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】（1）∠AOD=∠BOC；（2）∠AOC+∠BOD=180°；（3）仍然成立，理由如见解析 【分析】（1）根据角的和差关系解答， （2）利用周角的定义和直角解答； （3）根据同角的余角相等解答∠AOD和∠BOC的关系，根据图形，表示出∠BOD+∠AOC=∠BOD+∠AOB+∠COB整理即可得到原关系仍然成立． 【详解】解：(1)∠AOD和∠BOC相等, ∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOB+∠BOD=∠COD+∠BOD， ∴∠AOD=∠COB； (2)∠AOC和∠BOD互补 ． ∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠BOD+∠AOC=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°， ∴∠AOC和∠BOD互补； ⑶成立． ∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOB-∠BOD=∠COD-∠BOD， ∴∠AOD=∠COB， ∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠BOD+∠AOC=∠BOD+∠AOB+∠COB， =90°+∠BOD+∠COB， =90°+∠DOC， =90°+90°， =180°． 【点睛】本题主要考查角的和、差关系，互余互补的角关系，理清角的和或差，互余与互补关系是解题的关键． 83．已知，与互为余角，与互为补角，平分，平分， (1)如图，当时，求的度数； (2)请你补全图形，并求的度数． 【答案】(1) (2)补全图形见解析；的度数为或或 【分析】（1）根据求出，根据角平分线的定义求出即可； （2）根据，求出，，根据角平分线的定义求出，，分三种情况在外，在内，且，在内，且，分别画出图形，求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：当在外时，如图所示： ∵，与互为余角，与互为补角， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴ ； 当在内，且时，如图所示： ∵，与互为余角，与互为补角， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴ ； 当在内，且时，如图所示： ∵，与互为余角，与互为补角， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴ ； 综上分析可知，的度数为或或． 【点睛】本题主要考查了补角、余角的有关计算，角平分线的有关计算，解题的关键是数形结合，熟记余角、补角的定义，注意分类讨论． 84．综合与实践 如图，为直线上一点，过点在的下方作射线，将一直角三角板按如图所示的方式摆放（）． （1）将图①中的三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图②，使边恰好平分，问是否平分？请说明理由． （2）若，将图①中的三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图③ ①使边在的内部，那么与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． ②若继续旋转三角板，直到与重合，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）平分，理由见解析；（2）①，理由见解析；②或． 【分析】（1）由平分，可求出，再根据可得 从而可得进而得出结论； （2）①由可得：，由 从而可得 移项合并后可得结论；②分三种情况讨论：当在的内部时，当在的内部，在的外部时，当都在的外部时，分别画出符合题意的图形，利用角的和差关系列出等式，从而可得结论． 【详解】解：（1）平分． 理由如下： ∵平分， ∴ ∵ ∴平分； （2）①，理由如下： ∵∠MON=90°， ∴， ∵∠BOC=60°， ∴ ∴ 即：， ②如图，当在的内部时， 当在的内部，在的外部时，如图， 当都在的外部时，如图， 综上：与之间的数量关系为或 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，余角，补角的含义，角的和差运算，分类思想的运用，掌握以上知识是解题的关键． 85．如图1，点O是弹力墙上一点，魔法棒从的位置开始绕点O向的位置顺时针旋转，当转到位置时，则从位置弹回，继续向位置旋转．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转． 第1步，从（在上）开始旋转至； 第2步，从开始继续旋转至； 第3步，从开始继续旋转至， …． 例如：当时．，，，的位置如图2所示，其中恰好落在上，；当时，，，，，的位置如图3所示，其中第4步旋转到后弹回，即，而恰好与重合． 根据以上材料，解决如下问题： (1)若，则度数是 ； (2)若，恰好与重合，求的值； (3)若，是否存在对应的值使？若存在，请求出对应的α值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题主要考查角度的计算的相关知识，可结合平角的性质及角度的加减进行计算分析． （1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可； （2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出的度数即可； （3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出的度数即可． 【详解】（1）解：如图，当，，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，∵，且， ∴， 由题可得：， 解得：； （3）解：如图，与都不回弹时， ，解得； 如图，当在的左边， ， ∴， ∴，解得：， 如图，当在的右边， 根据题意得：，解得：， 综上，对应的值是或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2 角 *目录 知识 点 梳理 1.角的基础定义与表示 2.角的度量 3.角的分类 4.角的相关特殊概念 5.角的核心性质与定理 6.角的运算与拓展 题型 巩固 1.角的概念理解 2,角的表示方法 3.角的分类 4.钟面角 5.方向角的表示 6.与方向角有关的计算题 7.角的单位与角度制 8.角的度数大小比较 9.三角板中角度计算问题 10.几何图形中角度计算问题 11.角度的四则运算 12.角平分线的有关计算 13.求一个角的余角 14.求一个角的补角 15.与余角.补角有关的计算 16.同(等)角的余(补)角相等的应用 分层 提升 1.单选题(7) 2.填空题(7) 3.解答题(7) 知识梳理 知识点1.角的基础定义与表示 一、角的基础定义 核心定义：由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角。 其中，两条射线的公共端点叫做角的顶点； 组成角的两条射线叫做角的两条边。 动态定义（拓展理解）：角也可以看作是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。射线旋转的起始位置叫做角的始边，旋转后的终止位置叫做角的终边。 关键特征：角的大小与两条边的长短无关，只与两条边张开的程度有关，张开得越大，角就越大。 二、角的规范表示方法 1.三字母表示法（通用规范） 方法：用角的顶点字母和两条边上各取的一个点的字母表示，顶点字母必须写在中间。 2. 单字母表示法（简洁适用) 方法：当顶点处只有一个角时，直接用顶点字母表示。 3.数字表示法（多用于复杂图形） 方法：在角的内部靠近顶点处画一条弧线，标注阿拉伯数字，用数字表示该角。 4.希腊字母表示法（多用于复杂图形) 方法：在角的内部靠近顶点处画弧线，标注小写希腊字母（如 α、β、γ 等） 知识点2.角的度量 一、角的度量单位 角的大小用度、分、秒来表示，它们是六十进制的计量单位，具体换算关系如下： 1 度（记为 1°）= 60 分（记为 60′） 1 分（记为 1′）= 60 秒（记为 60″） 二、度量工具 —— 量角器 量角器是测量角的常用工具，它的核心特征是：半圆刻度盘，范围从 0° 到 180°，中心有一个中心点，刻度盘上有内圈刻度和外圈刻度。 量角器的使用步骤（四步走） 1.对点：将量角器的中心点与角的顶点完全重合； 2.对线：将量角器的0° 刻度线与角的一条边完全重合（这条边作为角的始边）； 3.读数：观察角的另一条边（终边）所对应的量角器刻度，读取数值。注意：如果始边对齐的是内圈 0° 刻度线，就读内圈刻度；对齐外圈 0° 刻度线，就读外圈刻度； 4.记录：将读出的度数记录下来，即为该角的度数。 知识点3.角的分类 一、按角的度数大小分类（核心分类方式） 1.锐角 2.直角 3.钝角 4.平角 5.周角 二、按角的位置关系分类（拓展分类，适配综合题型） 1.对顶角 2.邻补角 3.同位角、内错角、同旁内角 知识点4.角的相关特殊概念 1.余角（互余） 定义：若两个角的和等于 90°（直角），则这两个角互为余角，简称 “互余”。例如：∠1+∠2=90°，则∠1 是∠2 的余角，∠2 也是∠1 的余角。 2.补角（互补） 定义：若两个角的和等于 180°（平角），则这两个角互为补角，简称 “互补”。 3.邻补角（位置 + 数量双重关系） 定义：既相邻又互补的角（前文已述，此处强化数量关系），本质是补角的特殊情况，有一条公共边，另一边互为反向延长线. 知识点5.角的核心性质与定理 一、角的基本性质（基础核心，贯穿几何学习） 1.角的大小不变性 核心内容：角的大小只与两条边张开的程度有关，与边的长短、粗细无关 周角与平角的基本关系 核心内容：1 个周角 = 2 个平角 = 4 个直角，即 360° = 2×180° = 4×90°。 2.角的和差性质 核心内容：若一个角由两个或多个角组成，则这个角的度数等于组成它的各个角的度数之和；反之，一个角可以拆分为若干个角的度数之差。 二、基于位置关系的角的定理（图形中高频应用） 1.对顶角定理 定理内容：对顶角相等。 2.邻补角定理 定理内容：邻补角互补，即两条直线相交形成的邻补角之和为 180°。 三、基于数量关系的角的定理（计算与证明核心） 1.余角相关定理 定理 1：若两个角互为余角，则它们的和为 90°。 定理 2：同角（或等角）的余角相等。 2.补角相关定理 定理 1：若两个角互为补角，则它们的和为 180°。 定理 2：同角（或等角）的补角相等。 四、角平分线的核心定理（线段与角结合的重点） 1.角平分线性质定理 定理内容：角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等。 符号表示：若射线 OC 平分∠AOB，点 P 在 OC 上，且 PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，则 PD=PE。 2.角平分线判定定理 定理内容：在一个角的内部，到角的两条边距离相等的点，在这个角的平分线上。 符号表示：若点 P 在∠AOB 内部，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，且 PD=PE，则点 P 在∠AOB 的平分线上。 知识点六.角的运算与拓展 一、角的基础运算（核心必备，筑牢计算根基） 1.度、分、秒的换算运算 度、分、秒是六十进制单位，换算核心是 “满 60 进 1，借 1 当 60”，常见运算包括单位换算和加减乘除。 3. 角的和差倍分运算 结合角的组成关系，通过已知角的度数求未知角，常与角平分线、特殊角（直角、平角）结合。 核心公式 和差：∠AOB = ∠AOC + ∠COB；∠AOC = ∠AOB - ∠COB 倍分：若 OC 平分∠AOB，则∠AOB = 2∠AOC = 2∠COB，∠AOC = ∠COB = 1/2∠AOB 二、结合图形的角的综合运算（高频考点，衔接几何证明） 1.相交线中的角运算 核心利用对顶角相等、邻补角互补的定理，解决两条直线相交时的未知角计算。 2.平行线中的角运算 .借助平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）和判定定理，实现角的数量关系转化。 3.三角形中的角运算（基础铺垫） 结合三角形内角和为 180°、直角三角形两锐角互余等性质，进行角的计算（后续三角形章节将详细展开）。 三、角的拓展运算（能力提升，适配综合题型） 角的动态问题运算 多角和差的复杂运算 四.角的运算实际应用拓展（联系生活，强化知识迁移） 1.钟表中的角运算 钟表可看作一个周角（360°），时针每小时转 30°（360°÷12），每分钟转 0.5°（30°÷60）；分针每分钟转 6°（360°÷60），核心是计算时针与分针的夹角。 2.方位角中的角运算 方位角以正北或正南为基准，描述物体的位置，运算时需明确基准方向，结合角的和差计算相对位置。 （练习题） 题型1.角的概念理解 1．下列说法正确的是（   ）. A．角是两条射线组成的图形 B．延长一个角的两边 C．周角是一条射线 D．反向延长射线得到一个平角 2．下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算的结果依次是，其中只有一人计算正确，他是 ． 4．已知：如图1，点依次在直线上，现同时将射线绕点按逆时针方向分别以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为（）秒，经过 秒． 题型2.角的表示方法 5．如图，能用三种表示方法表示同一个角的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲和乙都不可以 6．将图中的角用不同的方法表示出来，并填写下表：    万杰朝阳学校上午第二节课的下课时间是9：40，此时时针与分针的夹角是 ． 7．如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在内画1条射线，观察发现图中共有3个角：在内画2条射线时，则图中共有6个角：在内画3条射线时，则图中共有10个角：按照此规律，在内画条射线时，图中共有 个角． 8．如图，点为线段外一点，，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论：①以为顶点的角有15个； ②若平分，平分，，则 ③若为的中点，为的中点，则； ④若，，则．其中正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型3.角的分类 9．下列各角中，是钝角的为（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．直角 10．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕．则 度． 11． 用一副直角三角尺（一把直角尺和一把直角尺）可以在纸上画出的最大钝角 是 ． 12.．如图，点C，D在线段上，O为上方一点，连接，，有下列结论：①图中共有8个锐角；②图中互余的角有3对；③图中共有线段10条；④若，，P为线段上一点，则点P到点A，C，D，B的距离之和最小为18．其中正确的结论有（   ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ .题型4.钟面角 13．时钟在12点25分时，分针与时针之间的夹角度数为（   ） A．120度 B．137.5度 C．150度 D．137度 14．在8：30时，时钟的时针与分针所夹的锐角为 度． 某电台周六上午“少儿节目”9:05开始，这时时钟上时针与分针所夹的锐角为 度 15．宁宁在早晨6点至7点之间晨练，出门和回来的时候，时针与分针的夹角都是110°，则宁宁晨练的时间为（   ）分钟． A．35 B． C．40 D． 16．如图，小文同学为研究12点t分（）时的钟面角，把数字12所在的刻度记为点 A，把时针记为，分针记为．当两两所夹的三个角中有两个角相等时，t的值为 （本题中所有角的度数均不超过 ）． 题型5.方向角的表示 17．如图是学校、小敏家、小凯家的位置示意图，下列表述正确的是（    ） A．小敏家在学校北偏东的方向，距离处 B．小凯家在学校北偏东的方向，距离处 C．学校在小凯家南偏西的方向，距离处 D．学校在小敏家南偏西的方向，距离处 18．小明面向北偏东方向站好，当他向左转时，他面向（   ）方向． A．南偏东 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏西 19．在航行、测绘等工作中，经常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向．如图，一艘轮船行驶到B处时，测得小岛的方向分别为北偏西和北偏东方向，则的度数是 ． 20．一次台风的大致路径如下图： （1）台风生成后，先是沿着正( )方向移动了( )，然后沿( )( )方向移动了( )，到达了A市． （2）接着，台风又改变方向，沿( )( )方向移动了( )，到达了B市． 题型6.与方向角有关的计算问题 21．如图，一艘轮船在海上由西往东行驶，在处测得灯塔位于北偏东方向，在处测得灯塔位于北偏东方向，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 22．如图，一艘轮船在大海中航行，在点处发现灯塔在北偏西方向，灯塔在南偏东的方向，则下列结论错误的是（   ）    A．与互为补角 B．平分 C．图中以为边的角有5个 D． 23．芳芳从A点出发向北偏东方向走了到达B点，丽丽从A点出发向西偏南方向走了到达C点，那么B、C两点之间的距离是 m． 24．如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，，射线是的反向延长线．    （1）射线的方向是 ． （2）若射线平分，则的度数是 °． 题型7.角的单位与角度制 25．将用度、分、秒表示正确的是（   ） A． B． C． D． 26．如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（   ） A． B． C． D． 27．若，与互余，则 ． 28．有下列说法： ①已知，则M点是线段的中点： ②把一个周角7等分，计算每份的结果（精确到秒）为：； ③如图甲，射线分别平分，若，则； 其中正确的是 （填序号） 题型8.角的度数大小比较 29．如图，利用带角的三角板比较和的大小，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．无法判断 30．若，，，则（    ） A． B． C． D． 31．比较大小： （填“”、“”或“”）． 32．如图，点О是量角器的中心点，射线OM经过刻度线90．若．射线OA、OB分别经过刻度线40和60，在刻度线OM的右侧． 下列结论： ①； ②若与互补，则射线经过刻度线160； ③若，则图中共有5对角互为余角． 其中正确的是 （填序号） 题型9.三角板中角度计算问题 33．一副三角尺按如图所示的方式摆放，且和互余，且比大，则的度数为（　） A． B． C． D． 34.如图，将一副三角尺的直角顶点重合，摆放在桌面上，若，则 °． 35．一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，两边组成的角时，的值为 ． 36．题目： “一块含角的直角三角板和一块含角的直角三角板拼成如图1所示的图案后， 三角板固定不动， 将三角板绕顶点B旋转一周， 如图2． 当时（注： 均指图中不超过的角）， 求旋转角的度数．”对于其答案， 甲答：， 乙答：， 则正确的是 （    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 题型10.几何图形中角度计算问题 37．如图，已知与，分别以和为圆心，以同样长为半径画弧，交，于点，，交，于点，．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，作射线．下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 38．如图，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”若，且射线是的“平衡线”，则的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或或 39．如图，在线段上方作，点C、D分别为线段上动点，作射线、，过点O作射线、（和均在内部），满足，，若，则 ． 40．如图①，点O在直线上，过O作射线，三角板的顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 时，直线恰好平分锐角（图②）． 题型11.角度的四则运算 41．已知，且三个角的和为，则为（   ） A． B． C． D． 42．下列四个说法：①射线AB和射线BA是同一条射线；②两点之间，线段最短；③和38.15°相等；④画直线AB=3cm；⑤已知三条射线OA，OB，OC，若，则射线OC是∠AOB的平分线．其中正确说法的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 43．已知：，，且与有公共边，则这两个角的另两条边的夹角为 ． 44．拿一张长方形纸片，按图所示方法折叠，得到折痕，，则 ． 题型12.角平分线的有关计算. 45．如图，点，，在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 46．如图，一艘轮船行驶到O处时，测得小岛A、B分别在它的北偏东和南偏东方向，若小岛C在的平分线上，则的度数是 ．(用度分秒的形式表示) 47．如图，与都是以为顶点的直角．有以下结论：①；②与互余；③与互补；④若平分，则也平分．其中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 48．如图，，，分别是和的平分线，，分别是和的平分线，，分别是和的平分线，……，，分别是和的平分线，则 ． 题型13.求一个角的余角 49．若一个角的补角是它的余角的2倍多，则这个角是（    ） A． B． C． D． 50．如果和互补，且，那么下列表示的余角的式子： ①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 51．如图，直线两两相交于点平分平分．点在直线上，且．则下列结论：①图中总共有9条线段：②：③与互为余角：④．正确的是 ．（填相应的序号） 52．如图一副三角板和三角板中（，，，），若，则能用图中字母表示出的角中互余的角有 对． 题型14.求一个角的补角 53．若一个角是，则这个角的补角是（　　） A． B． C． 54．下列说法：①平角就是一条射线；②同角或等角的补角相等；③线段，，则线段；④两点之间线段最短，其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 55．如图所示，将一副三角板摆放在一起，使一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的补角是 ． 56．如图，点、、分别为内部三点，连接、、，，，，，则的补角的度数为 ． 题型15.与余角.补角有关的计算. 57．如图，点、、分别为内部三点，连接、、，，，，，则的补角的度数为 ． 58．若的余角为，的补角为，，则有（ ） A． B． C． D． 59．如果一个角的余角的度数比它补角的一半少，那么这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 60．龙岗某校积极响应“双减”政策，开展课后延时服务，七年级某数学兴趣小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点O放在互相垂直的两条直线的垂足O处，并使两条直角边落在直线上，若将绕着点O顺时针旋转一个小于的角得到，射线是的角平分线且满足，则 ． 题型16.同(等)角的余(补)角相等的应用 61．下列说法：（1）；（2）若，则是线段的中点；（3）等角的补角相等；（4）在的边的延长线上取一点；（5）过两点有且只有一条直线；其中正确的有（   ）个． A． B． C． D． 62．如下图，将一副三角板按如图所示位置摆放，其中与相等的是 ，与互补的是 ．（填序号） 63．如图所示的是光的反射定律示意图，分别是入射光线、反射光线和法线（提示：反射角和入射角分别是反射光线和入射光线与法线的夹角，且反射角等于入射角；法线是过入射点垂直于镜面的虚线）．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 64．如图，在中，若，于点，，，则 ． (分层提升题) 一.选择题 65．下列叙述中，正确的是（    ） A．由两条射线组成的图形叫做角 B．一个角的余角一定比这个角小 C．钝角没有余角只有补角 D．平分一个角的直线叫做这个角的平分线 .66．玲玲家在学校的东偏南方向上，则学校在玲玲家的（    ）方向上． A．东偏南 B．南偏东 C．西偏北 D．北偏西 67．用一副三角板不能画出的角是（    ）． A．75° B．105° C．110° D．135° 68．下列说法中：①40°35′＝2455′；②如果∠A+∠B＝180°，那么∠A与∠B互为余角；③经过两点有一条直线，并且只有一条直线；④在同一平面内，不重合的两条直线不是平行就是相交．正确的个数为（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 69．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 70．通常我们把时钟的时针与分针所成的角叫做钟面角，若某整点时刻，钟面角恰好是的余角的倍，此时在点至点内对应的时间应是(   ) A．点或点 B．点或点 C．点或点 D．点或点 .71．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的大小为（   ） A． B． C． D． 二.填空题 72．一班同学学完角一节后，有两名同学因为两个角的大小争论起来，请你帮助判断比较大小： ．（填“>”“<”或“=”） 73．比较两个角和的大小关系：小明用度量法测得；小丽采用叠合法比较这两个角的大小，她将和的顶点重合，边与重合，边和置于重合边的同侧，则边 ．（填序号：①“在的内部”；②“在的外部”；③“与边重合”） 74．计算： ． 75．双减政策实施后，我校调查到学生上床休息的时间一般在晚上9点50分，该时刻时针与分针的夹角是 度． .76．如图，，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线于，以为圆心，以为半径画弧，交前弧于点，过作射线，则 77．如图，将直角三角板的直角顶点O放在直线上，射线平分，，将三角板绕点O旋转（旋转过程中与均大于且小于）一周，的度数为 （用含的代数式表示）． 78．如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线是的“启仔等分线”．如图2，，若射线绕点P从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为秒当 时，射线是的“启仔等分线”． 三.解答题. 79．已知点为直线上一点，将直角三角板如图1所示放置，且直角顶点在处，在内部作射线，且恰好平分． (1)若，则是______； (2)若，求的度数； (3)如图2，是射线上一点，且，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． 80．下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，． (1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______； (2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数； (3)如图3，若在的内部，则______． 81．（1）一个角的余角比它的补角的多，求这个角的度数． （2）已知一个角的余角的4倍与这个角的补角的和是，求这个角的度数． 82．将一副三角板按图甲的位置放置， （1）∠AOD ∠BOC（选填“＜”或“＞”或“＝”）； （2） 猜想∠AOC和∠BOD在数量上的关系是 ． （3）若将这副三角板按图乙所示摆放，三角板的直角顶点重合在点O处．（1）（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 83．已知，与互为余角，与互为补角，平分，平分， (1)如图，当时，求的度数； (2)请你补全图形，并求的度数． 84．综合与实践 如图，为直线上一点，过点在的下方作射线，将一直角三角板按如图所示的方式摆放（）． （1）将图①中的三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图②，使边恰好平分，问是否平分？请说明理由． （2）若，将图①中的三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图③ ①使边在的内部，那么与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． ②若继续旋转三角板，直到与重合，请直接写出与之间的数量关系． 85．如图1，点O是弹力墙上一点，魔法棒从的位置开始绕点O向的位置顺时针旋转，当转到位置时，则从位置弹回，继续向位置旋转．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转． 第1步，从（在上）开始旋转至； 第2步，从开始继续旋转至； 第3步，从开始继续旋转至， …． 例如：当时．，，，的位置如图2所示，其中恰好落在上，；当时，，，，，的位置如图3所示，其中第4步旋转到后弹回，即，而恰好与重合． 根据以上材料，解决如下问题： (1)若，则度数是 ； (2)若，恰好与重合，求的值； (3)若，是否存在对应的值使？若存在，请求出对应的α值，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $