上海市杨浦区复旦大学附属中学2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题

复旦大学附属中学2025学年第一学期高三年级 数学学科期中考试试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知集合，，则______. 2. 设为虚数单位，若，则______. 3. 已知幂函数的图象过点，则___________. 4. 在中，，，，则边的长度为______. 5. 已知的二项展开式中常数项为1，则实数的值为______. 6. 已知、，，则的最小值为______. 7. 已知等比数列的公比，若，，设，记数列的前项和为，则使得成立的最大值为______. 8. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围为______. 9. 某校安排5位老师值班3天，要求每人需要值班1天或2天，且每天有2人值班，则不同的值班方案有_________种. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为__________． 11. 如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行卧姿射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线匀速移动，目标点的速度为，且，.忽忽略瞄准时枪口的高度，并且假设子弹离开枪口后做匀速直线运动.此人要进行连续两次射击，为了准确瞄准目标点以及保证射击的准确性，需要射击时仰角大于等于40°（仰角为直线与平面所成角），则此人两次射击的时间间隔最大为_____秒.（精确到0.1秒） 12. 已知平面向量、满足，，存在两个不同的非零实数，使且，则的取值范围为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 如果，那么下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项错误的是（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与乙相互独立 C. 丙与丁互斥 D. 乙与丁互斥 15. 如图，四边形是直角梯形，其中，，，是的中点，以为直径的半圆与相切于点.与梯形以为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该球的体积与圆台的体积之比为（ ） A. B. C. D. 16. 对于定义域为的函数和实数，定义集合，.给出下列两个命题，则下列选项中正确的是（ ） ①若是三次函数，则一定存在实数，使得； ②“函数是偶函数”的充要条件是“对任意实数，都有”. A. ①②均正确 B. ①②均错误 C. ①正确②错误 D. ①错误②正确 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，学校统计了甲、乙两组学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如图所示（十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”）. （1）分别写出甲、乙两组阅读量的第60百分位数； （2）从甲、乙两组学生中随机抽取2人，求其中恰有1人的阅读量超过15本的概率； （3）为使两组人数相同，在甲组中增加一名阅读量为（）的组员，若加入后甲组阅读量的均值增大，但方差没有增大，求的所有可能取值. 18. 设，，其中. （1）若函数的最小正周期为，求的值和函数的图象对称中心的坐标； （2）是否存在，使得函数在区间上恰有个极值点?若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 19. 《瀑布》（如图1）是荷兰版画家埃舍尔最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”，它由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现的，后称“埃舍尔多面体”（如图2）.“埃舍尔多面体”可以用所在平面两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设正方形（）的边长均为2，定义正方形的顶点为“框架点”，两正方形的交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为和.将“极点”、分别与正方形的顶点连线，线段的中点和（）（如图3）为“中继点”.“埃舍尔多面体”的可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中继点”构成.为了便于理解，图4中构造了其中两个四棱锥与. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值； （3）求该“埃舍尔多面体”的表面积. 20. 在直角坐标平面中，抛物线是由抛物线按平移得到的，过点且与轴相交于另一点.曲线是以为直径的圆.将在轴上方的部分、在轴下方的部分以及点、构成的曲线记为曲线. （1）直接写出抛物线和圆的方程； （2）设直线与曲线有不同于点的两个公共点、，且，求的值； （3）若过曲线上的动点（）的直线与曲线恰有两个公共点、，且直线与轴的交点在点的右侧，求的最大值，并求取得最大值时点、的坐标. 21. 已知函数，的导函数为，其中，若对于任意的，都有，则称函数，满足“性质”. （1）设，求曲线在点处切线的方程； （2）设，，若函数，满足“性质”，求的取值范围； （3）如果正数满足：对于任意满足“性质”的函数，，都有，求的取值集合. 复旦大学附属中学2025学年第一学期高三年级 数学学科期中考试试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】## 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】8 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】180 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】1.8## 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】A 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 【17题答案】 【答案】（1）11.5；14 （2） （3）11，12，13，14，15，16. 【18题答案】 【答案】（1），对称中心为，. （2）不存在，理由见解析 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【20题答案】 【答案】（1）：，：. （2） （3）最大值为1， ，. 【21题答案】 【答案】（1） （2） （3）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $