精品解析：甘肃省民乐县第一中学2025-2026学年高三上学期第二次诊断考试数学试卷

甘肃省民乐县第一中学2025~2026学年第一学期第二次诊断考试 高三数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5m的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：集合与逻辑，不等式，函数，导数，三角函数，平面向量，数列，复数，基本立体图形，简单几何体的表面积与体积. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由共轭复数的概念及复数的乘法运算即可求解. 【详解】， . 故选：A. 2. 已知集合A＝{1,3,4,5}，，则＝（ ） A. {1,3} B. {1,5} C. {1,3,4} D. {1,4,5} 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合B中的元素，再根据交集的定义求出. 【详解】因为集合，且,所以的取值可以是1，3，4，5. 当时，;当时，;当时，;当时，. 所以. 所以. 故选：B. 3. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求，利用导数的几何意义可求的值. 【详解】由题意得，函数的定义域为，且， ∴， ∵曲线在点处的切线与直线垂直， ∴，即，故. 故选：D. 4. 如图所示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则该圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设球的半径为，根据公式分别求出球的表面积和圆柱的表面积的表达式，求出两者比值即可. 【详解】设球的半径为R，所以球的表面积. 圆柱的表面积， 所以该圆柱的表面积与球的表面积之比. 故选：C. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的奇偶性与周期性判断. 【详解】由题意得函数定义域为，且，∴为偶函数，故排除选项B， ∵，，为最大值，∴排除选项D， ∵，∴是为周期的周期函数，∴排除选项A. 故选：C 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据两角和的正切公式得到，再根据二倍角公式以及同角三角函数之间的关系求得结果. 【详解】因为，解得， 所以， 故选：B. 7. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点，延长交于点，转化为求的最值，根据数量积的几何意义可得的范围． 【详解】延长交于点，延长交于点， 如图所示： 根据正八边形的特征，可知， 又， 所以， ， 则的取值范围是. 故选：B. 8. 已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数可得函数的值域为，其中满足，由值域相同可得，利用导数求的范围，从而可得的取值范围. 【详解】，定义域为，， 因为，所以函数在上单调递增， 且当时，；当时，， 所以，使得，即， 且当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取最小值，且最小值为. 当与时，函数， 所以函数的值域为． 对于函数， 令，即，则， 若函数的值域与的值域相同， 令为的最小值，则的值域为。 的值域为在上的值域. 若，则在上单调递增，其值域为.要使值域相同，须.但当时，，矛盾. 故必有，即。 又因为，即， 所以转化为：． 令，, 所以函数在上单调递减. 又因为，所以，得， 即的解为. 又因为， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以，所以. 故选:C． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 平面的形状是正方形 B. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 C. 用一个平面去截球得到的图形是个圆 D. 一个平面的厚度可以是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用平面的定义判断A，D，利用圆柱，圆台，圆锥的性质判断B，利用球的性质判断C即可. 【详解】由平面的定义得平面没有边界和厚度，故A，D错误， 易得圆柱，圆台，圆锥的底面都是圆，故B正确， 由球的性质得任意平面截球，截面均是圆，故正确. 故选：BC. 10. 已知等差数列的前项和为，公差为，，若，则下列命题正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. 和是中的最小项 C. 是数列中的最小项 D. 满足的的最大值为25 【答案】AB 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质可计算出，结合可判断ABC，写出的表达式可判断D. 【详解】对于选项A：因为即，所以，即， 所以，所以，数列是递增数列，所以选项A正确； 对于选项B：因为，，所以当或时，取最小值，所以选项B正确； 对于选项C：因为数列是递增数列，所以最小项是首项，所以选项C错误； 对于选项D：由不等式，可得，又因为， 所以满足的的最大值为24，所以选项D错误． 故选：AB 11. 已知函数，若关于x的方程恰有4个不同的实数根，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递增区间为 B. m的取值范围是 C. D. 的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】分析可得在各段上的单调性，根据单调性的写法，可判断A的正误；由题意可得与图象有4个交点，作出图象，即可判断B的正误；根据二次函数的对称性，可判断C的正误，化简计算，可得，根据的范围及二次函数的性质，可判断D的正误. 【详解】当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，， 因为函数，图象开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，且. 选项A：的单调递增区间为，，不能用“”连接，故A错误； 选项B：因为关于的方程恰有4个不同的实数根， 所以与的图象有4个交点， 作出与的图象，如图所示： 由图象可得，当时，与图象有3个交点， 当时，与图象有3个交点， 当时，与图象有4个交点，故B正确； 选项C：根据二次函数的对称性可得，关于对称， 所以，即，故C正确； 选项D：由图象可得，，，即， 所以，解得， 所以， 由图象可得，所以， 所以故D正确. 故选:BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知在上是增函数，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可得在上恒成立，根据指数函数、一次函数的性质，分析求解，即可得答案. 【详解】由题意，在上恒成立， 因为在R上恒成立， 所以只需在上恒成立即可，即， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 13. 已知函数，则的对称中心为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切函数的对称中心公式，结合整体法即可求解. 【详解】 ， 所以的对称中心为, 所以的对称中心为. 故答案为：. 14. 已知，若，则的最小值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据指对互化及在上单调递增得，从而，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为，且，所以， 所以，因为和在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时取得等号. 故答案为：3 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知函数是幂函数，且． （1）求实数m的值； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数定义可求得实数m的所有可能取值，再根据即可得出结果；（2）根据幂函数的解析式可求得其定义域，再利用幂函数的单调性即可求出实数a的取值范围. 【小问1详解】 因为是幂函数，所以， 解得或． 当时，，此时，，显然不符合题意： 当时，，此时，，满足，符合题意． 综上，； 【小问2详解】 因为，所以的定义域为，且在上单调递增， 由， 得，解得， 即实数a的取值范围为 16. 已知函数． （1）证明：当时，； （2）求函数的单调递增区间． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用降幂公式化简函数，，在根据定义域求函数的最大值，即可证明； （2）根据（1）的结果，结合正弦函数的单调性，代入即可求解. 【小问1详解】 ， 当时，， 此时， 所以，故； 【小问2详解】 令， 解得:， 所以函数的单调递增区间为． 17. 在中，，，，． （1）用表示； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算即可得解； （2）先利用向量的垂直关系可得，再利用向量的平方运算等于模的平方来求模长. 【小问1详解】 因为，所以，则， 因为，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为， ， 因为，所以，即，即； 由得，， 即， 再由得：； ， 由得：， 又因为， 所以，所以． 18. 已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. （1）求和的通项公式； （2）将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推式采用两式相减的方法可得，再结合等比数列定义即可得的通项公式，由点在函数的图象上，可得，结合等差数列定义可得的通项公式； （2）由题意可得，结合等比数列与等差数列求和公式分组计算即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以当时，， 所以， 所以，所以，又，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以， 因为点在函数的图象上，所以，即， 又，所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以； 【小问2详解】 因为是所有的正偶数，又，所以，所以 . 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围； （3）若是两个不相等的正数，证明：. 【答案】（1）的减区间为，增区间为 （2） （3）不妨设，令， 有， ， 又由，可得函数单调递增， 又由 ， 令， 则，当时，，当时， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，即，当且仅当时等号成立， 故<0 同理可得， 又由函数单调递增，且，可得存在，使得， 可得函数在上单调递减，在上单调递增， 又由，可得当时，， 又由，可得， 有， 可化为， 故当时，成立． 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可； （2）由（1）可知，解不等式即可； （3）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，进而可证不等式. 【小问1详解】 函数的定义域为，由， 令，可得，令，可得， 故函数的减区间为，增区间为； 【小问2详解】 由（1）知，若函数有且仅有两个零点，必须， 又由，有，可得， 令，有， 令，可得，令，可得， 可得函数的减区间为，增区间为， 可得， 当时，，有， 当时，， 可得若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省民乐县第一中学2025~2026学年第一学期第二次诊断考试 高三数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5m的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：集合与逻辑，不等式，函数，导数，三角函数，平面向量，数列，复数，基本立体图形，简单几何体的表面积与体积. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合A＝{1,3,4,5}，，则＝（ ） A. {1,3} B. {1,5} C. {1,3,4} D. {1,4,5} 3. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4. 如图所示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则该圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 平面的形状是正方形 B. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 C. 用一个平面去截球得到的图形是个圆 D. 一个平面的厚度可以是 10. 已知等差数列的前项和为，公差为，，若，则下列命题正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. 和是中的最小项 C. 是数列中的最小项 D. 满足的的最大值为25 11. 已知函数，若关于x的方程恰有4个不同的实数根，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递增区间为 B. m的取值范围是 C. D. 的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知在上是增函数，则实数的取值范围为__________. 13. 已知函数，则的对称中心为__________. 14. 已知，若，则的最小值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知函数是幂函数，且． （1）求实数m的值； （2）若，求实数a的取值范围． 16. 已知函数． （1）证明：当时，； （2）求函数的单调递增区间． 17. 在中，，，，． （1）用表示； （2）若，求． 18. 已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. （1）求和的通项公式； （2）将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围； （3）若是两个不相等的正数，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $