专题5.5 圆锥曲线的轨迹问题6种题型（培优热点专练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习高效培优系列

专题 圆锥曲线的轨迹问题 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 深度剖析 解读热点：分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 逐一剖析 解题归纳：对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 热点限时训练 模拟实战 巩固提升：限时完成题目训练，提升解题能力。 近三年： 1、圆锥曲线的轨迹问题是近3年高考解析几何部分的核心考查内容，考查频率高，题型综合，难度中档及以上，本质是运用代数手段刻画几何图形。 2、从近几年高考命题来看，轨迹问题可分为两类：一是直接求已知圆锥曲线的方程（如通过几何性质求椭圆、双曲线方程）；二是求满足特定条件的动点轨迹方程。 预测2026年： 轨迹问题将继续作为高考解析几何解答题的命题重点。其考查将更加注重数学思想的渗透和问题情境的构建，复习中必须熟练掌握求轨迹方程的基本方法（直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等），并强化运算求解能力的训练，同时提升运用数学思想（方程思想、数形结合思想、分类讨论思想）分析问题的能力。 题型01 求圆的轨迹方程 解｜题｜策｜略 1、 定义法：根据圆的定义（通常有到定点距离等于定长、过定点的两垂直直线的交点等），来判断我们的轨迹是圆，然后根据圆心半径等确定我们的轨迹方程。 2、 直接法：设我们要求的点坐标为,根据题目条件列出方程，化简整理可得我们的轨迹方程。 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·模拟预测）已知A，B为椭圆上两点，为坐标原点且，过点作直线的垂线，垂足为H，则点H的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北·模拟预测）如图，半径为1的与半径为2的内切于点A，沿的圆弧无滑动的滚动一周.若上一定点P从A点出发随着的滚动而运动，设点P的轨迹为C，则（   ） A．C是半径为的圆 B．C是半径为1的圆 C．C是长度为2的线段 D．C是长度为4的线段 4．（2025·浙江·三模）若坐标原点O关于动直线l：的对称点为A，则点A的轨迹为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 5．（2025·江苏南通·三模）已知抛物线的方程为，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点.过抛物线的焦点向作垂线交于点，动点的轨迹为，则所在曲线的方程为 ，直线斜率的最大值为 . 题型02 定义法求轨迹方程 解｜题｜策｜略 根据圆锥曲线的三大定义来判断轨迹是椭圆、双曲线还说抛物线。 1、 圆锥曲线定义 椭圆定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，记 双曲线定义：平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于常数（）的点的轨迹叫做双曲线。（ ） 抛物线定义：平面内到一个定点的距离与到一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 2、 圆锥曲线第二定义 平面内到一个定点（焦点F）的距离与到一条定直线（准线l）的距离之比为一个常数  （离心率）的点的轨迹，当时，轨迹为椭圆，当时，轨迹为双曲线，当e=1时，轨迹为抛物线 3、 圆锥曲线第三定义（椭圆与双曲线） 平面内动点与两个定点 , 的连线的斜率之积为一个定值，表示为，根据离心率e的范围确定是椭圆还是双曲线。 1．（2025·山西临汾·三模）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京海淀·二模）已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2025·广东汕头·一模）已知复数，（x,），则下列结论正确的是（   ） A．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆 B．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆 C．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是双曲线 D．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是直线 4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，圆与轴交于、两点，、是分别过、的圆的切线，过圆上任意一点作圆的切线，分别交、于点、两点，记直线与交于点，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 题型03 几何法求轨迹方程 解｜题｜策｜略 将题目中的几何信息提取、分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件是否满足圆锥曲线的定义，从而求动点的轨迹方程 1．（2025·四川成都·三模）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（2025·四川攀枝花·三模）圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆O上一个动点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，则点Q的轨迹可能是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 3．（多选）（2025·辽宁大连·一模）在平面内，存在定圆M和定点A，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，关于点Q轨迹叙述正确的是（   ） A．当点A与圆心M重合时，点Q的轨迹为圆 B．当点A在圆M上时，点Q的轨迹为拋物线 C．当点A在圆M内且不与圆心M重合时，点Q的轨迹为椭圆 D．当点A在圆M外时，点Q的轨迹为双曲线 4．（2024·福建莆田·三模）已知圆，，P是圆C上的动点，线段的垂直平分线与直线（点C是圆C的圆心）交于点M，则点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 5．（2025·河南·三模）已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则另一个端点P的轨迹方程为 ；又，线段的垂直平分线与直线交于点Q，则动点Q的轨迹方程为 . 题型04 直接法求轨迹方程 解｜题｜策｜略 直接法：直接法按下面4个步骤求轨迹方程。 1、 建系设点 2、列出条件 3、代入坐标、整理得方程 4、限制条件 直接法求点的轨迹方程,在高考中有以下两个命题角度:一种是明确给出等式,求轨迹方程;另一种是给出已知条件,寻找题设中的等量关系,求轨迹方程. 1．（2025·湖南永州·模拟预测）已知两条直线：，：，有一动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，，则圆心M的轨迹为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2．（2025·辽宁沈阳·一模）已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，点在线段的延长线上，且，，则点的轨迹方程为 ．    4．（2025·广东广州·模拟预测）已知点是平面内的一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第二象限．若四边形（其中为原点）的面积为2，则动点的轨迹方程是 ． 5．（2025·山东泰安·模拟预测）在平面直角坐标系中，满足，、分别为的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为 . 题型05 相关点法求轨迹方程 解｜题｜策｜略 相关点法：题目给出了已知的曲线方程，所求的动点跟这个已知曲线上的点成一定的几何关系。 1、求谁设谁，设所求的点坐标为 2、根据题目给出的条件，用点的坐标来表示出曲线上的点 3、将点坐标代入到曲线方程中，整理可得的轨迹方程。 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·新疆·三模）长为3的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点A关于点B对称的点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃金昌·模拟预测）过直线上的动点作的两条切线，切点分别为，则的重心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 题型06 参数法、交轨法求轨迹方程 解｜题｜策｜略 1、 参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程； 2、 交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。 1．（2025·辽宁·一模）已知双曲线，作垂直于x轴的垂线交双曲线于两点，作垂直于y轴的垂线交双曲线于两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽马鞍山·一模）双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线的左、右焦点分别为，．从点发出的光线经双曲线C右支上的点反射，若反射光线垂直于直线，则点的横坐标为 ；过双曲线右支上任一点（异于右顶点）作其切线l，过坐标原点O作l的垂线，与直线交于点，则点的轨迹方程为 ． 3．（2025·浙江丽水·一模）已知是椭圆上的两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知是椭圆上的两动点，且的横坐标之和为，设直线为线段的中垂线，过点作直线，垂足为．求垂足横坐标的取值范围，并求的轨迹方程． （建议用时：30分钟） 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知过点的直线与圆交于两点，则弦的中点的轨迹方程为 . 2．（2025·广东揭阳·三模）已知动点P到坐标原点O，x轴，y轴的距离之和为2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北保定·一模）已知直线，点到的距离之积为，记点的轨迹为曲线，若与曲线有四个交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2025·云南昭通·一模）已知，，，动点满足MA与MB的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．的轨迹方程为（） B．的最大值为3 C．的最小值为 D．过点的直线垂直AC交曲线于，，则的周长为8 5．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·海南·阶段练习）已知圆：，点，点.点P是圆O上异于，的动点.过点P作x轴的垂线，垂足为Q，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（2025·辽宁·一模）已知点Q在圆上，，动点满足：在中，．则（   ） A．记的轨迹方程为轨迹： B．的最大值为 C．的最小值是 D．（点O为坐标原点）的最小值为7 9．（多选）（2025·湖南邵阳·模拟预测）有这样一句诗歌：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点与点之间的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（    ） A．点的轨迹方程是 B．直线是“最远距离直线” C．平面上有一点，则的最小值为5 D．点到直线的距离的最大值为 10．（2025·福建三明·三模）平面直角坐标系中，M是一个动点，直线与直线垂直，垂足位于第一象限，直线与直线垂直，垂足位于第四象限，且. (1)求动点M的轨迹方程C； (2)若过点的直线交曲线C于B、D两点，D关于x轴的对称点为点A（异于点B），直线AB与x轴交于点G，求面积的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 圆锥曲线的轨迹问题 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 深度剖析 解读热点：分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 逐一剖析 解题归纳：对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 热点限时训练 模拟实战 巩固提升：限时完成题目训练，提升解题能力。 近三年： 1、圆锥曲线的轨迹问题是近3年高考解析几何部分的核心考查内容，考查频率高，题型综合，难度中档及以上，本质是运用代数手段刻画几何图形。 2、从近几年高考命题来看，轨迹问题可分为两类：一是直接求已知圆锥曲线的方程（如通过几何性质求椭圆、双曲线方程）；二是求满足特定条件的动点轨迹方程。 预测2026年： 轨迹问题将继续作为高考解析几何解答题的命题重点。其考查将更加注重数学思想的渗透和问题情境的构建，复习中必须熟练掌握求轨迹方程的基本方法（直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等），并强化运算求解能力的训练，同时提升运用数学思想（方程思想、数形结合思想、分类讨论思想）分析问题的能力。 题型01 求圆的轨迹方程 解｜题｜策｜略 1、 定义法：根据圆的定义（通常有到定点距离等于定长、过定点的两垂直直线的交点等），来判断我们的轨迹是圆，然后根据圆心半径等确定我们的轨迹方程。 2、 直接法：设我们要求的点坐标为,根据题目条件列出方程，化简整理可得我们的轨迹方程。 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案. 【详解】设，，由为的中点，则，即， 由点在圆上，则，即， 化简可得. 故选：D. 2．（2025·安徽·模拟预测）已知A，B为椭圆上两点，为坐标原点且，过点作直线的垂线，垂足为H，则点H的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若直线的斜率不存在时，则在轴上，设的坐标为，求得；同理可得，若直线的斜率为零时，；若直线的斜率存在时，设直线，联立方程组，求得，由，列出方程，得到，再由直线的方程为，联立方程组，求得，进而得到，即，结合圆的定义，即可求解. 【详解】若直线的斜率不存在时，则点在轴上， 设的坐标为，不妨设， 因为两点在椭圆上，可得，解得，此时； 同理可得，若直线的斜率为零时，； 若直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为， 联立方程组，整理得，， 设，则且， 因为，可得， 则， 所以，整理得， 又由，可得过原点的直线的方程为， 联立方程组，解得，即, 则， 综上可得，点的轨迹是以原点为圆心，半径为的一个圆， 且该圆的方程为. 故选：D. 3．（2025·湖北·模拟预测）如图，半径为1的与半径为2的内切于点A，沿的圆弧无滑动的滚动一周.若上一定点P从A点出发随着的滚动而运动，设点P的轨迹为C，则（   ） A．C是半径为的圆 B．C是半径为1的圆 C．C是长度为2的线段 D．C是长度为4的线段 【答案】D 【分析】作圆运动后的某圆，设此时与圆相切于点，点从运动到，通过题设运动中的等量关系结合弧长公式得到即可得到的轨迹求解. 【详解】圆运动到，设此时与圆相切于点，点从运动到， 易知，所以， 所以， 所以的轨迹为圆中过，的直径，长度为4． 故选：D 4．（2025·浙江·三模）若坐标原点O关于动直线l：的对称点为A，则点A的轨迹为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【分析】先求出直线过的定点，再利用对称性得，最后根据圆的定义即可判断. 【详解】由得，所以直线l过定点， 又由对称性可知，，所以点A到点B的距离为，所以点A的轨迹为圆. 故选：A． 5．（2025·江苏南通·三模）已知抛物线的方程为，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点.过抛物线的焦点向作垂线交于点，动点的轨迹为，则所在曲线的方程为 ，直线斜率的最大值为 . 【答案】 （除去点） / 【分析】根据即可求出直线过定点，再数形结合可知点的轨迹为圆即可写出轨迹方程；最后根据图形可判断过原点的直线和点的轨迹在第一象限内相切时，斜率最大，即可求出. 【详解】由题可设，，则， 解得或者（不符合题意，舍）， 设直线的方程为，与抛物线方程联立得， 所以，，故，故直线的方程为， 所以直线过定点， 又因为，由圆的定义可知动点的轨迹是以为直径的圆， 因为，，中点坐标为， 所以点的轨迹方程为（除去点）， 过原点的直线和在第一象限内相切时，斜率最大， 所以直线斜率的最大值为. 故答案为：（除去点）；. 题型02 定义法求轨迹方程 解｜题｜策｜略 根据圆锥曲线的三大定义来判断轨迹是椭圆、双曲线还说抛物线。 1、 圆锥曲线定义 椭圆定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，记 双曲线定义：平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于常数（）的点的轨迹叫做双曲线。（ ） 抛物线定义：平面内到一个定点的距离与到一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 2、 圆锥曲线第二定义 平面内到一个定点（焦点F）的距离与到一条定直线（准线l）的距离之比为一个常数  （离心率）的点的轨迹，当时，轨迹为椭圆，当时，轨迹为双曲线，当e=1时，轨迹为抛物线 3、 圆锥曲线第三定义（椭圆与双曲线） 平面内动点与两个定点 , 的连线的斜率之积为一个定值，表示为，根据离心率e的范围确定是椭圆还是双曲线。 1．（2025·山西临汾·三模）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆的定义，结合题意，可得焦点坐标，从而可得的值，可得答案. 【详解】由题意可得动点到与两点的距离之和为， 且，则动点的轨迹为椭圆， 易知，，，即方程为. 故选：C. 2．（2025·北京海淀·二模）已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义即可得出答案. 【详解】∵，动点满足， ∴动点的轨迹为双曲线且为右支，，，， ∴的轨迹的方程为， 故选：D. 3．（多选）（2025·广东汕头·一模）已知复数，（x,），则下列结论正确的是（   ） A．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆 B．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆 C．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是双曲线 D．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是直线 【答案】AD 【分析】根据复数的几何意义逐个选项判断即可. 【详解】根据复数的几何表示知： 对A，方程表示到定点的距离等于2的动点轨迹，即圆，A正确； 对B，方程表示到定点与距离的和为2的动点轨迹，而与的距离也为2，所以z在复平面内对应点的轨迹为线段，B错误； 对C，方程表示到定点与的距离的差为1的动点轨迹，即双曲线的一支，C错误； 对D，方程表示到定点与的距离相等的动点轨迹，即线段的中垂线，D正确． 故选：AD 4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出交点的坐标，写出两直线的斜率，直接由斜率之积列式化简. 【详解】设，则由已知得， 化简得. 故选：C． 5．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，圆与轴交于、两点，、是分别过、的圆的切线，过圆上任意一点作圆的切线，分别交、于点、两点，记直线与交于点，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出切线的方程，然后分别令求出两点坐标，利用点斜式求出直线和直线的方程，联立解出点坐标即可求出点的轨迹方程，要注意挖掉两个不能取到的点. 【详解】设点，当圆心与切点所成直线的斜率不存在时，即当点时， 易知以，所以此时点为矩形的对角线的交点，即； 当圆心与切点所成直线的斜率存在时，则，因为， 所以切线的斜率为，又切线过点， 所以切线的方程为，整理得， 又点在圆上，所以，故切线的方程为. 易知，在切线的方程中，令，则， 令，则，所以， 所以直线的斜率，直线的方程为， 直线的斜率，直线的方程为， 联立直线和直线的方程，解得， 所以点，又，所以点所满足的方程为， 因为切线分别交、于点、两点，所以切线不能为，即， 且前述直线的斜率不存在时即也满足上述方程， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 题型03 几何法求轨迹方程 解｜题｜策｜略 将题目中的几何信息提取、分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件是否满足圆锥曲线的定义，从而求动点的轨迹方程 1．（2025·四川成都·三模）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析出，确定圆心M的轨迹为椭圆，求出，得到轨迹方程. 【详解】设圆圆心且与圆切于点P，圆圆心与圆切于点Q， 由题意得：，，其中， 所以， 由椭圆定义可知：动圆圆心C的轨迹为以为焦点的椭圆，设， 则，解得：， 故动圆圆心C的轨迹方程为. 故选：A 2．（多选）（2025·四川攀枝花·三模）圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆O上一个动点．线段AP的垂直平分线l与直线OP相交于点Q，则点Q的轨迹可能是（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】ABC 【分析】由题设条件线段和垂直平分线的性质，结合圆锥曲线的定义，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）若为圆内的一定点，P是圆O上一个动点，线段AP的垂直平分线l与 直线OP相交于点Q，可得，， 即动点到两定点的距离之和为定值， ①当不重合时，根据椭圆的定义，可知点的轨迹是：以为焦点的椭圆； ②当重合时，点的轨迹是以为圆心的圆； （2）若为圆外的一定点，为圆上的一动点，线段的垂直平分线交直线于点， 可得，，即动点到两定点 的距离之差绝对值为定值，根据双曲线的定义，可得点的轨迹是： 以为焦点的双曲线； （3）若为圆上的一定点，为圆上的一动点，此时点的轨迹是圆心. 综上可得即点的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线. 故选：ABC 3．（多选）（2025·辽宁大连·一模）在平面内，存在定圆M和定点A，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，关于点Q轨迹叙述正确的是（   ） A．当点A与圆心M重合时，点Q的轨迹为圆 B．当点A在圆M上时，点Q的轨迹为拋物线 C．当点A在圆M内且不与圆心M重合时，点Q的轨迹为椭圆 D．当点A在圆M外时，点Q的轨迹为双曲线 【答案】ACD 【分析】根据选项中点A的位置，分析判断各选项即可. 【详解】当点A与圆M的圆心重合时，线段PA的中垂线与直线PM的交点Q， 即Q为PM的中点，因此点Q的轨迹为圆，故A选项正确； 当点A在圆M上时，PA的中垂线恒过圆心M，即点Q的轨迹为一个点M，故B选项错误； 当点A在圆M内且非圆心时，，则（其中r为圆M的半径）， 因此点Q的轨迹为以为焦点的椭圆，故C选项正确；    当点A在圆M外时，，则或（其中r为圆M的半径）， 因此点Q的轨迹为以为焦点的双曲线，故D正确.    故选：ACD． 4．（2024·福建莆田·三模）已知圆，，P是圆C上的动点，线段的垂直平分线与直线（点C是圆C的圆心）交于点M，则点M的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义结合垂直平分线的性质判定即可. 【详解】由题意可得圆心，半径. 因为M是线段的垂直平分线，所以， 则. 因为，所以点M的轨迹是以A，C为焦点的双曲线. 故选：C 5．（2025·河南·三模）已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则另一个端点P的轨迹方程为 ；又，线段的垂直平分线与直线交于点Q，则动点Q的轨迹方程为 . 【答案】 （且） （且） 【分析】根据等腰三角形的定义及两点间距离公式可得所以，由圆的定义可知点P的轨迹是以M为圆心，10为半径的圆（且），即可求解答题空1；根据线段垂直平分线定义可知.分点Q在线段的延长线上和点Q在线段的延长线上两类讨论，数形结合分析可得，结合双曲线的定义即可求解动点Q的轨迹方程，即可求解答题空2. 【详解】因为等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，另一个端点为P， 所以， 故点P的轨迹是以M为圆心，10为半径的圆（且）， 故点P的轨迹方程为（且）. 因为线段的垂直平分线与直线交于点Q，所以. 又，，所以点A在圆外，线段的垂直平分线与直线的交点Q在线段的延长线或反向延长线上. 当点Q在线段的延长线上时，如下图所示. 此时，； 当点Q在线段的延长线上时，如下图所示. 此时，， 综上，，即动点Q到两个定点M与A的距离之差的绝对值为10. 又，所以点Q的轨迹是以点和为焦点的双曲线，其中，， 所以，，，所以双曲线方程为. 当点P为时，线段的垂直平分线的方程为，直线的方程为，直线与直线的交点为， 故动点Q的轨迹方程为（且）. 故答案为：（且）；（且）. 题型04 直接法求轨迹方程 解｜题｜策｜略 直接法：直接法按下面4个步骤求轨迹方程。 1、 建系设点 2、列出条件 3、代入坐标、整理得方程 4、限制条件 直接法求点的轨迹方程,在高考中有以下两个命题角度:一种是明确给出等式,求轨迹方程;另一种是给出已知条件,寻找题设中的等量关系,求轨迹方程. 1．（2025·湖南永州·模拟预测）已知两条直线：，：，有一动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，，则圆心M的轨迹为（   ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【分析】分别求得圆心到直线，的距离，由可求解. 【详解】设动圆的圆心坐标为， 圆心到直线：的距离为， 圆心到直线：的距离为， 又动圆M与交于A，B两点，与交于C，D两点，且，， 所以，即， 化简得，所以圆心M的轨迹为双曲线， 故选： 2．（2025·辽宁沈阳·一模）已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件可得，再利用数量积的坐标表示求出方程. 【详解】由圆心在y轴上的圆E经过点，得线段为圆的直径， 而点在轴上，则，又， 于是，而不重合，即， 所以M点的轨迹方程为. 故选：D 3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，点在线段的延长线上，且，，则点的轨迹方程为 ．    【答案】 【分析】根据已知条件得到向量，然后用坐标表示出来，根据线段的长度即可求得点的轨迹方程. 【详解】设， 由题意，又， 所以，即， 所以，所以， 所以曲线C的方程为. 故答案为：. 4．（2025·广东广州·模拟预测）已知点是平面内的一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第二象限．若四边形（其中为原点）的面积为2，则动点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】设点，利用点到直线距离公式以及四边形的形状和面积即可求得动点的轨迹方程. 【详解】设点， 易知与互相垂直，又与直线垂直，与直线垂直， 所以四边形为矩形，如下图所示：    依题意可知点在轴上方，即，且； 因此， 所以四边形的面积为， 即可得; 所以动点的轨迹方程为. 故答案为： 5．（2025·山东泰安·模拟预测）在平面直角坐标系中，满足，、分别为的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据重心的性质和内心的性质，求出两点的坐标，根据线段平行轴，纵坐标相等，列出坐标的关系式，求出轨迹方程. 【详解】设，则重心，设内切圆半径为， 又，所以， 因为，则，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：. 题型05 相关点法求轨迹方程 解｜题｜策｜略 相关点法：题目给出了已知的曲线方程，所求的动点跟这个已知曲线上的点成一定的几何关系。 1、求谁设谁，设所求的点坐标为 2、根据题目给出的条件，用点的坐标来表示出曲线上的点 3、将点坐标代入到曲线方程中，整理可得的轨迹方程。 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点的坐标，并表示出点，再代入已知曲线方程即可. 【详解】设点，由轴于点，且，得，则， 又点是曲线上的任意一点，因此， 所以点的轨迹方程为. 故选：A 3．（2025·江苏·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 4．（2025·新疆·三模）长为3的线段的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点A关于点B对称的点M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用中点求出的坐标，利用相关点法即可求解. 【详解】设依题意有，即， 所以，即，所以， 故选：D. 5．（2025·甘肃金昌·模拟预测）过直线上的动点作的两条切线，切点分别为，则的重心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，，的重心为，通过求导确定的方程.的方程为，再结合重心坐标公式得到，即可求解. 【详解】设，，，的重心为，的方程为， 对求导可得. 故，的方程为， 将，代入的方程化简得. 同理的方程为， 两方程联立解得，. ，则， ， 故的重心的轨迹方程为. 故选：C. 题型06 参数法、交轨法求轨迹方程 解｜题｜策｜略 1、 参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程； 2、 交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。 1．（2025·辽宁·一模）已知双曲线，作垂直于x轴的垂线交双曲线于两点，作垂直于y轴的垂线交双曲线于两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目条件建立方程化简即可求解. 【详解】设， 则， 则由得：， 化简得：， 即点的轨迹是， 故选：C 2．（2025·安徽马鞍山·一模）双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线的左、右焦点分别为，．从点发出的光线经双曲线C右支上的点反射，若反射光线垂直于直线，则点的横坐标为 ；过双曲线右支上任一点（异于右顶点）作其切线l，过坐标原点O作l的垂线，与直线交于点，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 ， 【分析】设，根据，可得，从而可求出，法1：求出在处切线的方程及斜率，进而可求出过原点且垂直的方程，再将点的坐标用这两条直线的交点坐标表示，代入双曲线方程即可得解；法2：过作平行于，求出，其他同方法1. 【详解】设，因为，所以，即， 又因为，解得， 解法1：在处切线斜率为， 设直线n过原点O且，则的方程：， 与交于， 联立得，， 代入得， 又在双曲线右支上（异于顶点），则， 所以， 综上点的轨迹方程为，． 解法2：过作平行于，由题易得， 因为，且，， 所以，所以， 所以在以为圆心半径为1的圆上，其他同解法1． 故答案为：；，. 3．（2025·浙江丽水·一模）已知是椭圆上的两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知是椭圆上的两动点，且的横坐标之和为，设直线为线段的中垂线，过点作直线，垂足为．求垂足横坐标的取值范围，并求的轨迹方程． 【答案】(1)； (2)，且. 【分析】（1）根据椭圆上两点代入方程求解的值即可得椭圆方程； （2）设，线段的中点，分别讨论直线的斜率是否存在，当斜率存在时确定直线的方程与直线联立得横坐标与的关系，结合函数得的取值范围，结合圆的定义从而得的轨迹方程. 【详解】（1）由题意解得，所以椭圆的标准方程为； （2）设，线段的中点，则，， ①当时，的中垂线为轴，过点向中垂线作垂线，垂足为点 ②当时，直线的斜率，则， 所以，将代入椭圆方程得， 所以，从而或， 线段的中垂线方程为，即． 故线段的中垂线过定点 故垂足轨迹是在以为圆心，半径为的圆弧，其方程为 过点与垂直的直线为， 联立方程组消去得，因为， 所以，综上①，②所得 所以垂足轨迹方程是，且． （建议用时：30分钟） 1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知过点的直线与圆交于两点，则弦的中点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设点，当不重合时，根据圆的几何性质，利用垂直建立方程求解即可得解，当重合时，代入检验即可. 【详解】由直线过点，圆可知，圆心为， 设点， 由题意可知，当点与点不重合时，，则，整理得，即， 此时点的轨迹为圆但不包括点. 当点与点重合时，其坐标满足方程. 综上，点的轨迹方程为. 故答案为： 2．（2025·广东揭阳·三模）已知动点P到坐标原点O，x轴，y轴的距离之和为2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设出点坐标，写出距离代数式，列出方程，根据圆的标准方程，使用三角函数替换点横纵坐标，根据角的范围，求出结果. 【详解】设点，由题意可得， 不妨令，取，，其中，， 则，故， 由可知，故，的取值范围是. 故选：B. 3．（2025·河北保定·一模）已知直线，点到的距离之积为，记点的轨迹为曲线，若与曲线有四个交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出，根据题干列出等式，求出轨迹方程，再根据与曲线有4个交点，求出参数a的范围. 【详解】设，由题意得，所以，即， 所以点的轨迹为两个双曲线. 双曲线的实半轴长为1，双曲线1的实半轴长为3， 由，得0），表示以原点为圆心，为半径的圆的上半圆， 若曲线与半圆有四个交点，则3，即. 故选：B.    4．（多选）（2025·云南昭通·一模）已知，，，动点满足MA与MB的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．的轨迹方程为（） B．的最大值为3 C．的最小值为 D．过点的直线垂直AC交曲线于，，则的周长为8 【答案】ABD 【分析】设，根据题意列出方程即可判断A；根据椭圆得范围结合两点间得距离公式即可判断B；分直线斜率是否存在两种情况讨论，设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再利用弦长公式求出的表达式即可判断C；易得为椭圆的上，下焦点，再根据椭圆的定义即可判断D. 【详解】对于A：设， 则，整理得， 所以的轨迹方程为（），故A正确； 对于B： ， 故， 故当时，，故B正确； 对于C：当直线的斜率不存在时，， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 联立，消得， 则， 所以 ， 当且仅当取等号， 综上所述，的最小值为3，故C错误； 对于D：在中，，则， 故为正三角形，则垂直平分，则， 由题意为椭圆的上，下焦点， 则的周长为 ，故D正确. 故选：ABD. 5．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆上恰有三个点到直线的距离为，得到圆心到直线的距离恰好为，求得，设，得到，代入方程，即可得到点的轨迹方程. 【详解】由圆，可得标准方程为， 所以圆心，半径为， 若圆上恰有三个点到直线的距离为， 则满足圆心到直线的距离恰好为，即，即， 设，则， 代入，可得， 整理得，即点的轨迹方程为. 故选：A. 6．（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交直线于点，连接，由条件判断且为中点，利用中位线性质得且，从而利用双曲线的定义得点在以，为焦点的双曲线上，进而利用双曲线的标准方程求解轨迹方程即可. 【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接， 因为，且，所以，且为中点， 所以，且， 因此，， 所以点在以，为焦点的双曲线上， 设的方程为，可知，所以， 又，则，所以的方程为，即， 又点是圆外一点， 所以，即，故所求轨迹方程为. 故选：B 7．（24-25高二上·海南·阶段练习）已知圆：，点，点.点P是圆O上异于，的动点.过点P作x轴的垂线，垂足为Q，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，则，根据可得，代入即可求解. 【详解】设，，则， 所以，， 因为，所以，所以， 因为在圆上，所以， 所以，即， 因为点是圆上异于，的动点，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：. 8．（多选）（2025·辽宁·一模）已知点Q在圆上，，动点满足：在中，．则（   ） A．记的轨迹方程为轨迹： B．的最大值为 C．的最小值是 D．（点O为坐标原点）的最小值为7 【答案】ACD 【分析】根据题意作出示意图，设点坐标，然后表示出，即可建立方程，求得的轨迹方程，判断A选项；设点在一象限，化简，由基本不等式求得的最值，从而得到角的范围，判断B选项；由抛物线的性质化简得，由的范围求得结果判断C选项；由图可知当在圆与轴的左交点处时，此时同时取最小，即可判断D选项. 【详解】由题意可知，设，过点作轴于点，如图：    则，， ∴，即，∴，A选项正确； ∵由对称性可假设点在一象限，则，∵，当且仅当，即时取等号， 所以，∴，B选项错误； ，∴，C选项正确； 当在圆与轴的左交点处时，此时同时取最小，，∴的最小值为：7，D选项正确. 故选：ACD. 9．（多选）（2025·湖南邵阳·模拟预测）有这样一句诗歌：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点与点之间的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（    ） A．点的轨迹方程是 B．直线是“最远距离直线” C．平面上有一点，则的最小值为5 D．点到直线的距离的最大值为 【答案】BCD 【分析】选项A：已知点轨迹是椭圆，由条件求出椭圆方程即可判断；选项B：联立直线与椭圆方程，得到交点坐标，判断它是“最远距离直线”；选项C：利用，当与纵坐标相等且在右侧时，取最小值；选项D：根据直线与椭圆相切及平行关系，通过两平行切线距离求距离最大值. 【详解】由题意可知点的轨迹是椭圆，其中，，则. 所以点的轨迹方程为，故A错误. 由得，，则直线是“最远距离直线”，故B正确. 由可知，，当点与点纵坐标相等且点在点右侧时，取得最小值，为，C正确. 由可知，直线与椭圆相切，直线与直线平行， 由椭圆的对称性易知与直线平行的另一条椭圆的切线方程为， 故直线与直线之间的距离即所求距离的最大值，为，故D正确. 故选：BCD. 10．（2025·福建三明·三模）平面直角坐标系中，M是一个动点，直线与直线垂直，垂足位于第一象限，直线与直线垂直，垂足位于第四象限，且. (1)求动点M的轨迹方程C； (2)若过点的直线交曲线C于B、D两点，D关于x轴的对称点为点A（异于点B），直线AB与x轴交于点G，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件得到，利用点到直线的距离得到和，再根据向量的数量积即可求解； （2）设直线BD方程为，联立直线BD的方程和曲线C，利用韦达定理得到和，写出直线AB的方程，令得到，进而得到，利用换元法结合二次函数在给定区间的值域求解即可. 【详解】（1）设，直线与直线的夹角为，即， 又因为，所以， 又因为，， 所以，化简得， 由于位于第一象限，位于第四象限， 所以M的轨迹方程； （2）由题可知直线斜率不为0，故设直线BD方程为， ，，，， 联立直线BD与曲线C，可得且， 化简得，，， ，，所以， 设直线AB方程为， 令，得， 所以， 所以， 令，， 所以，，， 综上，面积的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $