16.2整式的乘法（1）讲义2025-2026学年人教版八年级数学 上册

本讲义聚焦整式的乘法核心知识点，系统梳理单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的法则及注意事项，通过解题技巧提炼构建从基础运算到综合应用的学习支架。 资料特色在于题型丰富，涵盖基础计算、几何应用（如长方体体积、图形面积）等，结合法则逆用培养推理意识，借助实际情境问题发展应用意识，课中助教师分层教学，课后供学生强化练习，有效提升运算能力与创新意识。

整式的乘法1 知识点01：单项式与单项式相乘 1、 单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 【注意】①系数：积的系数等于系数的积； ②相同字母：相同字母的幂相乘； ③单独字母：连同它的指数作为积的一个因式． 解题技巧提炼 (1)单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. (2)不要漏掉只在一个单项式里含有的字母因式； (3) 此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 【题型一 单项式与单项式相乘】 1. 计算: ( ) C.3x³y⁶ 2. 下列各式正确的是 ( ) 3. 计算: 4. 若单项式 与 是同类项，则这两个单项式的积是 . 5. 计算： (4) 6. 先化简，再求值： 其中a=-1,b=1,c=-1. 7. 已知 (1)求 的值； (2)若 求 xy 的值. 【题型二 单项式与单项式相乘的应用】 8. 若 则4m-3n=( ) A.8 B.9 C.10 D.12 9. 已知单项式 3x²y³ 与 的积为mx³yn,那么m,n的值为 ( ) A. m=-6,n=6 B. m=-6,n=5 C. m=1,n=6 D. m=1,n=5 10. 若则m+n的值为 . 11. 如图为小李家住房的结构图，小李打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，他至少应买木地板( ) 知识点02：单项式与多项式相乘 1、单项式与多项式相乘法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 2、用式子表示：p(a + b + c)=pa + p b + p c． 3、法则逆用：幂的乘方性质可以逆用，即am n ＝ (am )n ＝ (an )m（m，n是正整数）． 【注意】（1）依据是乘法分配律； （2） 积的项数与多项式的项数相同. 解题技巧提炼 1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2、在做乘法运算时，一定要注意单项式和多项式中每一项的符号，不要乘错 【题型三 单项式与多项式相乘】 12. 下列计算正确的是( ) 13. 小明在做作业时，发现一道题： ■，■的地方被钢笔水弄污了，你认为■应为( ) A.3xy B.-3xy C. - 1 D.1 14. 数学老师讲了单项式乘多项式后，请同学们自己编题，小强同学编题如下:-2x(-2y+x+□)=4xy-2x²+6x.你认为“□”内应填写( ) A.-12x B.-12 C.3 D.-3 15. 计算: 【题型四 单项式与多项式相乘的应用】 16. 一个长方体的长、宽、高分别是2a,a²,(3a+1),这个长方体的体积是 ( ) 17. 要使 的展开式中不含有x的四次项，则a等于 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 18. 图 1 是长为a、宽为b(a>b)的小长方形纸片.将6张如图 1 的纸片按图2 的方式不重叠地放在长方形 ABCD 内，已知 CD 的长度固定不变，BC 的长度可以变化，图中阴影部分(即两个长方形)的面积分别表示为S₁，S₂，若 S₂，且S为定值，则a，b满足的关系是 ( ) A. a=2b B. a=3b C. a=4b D. a=5b 19. 通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是 20. 如果 那么代数式3m(m-2)+2的值是 . 21. 若 15x+10,则 22. 已知有理数a，b，c满足 |c-1|=0,先化简,再求值: 6b²c). 23. 先化简，再求值： 4x-6),其中x=2. 知识点03：多项式与多项式相乘 1、多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 2、用式子表示：(a+b)(m+n)=am+an+b m+bn． 3、法则逆用：同底数幂的乘法性质可以逆用，即am+n＝am•an（m，n是正整数）． 【注意】多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，若有同类项一定要及时合并同类项，在合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的项数之积． 解题技巧提炼 1、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 2、注意：(1) 不要漏乘；(2) 符号问题；(3) 最后结果应化成最简形式 (是同类项的要合并). 【题型五 多项式与多项式相乘】 24. 若21，则m的值为 ( ) A. - 4 B.4 C.-10 D.10 25. 若M=x(2x-7),N=(x+1)(x-8),则 M N.(填“ >”“=”或“ <”) 26. 若的结果中二次项的系数为-3，则a 的值为 . 27. 已知 求(a+b)(a+2b)-2b²的值. 【题型六 多项式与多项式相乘的应用】 28. 如图,在长为5 m.宽为3 m的长方形空地上规划一块长方形花园(阴影部分)，花园的北面和东、西面都留有宽度为 x m(0<x<1)的小路(空白部分)，则花园的面积为 ( ) 29. 如图是一块长为(2a+3b) cm、宽为(2a+b) cm的长方形纸片，将长方形纸片的四个角各剪去边长为a cm的小正方形.(a>0,b>0) (1)试用含a，b的式子表示长方形纸片的剩余面积； (2)若a=5，b=10，请求出长方形纸片的剩余面积. 30. 榫卯是中国古代建筑、家具及其他器械的主要结构方式，在两个构件上采用凹凸部位相结合的方式来连接.木工在做某物件时，利用榫卯结构连接了一个零部件，平面图由3 个长方形构成，其中较大长方形的长为2a+3b，宽为a+2b；另外两个长方形的长为a+b，宽为a-b，木工计划在中间凿一个边长为a-b的正方形(阴影部分)，如图所示. (1)求剩余部分的面积. (2)当a=5，b=2时，剩余部分的面积是多少? 提升训练 1. 观察如图两个多项式相乘的运算过程,根据你发现的规律,若(x+a)(x+b)= ，则a，b的值可能分别是( ) A.-2,-7 B.-2,7 C.2,-7 D.2,7 2. 如图所示，边长分别为a和b的两个正方形拼接在一起，则图中阴影部分的面积为（ ) 3. 设有边长分别为a和b(a>b)的A类和B类正方形纸片、长为a 宽为b的C类长方形纸片若干张.如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要 1 张 A 类纸片、1张B 类纸片和2 张 C 类纸片.若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的长方形，则需要C类纸片的张数为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 4. 现有一长方形地块，长比宽多20米.若将长增加10米，宽缩短5米，得到的长方形地块与原长方形地块的面积相等，则原长方形地块的长为 米. 5. 已知 n)(x-1)展开的结果中,不含x² 项和x项.(m,n为常数) (1)求m,n的值; (2)在(1)的条件下，先化简 ，再求值. 6. 在计算(2x+a)(x+b)时,甲错把 b看成了6，得到的结果是 24；乙错把a看成了-a，得到的结果是 (1)求出a,b的值; (2)在(1)的条件下,计算(2x+a)(x+b)的结果. 7. 甲、乙两个长方形的边长如图所示(m为正整数)，其面积分别为S₁,S₂. (1)填空: (用含 m 的代数式表示). (2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和. ①设该正方形的边长为x，求x的值(用含 m 的代数式表示). ②设该正方形的面积为 S₃，试探究：S₃与 的差是不是常数?若是常数，求出这个常数；若不是常数，请说明理由. 8. 阅读下列文字，并解决问题. 已知 求 的值. 分析：因为满足 的x，y的值较多，不能逐一代入求解，所以考虑整体代入思想，将 整体代入. 解： -24. 请你用上述方法解决问题：已知 ab =3，求 的值. 课后提升 1. 现规定一种新的运算，，其中为实数，那么等于（    ） A． B． C． D． 2. 在矩形中将边长分别为和的两张正方形纸片()按图1和图2两种方式放置(两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为，．当 时，的值为（     ） A． B． C． D． 3. ，则 ． 4. 已知a2＋a﹣1＝0，求a3＋2a2＋2020的值． 5. 计算： (1)； (2)． 6. 甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是． (1)求的值； (2)请计算这道题的正确结果． 7. 已知关于的代数式中不含项与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 8. 两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、； (2)若，，求的值； (3)当时，求出图3中阴影部分的面积． 9. 已知，计算： ，，． (1)观察以上各式并猜想：_________．（为正整数） (2)根据你的猜想，计算： ①___________． ②___________．（为正整数） ③___________． (3)请根据以上猜想计算：的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $