精品解析：四川省宜宾市第二中学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

宜宾市二中2025年秋期九年级半期教学质量监测 数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若式子有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，交于点，，若，，，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在年投入研发资金为万元，到年累计共投入研发资金万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 由光的反射定律可知入射角等于反射角，小鲁同学利用镜子测量广告牌的高度．如图，小鲁站在点处不动，当将镜子移动至处，他恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；当将镜子移动至处，他恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出．经测得，小鲁的眼睛离地面距离，则这个广告牌的高度为（ ） A. 4.4 B. 4.3 C. 4.2 D. 4.1 8. 如图，在中，，，点是重心，点在上且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的一元二次方程的两根互为相反数，则两根之积是（ ） A. B. 5 C. 或5 D. 2或 10. 定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若max=，则x的值是（ ） A. －1 B. －1或 C. D. 1或 11. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，在第一象限，且△是等边三角形．在射线上取点，，，分别以，，为边作等边三角形△，△，使得，，，在同一直线上，该直线交轴于点．若，，则点的横坐标是（ ） A. B. C. 256 D. 12. 如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：；；当是的中点时，；当时，．其中正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）．请把答案直接填写在答题卡对应题中横线上． 13. 将化成最简二次根式为 _____． 14. 将一元二次方程化成的形式，则___________． 15. 如图，已知，和相交于，若，则______． 16. 如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式______． 17. 如图，、均在上方，且在的左侧，当点在上运动时，作等腰，则，两点间距离的最小值为___________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有，两点，其中点在点右侧，连接，， ．延长交反比例函数的图象于点，连接，点为上一点，连接并延长交于点．当的面积与的面积相等时，直线使得点始终在该直线下方，则的最小值为___________． 三、解答题：（本大题共7个小题，共78分）解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：． （2）解方程：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）画出与关于轴对称的； （2）以原点位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标； （3）点为轴上一点，求的最小值． 22. 分已知关于x的一元二次方程(m-2)x2+(2m+1)x+m=0有两个实数根x1，x2． （1）求m的取值范围． （2）若|x1|=|x2|，求m的值及方程的根． 23. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出40件，每件可盈利60元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）为了尽快减少库存，且商场平均每天要盈利3000元，每件衬衫应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到3300元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由； （3）该商场平均每天最多盈利多少元？达到最大值时应降价多少元？ 24. 【综合与实践】 【认识研究对象】教材121页给出了如下定义：如图1，如果点把线段分成两条线段和，且，则我们称点为线段的黄金分割点．类似，我们可以定义：如果一个三角形中，其最长边的长度和最短边的长度的乘积等于第三边长度的平方，那么就称该三角形为“类黄金三角形”． 如图2，已知是“类黄金三角形”，且．若，，求的长． 【探索研究方法】如图3，已知是“类黄金三角形”，且．若，小滨同学过点作于点，发现了两个结论： ①； ②点是边的黄金分割点； 请给出证明． 【尝试问题解决】小滨同学经历以上探索过程发现：类似问题，可以通过构造相似三角形等方法解决．于是开展新的探究，请解决以下问题： 如图4，已知是“类黄金三角形”，且．若，，求的长． 25. 如图1，已知中，顶点、在直线右侧，满足． （1）求证：； （2）连接，求的值； （3）如图2，过点作于点交边于点．当，且点在线段延长线上时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜宾市二中2025年秋期九年级半期教学质量监测 数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若式子有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数为非负数，建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：∵要使 有意义，则 ， ∴ ． 故 的取值范围为 ． 故选：C． 2. 下列各组线段是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键． 如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意； B．，则是成比例线段，故该选项符合题意； C．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意； D．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意． 故选：B． 3. 如图，在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理．利用勾股定理列式求出，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式即可． 【详解】解：∵，，， ， ． 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，根据相关运算法则进行逐项分析计算，即可作答． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能进行加法运算，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，直线，交于点，，若，，，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，掌握两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例是解答本题的关键． 由线段的和差可得，再根据平行线等分线段定理可得即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴ ∵， ∴． 故选：D． 6. 随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在年投入研发资金为万元，到年累计共投入研发资金万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找准等量关系． 设年平均增长率为x，可得出、年投入研发资金，结合到年累计三年共投入研发资金万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设年平均增长率为x，根据题意得， ． 故选：A． 7. 由光的反射定律可知入射角等于反射角，小鲁同学利用镜子测量广告牌的高度．如图，小鲁站在点处不动，当将镜子移动至处，他恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；当将镜子移动至处，他恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出．经测得，小鲁的眼睛离地面距离，则这个广告牌的高度为（ ） A. 4.4 B. 4.3 C. 4.2 D. 4.1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质和判定，根据题意分别证明，，进而求出，再根据计算求解，即可解题． 【详解】解：， ， 由入射角等于反射角，结合等角的余角相等可推出，， ， ， ，， ， ， 解得， 同理可证， ， ，， ， ， 解得， ； 故选：C． 8. 如图，在中，，，点是重心，点在上且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形重心的定义、中线的性质，熟练掌握三角形中线把三角形分成两个面积相等的小三角形是解题关键，根据重心的定义得出、是中线，根据，可求出的面积，根据中线的性质可求出的面积，根据可得，即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵点是重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 9. 若关于的一元二次方程的两根互为相反数，则两根之积是（ ） A. B. 5 C. 或5 D. 2或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．设方程的两根分别为，利用一元二次方程根与系数的关系，可得，再由两根互为相反数，可得，即可求解． 【详解】解：设方程的两根分别为， ∴， ∵一元二次方程的两根互为相反数， ∴， 解得：， 当时，原方程为， 此时方程无解，故不符合题意，舍去； 当时，原方程为， 此时， 即两根之积是． 故选：A 10. 定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若max=，则x的值是（ ） A. －1 B. －1或 C. D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，进行分类讨论即可． 【详解】解：若，即：时，， ∴， 解得：或（舍去）， 若，即：时，， ∴， 解得：或（舍去）， 若，即：时，， ∴得，不成立，舍去， ∴x的值为－1或， 故选：B． 【点睛】本题考查新定义以及一元二次方程，理解材料中的定义，准确进行分类讨论，并准确求解一元二次方程是解题关键． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，在第一象限，且△是等边三角形．在射线上取点，，，分别以，，为边作等边三角形△，△，使得，，，在同一直线上，该直线交轴于点．若，，则点的横坐标是（ ） A. B. C. 256 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先证明OA1∥B1A2，∠B1A1A2＝90°，求出B1A2＝2A1B1＝2，然后同理可得B2A3，B3A4的长，根据等边三角形边长的规律，即可求出B9的横坐标． 【详解】解：∵△OA1B1是等边三角形，OA1＝1， ∴B1的横坐标为，OA1＝OB1＝A1B1＝1，∠OA1B1＝60°， ∵△B1B2A2是等边三角形， ∴∠B2B1A2＝60°， ∴OA1∥B1A2，∠A2B1A1＝60°， ∵∠OA1C＝30°， ∴∠B1A2A1＝30°， ∴∠B1A1A2＝90°， ∴B1A2＝2A1B1＝2， 同理：B2A3＝2A2B2＝4，B3A4＝2A3B3＝8，…， ∴B1的横坐标为， B2的横坐标为＋1＝， B3的横坐标为＋1＋2＝， B4的横坐标为＋1＋2＋4＝， ...， ∴点B9的横坐标是＋1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＋128＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了点的坐标规律，等边三角形的性质，解题的关键是根据等边三角形的性质得到等边三角形边长的规律． 12. 如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：；；当是的中点时，；当时，．其中正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过证明，得，，即可判断；再证明，即可判断；证明，，求出相关线段长度，可知当是的中点时，，即可判断；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，两个等高的三角形面积比等于底长的比，可证，即可判断． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故正确；    设正方形的边长为， ∴ 当是的中点时，， 由勾股定理得：，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； 当E时，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是的角平分线， ∴点到边与边的距离相等， ∴中边的高与中边的高相等， ∵， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故错误， 综上：， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，掌握知识点的应用是解题的关键． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）．请把答案直接填写在答题卡对应题中横线上． 13. 将化成最简二次根式为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的化简方法，被开方数中的分子分母同时乘以3求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的化简方法，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法． 14. 将一元二次方程化成的形式，则___________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答本题的关键． 直接根据配方法的步骤解题即可． 【详解】解：方程移项得， 配方得， 即， ，， ． 故答案为：7． 15. 如图，已知，和相交于，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，即可求得，根据三角形面积计算公式和相似三角形对应边比值相等的性质可以求得，即可求得，即可解题．本题考查了相似三角形的判定，三角形面积的计算公式，相似三角形对应边比值相等的性质，本题中求得是解题的关键． 【详解】解：， ∴，， ，， ， ， ∴， ， ． 故答案为：． 16. 如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根与系数的关系，利用和代入代数式，化简后得，又和是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，得，然后代入的值计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ 又∵和是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴原式， 故答案为：． 17. 如图，、均在上方，且在的左侧，当点在上运动时，作等腰，则，两点间距离的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形及动点问题，相似三角形的判定和性质，根据题意利用相似三角形的判定和性质得出，确定E在垂直的直线上运动，O，E两点间距离的最小值即是O到这条直线的垂线段的长，再由勾股定理及含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，点C在上运动时，， ∴C为主动点，E为从动点，D为定点，设和都是以D为直角顶点的等腰直角三角形且点都在上，过点D作于Q，设交于点P，连接并延长交于M，如图： 和都是以D为直角顶点的等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在垂直于的直线上运动， 当时，如图所示， 过E作于M，交于N，则直线即为E的运动轨迹，的长为O，E两点间距离的最小值， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有，两点，其中点在点右侧，连接，， ．延长交反比例函数的图象于点，连接，点为上一点，连接并延长交于点．当的面积与的面积相等时，直线使得点始终在该直线下方，则的最小值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行线分线段成比例、几何图形面积问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 连接，易证是中点，进而可表示出点坐标，求出反比例函数表达式，设出点坐标，再表示出点坐标即可得解． 【详解】如图，连接， ， ， ， ． 为中点，为中点． ． 点坐标为， 点坐标为． 反比例函数表达式为． 设点的坐标为， 点的坐标为． 点的坐标为． ，． ∴点始终在直线的下方， ∴的最小值为3． 故答案为：3． 三、解答题：（本大题共7个小题，共78分）解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）2 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算和解一元二次方程，解题关键是熟练掌握零指数幂的性质、负整数指数幂和特殊角的三角函数值． （1）根据非零的零次幂等于1，绝对值，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，特殊角的三角函数值，可得答案； （2）根据因式分解法，可得方程的解． 【详解】解：（1）原式 ． （2）， ， ，． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入即可即可． 【详解】解： ． 当时， 原式． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）画出与关于轴对称的； （2）以原点位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标； （3）点为轴上一点，求的最小值． 【答案】（1） 描点，连接，即为所求； （2） 描点，连接，如图； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换、轴对称变换，勾股定理，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． （1）根据关于轴对称的点的坐标得到的坐标，，，然后描点，连接即可； （2）把、、的坐标都乘以得到的坐标，，，然后描点，连接即可； （3）由两点之间线段最短可知，连接，交轴于点，点即为所求，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 如图，，，关于轴对称的点的坐标得到的坐标，，． 【小问2详解】 ，，的坐标都乘以得到的坐标，，， ∴即为所求，． 【小问3详解】 连接，交轴于点，则， 由两点之间线段最短，，可知此时最小，最小值为， 22. 分已知关于x的一元二次方程(m-2)x2+(2m+1)x+m=0有两个实数根x1，x2． （1）求m的取值范围． （2）若|x1|=|x2|，求m的值及方程的根． 【答案】（1）m≥且m≠2；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围； （2）由可得：或当时，利用△=0可求出的值，利用，可求出方程的解；当时，由根与系数的关系可得出解之即可得出的值，结合（1）可知此情况不存在．综上即可得出结论． 试题解析：(1)∵关于x的一元二次方程 有两个实数根 解得：且m≠2. (2)由可得：或 当时, 解得： 此时 当时, 且m≠2， ∴此时方程无解. 综上所述：若,m的值为,方程的根为. 23. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出40件，每件可盈利60元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）为了尽快减少库存，且商场平均每天要盈利3000元，每件衬衫应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到3300元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由； （3）该商场平均每天最多盈利多少元？达到最大值时应降价多少元？ 【答案】（1）每件衬衫应降价30元 （2） 商场平均每天盈利不能达到3300元，理由如下： 设每件衬衫降价x元，则每天多销售件， 根据题意得：，即， ∵， ∴此方程无解， ∴该商场平均每天盈利不能达到3300元； （3）商场平均每天最多盈利3200元，达到最大值时应降价20元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点有“根的判别式”和用“配方法”求函数的最大值．（1）设每件衬衫降价x元，则每天多销售件，所以此时商场平均每天要盈利元，根据商场平均每天要盈利=3000元为等量关系列出方程求解即可．（2）假设能达到，根据商场平均每天要盈利=3300元为等量关系列出方程，看该方程是否有解，有解则说明能达到，否则不能． （3）设商场平均每天盈利y元，由（1）可知商场平均每天盈利y元与每件衬衫应降价x元之间的函数关系为，用“配方法”求出该函数的最大值，并求出降价多少． 【小问1详解】 解：设每件衬衫降价x元，则每天多销售件， 根据题意得：， 解得，， ∵要扩大销售，减少库存， ∴每件衬衫应降价30元； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设商场平均每天盈利y元，每件衬衫应降价x元， ， 当时，该函数取得最大值为3200元， 所以，商场平均每天盈利最多3200元，达到最大值时应降价20元． 24. 【综合与实践】 【认识研究对象】教材121页给出了如下定义：如图1，如果点把线段分成两条线段和，且，则我们称点为线段的黄金分割点．类似，我们可以定义：如果一个三角形中，其最长边的长度和最短边的长度的乘积等于第三边长度的平方，那么就称该三角形为“类黄金三角形”． 如图2，已知是“类黄金三角形”，且．若，，求的长． 【探索研究方法】如图3，已知是“类黄金三角形”，且．若，小滨同学过点作于点，发现了两个结论： ①； ②点是边的黄金分割点； 请给出证明． 【尝试问题解决】小滨同学经历以上探索过程发现：类似问题，可以通过构造相似三角形等方法解决．于是开展新的探究，请解决以下问题： 如图4，已知是“类黄金三角形”，且．若，，求的长． 【答案】【认识研究对象】； 【探索研究方法】①证明：∵，于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②证明：∵是类黄金三角形，且， ∴， 由①知， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 根据黄金分割点的定义，点是边的黄金分割点； 【尝试问题解决】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据定义理解“类黄金三角形”的特征，根据比例式适当构造相似三角形． 【认识研究对象】直接利用“类黄金三角形”定义，代入边长计算即可； 【探索研究方法】①通过证明，利用相似三角形对应边成比例推导； ②结合“类黄金三角形”定义与①的结论，证明，从而判定是的黄金分割点； 【尝试问题解决】在上取点，使，连接．根据“类黄金三角形”的定义，将其转化为比例式，结合公共角，可证，由相似得，结合已知，推导得出，代入定义式求出的长即可． 【详解】【认识研究对象】 解：∵是类黄金三角形，且， ∴根据定义，最长边与最短边的乘积等于第三边的平方，即． ∵，， ∴， ∴； 【探索研究方法】 ①略 ②略 【尝试问题解决】 解：如图，在上取点，使，连接． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 如图1，已知中，顶点、在直线右侧，满足． （1）求证：； （2）连接，求的值； （3）如图2，过点作于点交边于点．当，且点在线段延长线上时，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，结合，可得结论． （2）由（1）可得：，可得，证明，可得，再进一步求解即可． （3）如图，过作于，证明，设，求解，可得，，，由，可得，证明，设，则，证明，求解，证明，进一步可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过作于， ∵，，， ∴，设， ∴， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， ∵， ∴，而， ∴，， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：，经检验符合题意， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $