专题 4.3 坐标平面内图形的轴对称与平移（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 2025-2026学年浙教版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

本讲义聚焦初中数学坐标平面内图形的轴对称与平移核心知识点，系统梳理从点的轴对称（直接求坐标、参数问题等）、平移（点与图形的平移方向及坐标确定）到综合作图的知识脉络，构建基础巩固到培优提升的学习支架。 资料通过题型分类精析（如规律问题、最值问题）和例题变式设计，培养学生抽象能力与几何直观，同步练习分基础与提升层次，助力课中教师分层教学，课后学生查漏补缺，体现数学思维与应用意识的培养。

专题 4.3 坐标平面内图形的轴对称与平移 目录 一.知识梳理与题型分类精析 2 一：基础篇 2 【知识点一】坐标平面内图形的轴对称 2 【题型1】利用坐标平面内图形的轴对称直接求点的坐标 2 【题型2】已知坐标平面内图形的轴对称求参数 4 【题型3】已知点的坐标判断轴对称方式 5 【题型4】轴对称与作图问题 6 【知识点二】平移与坐标变化——点的平移 10 【题型4】由平移方式确定点的坐标 10 【题型5】已知平移前后点的坐标确定平移方式 11 【知识点三】平移与坐标变化——图形的平移 13 【题型6】由图形平移方式确定平移后点的坐标 13 【题型7】已知图形平移方式确定平移前点的坐标 14 【题型8】轴对称与平移作图问题 16 二：培优篇 19 【题型9】轴对称与规律问题 19 【题型10】图形的平移方形与规律问题 23 【题型11】轴对称与最值问题 28 【题型12】轴对称、平移与几何问题 31 【题型13】平移与轴对称综合 36 二．同步练习​ 42 【基础巩固（16题）】 42 【能力提升（16题）】 53 一.知识梳理与题型分类精析 一：基础篇 【知识点一】坐标平面内图形的轴对称 如果点的坐标为，那么点关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为，关于原点轴对称的点的坐标为. 【题型1】利用坐标平面内图形的轴对称直接求点的坐标 【例题1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）点关于y轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标系中的对称，掌握关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题的关键． 根据坐标系中点的对称规律即可求解． 解：点关于y轴对称， 对称点的横坐标为，纵坐标为， 对称点的坐标为． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·新疆喀什·期中）已知点，、Q两点关于x轴对称，则点Q的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征，掌握知识点是解题的关键． 根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 解：点关于轴对称的点的横坐标与相同，为；纵坐标与的纵坐标互为相反数，为， 故点的坐标为． 故答案为． 【变式2】（24-25八年级下·河南开封·月考）过和两点的直线一定（　　） A．垂直于x轴 B．平行于x轴 C．经过原点 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中直线的位置与点坐标的关系，解题的关键是根据两点纵坐标相同判断直线与轴的位置关系． 通过观察、两点坐标的特征，根据坐标与直线位置关系来判断直线情况． 解：两点的纵坐标相等，横坐标不相等，所以过两点的直线一定平行于轴． 故选：B． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点关于直线对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标的特征，设点关于直线对称的点为，根据轴对称的性质可得，点和点到直线距离相等，且纵坐标相等，据此即可求解． 解：设点关于直线对称的点为， 根据轴对称的性质得，点和点到直线距离相等，且纵坐标相等， ∴点的纵坐标为2， ∵点到直线的距离为， ∴点的横坐标为， ∴， 故选：C． 【变式4】（24-25八年级上·江苏盐城·月考）在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，将线段沿y轴翻折得到线段，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角坐标系中点的对称问题．根据线段沿y轴翻折得到线段，可得点与点关于y轴对称，由关于y轴对称的点的特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同即可得到结果． 解：∵线段沿y轴翻折得到线段， ∴点与点关于y轴对称， ∴． 故选：D． 【题型2】已知坐标平面内图形的轴对称求参数 【例题2】（25-26八年级上·河南许昌·期中）若点关于x轴对称的点B在第二象限，且a为整数，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标变化，熟练掌握点的坐标变化是解题的关键，根据关于轴对称的点的坐标变化规律，得出点B的坐标，再根据第二象限点的坐标特征列出不等式，求出的值，最后代入点A坐标求解． 解：∵点关于轴对称的点B为， 又∵点B在第二象限， ∴ ∴， ∵为整数， ∴， ∴点A的坐标为． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·云南玉溪·期中）已知点和点关于轴对称，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标的特征；根据关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同解答即可． 解：∵点和点Q关于轴对称， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·贵州安顺·期中）若点和点关于x轴对称，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，判断点所在的象限，关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求出的值即可得到答案． 解：∵点和点关于x轴对称， ∴，， ∴点，即点在第一象限． 故选：A． 【题型3】已知点的坐标判断轴对称方式 【例题3】（25-26八年级上·广东中山·期中）平面直角坐标系中的点与点关于（    ） A．原点对称 B．轴对称 C．轴对称 D．第一、三象限角平分线对称 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形-轴对称，掌握轴对称的性质是解题的关键． 通过比较点A和点B的坐标，可得横坐标相同、纵坐标互为相反数，再根据对称性质即可解答． 解：∵点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴点A与点B关于x轴对称． 故选B． 【变式1】如图，在直角坐标系中，点的横坐标不变，纵坐标乘，得到点，则与的关系是（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．将点向轴负方向平移一个单位 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与轴对称，根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解：∵点的横坐标不变，纵坐标乘，得到点， ∴点与点横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴点与点关于轴对称， 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若的三个顶点的横坐标不变，纵坐标乘以，则所得图形与原图形的位置关系是（      ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于对称 D．将原图形向x轴负方向平移了1个单位长度 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称．熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 根据横坐标不变，纵坐标乘以，以及结合关于x轴对称的点的纵坐标互为相反数，进行判断，作答即可． 解：∵的三个顶点的横坐标不变，纵坐标乘以， ∴所得图形与原图形的位置关系是关于x轴对称， 故选：A． 【题型4】轴对称与作图问题 【例题4】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）如图，在坐标网格中，按要求回答下列问题： （1）根据所建立的坐标系，写出点，的坐标； （2）在平面直角坐标系中，作关于轴对称的． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查直角坐标系中的图形变换问题，解题的关键是根据题意进行求解． （1）根据直角坐标系中点A和点C的位置，即可解答； （2）根据题意画出图形即可求解． 解：（1）解：根据题意，得； （2）解：如图所示，即为所求． 【变式1】（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）请画出与关于y轴对称的并写出点的坐标__________； （2）在（1）的条件下，画出与关于直线：对称的并写出点的坐标__________． 【答案】（1）作图见分析，点的坐标为；（2）作图见分析，点的坐标为 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于直线：对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍是解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接，再写出点的坐标即可； （2）根据关于直线：对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍找到对应点的位置，然后顺次连接点即可． 解：（1）解：如图所示即为所求， ∴点的坐标为； （2）解：如图所示，即为所求； ∴点的坐标为． 故答案为： 【变式2】（25-26八年级上·贵州安顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出与关于x轴对称的； （2）在x轴上找一点M，使点M到A，B两点的距离之和最小，在图中标出点M的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）作图见分析；（2）作图见分析 【分析】本题主要考查了作轴对称图形，根据轴对称求线段和的最小值． 对于（1），分别作出三个顶点关于x轴对称的点，再依次连接即可； 对于（2），由点A和点关于x轴对称，可知，即，根据“两点之间线段最短”可知连接交x轴于点M，此时点M到A，B两点的距离之和最小，则点M即为所求作，并写出坐标． 解：（1）解：如图所示； （2）解：如图所示，点M即为所求作． 方法归纳：关于轴对称的两个点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数;反过来,纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于轴对称。 关于轴对称的两个点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数;反过来,纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于轴对称。 关于原点对称的两个点的坐标横纵坐标互为相反数；反过来，横纵坐标互为相反数两个点关于原点对称。 【知识点二】平移与坐标变化——点的平移 在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a，y）或（x－a，y）；将点（x，y）向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）或（x，y－b）． 【题型5】由平移方式确定点的坐标 【例题5】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）点在平面直角坐标系中的坐标为，将坐标系中的轴向上平移2个单位长度，轴向左平移3个单位长度，得到平面直角坐标系，在新坐标系中，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标与坐标系平移的关系．熟练掌握了平面直角坐标系中点的坐标与坐标系平移的关系是解题的关键． 坐标系平移时，点在新坐标系中的坐标可通过点相对于原坐标系进行相反的平移得到．轴向上平移2个单位，相当于点向下平移2个单位；轴向左平移3个单位，相当于点向右平移3个单位． 解：∵轴向上平移2个单位， ∴ 点的坐标减少2； ∵轴向左平移3个单位， ∴ 点的坐标增加3． ∴ 新坐标，，即点在新坐标系中的坐标为． 故选D． 【变式1】（23-24七年级下·甘肃定西·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是坐标与图形变化-平移， “右移加，左移减，上移加，下移减”．利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加3，纵坐标减4即可得到点B的坐标． 解：点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点B，则点B的坐标是，即． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·山西长治·期末）将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，点P恰好落在x轴上，则点P的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移的规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 由点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，知点P坐标为，再根据点P正好落在x轴上知，得出m的值，据此可得答案． 解：将点向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度得到点P， 则点P坐标为， 由点P正好落在x轴上知， 解得， 则， 点P坐标为， 故选： 【题型6】已知平移前后点的坐标确定平移方式 【例题6】（2025八年级上·全国·专题练习）若使四边形各顶点在直角坐标系中的横坐标保持不变，纵坐标比原来都减少，则此四边形（ ） A．向上平移个单位长度 B．向下平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，纵坐标减小表示点向下移动，横坐标不变说明没有水平移动，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵每个点的纵坐标都减小2，横坐标不变， ∴四边形向下平移2个单位长度， 故选：B 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）象棋是中国传统棋类，其中“馬”走“日”，如图，“帥”位于点，“馬”位于点，若“馬”要“将军”（一方的棋子要在下一招棋把对方的“将”或“帥”吃掉），可以走到，则其平移过程是 ． 【答案】向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度或向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移；根据两点的坐标即可确定平移过程． 【详解】解：“馬”位于点，若“馬”要“将军”可以走到，则平移过程为向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度或向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度． 故答案为：向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度或向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度． 【变式2】（24-25七年级上·全国·单元测试）已知，经过平移，由点B到点A，平移方法是 ． 【答案】先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度． 【分析】本题主要考查点的平移变换，掌握平移规律：横坐标，右加左减；纵坐标，上加下减是解题的关键． 根据点坐标的变换，得到平移的方法即可． 【详解】∵由经过平移得到 ∴， 根据平移规律：横坐标，右加左减；纵坐标，上加下减， ∴点是先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度就得到点． 故答案为：先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度． 【知识点三】平移与坐标变化——图形的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度． 【题型7】由图形平移方式确定平移后点的坐标 【例题7】（2025·山东青岛·三模）如图，的顶点坐标分别为、、，如果将绕点B按顺时针方向旋转，得到，将向下平移2个单位，得，那么点C的对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，平移等知识，分别利用旋转变换，平移变换的性质画出图形可得结论． 解：如图， 由题意，， 点C绕点B顺时针旋转得到，再向下平移2个单位得到， 故选：C． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）如图，已知点，，将线段平移至的位置，其中点，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移，根据点与点得出平移方式，即可求解． 解：∵点的对应点C的坐标为， ∴平移规律为横坐标减3，纵坐标加1． ∵点的对应点为点D， ∴点D的坐标为，即． 故答案为：． 【变式2】（2025·陕西咸阳·二模）在平面直角坐标系中，线段两端点的坐标分别为，，已知线段是由线段平移得到的．若点B的对应点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】先根据点和其对应点的坐标变化，确定平移规律，再依据此规律求出点的对应点的坐标．本题主要考查了平面直角坐标系中图形的平移变换，熟练掌握平移时点的坐标变化规律（左右平移改变横坐标，上下平移改变纵坐标， 左减右加，上加下减 ）是解题的关键． 解：∵ 平移后得到，横坐标的变化为，纵坐标不变， ∴ 线段的平移规律是向左平移个单位，纵坐标不变． ∵ ，按照此平移规律，点横坐标，纵坐标不变仍为， ∴ 的坐标为 故答案为：． 【题型8】已知图形平移方式确定平移前点的坐标 【例题8】（25-26八年级上·安徽亳州·月考）如果把点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，若平移后的坐标是，则可确定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了点坐标的平移变换．上加下减，右加左减，上下平移是纵坐标变化，左右平移是横坐标变化，据此求解即可． 解：把点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点的坐标为，即为， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·河南安阳·月考）在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—平移．根据平移的逆变换求解点M的坐标，即可． 解：∵向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合， ∴点的坐标为，即． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·北京怀柔·期末）若点向下平移3个单位后位于坐标原点，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标的平移，掌握“纵坐标上加下减，横坐标左加右减”是解题关键．根据平移的规律求解即可． 解：点向下平移3个单位后位于坐标原点， ，， ， 点坐标为， 故答案为：． 【题型9】轴对称与平移作图问题 【例题9】（25-26八年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为． （1）作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）作出将向右平移6个单位长度后的，并写出的坐标． 【答案】（1）见分析，；（2）见分析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和轴对称，熟知平移和轴对称的相关知识是解题的关键． （1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得的坐标，描出，并顺次连接即可． 解：（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：如图所示，即为所求，则． 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在格点（网格线的交点）上，其中点． （1）将三角形先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到三角形．请画出三角形，并写出三角形的三个顶点的坐标． （2）若是三角形中的任意一点，请写出经过（1）平移后，得到的对应点的坐标． 【答案】（1）图见分析，，，；（2）点的坐标 【分析】本题考查网格作图，平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质“右加左减，上加下减”分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接即可； （2）利用平移变换的性质得出结论即可． 解：（1）解：如图，即为所求，，，； （2）解：点的坐标． 【变式2】（25-26八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点． （1）作关于直线m（直线m上各点的纵坐标为1）的对称图形，其中点A，B，C的对称点分别为； （2）四边形的面积为 ； （3）若规定在平面直角坐标系中，将一个图形先关于直线m对称，再向下平移2个单位长度记为1次“R变换”， 内有一点，经过2025次“R变换”后的对应点的坐标为______． 【答案】（1）见分析；（2）21；（3） 【分析】本题考查作图——轴对称变换、规律型∶点的坐标，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据轴对称的性质作图即可．（2）根据梯形的面积公式计算即可．（3）根据题意可知每经过2次“R变换”为一次循环，根据，可知经过2025次“R变换”后的对应点与经过1次“R变换”后的对应点的坐标相同，进而可得答案． 解：（1）解：如图，即为所求； （2）解：四边形的面积为； 故答案为：21 （3）解：根据题意得：经过1次“R变换”后的对应点的坐标为， 经过2次“R变换”后的对应点的坐标为， ∴每经过2次“R变换”为一个循环， ∵， ∴经过2025次“R变换”后的对应点的坐标为． 故答案为： 归纳小结： （1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决． （2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化. 二：培优篇 【题型10】轴对称与规律问题 【例题10】（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系中，依次作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点，关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点…按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（   ） 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化对称、点的坐标变化规律及关于坐标轴对称的点的坐标，根据题意，依次求出点，，，，的坐标，发现规律即可解决问题．能根据题意得出从点开始，变换后的点的坐标按，，，，，循环是解题的关键． 解：如图， 因为点的坐标为， 所以点关于直线对称的点的坐标为， 依次类推，点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 由此可见，从点开始，变换后的点的坐标按，，，，，循环，即6个一循环， 因为， 所以点的坐标为． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第次变换后点的对应点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次轴对称变换为一个循环组，依次循环是解题的关键．观察图形可知每四次轴对称变换为一个循环组，依次循环，用除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，然后解答即可． 解：点第一次关于轴对称后在第三象限，坐标为； 第二次关于轴对称后在第四象限，坐标为； 第三次关于轴对称后在第一象限，坐标为； 第四次关于轴对称后在第二象限，即点回到原始位置，坐标为； 每四次轴对称变换为一个循环组依次循环， ， 经过第次变换后，所得的点与第一次变换的位置相同，在第三象限，坐标为． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·山东·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别是、、，点在轴上，且坐标为．点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，按此规律进行下去，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题是对点的变化规律的考查，作出图形，观察出每6次对称为一个循环是解题的关键，根据对称依次作出对称点，便不难发现，点与点P重合，也就是每6次对称为一个循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定点的位置，然后写出坐标即可． 解：根据题意画图，如图所示，点与点P重合，即每6次对称进行一次循环， ， 点是第337循环组的第4个点，与点重合， 点的坐标为． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，，，，，若，点、点，点、点、点、点……均在轴上，按此规律，的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，点的坐标的变化规律，找出点B的变化规律是解题的关键． 根据题意可得，，，，……，得到当为奇数时，，当n为偶数时，，即可求解． 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ， ， ∴，，，，…… ∴当为奇数时，， 当n为偶数时，， ∴当时，， 即． 故答案为：． 【题型11】图形的平移方形与规律问题 【例题11】（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点……按这个规律平移得到点，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移、规律型问题等知识，解题关键是学会套就规律的方法．先求出点，，，的横坐标，再从特殊到一般就出规律，然后利用规律即可解决问题． 解：点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， …， 按这个规律平移得到点点的横坐标为， 点的横坐标为， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，在边长为1的小正方形网格中，三角形的顶点均在小正方形的格点上且．三角形平移后得到三角形，且点A、B、O的对应点分别是点，点O的坐标为，点的坐标为．请你分析平移规律，并写出点的坐标． 【答案】向右平移4个单位， 【分析】本题主要考查坐标的平移变换，熟练掌握平移的变换，“左减右加，上加下减”是解题的关键． 根据点O平移后坐标，可知三角形是向右平移4个单位长度后得到三角形，再根据平移得到即可． 解：∵点O的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴三角形是向右平移4个单位长度后得到三角形， ∵点， ∴点， 即点． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）（1）如图，在图中画出关于轴对称的，通过观察对称点的坐标特征，归纳规律：点关于轴对称的点的坐标是______； （2）在图中画出关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的，并直接写出三点的坐标，归纳规律：坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的点的坐标是______； （3）猜想坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是）对称的点的坐标是______． 【答案】（1）图见分析，；（2）图见分析，；；（3） 【分析】此题考查了轴对称的作图和轴对称的规律，准确作图是关键． （1）作出关于轴对称的对称点，顺次连接即可得到，再归纳规律即可； （2）作出关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的点，顺次连接即可得到，再归纳规律即可； （3）根据（1）（2）得到规律即可． 解：（1）解：如图，即为所求，点关于轴对称的点的坐标是； 故答案为：； （2）解：如图，即为所求，三点的坐标分别为， 归纳规律：坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的点的坐标是； 故答案为： （3）解：坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是）对称的点的坐标是． 故答案为： 【变式3】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，已知，，，，，，，，，…则点的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据坐标的变化找出规律，仔细观察图象找出其中的变化规律是解题的关键． 经过观察可知，图中点的坐标个为一组，算出是第几组的第几个数据即可． 解：根据观察可发现规律为：每三个坐标为一组，第n组的第一个坐标为：，第二个坐标为：，第三个坐标为：， ∵，， ∴是第组第二个数，坐标为：， 是第组第三个数，坐标为：， 故答案为：，． 【变式4】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，线段，垂足为；线段，，垂足为；线段，垂足为，……，按此规律，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系坐标点的规律问题，合理找出规律是解题的关键． 找出变化为偶数时的规律，求出，再向下平移一个单位即可解答． 解：由题意可得：当变化为偶数时，则有： ∵， ， ， ， ∴， ∴为向下平移1个单位，即， 故答案为：． 【题型12】轴对称与最值问题 【例题12】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为，点C的坐标为，点P为斜边OB上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查对称求最值，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．作关于的对称点，连接交于，连接，则此时的值最小，根据勾股定理求出，即可得出答案． 解：作关于的对称点， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 则为等腰直角三角形， ∵关于的对称点为， ∴也为等腰直角三角形， ∴，， 点在轴上， 且， 连接交于，连接，则此时的值最小， ， ， ，， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值是． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·重庆巴南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度到点B，点B在y轴上，则点B的坐标为 ；线段经过原点O，点D是上一动点，若点，点，且，则长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，根据平移方式可得，根据点B在y轴上，可得，据此可得点B坐标；可求出，由垂线段最短可知，当时，有最小值，则此时有，据此可得答案． 解：∵点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度到点B， ∴点B的坐标为，即， ∵点B在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，则此时有， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级下·重庆南岸·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在x轴上，，点C的坐标为，点D的坐标为，则的最小值为 ． 【答案】7 【分析】此题考查了勾股定理，坐标系中的平移，两点之间线段最短等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 将向左平移2个单位，使点B和点A重合，连接，，根据题意得到当点C，A，E三点共线时，有最小值，即的长度，然后利用勾股定理求出，进而求出，即可求解． 解：如图所示，将向左平移2个单位，使点B和点A重合，并得到线段，连接， ∴，， ∴， ∴当点C，A，E三点共线时，有最小值，即的长度， ∵点的坐标为，， ∴， ∴， ∴的最小值为7． 故答案为：7． 【题型13】轴对称、平移与几何问题 【例题13】（24-25七年级下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，点A、点B均在第二象限，点A的坐标为，点B的坐标为．已知点与点A关于x轴对称，点与点B关于y轴对称，是一个等腰直角三角形且，则点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，等腰直角三角形的性质，点的坐标特征，由题意可得，，从而可得，由等腰直角三角形的定义可得、、的纵坐标相等，，从而得出，，联立①②求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵点与点A关于x轴对称，点与点B关于y轴对称，点A、点B均在第二象限， ∴，， ∴， 点与点关于轴对称， 故线段垂直于轴。 又因是直角三角形且， 故垂直于， 即平行于轴， 所以点与点的纵坐标相等， ∴， ∵，，、、的纵坐标相等， ∴， ∴， 联立①②解得：，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB向左平移若干个单位得到线段，点的对应点为，点B在x轴上，线段所在的直线与y轴交于点P，连接，，则线段平移了 个单位，的面积为 ． 【答案】 4 8 【分析】本题考查点的平移的坐标变化，平移的性质，平行线间三角形等积变换，掌握平移的性质是解题的关键． 由点A与点的坐标可得线段平移了4个单位长度．连接，由平移的性质得到，．过点作轴于点N，则，进而得到． 解：∵，， ∴线段平移了4个单位长度． 连接， ∵平移4个单位长度得到， ∴，． 过点作轴于点N，则， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4；8． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，，． （1）如图（1），若点在第四象限，，，直接写出点的坐标； （2）轴正半轴上有一点，沿翻折得到，沿翻折得，，交点为． ①如图（2），若，直接写出的度数； ②如图（3），若，，与轴相交于点，求点的坐标（用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查了坐标与图形，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）过点B作轴于H，可证明，得到，则，据此可得答案； （2）由三角形内角和定理可得；由折叠的性质可得，则可求出，由三角形内角和定理可得答案； ②根据①所求可得，由折叠的性质可得， ，则可证明，；过点F作轴于M，过点E作轴于N，同理可证明，则可得到，，再证明，得到；则可求出，进而得到，即． 解：（1）解：如图所示，过点B作轴于H， ∵，， ∴， ∵轴，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点B在第四象限， ∴； （2）解：①∵， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 由折叠的性质可得， ， ∴，； 如图所示，过点F作轴于M，过点E作轴于N， 同理可证明， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型14】平移与轴对称综合 【例题14】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形． （2）连接，在第二象限找一点，连接，使得是以为底边的等腰直角三角形； （3）连接，直接写出线段的长度_____． 【答案】（1）作图见分析；（2）作图见分析；（3）3 【分析】本题考查的是轴对称的作图，等腰直角三角形的定义，熟练地应用轴对称的性质是解本题的关键． （1）分别确定关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）根据网格图的特点作出以为底边的等腰直角三角形即可； （3）由图即可得线段的长度． 解：（1）解：如图，是所求作的三角形， （2）解：如图，是所求作的等腰直角三角形， （3）解：由图可知，线段的长度为3，故答案为：3． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁盘锦·月考）如图，在平面直角坐标系中，、，为轴正半轴上一点，且．点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，在运动过程中若点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，当是等腰三角形时，求点的坐标 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义、等边三角形的判定和性质，灵活运用分情况讨论思想解答是解题的关键． 设点P的运动路程是a，则，然后分两种情况：当时，即点P在线段上时，当时，即点P在线段的延长线上时，即可求解． 解：∵、， ∴，， 设点P的运动路程是a， ∵点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度， ∴， 当时，即点P在线段上时，此时， ∵是等腰三角形，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴， 此时点P的坐标为； 当时，即点P在线段的延长线上时，此时， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 故答案为：或 【变式2】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，将放置在平面直角坐标系中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过构造直角三角形，利用“一线三垂直”模型证明三角形全等，进而根据对应边相等求点的坐标． 过点分别作x轴的垂线，垂足为构造和；利用推导出结合证明根据全等三角形对应边相等，得到结合点的坐标计算点B的坐标（分两种情况）． 解：过点A作轴于过点B作轴于E， 则 ∵， ∴． 又∵， ∴（同角的余角相等）． 在和中， ∴． ∴（全等三角形对应边相等） 已知点点 则． ∴． 分两种情况： ①当点E在点C右侧时， 点E的横坐标为，点B的纵坐标为，即 ②当点E在点C左侧时， 点E的横坐标为，点B的纵坐标为，即． 故答案为：或． （25-26八年级上·山西阳泉·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）先将向上平移4个单位长度得到，再将关于轴对称得到，分别画出，，并直接写出点，，的坐标． （2）四边形的面积为______． （3）已知边上一点的坐标是，按照（1）中的变换方式得到对应点，则点的坐标为______．（用含，的式子表示） 【答案】（1）见分析；（2）6；（3） 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出点的对应点分别为点，然后顺次连接即可得到；利用轴对称变换的性质分别作出点的对应点分别为点，然后顺次连接即可得到； （2）利用梯形的面积公式求解即可； （3）根据平移方式和关于y轴对称的点的坐标特点求解即可． 解：（1）如图所示，，即为所求； （2）如图所示，连接， ∴四边形的面积为； （3）∵边上一点的坐标是， ∴点P向上平移4个单位长度得到点， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 【点拨】本题主要考查了作图—轴对称变换、平移变换等知识，解题的关键是掌握平移变换、轴对称变换的性质，属于中考常考题型． 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】此题主要考查了关于轴、轴对称的点的坐标规律，根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出对称点的坐标，再根据各象限内点的坐标特点解答即可． 解：∵点关于轴的对称点是，点在第四象限， ∴关于轴的对称点在第四象限． 故选：D． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，直线与x轴平行，则a为（   ） A．1 B．－1 C．0 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形的性质。当两个点的纵坐标相等时，它们的连线与x轴平行，据此列出方程求解即可． 解：∵直线与轴平行， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移，掌握平移规律是解题的关键． 首先根据点平移后的对应点为，得出平移的方式，再根据平移的规律，即可得出答案． 解：∵点平移后的对应点为， ∴平移方式为向右平移个单位，向上平移3个单位， ∴点的对应点的坐标为． 故选：A． 4．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，点，，过点A作直线轴，点C是直线上的一个动点，当线段长度最小时，点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 根据题意可知点C的纵坐标为5，在利用垂线段最短即可得出当点C的横坐标为2时，线段长度最小，从而得出答案． 解：点C在直线上，且直线是过点与轴平行的直线， 点C的纵坐标为5， 点， 根据垂线段最短可知，当点C的横坐标为2时，线段长度最小， 点C的坐标为， 故选A． 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2014次相遇地点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了点的变化规律．由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 解：矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为，由题意知： ①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在边相遇； ②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在边相遇； ③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为，物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，在A点相遇； … 此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点， ∵， 故两个物体运动后的第2014次相遇地点的是第一次相遇的点， 物体甲行的路程为，物体乙行的路程为，如图， 此时相遇点的坐标为：， 故选：B． 6．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，和关于轴对称．若内点的坐标是，则点在中的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于x轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得出结果． 解：∵和关于轴对称， ∴点与点关于x轴对称， 又∵点的坐标是， ∴点的坐标是． 故选：D． 二、填空题 7．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征以及象限内点的坐标符号特征，熟练掌握关于轴对称的点的横坐标互为相反数、纵坐标不变是解题的关键． 先根据关于轴对称的点的坐标特征求出对称点的坐标，再根据坐标的符号判断所在象限． 解：关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变． 点关于轴对称的点的坐标为． 因为横坐标，纵坐标， 所以该点在第四象限． 故答案为：四． 8．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）已知点与点关于点对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点关于某点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握两点关于某点对称，则该点的坐标为这两点的中点坐标，利用中点坐标公式建立方程即可解答． 解：∵点与点关于点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）象棋是中国传统棋类，其中“馬”走“日”，如图，“帥”位于点，“馬”位于点，若“馬”要“将军”（一方的棋子要在下一招棋把对方的“将”或“帥”吃掉），可以走到，则其平移过程是 ． 【答案】向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度或向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移；根据两点的坐标即可确定平移过程． 解：“馬”位于点，若“馬”要“将军”可以走到，则平移过程为向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度或向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度． 故答案为：向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度或向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度． 10．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）在同一直角坐标系中，一个学生误将点的横、纵坐标的次序颠倒，写为，另一个学生误将点的坐标看成关于轴对称的点的坐标，写为，则，两点原来的位置关系是关于 轴对称．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于轴、轴对称的点的坐标变化规律是解题的关键．先根据错误坐标还原A、B两点的正确坐标，再通过坐标关系判断对称轴． 解：∵ 点A横、纵坐标次序颠倒后为 ∴ 点A原来的坐标为 ∵ 点B被误写为关于轴对称的点 ∴ 点B原来的坐标为 ∵ 点与点横坐标相同，纵坐标互为相反数 ∴ 两点关于轴对称 故答案为： 11．（25-26八年级上·山东青岛·期中）某战斗机空中展示的队形是轴对称图形，以飞机D，E所在的直线为x轴，以队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机B的坐标为，则飞机C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化−对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数即可得到结论． 解：以队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机B的坐标为，则飞机C的坐标为． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为…，第n次碰到矩形的边时的点为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标的规律；作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2025除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点， ∵， 当点P第2025次碰到矩形的边时为第338个循环组的第3次反弹，点P的坐标为， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26八年级上·天津红桥·期中）如图，点坐标为． （1）在平面直角坐标系中作出关于轴对称的； （2）直接写出点的坐标，______，______，______； 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查坐标系中的轴对称： （1）（2）一个点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此即可画图并得到点的坐标． 解：（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：由图可知：， 故答案为：； 14．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为A、B、C． （1）直接写出A点的坐标为_____； （2）在图中作出关于y轴的对称图形； （3）在x轴上找一点P，使最小，直接写出P的坐标为_______（画出点P，保留作图痕迹）． 【答案】（1）；（2）图见分析；（3），图见分析 【分析】本题考查了直角坐标系下点的特征，轴对称图形，最短距离问题，解决本题的关键是熟练掌握直角坐标系下点的特征以及轴对称图形的性质． （1）根据点A的位置求解坐标即可； （2）在平面直角坐标系中，描出点，，，则即为所作的三角形； （3）先找出点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点B，点P与点三点共线时即可求解． 解：（1）解：由图可知：A的坐标为， （2）解：如图， （3）解：找出点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图， 根据对称性可知，， ∴当点B，点P与点三点共线时，最小，此时点即为所求． 15．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，轴，． （1）求点的坐标； （2）在轴上是否存在点，使的面积为12？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的坐标为或；（2）存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的面积，难点在于要分情况讨论． （1）根据，可得点的纵坐标为4，再由可得点的横坐标为或5，进而可得点的坐标； （2）利用三角形的面积公式列式求出点P到x轴的距离，然后分两种情况写出点P的坐标即可． 解：（1）解：∵，轴，， 点的纵坐标为4，点的横坐标为或5 的坐标为或； （2）解：存在，理由如下： 由题意知点可能在直线上方的轴上或直线下方的轴上， 设点到直线的距离为， 则的面积， 即， 解得， 当点在直线上方的轴上时，则点的坐标为， 当点在直线下方的轴上时，则点的坐标为． 16．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段的中点坐标为．例如：点，则线段的中点坐标为． 请利用以上结论解决问题： （1）若点，，则以点和点为端点的线段的中点坐标为_____． （2）已知点，若为线段的中点，求点的坐标． （3）已知点和点的坐标分别为，线段与轴平行，且．若线段的中点与线段的中点在第一象限重合，直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了中点坐标公式，理解中点坐标公式是解题的关键． （1）根据中点坐标公式代入数据计算即可； （2）设点的坐标为，根据中点坐标公式分别建立关于的方程求解即可； （3）先求出点H的坐标，再求出线段的中点坐标为，进而得到线段的中点坐标为，同理（2）即可求解． 解：（1）解：∵，， ∴以点和点为端点的线段的中点坐标为，即， 故答案为：； （2）解：设点的坐标为， 由题意得， 解得， 点的坐标为； （3）解：点，线段与轴平行，且的中点在第一象限， ∴点在第一象限，且纵坐标为， ∵， 点的坐标为， 线段的中点坐标为， 线段的中点坐标为， 点的坐标为， ∴点的坐标为． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东滨州·期中）已知点与关于轴对称，则的值为（    ） A．1 B． C．2026 D． 【答案】A 【分析】考查关于x轴对称的点的坐标性质、有理数的乘方运算．解题关键是掌握“关于x轴对称的点，横坐标相等、纵坐标互为相反数”的规律；易错点是混淆x轴y轴对称的坐标变化规律，或误算的幂次（偶数次幂为1，奇数次幂为）． 首先根据“关于x轴对称的点，横坐标相等、纵坐标互为相反数”，列等式：（横坐标相等）、（纵坐标互为相反数）；其次分别求解得、；最后计算，再根据“的偶数次幂为1”，求出． 解：∵点与点关于x轴对称， ∴，且． 由，得； 由，得． ∴， ∴； 故选A． 2．（2023八年级上·浙江台州·竞赛）在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移后，其中一个点的坐标变为，则另一个的坐标变为（ ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标系中点的平移规律，熟练掌握点的坐标平移规律是解题的关键．利用点平移的坐标变化规律横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，分两种情形分别求解． 解：分以下两种情况： ①若平移后坐标变为， 可知点向左平移个单位，向下平移个单位， 点坐标平移后变为； ②若平移后坐标变为， 可知点向左平移个单位，向上平移个单位， 点坐标平移后变为． 综上所述：另一个点的坐标为或． 故选：B． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如图，数轴上表示1、的对应点分别为、，如果点与点关于点的对称，那么点C所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上对称点的性质及无理数的运算，解题的关键是利用“对称点到对称中心的距离相等”建立等式求解． 设点C表示的数为，根据点A是点B与点C的对称中心，可得A到B的距离等于A到C的距离，据此列方程求解． 解：设点C所表示的数为， ∵点B与点C关于点A对称， ∴点A是线段BC的中点． 由中点性质得， 两边同乘2得， 解得． 故选：B． 4．（25-26八年级上·重庆潼南·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，代数式求值． 两点关于x轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数．据此列方程求解m和n，再代入计算即可． 解：∵点和点关于x轴对称， ∴，， 解得，， ∴． 故选：B． 5．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，是边长为2的等边三角形，则点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，等边三角形的性质，勾股定理，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．过点作轴于点，根据等边三角形的性质可得，，再结合勾股定理得出，从而可得，然后根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求解即可． 解：如图，过点作轴于点， 是以边长为2的等边三角形， ，， ， 点在第一象限， ， 点A关于x轴的对称点的坐标为， 故选：D． 6．（25-26八年级上·北京·期中）正方形、、，按如图的方式放置，和点，分别在直线和x轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象上点的坐标特征及正方形的性质，解决问题要从简单图形入手，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 先求出，，，的坐标，探究规律后即可解决问题． 解：∵， ∴， ∵、、、…和点、、、…，分别在直线和x轴上， ∴， ∴可得， ∴，同理得，， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 7．（24-25八年级上·甘肃白银·月考）已知与点关于x轴对称，则 ． 【答案】0 【分析】根据关于x轴对称，横不变，纵坐标互为相反数，列式解答即可． 本题考查了x轴对称的特点，求代数式的值，熟练掌握对称是解题的关键． 解：与点关于x轴对称， 故， 解得， 故， 故答案为：0． 8．（23-24七年级下·河南漯河·月考）已知点的坐标为，轴且，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于y轴的直线上的点的横坐标相等的性质，难点在于要分情况讨论．根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等求出点的横坐标，再分点在点的下边与上边两种情况求出点的纵坐标，即可得解． 解：∵轴，点的坐标为，， ∴点在点的下边时，纵坐标为， 点在点的上边时，纵坐标为， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 9．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，点，点，线段平移后得到线段，若点，点，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标系中的平移，根据给定的点的坐标，确定平移方式，进而求出的值，进而求出的值即可． 解：∵点，点，线段平移后得到线段，点，点， ∴点向右平移个单位，得到，点向下平移1个单位得到， 即将线段先向右平移个单位，再向下平移1个单位得到线段， ∴， ∴； 故答案为：． 10．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C、D在x轴负半轴，将正方形平移得到正方形（点A、B、C、D的对应点分别是点、、、），若，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与平移，根据点，，确定平移规则，进而求出点的坐标即可． 解：∵，， ∴正方形先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到正方形， ∵， ∴，即：点的坐标为； 故答案为：． 11．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，直线轴，垂足为点，点P为直线上一动点，当时，则点P坐标 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，设点P的坐标为，根据点的坐标可得，，；再分点P在点B上方，点P在点B下方，且在x轴上方和点P在x轴下方三种情况，分别画出示意图，讨论求解即可． 解：设点P的坐标为， ∵，，， ∴，，， 如图所示，当点P在点B上方时， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在点B下方，且在x轴上方时， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在x轴下方时， ∵， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，点P的坐标为或， 故答案为：或． 12．（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点O出发，沿…的路线移动，每次移动1个单位长度，依次得到点，，…，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究，解题的关键是识别点的移动周期，根据周期确定对应点的坐标特征． 观察已知点的坐标，发现每8个点为一个移动周期，分析周期内点的坐标变化规律；用除以周期数8，通过商和余数确定在周期中的位置，进而推导坐标． 解：由已知点坐标可知，点的移动以8个为一个周期，即（k为非负整数）． 每个周期内第1个点（余数为1）的坐标特征为， ∵余1，即， ∴， ∴的x坐标，y坐标， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级下·湖北随州·期末）已知三角形是由三角形经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如表所示： 三角形 三角形 （1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：先向___________平移___________个单位长度，再向___________平移___________个单位长度可以得到； （2）观察表中各对应点坐标的变化，并填空： ___________，___________，； （3）在平面直角坐标系中画出三角形和三角形． 【答案】（1）右，4，上 ，1；（2） ，，5；；（3）见分析 【分析】本题考查作图—平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．解题的关键是作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）点向右平移4个单位得到点，点向上平移1个单位得到点； （2）利用点平移的规律可确定、、的值； （3）描点画图即可． 解：（1）解：点向右平移4个单位得到点，点向上平移1个单位得到点， 故答案为：右，4，上 ，1． （2）解：∵，，，，，， ∴，，， 故答案为： ，，5； （3）解：如图，三角形及三角形即为所作． 14．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，已知的三个顶点的坐标分别是，，，现将先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到（点A对应点D，点B对应点O，点C对应点E）． （1）在图中画出； （2）若为内一点，则点P在内的对应点Q的坐标是______； （3）过点D作直线轴，在直线l上存在点M，使得，求出点M的坐标． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）或 【分析】本题考查了平移变换，画平移图形，由平移方式确定点的坐标，三角形的面积等知识点，掌握平移变换的性质是解题的关键． （1）先由点和点O的坐标，确定平移的方式，再由平移方式得到点D和点E的坐标，据此即可作图； （2）根据平移方式即可求解； （3）先由割补法求出的面积，再由即可求出的面积，再由三角形面积公式即可求解． 解：（1）解：∵将先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到，点B对应点O， ∴平移方式为向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度， ∴， 如图所示，即为所求； （2）解：由题意得，向右平移了3个单位，向上平移了2个单位得到， ∴点Q的坐标为，即； （3）解：如图： ∵， ∴， ∵过点作直线轴， ∴， ∴， ∵， ∴或 即或． 15．（18-19七年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，，把沿射线向右下平移得到，交线段于点M． （1）如果点D的坐标为，则C、E两点的坐标分别为______； （2）连接，在（1）的条件下，的面积等于3，求的面积； （3）在沿射线向右下平移的过程中，的面积能否比的面积大4？若能，请求出此时点M的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查坐标与图形，平移的性质，三角形面积． （1）由得到平移方式，即可解答； （2）连接，由（1）知，则轴，得到，进而求出，根据三角形面积公式即可求解； （3）根据题意得到向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到，求出，进而得到，；根据的面积比的面积大4，建立方程求解即可． 解：（1）解：把沿射线向右下平移得到，即点的对应点为点， ∵， ∴先向右平移3个单位长度，再先向下平移2个单位长度后得到， ∵， ∴，即； （2）解：连接， 由（1）知， 则轴， ∴， ∴， ∴； （3）解：能，， ∵把沿射线向右下平移得到， ∴向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到， ∴， ∵， ∴， 由平移的性质得， ∴， ∴，； 当的面积比的面积大4时， 则，即， 解得：， ∴向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到， ∴． 16．（24-25七年级下·湖南·期末）如图①，在平面直角坐标系中，点，，且实数，满足． （1）直接写出，两点的坐标； （2）将线段向左平移个单位，再向下平移个单位，得到线段，使点落在轴上，点落在轴上，设点的坐标为，连接，，求的面积． （3）如图②，连接，，为线段上一点，为轴上一动点，若，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）4；（3）且 【分析】（1）根据非负数的性质可得，即可求解； （2）根据平移的性质可得，从而得到点，即可求解； （3）根据平移的性质可得，设交y轴于点K，连接，则，从而得到，再由，可得，然后结合，可得，然后分两种情况：当时，当时，即可求解． 解：（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵点，， ∴，两点的坐标为； （2）解：∵将线段向左平移个单位，再向下平移个单位，得到线段，使点落在轴上，点落在轴上，， ∴， ∴点， ∴轴，轴， ∴，， ∴的面积为； （3）解：由（2）得：将线段向左平移5个单位，再向下平移3个单位，得到线段，， ∵， ∴， 如图，设交y轴于点K，连接，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点Q不能与点K重合， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，t的取值范围为且． 【点拨】本题主要考查了坐标与图形综合，平方值和根号值的非负性、平面几何和坐标、平面直角坐标系中三角形面积求法、点的平移等知识，读懂题意，根据题意作出图形，数形结合转化为常见题型求解是解决问题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.3 坐标平面内图形的轴对称与平移 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 一：基础篇 1 【知识点一】坐标平面内图形的轴对称 1 【题型1】利用坐标平面内图形的轴对称直接求点的坐标 1 【题型2】已知坐标平面内图形的轴对称求参数 2 【题型3】已知点的坐标判断轴对称方式 2 【题型4】轴对称与作图问题 3 【知识点二】平移与坐标变化——点的平移 4 【题型4】由平移方式确定点的坐标 5 【题型5】已知平移前后点的坐标确定平移方式 5 【知识点三】平移与坐标变化——图形的平移 5 【题型6】由图形平移方式确定平移后点的坐标 6 【题型7】已知图形平移方式确定平移前点的坐标 6 【题型8】轴对称与平移作图问题 7 二：培优篇 8 【题型9】轴对称与规律问题 8 【题型10】图形的平移方形与规律问题 9 【题型11】轴对称与最值问题 11 【题型12】轴对称、平移与几何问题 12 【题型13】平移与轴对称综合 13 二．同步练习​ 15 【基础巩固（16题）】 15 【能力提升（16题）】 18 一.知识梳理与题型分类精析 一：基础篇 【知识点一】坐标平面内图形的轴对称 如果点的坐标为，那么点关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为，关于原点轴对称的点的坐标为. 【题型1】利用坐标平面内图形的轴对称直接求点的坐标 【例题1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）点关于y轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·新疆喀什·期中）已知点，、Q两点关于x轴对称，则点Q的点的坐标是 ． 【变式2】（24-25八年级下·河南开封·月考）过和两点的直线一定（　　） A．垂直于x轴 B．平行于x轴 C．经过原点 D．以上都不对 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点关于直线对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25八年级上·江苏盐城·月考）在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，将线段沿y轴翻折得到线段，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型2】已知坐标平面内图形的轴对称求参数 【例题2】（25-26八年级上·河南许昌·期中）若点关于x轴对称的点B在第二象限，且a为整数，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·云南玉溪·期中）已知点和点关于轴对称，则 ． 【变式2】（25-26八年级上·贵州安顺·期中）若点和点关于x轴对称，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型3】已知点的坐标判断轴对称方式 【例题3】（25-26八年级上·广东中山·期中）平面直角坐标系中的点与点关于（    ） A．原点对称 B．轴对称 C．轴对称 D．第一、三象限角平分线对称 【变式1】如图，在直角坐标系中，点的横坐标不变，纵坐标乘，得到点，则与的关系是（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．将点向轴负方向平移一个单位 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若的三个顶点的横坐标不变，纵坐标乘以，则所得图形与原图形的位置关系是（      ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于对称 D．将原图形向x轴负方向平移了1个单位长度 【题型4】轴对称与作图问题 【例题4】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）如图，在坐标网格中，按要求回答下列问题： （1）根据所建立的坐标系，写出点，的坐标； （2）在平面直角坐标系中，作关于轴对称的． 【变式1】（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）请画出与关于y轴对称的并写出点的坐标__________； （2）在（1）的条件下，画出与关于直线：对称的并写出点的坐标__________． 【变式2】（25-26八年级上·贵州安顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出与关于x轴对称的； （2）在x轴上找一点M，使点M到A，B两点的距离之和最小，在图中标出点M的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 方法归纳：关于轴对称的两个点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数;反过来,纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于轴对称。 关于轴对称的两个点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数;反过来,纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于轴对称。 关于原点对称的两个点的坐标横纵坐标互为相反数；反过来，横纵坐标互为相反数两个点关于原点对称。 【知识点二】平移与坐标变化——点的平移 在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a，y）或（x－a，y）；将点（x，y）向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）或（x，y－b）． 【题型5】由平移方式确定点的坐标 【例题5】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）点在平面直角坐标系中的坐标为，将坐标系中的轴向上平移2个单位长度，轴向左平移3个单位长度，得到平面直角坐标系，在新坐标系中，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级下·甘肃定西·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是 ． 【变式2】（24-25九年级上·山西长治·期末）将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，点P恰好落在x轴上，则点P的坐标是（ ） A． B． C． D． 【题型6】已知平移前后点的坐标确定平移方式 【例题6】（2025八年级上·全国·专题练习）若使四边形各顶点在直角坐标系中的横坐标保持不变，纵坐标比原来都减少，则此四边形（ ） A．向上平移个单位长度 B．向下平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）象棋是中国传统棋类，其中“馬”走“日”，如图，“帥”位于点，“馬”位于点，若“馬”要“将军”（一方的棋子要在下一招棋把对方的“将”或“帥”吃掉），可以走到，则其平移过程是 ． 【变式2】（24-25七年级上·全国·单元测试）已知，经过平移，由点B到点A，平移方法是 ． 【知识点三】平移与坐标变化——图形的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度． 【题型7】由图形平移方式确定平移后点的坐标 【例题7】（2025·山东青岛·三模）如图，的顶点坐标分别为、、，如果将绕点B按顺时针方向旋转，得到，将向下平移2个单位，得，那么点C的对应点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）如图，已知点，，将线段平移至的位置，其中点，则点D的坐标为 ． 【变式2】（2025·陕西咸阳·二模）在平面直角坐标系中，线段两端点的坐标分别为，，已知线段是由线段平移得到的．若点B的对应点的坐标为，则点的坐标为 ． 【题型8】已知图形平移方式确定平移前点的坐标 【例题8】（25-26八年级上·安徽亳州·月考）如果把点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，若平移后的坐标是，则可确定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·河南安阳·月考）在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后与点重合，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·北京怀柔·期末）若点向下平移3个单位后位于坐标原点，则点坐标为 ． 【题型9】轴对称与平移作图问题 【例题9】（25-26八年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为． （1）作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）作出将向右平移6个单位长度后的，并写出的坐标． 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点都在格点（网格线的交点）上，其中点． （1）将三角形先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到三角形．请画出三角形，并写出三角形的三个顶点的坐标． （2）若是三角形中的任意一点，请写出经过（1）平移后，得到的对应点的坐标． 【变式2】（25-26八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点． （1）作关于直线m（直线m上各点的纵坐标为1）的对称图形，其中点A，B，C的对称点分别为； （2）四边形的面积为 ； （3）若规定在平面直角坐标系中，将一个图形先关于直线m对称，再向下平移2个单位长度记为1次“R变换”， 内有一点，经过2025次“R变换”后的对应点的坐标为______． 归纳小结： （1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决． （2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化. 二：培优篇 【题型10】轴对称与规律问题 【例题10】（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系中，依次作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点，关于直线的对称点，关于轴的对称点，关于轴的对称点…按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（   ） 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第次变换后点的对应点坐标为 ． 【变式2】（24-25八年级下·山东·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别是、、，点在轴上，且坐标为．点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，按此规律进行下去，则点的坐标是 ． 【变式3】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，，，，，若，点、点，点、点、点、点……均在轴上，按此规律，的坐标为 ． 【题型11】图形的平移方形与规律问题 【例题11】（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点……按这个规律平移得到点，则点的横坐标为 ． 【变式1】（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，在边长为1的小正方形网格中，三角形的顶点均在小正方形的格点上且．三角形平移后得到三角形，且点A、B、O的对应点分别是点，点O的坐标为，点的坐标为．请你分析平移规律，并写出点的坐标． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）（1）如图，在图中画出关于轴对称的，通过观察对称点的坐标特征，归纳规律：点关于轴对称的点的坐标是______； （2）在图中画出关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的，并直接写出三点的坐标，归纳规律：坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的点的坐标是______； （3）猜想坐标平面内任意点关于直线（直线上各点的横坐标都是）对称的点的坐标是______． 【变式3】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，已知，，，，，，，，，…则点的坐标是 ，的坐标是 ． 【变式4】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，线段，垂足为；线段，，垂足为；线段，垂足为，……，按此规律，点的坐标为 ． 【题型12】轴对称与最值问题 【例题12】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为，点C的坐标为，点P为斜边OB上的一个动点，则的最小值为 ． 【变式1】（24-25七年级下·重庆巴南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度到点B，点B在y轴上，则点B的坐标为 ；线段经过原点O，点D是上一动点，若点，点，且，则长度的最小值为 ． 【变式2】（23-24八年级下·重庆南岸·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在x轴上，，点C的坐标为，点D的坐标为，则的最小值为 ． 【题型13】轴对称、平移与几何问题 【例题13】（24-25七年级下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，点A、点B均在第二象限，点A的坐标为，点B的坐标为．已知点与点A关于x轴对称，点与点B关于y轴对称，是一个等腰直角三角形且，则点A的坐标为 ． 【变式1】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB向左平移若干个单位得到线段，点的对应点为，点B在x轴上，线段所在的直线与y轴交于点P，连接，，则线段平移了 个单位，的面积为 ． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，，． （1）如图（1），若点在第四象限，，，直接写出点的坐标； （2）轴正半轴上有一点，沿翻折得到，沿翻折得，，交点为． ①如图（2），若，直接写出的度数； ②如图（3），若，，与轴相交于点，求点的坐标（用含的式子表示）． 【题型14】平移与轴对称综合 【例题14】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形． （2）连接，在第二象限找一点，连接，使得是以为底边的等腰直角三角形； （3）连接，直接写出线段的长度_____． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁盘锦·月考）如图，在平面直角坐标系中，、，为轴正半轴上一点，且．点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，在运动过程中若点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，当是等腰三角形时，求点的坐标 ． 【变式2】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，将放置在平面直角坐标系中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． （25-26八年级上·山西阳泉·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）先将向上平移4个单位长度得到，再将关于轴对称得到，分别画出，，并直接写出点，，的坐标． （2）四边形的面积为______． （3）已知边上一点的坐标是，按照（1）中的变换方式得到对应点，则点的坐标为______．（用含，的式子表示） 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，直线与x轴平行，则a为（   ） A．1 B．－1 C．0 D．2 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，点，，过点A作直线轴，点C是直线上的一个动点，当线段长度最小时，点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2014次相遇地点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，和关于轴对称．若内点的坐标是，则点在中的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在第 象限． 8．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）已知点与点关于点对称，则 ． 9．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）象棋是中国传统棋类，其中“馬”走“日”，如图，“帥”位于点，“馬”位于点，若“馬”要“将军”（一方的棋子要在下一招棋把对方的“将”或“帥”吃掉），可以走到，则其平移过程是 ． 10．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）在同一直角坐标系中，一个学生误将点的横、纵坐标的次序颠倒，写为，另一个学生误将点的坐标看成关于轴对称的点的坐标，写为，则，两点原来的位置关系是关于 轴对称．（填“”或“”） 11．（25-26八年级上·山东青岛·期中）某战斗机空中展示的队形是轴对称图形，以飞机D，E所在的直线为x轴，以队形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．若飞机B的坐标为，则飞机C的坐标为 ． 12．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为…，第n次碰到矩形的边时的点为，则点的坐标是 ． 三、解答题 13．（25-26八年级上·天津红桥·期中）如图，点坐标为． （1）在平面直角坐标系中作出关于轴对称的； （2）直接写出点的坐标，______，______，______； 14．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为A、B、C． （1）直接写出A点的坐标为_____； （2）在图中作出关于y轴的对称图形； （3）在x轴上找一点P，使最小，直接写出P的坐标为_______（画出点P，保留作图痕迹）． 15．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，轴，． （1）求点的坐标； （2）在轴上是否存在点，使的面积为12？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．（24-25七年级下·河北廊坊·期末）在平面直角坐标系中，以任意两点为端点的线段的中点坐标为．例如：点，则线段的中点坐标为． 请利用以上结论解决问题： （1）若点，，则以点和点为端点的线段的中点坐标为_____． （2）已知点，若为线段的中点，求点的坐标． （3）已知点和点的坐标分别为，线段与轴平行，且．若线段的中点与线段的中点在第一象限重合，直接写出点的坐标． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东滨州·期中）已知点与关于轴对称，则的值为（    ） A．1 B． C．2026 D． 2．（2023八年级上·浙江台州·竞赛）在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移后，其中一个点的坐标变为，则另一个的坐标变为（ ） A． B．或 C．或 D． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如图，数轴上表示1、的对应点分别为、，如果点与点关于点的对称，那么点C所表示的数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·重庆潼南·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．2 D．1 5．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，是边长为2的等边三角形，则点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·北京·期中）正方形、、，按如图的方式放置，和点，分别在直线和x轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·甘肃白银·月考）已知与点关于x轴对称，则 ． 8．（23-24七年级下·河南漯河·月考）已知点的坐标为，轴且，则点的坐标为 ． 9．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，点，点，线段平移后得到线段，若点，点，则的值是 ． 10．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C、D在x轴负半轴，将正方形平移得到正方形（点A、B、C、D的对应点分别是点、、、），若，，，则点的坐标为 ． 11．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，直线轴，垂足为点，点P为直线上一动点，当时，则点P坐标 ． 12．（24-25七年级下·四川德阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点O出发，沿…的路线移动，每次移动1个单位长度，依次得到点，，…，则点的坐标是 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·湖北随州·期末）已知三角形是由三角形经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如表所示： 三角形 三角形 （1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：先向___________平移___________个单位长度，再向___________平移___________个单位长度可以得到； （2）观察表中各对应点坐标的变化，并填空： ___________，___________，； （3）在平面直角坐标系中画出三角形和三角形． 14．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，已知的三个顶点的坐标分别是，，，现将先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到（点A对应点D，点B对应点O，点C对应点E）． （1）在图中画出； （2）若为内一点，则点P在内的对应点Q的坐标是______； （3）过点D作直线轴，在直线l上存在点M，使得，求出点M的坐标． 15．（18-19七年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，，把沿射线向右下平移得到，交线段于点M． （1）如果点D的坐标为，则C、E两点的坐标分别为______； （2）连接，在（1）的条件下，的面积等于3，求的面积； （3）在沿射线向右下平移的过程中，的面积能否比的面积大4？若能，请求出此时点M的坐标，若不能，请说明理由． 16．（24-25七年级下·湖南·期末）如图①，在平面直角坐标系中，点，，且实数，满足． （1）直接写出，两点的坐标； （2）将线段向左平移个单位，再向下平移个单位，得到线段，使点落在轴上，点落在轴上，设点的坐标为，连接，，求的面积． （3）如图②，连接，，为线段上一点，为轴上一动点，若，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $