16.2整式的乘法讲义-2025-2026学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦整式乘法与除法核心知识点，系统涵盖单项式乘除、多项式乘除及幂的运算（同底数幂除法、零指数幂）等7个知识点，通过知识思维导图构建完整体系，形成从基础运算到综合应用的学习支架。 资料特色在于分层设计题型（19个题型精讲含计算、求值、图形应用、规律探究），结合几何直观（图形面积问题）与推理意识（杨辉三角等规律探究），边学边练与变式训练助力课堂互动，拓展培优提升创新意识，课堂检测有效查漏补缺，契合新课标数学眼光、思维与语言的核心素养要求。

第十六章 整式的乘法 第三节 整式的乘法 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1单项式乘单项式 知识点2 单项式乘多项式 知识点3多项式乘多项式 知识点4 同底数幂的除法 知识点5 零指数幂 知识点6 单项式除以单项式 知识点7 多项式除以单项式 题型精讲1计算单项式乘单项式 题型精讲2利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型精讲3计算单项式乘多项式及求值 题型精讲4单项式乘多项式的应用 题型精讲5利用单项式乘多项式求字母的值 题型精讲6计算多项式乘多项式 题型精讲7（x+q）型多(x+p)项式乘法 题型精讲8已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型精讲9多项式乘多项式——化简求值 题型精讲10多项式乘多项式与图形面积 题型精讲11多项式乘法中的规律性问题 题型精讲12整式乘法混合运算 题型精讲13同底数幂的除法运算 题型精讲14同底数幂除法的逆用 题型精讲15零指数幂计 题型精讲16计算单项式除以单项式 题型精讲17用科学记数法表示数的除法 题型精讲18多项式除以单项式 题型精讲19整式四则混合运算 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 掌握幂的运算性质及整式乘法法则，能规范进行单项式、多项式乘法运算，灵活运用乘法公式简化计算。 理解运算法则的推导逻辑，感悟类比、转化思想，发展抽象、推理与运算能力。 结合几何背景深化对公式的理解，能运用知识解决图形面积等实际问题，建立模型观念。 衔接新中考要求，提升符号运算准确性与综合应用能力，为后续因式分解、分式运算奠定基础。 【新知学习】 【知识点1】单项式乘单项式 1. 单项式乘单项式的运算法则： 把几个单项式的系数 作为积的系数，在把同底数幂分别 。对于只在一个单项式里面出现的字母，连同它的 作为积的一个因式。 如 边学边练计算： 【知识点2】单项式乘多项式 1. 单项式乘多项式的运算法则： 用单项式去乘多项式的 ，得到单项式乘单项式，再把所得的积 。若有同类项，则一定要合并同类项。示例： 边学边练计算： ． 【知识点3】多项式乘多项式 1. 多项式乘多项式的运算法则： 用一个多项式的 乘以另一个多项式的 ，再把所得的积 。若有同类项，一定合并同类项。示例： 边学边练已知 ，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 【知识点4】同底数幂的除法 一般地，我们有．即同底数幂相除，底数 ，指数 ． 边学边练下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【知识点5】 零指数幂 1. 零指数幂的计算： 任何不等于0的数的0次幂都等于 。即： 。（a≠0） 证明： = 。 ∵相等的两数（都不为0）的商等于1 ∴1 ∴=1 边学边练计算的结果是（   ） A． B． C．1 D． 【知识点6】 单项式除以单项式 一般地，单项式相除，把 与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的 ，则连同它的指数作为商的一个 ．其实质是把单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，所得结果仍是单项式． 边学边练计算： ． 【知识点7】多项式除以单项式 1. 多项式除以单项式的运算法则： 多项式除以单项式，用多项式的 去除以单项式，再把得到的商相加。 边学边练计算： ． 题型精讲 题型精讲1计算单项式乘单项式 【例题1】计算： ． 【变式训练1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】计算： 【变式训练3】计算： (1)； (2)． 题型精讲2利用单项式乘法求字母或代数式的值 【例题1】若，则 ． 【变式训练1】如果与相乘的结果是，那么 ， ， ． 【变式训练2】若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3】（1）已知，求代数式的值． （2）先化简，再求值：，其中． 题型精讲3计算单项式乘多项式及求值 【例题1】计算： (1)； (2)． 【变式训练1】计算： ． 【变式训练2】数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小曾在复习课堂笔记时发现有一道题：，的地方被墨水弄污了，你认为内应填写（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 题型精讲4单项式乘多项式的应用 【例题1】一个长方体的长、宽、高分别为，2x和x，则它的体积等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】一个长方体的长、宽、高分别是和，则它的体积等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】我们定义一种新运算“※”：对于任意实数a，b，都有，例如：．已知关于x的运算，则x的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式训练3】按照图①的程序进行计算，按照图②的程序进行计算． (1)___________；☆___________； (2)下列说法正确的是___________（填写所有正确结论的序号）； ①；     ②； ③；     ④． (3)若与相等，求，满足的条件． 题型精讲5利用单项式乘多项式求字母的值 【例题1】关于的整式与的乘积中所有项的系数恰巧都是1，则 ． 【变式训练1】已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值． 【变式训练2】若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3】【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】的值与无关，求的值； 【能力提升】如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 题型精讲6计算多项式乘多项式 【例题1】计算： 【变式训练1】下列各式中不能表示图中阴影部分面积的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】计算： (1)； (2)． 【变式训练3】计算 (1)； (2)． 题型精讲7（x+q）型多(x+p)项式乘法 【例题1】计算 ． 【变式训练1】如果，那么的值是（    ）． A． B． C． D． 【变式训练2】计算： ． 【变式训练3】小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为和______． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“系多项式”．若关于x的多项式是“系多项式”，则______． 题型精讲8已知多项式乘积不含某项求字母的值 【例题1】若的展开式中不含x项，则实数m的值为（　　） A． B．0 C．3 D．6 【变式训练1】若整式，整式，且的结果中不含的项，那么的值为（   ） A． B． C．3 D．-3 【变式训练2】已知的展开结果中不含的一次项，则 ． 【变式训练3】关于的代数式化简后不含项和常数项． (1)求、的值； (2)求的值． 题型精讲9多项式乘多项式——化简求值 【例题1】先化简，再求值∶，其中，． 【变式训练1】先化简，再求值：，其中． 【变式训练2】先化简，再求值，其中，． 【变式训练3】先化简，再求值：，其中． 题型精讲10多项式乘多项式与图形面积 【例题1】计算：如图所示是一个长方形． (1)根据图中尺寸大小，用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)若，求的值． 【变式训练1】有7个如图1的边长分别为的小长方形，拼成如图2的大长方形． (1)观察图2，请你写出满足的等量关系（用含的代数式表示）； (2)将7个图1所示的小长方形放入一个大长方形中，摆放方式如图3所示（小长方形都呈水平或竖直摆放），图中的阴影部分分别记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ： ①记阴影部分Ⅰ，Ⅱ的周长分别为，试求的值； ②若，求阴影部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积之和． 【变式训练2】如图是某个流行玩具的横截面，四边形与四边形是两个边长分别为，的正方形，求： (1)的面积为________； (2)当，时，求阴影部分的面积． 【变式训练3】（实际应用）某学校要在校园内修建一个长方形花坛，花坛的长比宽多2米，花坛周围修建了宽1米的小路，已知小路的面积是28平方米． (1)设花坛的宽为x米，用含x的代数式表示花坛和小路组成的大长方形的面积； (2)求花坛的长和宽各是多少米？ 题型精讲11多项式乘法中的规律性问题 【例题1】我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如下所示． 行数 的展开式 的展开式的各项系数 第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 …… …… …… 观察上面的规律可知，的展开式的第三项系数为 ． 【变式训练1】我国古代数学的许多创新和发明都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角” 根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（    ） A．55 B．45 C．36 D．11 【变式训练2】我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【变式训练3】我国北宋数学家贾宪在研究乘法公式时，发现了为非负数展开式的各项系数的规律．例如：，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1、1；，它有三项，系数分别为1、2、1；，它有四项，系数分别为1、3、3、1；根据以上系数规律，展开式中各项系数之和是（   ） A． B． C． D． 题型精讲12整式乘法混合运算 【例题1】计算：． 【变式训练1】为了比较两个数大小，我们可以求这两个数的差，若差为0，则两数相等；若差为正数，则被减数大于减数．若差为负数，则被减数小于减数．已知：，，其中为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由． 【变式训练2】计算： (1) (2) 【变式训练3】阅读下列材料： 如果整数满足，其中都是整数，那么一定存在整数，使得． 例如，或 根据上述材料，解决下列问题： (1)已知或若，则___________； (2)已知，（为整数），．若，求；（用含的式子表示） (3)一般地，上述材料中的可以用含的式子表示，请直接写出一组满足条件的（用含的式子表示）． 题型精讲13同底数幂的除法运算 【例题1】计算： ．（其中） 【变式训练1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】计算： ． 【变式训练3】计算： (1)； (2)． 题型精讲14同底数幂除法的逆用 【例题1】若，，则 ． 【变式训练1】已知，，求的值． 【变式训练2】若，，则 ． 【变式训练3】已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 题型精讲15零指数幂计 【例题1】计算： ． 【变式训练1】计算： ． 【变式训练2】计算： ； ； ； ； ； ； 【变式训练3】下列说法：①倒数等于它本身的数是；②除以一个数等于乘以这个数的倒数；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④零的任何次幂都是零；⑤四舍五入得到的近似数，它的精确度是精确到千分位；⑥单项式的次数是5，其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型精讲16计算单项式除以单项式 【例题1】计算： ． 【变式训练1】（1）计算：； （2）化简：． 【变式训练2】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】计算： (1)； (2)解不等式组． 题型精讲17用科学记数法表示数的除法 【例题1】2022年我国粮食总产量大约为．如果按我国人口人计算，那么人均粮食产量大约是 ． 【变式训练1】计算： (1)； (2)． 【变式训练2】已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为 秒． 【变式训练3】五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的 倍． 题型精讲18多项式除以单项式 【例题1】计算： (1)； (2)． 【变式训练1】计算： (1)； (2)． 【变式训练2】计算： (1)； (2)． 【变式训练3】如图，现有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体形状的无盖纸盒．如果该长方体纸盒的容积为，底面的一边的长为． (1)求的长； (2)求原长方形的面积． 题型精讲19整式四则混合运算 【例题1】计算： (1)． (2) 【变式训练1】计算： (1)； (2)． 【变式训练2】如图是某一工件横截面的形状，由图中所标数据可知，该工件横截面的面积为 ． 【变式训练3】有7张相同的小长方形纸片（如图1所示），现将这7张相同的小长方形纸片按图2所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，设这两个长方形的面积分别为和（上方是）．已知小长方形纸片的长为，宽为，且． (1)当，，时，求长方形的面积； (2)当时，①用含，的代数式表示 （直接写出结果）； ②若，，化简求：的值． (3)若保持，的值不变，变长，将这7张相同的小长方形纸片还是按照同样的方式放在一个新的长方形内，在变化的过程中，满足的值始终保持不变的条件下，求得代数式：的值为 （直接写出结果）． 【拓展培优】 【典例1】观察下列各式： ； ； ． 利用你发现的规律计算：的值是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】若关于的多项式，其中为正整数，为整数，为非零整数，下列说法： ①已知，当时，则； ②当时，若，则符合条件的所有整式共有15个； ③若多项式为整数），其中，则． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练2】我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律．有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期一．其中正确的序号有 ． 【变式训练3】观察下列各式． … 【规律发现】 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得______（其中为正整数）； 【规律应用】 （2）计算：． （3）计算：； 【典例2】若一个四位自然数满足各个数位上的数字均不为0，且能分解为，其中、都是两位数，且它们的十位数字相同，个位数字之和为8，则称这个数为“八乐数”．例如：四位数5475，因为，73和75的十位数字相同，个位数字之和为8，所以5475是“八乐数”．按照这个规定，最小的“八乐数”是 ，一个“八乐数”，将放在的左边组成一个新的四位数，将其千位数字和百位数字交换位置，十位数字和个位数字交换位置，得到一个新数，记，，若除以17的余数为3，且为整数，则满足条件的的值为 ． 【变式训练1】对于一个四位正整数，若千位数字是十位数字的3倍，百位数字比个位数字小2，那么称这个数为“胜利数”． 例如：，因为，，所以6325是个“胜利数”；又如，因为，所以6528不是一个“胜利数”． (1)则满足条件的最小“胜利数”是______． (2)已知一个四位正整数，将它的四位数字从个位到千位依次逆序排列得到一个新的四位数，称这个新数为原数的“逆序数”，记为四位正整数与其“逆序数”之差，例如：，其“逆序数”为6785，．若一个“胜利数”的十位数字为，百位数字为，，若是9的倍数，则满足条件的的最大值是______． 【典例3】观察下列各式： 第一个等式：；    第二个等式：； 第三个等式：；…… (1)根据上述规律，写出下列等式： ①第个等式为：________； ②第个等式为：________； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①________； ②________； (3)有个长方形，第个长方形的长与宽分别是，，第个长方形的长与宽分别是，，第个长方形的长与宽分别是，，……，第个长方形的长与宽分别是，，试求这个长方形的面积之和． 【变式训练1】【问题提出】我们知道一条直线（一维）被n个点分割，最多可以分成部分；那么一个平面（二维）被n条直线分割，最多可以分成多少部分？ 【探究】一个平面（用平行四边形a表示）被n条直线分割（给出的图例如下）． 直线总数 新直线被分成的份数 增加的平面份数 平面被分成的总份数 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 … … … … n 【尝试】填空：______． 【推理】观察计算：，，，…，，这组差，再把这组差相加，即可得；请你根据以上思路写出的推理过程（用含n的式子表示）． 【归纳】可以得到的表达式为____________（用含n的式子表示）． 【应用】请利用的表达式求值：______． 【延伸】我们已知一条直线（一维）被n个点分割，最多可以分成部分，即一维的分割数是n的一次多项式．经过证明，我们了解到二维的分割数是n的______次多项式．我们解决一个平面（二维）被n条直线分割，最多可以分成多少部分的问题就有了快速计算的办法．由此，我们可以推测三维的分割数是n的______次多项式． 【变式训练2】通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． (1)【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是． ①条件：当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是______．如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、9、满足的等量关系是______； 结论：可得． ②当时，同理可得； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______． (2)【方法迁移】 仿照上述方式，求出当时，代数式的最大值（无需描述割补过程，只需画出示意图）． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·广东河源·期末）计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东东莞·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）下列各式中计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·四川成都·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·河南周口·期末）下列各式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·全国·期末）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（    ） A．0 B． C． D．3 8．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（25-26八年级上·全国·期末） 10．（24-25七年级下·河南郑州·期末）计算： ． 11．（24-25七年级上·陕西西安·期末）陕北秧歌是流传于陕西黄土高原的一种具有广泛群众性和代表性的地方传统舞蹈，又称“闹红火”、“闹秧歌”、“闹社火”、“闹阳歌”等．如图，某市计划在一块长方形公园空地上建造两个长方形秧歌观赏台（阴影部分）．（单位：米） (1)请用含，的代数式表示观赏台的总面积；（结果化为最简） (2)如果修建观赏台的费用为元/平方米，且米，那么修建观赏台需要总费用多少元？ 12．（24-25七年级下·河南开封·期末）计算： ． 三、解答题 13．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）（1）计算：； （2）求x的值：． 14．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）一块长为，宽为的长方形地板中间有一条裂缝（如图甲）．若把裂缝右边的一块向右平移（如图乙），则产生的裂缝的面积是多少平方厘米? 15．（24-25八年级上·吉林·期末）有一块边长为的正方形铁皮，计划制成一个有盖的长方体铁盒，使得盒盖与相对的盒底都是正方形．如图（1）、（2）给出了两种不同的裁剪方案（其中实线是剪开的线迹，虚线是折叠的线迹，阴影部分是余料），问哪一种方案制成的铁盒体积更大些？说明理由．（接缝的地方忽略不计） 16．（24-25八年级上·四川泸州·期末）观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系： ，， ， （1）你发现的规律是： ，并写出推理过程；类似地，你还可以得到如下规律： ； （2）用你发现的规律填空： ； ； ； ； （3）我们知道，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，请你尝试将下列多项式分解因式： ① ； ； ②拓展思考：把多项式分解因式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 整式的乘法 第三节 整式的乘法 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1单项式乘单项式 知识点2 单项式乘多项式 知识点3多项式乘多项式 知识点4 同底数幂的除法 知识点5 零指数幂 知识点6 单项式除以单项式 知识点7 多项式除以单项式 题型精讲1计算单项式乘单项式 题型精讲2利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型精讲3计算单项式乘多项式及求值 题型精讲4单项式乘多项式的应用 题型精讲5利用单项式乘多项式求字母的值 题型精讲6计算多项式乘多项式 题型精讲7（x+q）型多(x+p)项式乘法 题型精讲8已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型精讲9多项式乘多项式——化简求值 题型精讲10多项式乘多项式与图形面积 题型精讲11多项式乘法中的规律性问题 题型精讲12整式乘法混合运算 题型精讲13同底数幂的除法运算 题型精讲14同底数幂除法的逆用 题型精讲15零指数幂计 题型精讲16计算单项式除以单项式 题型精讲17用科学记数法表示数的除法 题型精讲18多项式除以单项式 题型精讲19整式四则混合运算 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 掌握幂的运算性质及整式乘法法则，能规范进行单项式、多项式乘法运算，灵活运用乘法公式简化计算。 理解运算法则的推导逻辑，感悟类比、转化思想，发展抽象、推理与运算能力。 结合几何背景深化对公式的理解，能运用知识解决图形面积等实际问题，建立模型观念。 衔接新中考要求，提升符号运算准确性与综合应用能力，为后续因式分解、分式运算奠定基础。 【新知学习】 【知识点1】单项式乘单项式 1. 单项式乘单项式的运算法则： 把几个单项式的系数 相乘 作为积的系数，在把同底数幂分别 相乘 。对于只在一个单项式里面出现的字母，连同它的 指数 作为积的一个因式。 如 边学边练计算： 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 【知识点2】单项式乘多项式 1. 单项式乘多项式的运算法则： 用单项式去乘多项式的 每一项 ，得到单项式乘单项式，再把所得的积 相加 。若有同类项，则一定要合并同类项。示例： 边学边练计算： ． 【答案】 【详解】解：； 故答案为：． 【知识点3】多项式乘多项式 1. 多项式乘多项式的运算法则： 用一个多项式的 每一项 乘以另一个多项式的 每一项 ，再把所得的积 相加 。若有同类项，一定合并同类项。示例： 边学边练已知 ，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：依题意，， 又∵，， ∴， 故选：D． 【知识点4】同底数幂的除法 一般地，我们有．即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 边学边练下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 选项A： 中，指数不同，不是同类项，不能合并，故错误； ∵ 选项B：，故错误； ∵ 选项C：，故错误； ∵ 选项D：，故正确． 故选：D． 【知识点5】 零指数幂 1. 零指数幂的计算： 任何不等于0的数的0次幂都等于 1 。即： 1 。（a≠0） 证明： = 。 ∵相等的两数（都不为0）的商等于1 ∴1 ∴=1 边学边练计算的结果是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】解：∵（其中）， ∴； 故选C． 【知识点6】 单项式除以单项式 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．其实质是把单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，所得结果仍是单项式． 边学边练计算： ． 【答案】 【详解】解：原式 故答案为：． 【知识点7】多项式除以单项式 1. 多项式除以单项式的运算法则： 多项式除以单项式，用多项式的 每一项 去除以单项式，再把得到的商相加。 边学边练计算： ． 【答案】/ 【详解】解：原式． 故答案为：． 题型精讲 题型精讲1计算单项式乘单项式 【例题1】计算： ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式训练1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A 【变式训练2】计算： 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 【变式训练3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型精讲2利用单项式乘法求字母或代数式的值 【例题1】若，则 ． 【答案】11 【详解】解：，， ， ，， ，， ． 故答案为：11． 【变式训练1】如果与相乘的结果是，那么 ， ， ． 【答案】 3 4 32 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴， 解得， ∴ ， 故答案为：3；4；32． 【变式训练2】若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：C． 【变式训练3】（1）已知，求代数式的值． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解： ， 当时， 原式． 题型精讲3计算单项式乘多项式及求值 【例题1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）． 【变式训练1】计算： ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式训练2】数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小曾在复习课堂笔记时发现有一道题：，的地方被墨水弄污了，你认为内应填写（   ） A． B． C． D． 【答案】A 解：∵左边 ． 右边， ∴□内应填写． 故选：A． 【变式训练3】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 题型精讲4单项式乘多项式的应用 【例题1】一个长方体的长、宽、高分别为，2x和x，则它的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意知，长方体的体积=长×宽×高， ， 故选：C ． 【变式训练1】一个长方体的长、宽、高分别是和，则它的体积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：依题意，长方体的体积为 ． 故项：D． 【变式训练2】我们定义一种新运算“※”：对于任意实数a，b，都有，例如：．已知关于x的运算，则x的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式训练3】按照图①的程序进行计算，按照图②的程序进行计算． (1)___________；☆___________； (2)下列说法正确的是___________（填写所有正确结论的序号）； ①；     ②； ③；     ④． (3)若与相等，求，满足的条件． 【答案】(1)， (2)① (3) 【详解】（1）解：根据流程图可得；， 故答案为：，． （2）解：，，即，故①正确；      ， ， 故，②错误； ，，故③错误；      ， ， ，故④错误； 故答案为：①． （3）解：， ， 若与相等， 则． 题型精讲5利用单项式乘多项式求字母的值 【例题1】关于的整式与的乘积中所有项的系数恰巧都是1，则 ． 【答案】 【详解】解：， 由条件得， 解得， 则； 故答案为：． 【变式训练1】已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值． 【答案】 【详解】解：． 计算结果不含x的三次项， ， 解得． 【变式训练2】若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ∵将展开的结果中不含有的一次项， ∴， 故选：B． 【变式训练3】【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求的值；通常的解题方法；把x，y看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】的值与无关，求的值； 【能力提升】如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【答案】理解应用：；能力提升： 【详解】解：理解应用： ， ∵的值与无关， ∴， ∴． 能力提升：设，则，， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴的值与无关， ∴， ∴． 题型精讲6计算多项式乘多项式 【例题1】计算： 【答案】 【详解】解： 【变式训练1】下列各式中不能表示图中阴影部分面积的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)12 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式训练3】计算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型精讲7（x+q）型多(x+p)项式乘法 【例题1】计算 ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式训练1】如果，那么的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ 比较系数得：； 故选：A． 【变式训练2】计算： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式训练3】小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为和______． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“系多项式”．若关于x的多项式是“系多项式”，则______． 【答案】(1)3 (2) (3) 【详解】（1）解：根据题意，令， 或， 解得：或， 故答案为：3 ； （2）解：根据题意，把代入，得， 解得：， 把代入，得， 令， 解得：， ∴多项式的另一个零点是； （3）解：， ∴的两个零点分别是和7， 根据“系多项式”的定义，有， ， 故答案为：． 题型精讲8已知多项式乘积不含某项求字母的值 【例题1】若的展开式中不含x项，则实数m的值为（　　） A． B．0 C．3 D．6 【答案】D 【详解】解：， 展开式中不含项， ， ， 故选：D． 【变式训练1】若整式，整式，且的结果中不含的项，那么的值为（   ） A． B． C．3 D．-3 【答案】B 【详解】解：因为，， 则 因为 不含项， 即 ， 解得 ． 故选B． 【变式训练2】已知的展开结果中不含的一次项，则 ． 【答案】 【详解】解：， ∵ 展开结果中不含的一次项， ∴ ， 解得 ． 故答案为： 【变式训练3】关于的代数式化简后不含项和常数项． (1)求、的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解： ， ∵化简后不含 项和常数项， ∴，， ∴，； （2）解：， 由（1）知，， ∴， 原式． 题型精讲9多项式乘多项式——化简求值 【例题1】先化简，再求值∶，其中，． 【答案】 【详解】解： 当，时， 原式 【变式训练1】先化简，再求值：，其中． 【答案】，0． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式训练2】先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ； ∵，， ∴原式． 【变式训练3】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 题型精讲10多项式乘多项式与图形面积 【例题1】计算：如图所示是一个长方形． (1)根据图中尺寸大小，用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由图形可知：阴影部分的面积为： 答：阴影部分的面积； （2）解：将代入得： ， 答：的值为． 【变式训练1】有7个如图1的边长分别为的小长方形，拼成如图2的大长方形． (1)观察图2，请你写出满足的等量关系（用含的代数式表示）； (2)将7个图1所示的小长方形放入一个大长方形中，摆放方式如图3所示（小长方形都呈水平或竖直摆放），图中的阴影部分分别记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ： ①记阴影部分Ⅰ，Ⅱ的周长分别为，试求的值； ②若，求阴影部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积之和． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：由图2中大长方形的长分别是三个小长方形横放、四个小长方形竖放得到， 则， ∴； （2）解：①， ∴； ②阴影部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积之和， 当时，，将其代入阴影部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积之和． 【变式训练2】如图是某个流行玩具的横截面，四边形与四边形是两个边长分别为，的正方形，求： (1)的面积为________； (2)当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)阴影部分的面积为 【详解】（1）解：由图可知：的面积为：； 故答案为：； （2）解：∵阴影部分的面积 ；    当，时， 阴影部分的面积． 【变式训练3】（实际应用）某学校要在校园内修建一个长方形花坛，花坛的长比宽多2米，花坛周围修建了宽1米的小路，已知小路的面积是28平方米． (1)设花坛的宽为x米，用含x的代数式表示花坛和小路组成的大长方形的面积； (2)求花坛的长和宽各是多少米？ 【答案】(1)平方米 (2)长为7米，宽为5米 【详解】（1）解：花坛的宽为x米，则长为米， 大长方形的宽为米，长为米， 面积为（平方米）； （2）解：花坛面积为， 小路面积=大长方形面积 - 花坛面积， 即， ，解得， 则花坛长为（米）． 答：花坛的长为7米，宽为5米． 题型精讲11多项式乘法中的规律性问题 【例题1】我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如下所示． 行数 的展开式 的展开式的各项系数 第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 …… …… …… 观察上面的规律可知，的展开式的第三项系数为 ． 【答案】15 【详解】解：观察发现，杨辉三角的第行与展开式的各项系数对应， 的展开式中从左起第三项的系数为， 的展开式中从左起第三项的系数为， 的展开式中从左起第三项的系数为， …… 观察发现，的展开式中从左起第三项的系数为， 则的展开式中从左起第三项的系数为， 故选：15． 【变式训练1】我国古代数学的许多创新和发明都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角” 根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（    ） A．55 B．45 C．36 D．11 【答案】B 【详解】解：由杨辉三角得， 的第三项系数为， 的第三项系数为， 的第三项系数为， 由此可知的第三项系数为， ∴的展开式中第三项的系数为：， 故选：B． 【变式训练2】我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算术》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（   ） A．15 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【详解】解：杨辉三角的规律是：每行两端的数为，中间的数为上一行相邻两数之和． 的系数行： ； 的系数行： ； 对于含项的系数是从左向右第个数，即； 故选：A． 【变式训练3】我国北宋数学家贾宪在研究乘法公式时，发现了为非负数展开式的各项系数的规律．例如：，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1、1；，它有三项，系数分别为1、2、1；，它有四项，系数分别为1、3、3、1；根据以上系数规律，展开式中各项系数之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题知， 展开式中各项系数之和为2； 展开式中各项系数之和为4； 展开式中各项系数之和为8； …， 所以展开式中各项系数之和为 当时， 展开式中各项系数之和是 故选：C． 题型精讲12整式乘法混合运算 【例题1】计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式训练1】为了比较两个数大小，我们可以求这两个数的差，若差为0，则两数相等；若差为正数，则被减数大于减数．若差为负数，则被减数小于减数．已知：，，其中为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【详解】解：，理由如下， ， ． 【变式训练2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练3】阅读下列材料： 如果整数满足，其中都是整数，那么一定存在整数，使得． 例如，或 根据上述材料，解决下列问题： (1)已知或若，则___________； (2)已知，（为整数），．若，求；（用含的式子表示） (3)一般地，上述材料中的可以用含的式子表示，请直接写出一组满足条件的（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）解：， ， ， 解得， ， ， 故答案为：； （2）解：∵（为整数），，， ， ， 或； （3）解： ， ∴或． 题型精讲13同底数幂的除法运算 【例题1】计算： ．（其中） 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 【变式训练1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，应为，而不是，故A项错误； ，根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，应为，而不是， 故B项错误； ，根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即， 故C项正确； ，根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，应为，而不是， 故D项错误． 故选：． 【变式训练2】计算： ． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 【变式训练3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型精讲14同底数幂除法的逆用 【例题1】若，，则 ． 【答案】2 【详解】解：， 故答案为：2． 【变式训练1】已知，，求的值． 【答案】9 【详解】解：，， ． 【变式训练2】若，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：． 【变式训练3】已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， 又， ∴， ∴． 题型精讲15零指数幂计 【例题1】计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了零指数幂．根据零指数幂的意义，即可求解．【详解】解：， 故答案为：1． 【变式训练1】计算： ． 【答案】17 【详解】解：． 故答案为：17． 【变式训练2】计算： ； ； ； ； ； ； 【答案】 1 【详解】解：（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）； （幂的乘方，底数不变，指数相乘）； （积的乘方，等于每个因式分别乘方）； （系数相除，同底数幂相除，底数不变，指数相减）； （任何非零数的零次幂等于1）； （逆用积的乘方法则，指数为奇数，负数的奇次幂为负）． 【变式训练3】下列说法：①倒数等于它本身的数是；②除以一个数等于乘以这个数的倒数；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④零的任何次幂都是零；⑤四舍五入得到的近似数，它的精确度是精确到千分位；⑥单项式的次数是5，其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：∵ ①倒数等于它本身的数是，正确； ∵ ② 除以一个数等于乘以它的倒数，是除法性质，正确； ∵ ③ 绝对值相等的数可能相等或互为相反数，如但，错误； ∵ ④ 零的0次幂或负整数次幂无意义，不是任何次幂都为零，错误； ∵ ⑤ 近似数小数点后三位，∴精确到千分位，正确； ∵ ⑥ 单项式中，为常数，字母指数和， ∴次数为5，正确． ∴ 正确说法有①、②、⑤、⑥，共4个． 故选：C 题型精讲16计算单项式除以单项式 【例题1】计算： ． 【答案】 【详解】解：； 故答案为：． 【变式训练1】（1）计算：； （2）化简：． 【答案】(1)，(2) 【详解】解：（1）原式； （2）原式﹒ 【变式训练2】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 选项A：， ∴ A错误，不符合题意； ∵ 选项B：， ∴ B错误，不符合题意； ∵ 选项C：， ∴ C错误，不符合题意； ∵ 选项D：，符合积的乘方法则， ∴D正确，符合题意； 故选：D． 【变式训练3】计算： (1)； (2)解不等式组． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴原不等式组的解集为． 题型精讲17用科学记数法表示数的除法 【例题1】2022年我国粮食总产量大约为．如果按我国人口人计算，那么人均粮食产量大约是 ． 【答案】 【详解】解：人均粮食产量为： ． 故答案为． 【变式训练1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式训练2】已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为 秒． 【答案】 【详解】解：由题意可得，预定轨道处光传播到地球的时间为：（秒）． 故答案为：． 【变式训练3】五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的 倍． 【答案】5 【详解】解： ，， ， 阵风战机价格是歼-10C的5倍． 故答案为：5． 题型精讲18多项式除以单项式 【例题1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式训练1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式训练2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练3】如图，现有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体形状的无盖纸盒．如果该长方体纸盒的容积为，底面的一边的长为． (1)求的长； (2)求原长方形的面积． 【答案】(1) (2)原长方形的面积为． 【详解】（1）解：长方体纸盒的容积为，底边，高为， 则， 即的长为； （2）解：，， 则 ， 即原长方形的面积为． 题型精讲19整式四则混合运算 【例题1】计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式， ． 【变式训练2】如图是某一工件横截面的形状，由图中所标数据可知，该工件横截面的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示， 该工件横截面的面积为 ， 故答案为：． 【变式训练3】有7张相同的小长方形纸片（如图1所示），现将这7张相同的小长方形纸片按图2所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，设这两个长方形的面积分别为和（上方是）．已知小长方形纸片的长为，宽为，且． (1)当，，时，求长方形的面积； (2)当时，①用含，的代数式表示 （直接写出结果）； ②若，，化简求：的值． (3)若保持，的值不变，变长，将这7张相同的小长方形纸片还是按照同样的方式放在一个新的长方形内，在变化的过程中，满足的值始终保持不变的条件下，求得代数式：的值为 （直接写出结果）． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【详解】（1）解：由图可知，长方形的面积为； （2）解：①， ， 故答案为：； ②， ， ，， ； （3）解：保持，的值不变，变长， 由（2）， 当时，在变化的过程中的值始终不变， ． 故答案为：． 【拓展培优】 【典例1】观察下列各式： ； ； ． 利用你发现的规律计算：的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式的规律探究问题，从题意中找出规律是解题的关键． 通过观察题干中等式的规律，可得一般形式：，将所求和式视为该形式中、的情况，直接代入计算即可． 【详解】设 ， ∵ ， 令，， ∴ ， 即 ． 故选：D． 【变式训练1】若关于的多项式，其中为正整数，为整数，为非零整数，下列说法： ①已知，当时，则； ②当时，若，则符合条件的所有整式共有15个； ③若多项式为整数），其中，则． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的有关概念，讨论思想，根据多项式有关概念逐一排除即可，解决本题的关键是根据多项式的定义分情况写出所有可能出现的结果即可． 【详解】① ∵ ，令 ，则奇次项系数和 ． ， ， ∴， 故①正确 ②为正整数， 当时，或或或，共有个， 当时，或或或或或，共个， 当时，或或或，共个， 当时，，共个， 一共有个， 故正确； ③ ∵ ， ∴ ，． 解方程：由 得 ，代入 ， 即 ，， 解得 （整数），则 ， ∴ ，正确． 故选：D． 【变式训练2】我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律．有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期一．其中正确的序号有 ． 【答案】①②③④ 【点睛】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，根据表中等式的项数和系数的和，找出规律可判断①；利用“杨辉三角”的规律解答可判断②③④，综上即可求解，找出规律是解题的关键． 【详解】解：①∵，展开式有项，系数的和为， ，展开式有项，系数的和为:， ，展开式有项，系数的和为， ，展开式有项，系数的和为， ，展开式有项，系数的和为， ， ∴展开式有项，系数的和为，故①正确； ②∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴， 当代数式的值是时，， 解得，故③正确； ④∵， ∴展开式中除最后一项，均含有因数，都能被整除，展开式的最后一项为， ∴的余数与的余数相同， ∵， ∴的余数为， ∴的余数为， ∴如果今天是星期一，那么天后是星期日，故④正确； 综上，正确的序号有①②③④， 故答案为：①②③④． 【变式训练3】观察下列各式． … 【规律发现】 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得______（其中为正整数）； 【规律应用】 （2）计算：． （3）计算：； 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查平方差公式，数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的等式的形式，把所求的式子转化成为所给的等式的形式． （1）由题干信息归纳总结可得答案； （2）把原式乘以，使之符合（1）中归纳出的公式特点，再利用公式进行计算即可； （3）先把原式化为：，使之符合（1）中归纳出的公式特点，再利用公式进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意总结归纳可得： ， 故答案为：； （2） ； （3） ． 【典例2】若一个四位自然数满足各个数位上的数字均不为0，且能分解为，其中、都是两位数，且它们的十位数字相同，个位数字之和为8，则称这个数为“八乐数”．例如：四位数5475，因为，73和75的十位数字相同，个位数字之和为8，所以5475是“八乐数”．按照这个规定，最小的“八乐数”是 ，一个“八乐数”，将放在的左边组成一个新的四位数，将其千位数字和百位数字交换位置，十位数字和个位数字交换位置，得到一个新数，记，，若除以17的余数为3，且为整数，则满足条件的的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，列代数式，整除，掌握相关知识是解决问题的关键．首先，根据“八乐数”的定义，找出最小的四位自然数满足条件：十位数字相同，个位数字之和为8，且各个数字均不为0．通过计算，当十位数字为3，个位数字分别为1和7时，得到最小“八乐数”．对于第二个空，设 ，，可表达出，即 应是的倍数，且为整数，则 能被整除，实验所有可能性，从而得，，，则． 【详解】解：第一部分：满足条件的最小的“八乐数” 设两位数十位数字为 ，个位数字分别为 和 ，且 ，，， 为四位数，故 ∴a最小取3， 当 时，，最小为 ， 故“八乐数”最小为． 故答案为 ：； 第二部分：满足条件的M 设 ，，其中是 到 的整数，且， 则， 其中 ， 为 放在 左边组成的四位数： 为 的千位与百位交换、十位与个位交换所得： ， ， ， ∵， 代入得： ， ∴， 即， 即 能被 整除， ∵为整数， ∴ 能被整除， 当 到： ：，不能被整除， ：不能被整除， ：，，可以 ：，不能被整除， ：，不能被整除， ：，，可以 ：，不能被整除， ∴或 ． 又 ， ∴为 到 的整数， 情况1当时，     ， 代入 ： ， 余 ， ∴ ， 余 ， ∴， 则， 需要 能被 整除． 当 到 时， ：，不能被整除， ：，能被整除， ：，不能被整除， ：，不能被整除， ：，不能被整除， ：，不能被整除， ：，不能被整除， ∴． 情况 2： ， 代入 ： ， 余， ∴， ， 需要 能被整除， 当 到： ：，不被整除， ：，不被整除， ：，不被整除， ：，不被整除， ：，不被整除， ：，不被整除， ：，不被整除， 综上所述，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练1】对于一个四位正整数，若千位数字是十位数字的3倍，百位数字比个位数字小2，那么称这个数为“胜利数”． 例如：，因为，，所以6325是个“胜利数”；又如，因为，所以6528不是一个“胜利数”． (1)则满足条件的最小“胜利数”是______． (2)已知一个四位正整数，将它的四位数字从个位到千位依次逆序排列得到一个新的四位数，称这个新数为原数的“逆序数”，记为四位正整数与其“逆序数”之差，例如：，其“逆序数”为6785，．若一个“胜利数”的十位数字为，百位数字为，，若是9的倍数，则满足条件的的最大值是______． 【答案】(1)3012 (2)9234 【分析】本题主要考查了新定义问题、整式的四则混合运算等知识点，熟练掌握新定义是解题的关键． （1）根据四位正整数M，千位数字是十位数字的3倍，百位数字比个位数字小2，十位数字最小为1，千位数字最小为3；百位数字最小为0，个位数字最小为2，继而得到最小“胜利数”是3012； （2）一个“胜利数”M的十位数字为a，百位数字为b，则千位数字，个位数字为，则 得到 ，只需是9的倍数即可． 【详解】（1）解：根据四位正整数M，千位数字是十位数字的3倍，百位数字比个位数字小2，十位数字最小为1，千位数字最小为3；百位数字最小为0，个位数字最小为2，继而得到最小“胜利数”是3012． （2）解：一个“胜利数”M的十位数字为a，百位数字为b，则千位数字，个位数字为， ， 得到，只需是9的倍数即可， 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，符合题意，M的值为3618； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，符合题意，M的值为6426； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，符合题意，M的值为9234； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 当，时，，不符合题意； 所以M的最大值是9234． 故答案为：3012，9234． 【典例3】观察下列各式： 第一个等式：；    第二个等式：； 第三个等式：；…… (1)根据上述规律，写出下列等式： ①第个等式为：________； ②第个等式为：________； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①________； ②________； (3)有个长方形，第个长方形的长与宽分别是，，第个长方形的长与宽分别是，，第个长方形的长与宽分别是，，……，第个长方形的长与宽分别是，，试求这个长方形的面积之和． 【答案】(1)①；②． (2)①；②． (3)． 【分析】本题主要考查分式的裂项相消法以及规律探究，涉及到分式的运算和数列求和．关键在于准确找出分式的裂项规律，并能灵活运用裂项相消法对式子进行化简计算． （1）通过观察已知的前三个等式，找出等式中分子、分母的变化规律，进而写出第个等式和第个等式． （2）①根据（1）中得到的规律，将原式中的每一项进行裂项，然后通过相互抵消的方式化简式子，从而得出结果．      ②先将原式中的每一项进行变形，找到其裂项规律，再利用裂项相消法进行化简计算． （3）先求出每个长方形的面积表达式，然后将这个长方形的面积相加，根据（2）中①的方法进行裂项相消，进而求出面积之和． 【详解】（1）解：①通过观察得出规律， 故第个等式为：； ②第个等式为：； （2）解：①通过（1）中的规律得出， ， ； ②通过观察规律得出，则 ， ， ， ， ． （3）解：第个长方形的面积是，第个长方形的面积是，第个长方形的面积是，……，第个长方形的面积是，则这个长方形的面积之和 ，由（2）②规律可知 ， ， ， ， ， ． 综上，答案依次为：（1）①；②．     （2）①；②．     （3）. 【变式训练1】【问题提出】我们知道一条直线（一维）被n个点分割，最多可以分成部分；那么一个平面（二维）被n条直线分割，最多可以分成多少部分？ 【探究】一个平面（用平行四边形a表示）被n条直线分割（给出的图例如下）． 直线总数 新直线被分成的份数 增加的平面份数 平面被分成的总份数 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 … … … … n 【尝试】填空：______． 【推理】观察计算：，，，…，，这组差，再把这组差相加，即可得；请你根据以上思路写出的推理过程（用含n的式子表示）． 【归纳】可以得到的表达式为____________（用含n的式子表示）． 【应用】请利用的表达式求值：______． 【延伸】我们已知一条直线（一维）被n个点分割，最多可以分成部分，即一维的分割数是n的一次多项式．经过证明，我们了解到二维的分割数是n的______次多项式．我们解决一个平面（二维）被n条直线分割，最多可以分成多少部分的问题就有了快速计算的办法．由此，我们可以推测三维的分割数是n的______次多项式． 【答案】[尝试]11 [推理]见解析 [归纳] [应用] [延伸]二、三 【分析】[尝试] 根据平面内有条直线、条直线、条直线时平面被分成的个数总结出规律，根据规律得到的值； [推理]根据题目中提供的思路得到：，计算可得结果； [归纳]根据推理结果归纳，即可求解． [应用]将代入计算即可求解； [延伸]仿照以上方法求解即可． 【详解】[尝试] 解：由题意可知：平面内有条直线时，平面被分成个平面， 平面内有条直线时，平面被分成个平面，增加了个平面， 平面内有条直线时，平面被分成个平面，增加了个平面， 根据规律可知：当平面内有条直线时，将增加个平面，平面被分成个平面， 故答案为：； [推理] 根据规律可知：，，，，， 把这组差相加可得：， ， ， ， ， ， [应用]当时， [延伸]经过证明，我们了解到二维的分割数是n的二次多项式． 由此，我们可以推测三维的分割数是n的三次多项式．理由如下： 个平面把一个空间分成个空间， 个平面把一个空间分成个空间， 个平面把一个空间分成个空间， 个平面把一个空间分成个空间， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴； ∴三维分割数是的三次多项式． 故答案为：二、三． 【变式训练2】通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． (1)【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是． ①条件：当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是______．如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、9、满足的等量关系是______； 结论：可得． ②当时，同理可得； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______． (2)【方法迁移】 仿照上述方式，求出当时，代数式的最大值（无需描述割补过程，只需画出示意图）． 【答案】(1)；； 9 (2)25 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积、列代数式等知识点，理解材料的用意及数形结合是解题的关键． （1）根据图形面积的求法列代数式并整理即可解答； （2）根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出 的最大值，据此求解即可． 【详解】（1）解：①当时，如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长为；如图3，阴影部分是一个边长为的正方形，长方形A、B和阴影部分组成一个边长为3的正方形， ∴， ②当时，同理可得； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是9． 故答案为：；； 9． （2）解：当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴； 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，该长方形为边长是5的正方形，即 ∴边长是 和的长方形的最大面积是25， ∴ 的最大值为25． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·广东河源·期末）计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：． 故选：C． 2．（24-25八年级上·广东东莞·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，单项式运算法则和同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据合并同类项法则计算并判定A；根据同底数幂的除法法则计算并判定B；根据幂的乘方法则计算并判定C；根据单项式运算法则和同底数幂乘法法则计算并判定D． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 根据相应运算法则进行计算，判断其正确性即可． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）下列各式中计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，利用指数运算法则（同底数幂相乘、相除，幂的乘方）计算是解答本题的关键． 根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以判断哪个选项符合题意． 【详解】解：，不是同类项，无法合并，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C符合题意； ，故选项D不符合题意； 故选：C． 5．（24-25七年级上·四川成都·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了整式的计算，正确掌握合并同类项，同底数幂除法法则，单项式乘以单项式，幂的乘方运算法则是解题的关键．根据合并同类项，同底数幂除法法则，单项式乘单项式，幂的乘方法则依次计算并判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故该项不符合题意； B、，原计算错误，故该项不符合题意； C、，正确，故该项符合题意； D、，原计算错误，故该项不符合题意． 故选：C． 6．（24-25七年级上·河南周口·期末）下列各式中，不能表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式的表示，根据图形的面积准确表达是解题的关键． 利用正方形和长方形的面积公式，通过不同方式表示出阴影部分的面积，注意分析选项即可． 【详解】各部分的面积用符号表示，如图所示： ， 正确，不符合题意； ， 正确，不符合题意； ， 正确，不符合题意； ， 不正确，符合题意； 故选． 7．（25-26八年级上·全国·期末）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，，根据题意得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∵多项式与的乘积展开式中不含x的一次项， ∴， 解得：， 故选：C． 8．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，合并同类项，幂的乘方，根据同底数幂的乘法和除法，合并同类项法则，幂的乘方法则计算各项后进行判断即可． 【详解】解：A．，不符合题意； B．和不是同类项，不能合并，不符合题意； C．，计算错误，不符合题意； D．，计算正确，符合题意． 故选：D． 二、填空题 9．（25-26八年级上·全国·期末） 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，熟记任何非零数的零次幂都等于1是解题的关键． 根据零指数幂的法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 10．（24-25七年级下·河南郑州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式的除法，熟练掌握单项式除法运算法则是解题的关键． 利用单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·陕西西安·期末）陕北秧歌是流传于陕西黄土高原的一种具有广泛群众性和代表性的地方传统舞蹈，又称“闹红火”、“闹秧歌”、“闹社火”、“闹阳歌”等．如图，某市计划在一块长方形公园空地上建造两个长方形秧歌观赏台（阴影部分）．（单位：米） (1)请用含，的代数式表示观赏台的总面积；（结果化为最简） (2)如果修建观赏台的费用为元/平方米，且米，那么修建观赏台需要总费用多少元？ 【答案】(1)（平方米）； (2)元． 【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握图形中各个部分面积之间的关系． （1）根据题意，结合图形列式即可； （2）将已知数值代入（1）中求得的代数式中计算，将结果与相乘即可． 【详解】（1）解： （平方米）； （2）当米时， （平方米）， （元）， 即修建观赏台需要总费用元． 12．（24-25七年级下·河南开封·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法运算，去括号，运用单项式乘多项式即可求值． 【详解】解： 故答案为：. 三、解答题 13．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）（1）计算：； （2）求x的值：． 【答案】（1）0；（2） 【分析】本题主要考查了零指数幂，二次根式化简，以及开立方运算，利用平方根解方程，掌握相关运算法则，平方根的性质是正确解答此题的关键． （1）根据零指数幂，二次根式化简，以及开立方运算的法则，即可解题． （2）根据平方根的性质，直接开平方，即可解题． 【详解】解：（1）原式； （2）解：， ． 14．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）一块长为，宽为的长方形地板中间有一条裂缝（如图甲）．若把裂缝右边的一块向右平移（如图乙），则产生的裂缝的面积是多少平方厘米? 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，分别求出平移前后的面积是解决本题的关键． 先求出平移前的面积，再求出由裂缝向右平移的面积，作差即可求解． 【详解】解：∵长为，宽为的长方形地板， ∴长方形地板的面积为， 把裂缝右边的一块向右平移， 此时长方形地板的长变为， 此时长方形地板的面积为， 产生的裂缝的面积为． 15．（24-25八年级上·吉林·期末）有一块边长为的正方形铁皮，计划制成一个有盖的长方体铁盒，使得盒盖与相对的盒底都是正方形．如图（1）、（2）给出了两种不同的裁剪方案（其中实线是剪开的线迹，虚线是折叠的线迹，阴影部分是余料），问哪一种方案制成的铁盒体积更大些？说明理由．（接缝的地方忽略不计） 【答案】图（2）比图（1）的体积更大，理由见解析 【分析】本题考查了长方体的体积公式，长方体的展开图，单项式乘单项式的应用，根据展开图分别计算出图（1）、（2）的体积，比较即可． 【详解】解：图（2）比图（1）的体积最大，理由如下： 图（1）中长方体铁盒的长为，则宽为，高为， 则体积为； 图（2）中长方体铁盒的长为，则宽为，高为， 则体积为； ∵，且， ∴， ∴， ∴图（2）比图（1）的体积更大． 16．（24-25八年级上·四川泸州·期末）观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系： ，， ， （1）你发现的规律是： ，并写出推理过程；类似地，你还可以得到如下规律： ； （2）用你发现的规律填空： ； ； ； ； （3）我们知道，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，请你尝试将下列多项式分解因式： ① ； ； ②拓展思考：把多项式分解因式． 【答案】（1），；（2）；；；；（3）①；；②． 【分析】本题考查了规律的探究，整式的运算，因式分解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据多项式的乘法运算法则，仿照示例，可得到规律，根据所得到规律得； （2）根据（1）中的规律，即可求解； （3）①根据所得到的规律逆向运算，得到因式分解的结果， ②根据规律，分解因式即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ∴， 类似地，， 故答案为：，； （2）， ， ， ， 故答案为：；；；； （3）①； ； 故答案为：；； ② ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $