上海市杨浦高级中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

杨高2025-2026学年第一学期高三年级数学期中 2025.11 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.已知集合，，则______． 2.不等式的解集为______． 3.若，则______． 4.已知向量，满足，则m的值为______． 5.若，则______． 6.已知的二项展开式中常数项为60，则实数______． 7.已知是公差不为0的差数列的前n项和，且，，成等比数列，则______． 8.若正数x，y满足，则的最小值是______． 9.已知圆锥的体积为，其侧面积与底面积的比为5:3，则该圆锥的母线长为______． 10.已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是______． 11.如图，一幢高楼楼面上有一块浮雕，上沿为C，下沿为D，某班数学小组在斜坡AB坡脚A处测得浮雕下沿D的仰角满足，在斜坡AB上的B处测得满足，已知斜坡AB与地面的夹角为满足，，，则浮雕CD的高度（上下沿之间的距离）为______． 12.已知平面向量，，，，其中，为单位向量，且，若，向量满足，则对于任意满足条件的向量，，的最小值 是______． 二、单选题（本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分准满分18分） 13.若l，m是两条不同的直线，m平行于平面，则“”是“”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14.某校派高一、高二、高三每个年级各2名学生参加某项技能大赛，比赛要求每2名学生组成一个小组（每名学生必须且只加入一个小组），则在这6名学生组成的小组中，只有一个小组的2名学生来自同一年级的概率为（ ） A. B. C. D. 15.若，，则（ ） A.1 B. C. D.0 16.在梭长为1的正方体中放入一个球体（A、B、C、D在同一平面，、垂直平面ABCD），使之恰与平面ABCD、平面、平面、平面均相切，则其半径长为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区城内写出必要的步骤，满分78分）． 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 某微小企业员工的年龄分布茎叶图如图所示： （1）求该公司员工年龄的平均数和第25百分位数； （2）从该公司员工中随机抽取一位，记所抽取员工年龄在区间内为事件A，所抽取员工年龄在区间内为事件B，判断事件A与B是否互相独立，并说明理由． 18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． （1）求角B的大小； （2）若，求面积的最大值． 19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，已知平面四边形ABCP中，D为PA的中点，，，且．将此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角，连接PA、PB，设PB中点为E． （1）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值； （2）在线段BD上是否存在一点F，使得平面PBC？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，离心率为，点A，B在椭圆E上，的周长为6，C为AB的中点，O为坐标原点，直线OA，OC，AB的斜率分别为k，，，且． （1）求椭圆E的标准方程； （2）证明：为定值； （3）求面积的最大值． 21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题（ⅰ）满分6分，（ⅱ）满分8分） 已知函数． （1）讨论函数的奇偶性； （2）设函数，且存在，分别为函数的极大值点和极小值点． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）若对任意，恒成立，求实数k的取值范围． 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12. 11.如图，一幢高楼楼面上有一块浮雕，上沿为C，下沿为D，某班数学小组在斜坡AB坡脚A处测得浮雕下沿D的仰角满足，在斜坡AB上的B处测得满足，已知斜坡AB与地面的夹角为满足，，，则浮雕CD的高度（上下沿之间的距离）为______． 【答案】 【解析】过作于点，则四边形是矩形， 在Rt中，，所以， 在Rt中，，所以， 所以， 所以， 在Rt中， ，而，所以， 所以． 12.已知平面向量，，，，其中，为单位向量，且，若，向量满足，则对于任意满足条件的向量，，的最小值 是______． 【答案】 【解析】根据题意，设， 因为与夹角为，所以， 整理得，即向量对应的轨迹为射线或， 因为向量满足，所以， 即向量对应的轨迹为抛物线：，则即为上的点与射线或上的点之间的距离，如图， 当最小值时，对应的点在上， 设直线，由图可知， 当直线与相切时，切点设为， 此时最小，联立方程，得， 由得，则，解得， 故，则到射线的距离为， 所以的最小值为． 二、选择题 13.B 14.C 15.A 16.B 15.若，，则（ ） A.1 B. C. D.0 【答案】A 【解析】根据诱导公式，则可化为①． 对，可得，即② 设，其定义域为R，关于原点对称． 且，所以是奇函数． 对求导，， 若，所以； 若，则，所以在R上单调递增． 由①式可得，由②式可得，所以． 因为是奇函数，所以． 又因为在R上单调递增，所以，即． 将代入，可得．的值为1． 16.在梭长为1的正方体中放入一个球体（A、B、C、D在同一平面，、垂直平面ABCD），使之恰与平面ABCD、平面、平面、平面均相切，则其半径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图，连接， 在正方体中，平面， 因为平面， 根据线面垂直的性质可知． 又因为四边形是正方形，所以． 由于，且平面，所以平面． 而平面，根据线面垂直的性质可知． 在正方体中，平面， 因为平面，可知． 又因为四边形是正方形，所以． 由于，且平面，所以平面． 而平面，根据线面垂直的性质可知． 因为，且平面，所以平面． 取截面，设平面，球的球心为， 由对称性：，则到平面的距离为，过作，垂足为， 设，所以， 则Rt，则，即，解得：， 即半径长为 三、解答题 17.（1） （2）相互独立 18.（1） （2） 19.（1） （2）存在， 20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，离心率为，点A，B在椭圆E上，的周长为6，C为AB的中点，O为坐标原点，直线OA，OC，AB的斜率分别为k，，，且． （1）求椭圆E的标准方程； （2）证明：为定值； （3）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）证明见解析， （3） 【解析】（1）因为的周长为6，所以， 又，所以，故，所以椭圆的标准方程为． （2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设， 则， 所以，即， 得，因为，所以， 又，所以，为定值． （3）由（2）知，所以．由题可得直线的方程为， 将与联立，消去并整理得，所以， 则． 因为，所以直线的方程为，即， 又，所以直线的方程为，与联立， 消去并整理得， 则， 所以 故的面积为 令，则，， 当，即时取等号，因此面积的最大值为． 21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题（ⅰ）满分6分，（ⅱ）满分8分） 已知函数． （1）讨论函数的奇偶性； （2）设函数，且存在，分别为函数的极大值点和极小值点． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）若对任意，恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ） （ⅱ） 【解析】（1）若为偶函数，有恒成立，则， 若为奇函数，有恒成立，则， 故时为偶函数，时为奇函数， 且时既不是奇函数也不是偶函数； （2）（i）， 因为函数既存在极大值，又存在极小值，则必有两个不等的实根，则， 令可得或，所以，解得且． 令，则有： 可知分别在和取得极大值和极小值，符合题意． 综上，实数的取值范围是． （ii）由，可得， 所以且有， 由题意可得对恒成立， 由于此时，则， 所以，则， 令，其中， 则， 令，则． ①当，即时，在上是严格增函数， 所以，即，符合题意； ②当，即时， 设方程的两根分别为且， 则，则， 则当时，，则在上单调递减， 所以当时，，即，不合题意． 综上所述，的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $