第4章 图形的轴对称（复习课件）数学青岛版2024八年级上册

单元复习课件 第4章 图形的轴对称 青岛版2024·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1．对整章的学习内容做一回顾，系统地把握全章的知识要点和基本技能。 2．通过例题和练习，能较好地运用本章知识和技能解决有关问题。 3.灵活运用上述性质解决应用问题、轴对称图案的设计。 3.判断图形是否是轴对称图形，线段的垂直平分线、角平分线的性质、等腰（等边）三角形的性质和判定及其应用 单元学习目标 单元知识图谱 考点一、图形的轴对称 1．概念：一个平面图形沿某条直线折叠后，得到另一个与 它 的图形，图形的这种变化叫作轴对称，这条直线叫作 。 全等 对称轴 2．一个图形以某条直线为对称轴，经过轴对称后，能够与另一个图形 ，那么称这两个图形关于这条直线成轴对称，重合的点叫作 。如果两个点关于一条直线成轴对称，那么其中一个点叫作另一个点关于这条直线的 。 注：成轴对称的两个图形是全等形，但全等形不一定成轴对称。 重合 对应点 对称点 考点串讲 考点一、图形的轴对称 3．轴对称的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴 。 垂直平分 归纳总结 类别 内容 轴对称的性质 1.两个图形全等 2.对应点连线被对称轴垂直平分 3.对应线段相等，对应角相等 轴对称的判定 1.两个图形全等 2.对应点连线被同一条直线垂直平分 3.沿某条直线折叠后能完全重合 4．轴对称图形：一个图形的一部分，以某一条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分 。这样的图形叫作轴对称图形。 重合 考点串讲 考点二、线段的垂直平分线 1．概念：垂直并且平分一条线段的 ，叫作这条线段的垂直平分线。 直线 2．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 。 相等 归纳总结：将军饮马问题（找动点P的位置，使AP+BP的值最小） A B B P 3．线段垂直平分线的判定定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 考点串讲 考点三、角的平分线 1．角是轴对称图形，角的 所在的直线是它的对称轴。 平分线 2．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 3．角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 考点串讲 考点四、等腰（等边）三角形 1．等腰三角形是轴对称图形。 2．顶角是直角的等腰三角形叫作 。 3．等边三角形是特殊的等腰三角形。 等腰直角三角形 4．等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角） 5．等腰三角形的性质定理2：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合。（三线合一） 考点串讲 考点四、等腰（等边）三角形 6．等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边） 7．等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 8．等边三角形的判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 常用性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 考点串讲 考点四、等腰（等边）三角形 6．等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边） 7．等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 8．等边三角形的判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 常用性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 考点串讲 名称 常见的轴对称图形 对称轴条数 对称轴 角 角平分线所在的直线 线段 线段的垂直平分线和线段所在的直线 等腰三角形 等腰三角形底边上的高所在的直线 等边三角形 等边三角形各边上的高所在的直线 圆 过圆心的任意一条直线 正方形 两条对角线所在的直线以及两组对边中点所在的直线 长方形 两组对边中点所在的直线 题型一、轴对称图形 例1 常见的轴对称图形（常在选择、填空中出现） 1 注意：平行四边形不是轴对称图形。 2 1 3 无数条 4 2 题型剖析 题型一、轴对称图形 练一练 下列图案是轴对称图形的有( ) B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型剖析 题型二、线段的垂直平分线 例2 如图，△ABC中，AB＝AC＝15，AB的垂直平分线DE交AC于D，连结BD，若△DBC的周长为23，则BC的长为 （　　） A．6 B．7 C．8 D．9 解题思路：应用垂直平分线的性质，相等线段之间互相转化。 B 解：因为DE是AB的垂直平分线， 所以AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 则BD+CD=AD+CD=AC=15 又因为BD+CD+BC=23,所以BC=8 题型剖析 题型二、线段的垂直平分线 练一练 如图，直线1，2分别是AB，AC的垂直平分线，直线1，2相交于点O，1交BC于点M，2交BC于点N，分别连接AM、AN、OA、OB、OC．若OA＝6cm，△OBC的周长为22cm，求△AMN的周长． 解：因为1是AB的垂直平分线，所以OA=OB=6cm， 2是AC的垂直平分线，所以OA=OC=6cm， 因为△OBC的周长为22cm，即OB+OC+BC=22cm， 所以BC=10cm. 又因为1是AB的垂直平分线，所以AM=BM， 2是AC的垂直平分线，所以AN=CN， 因此△AMN的周长为：AM+MN+AN=BM+MN+CN=BC=10cm 题型剖析 题型二、线段的垂直平分线 解题总结： 1.核心性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。即若直线是AB的垂直平分线，点P在上，则PA=PB。 2.解题思路 （1）遇到垂直平分线，优先把“线段相等”进行代换。 （2）涉及周长计算时，通过代换，把不规则的线段转化为已知线段。 （3）三角形中，若有交点O在两条垂直平分线上，则OA=OB=OC，可用这个等量关系求边长。 题型剖析 M N 题型三、角的平分线 例3 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. （1）求证：点P到AB，BC，CA三边的距离相等； （2）点P在∠A的平分线上吗？ 由此你能得到什么结论？ (1)证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E， PF⊥AC于F . D E F 因为BM是∠ABC的角平分线，且PD⊥AB，PE⊥BC， 所以PD=PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理，得PE=PF， 所以PD=PE=PF，即点P到AB，BC，CA三边的距离相等 方法总结：应用角平分线的性质，添加“距离”辅助线 题型剖析 M N 题型三、角的平分线 例3 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. （1）求证：点P到AB，BC，CA三边的距离相等； （2）点P在∠A的平分线上吗？ 由此你能得到什么结论？ (2)解：点P在∠A的平分线上。 D E F 理由：因为PD=PF，且PD⊥AB，PF⊥AC， 所以点P在∠A的平分线上（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上） 结论：三角形的三条角平分线相交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。 题型剖析 题型三、角的平分线 练一练 如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE＝3，则两平行线AD与BC间的距离为_________. 解：过点 P 作 PF⊥AD 于 F ， PG ⊥ BC 于 G ， 6 F G 因为 AP 是∠ BAD的平分线， PE⊥AB ， PF ⊥AD ， 根据角平分线的性质，得 PF = PE = 3 ， 因为 BP 是∠ABC的平分线， PE ⊥AB ， PG⊥BC ， 根据角平分线的性质，得 PG = PE = 3， 又因为 AD∥BC ，所以 AD 与 BC 之间的距离为 PF + PG = 3 + 3 = 6 。 题型剖析 题型三、角的平分线 解题总结： 1.核心知识：角平分线上的点到角两边的距离相等（“点→距离”）；到角两边距离相等的点在角的平分线上（“距离→点”） 2.解题思路：解题时优先作垂直距离（作垂线），把角平分线和线段相等关联起来。 3.应用题型：求距离；证明线段相等；三角形角平分线交点等 4.与其他知识点结合： - 角平分线+平行线→等腰三角形； - 角平分线+垂直平分线→线段等量代换； ​- 角平分线+三角形面积→面积比=对应边之比。 题型剖析 题型四、等腰（等边）三角形 例4 有一个等腰三角形的两条边长分别是5cm和8cm，则周长为 。 解题技巧：等腰三角形两腰长相等，两底角相等。对于给定条件，需要分情况讨论，可能有多种符合的结果。 18cm或21cm 解：当腰为5cm，底边为8cm时，周长为5+5+8=18cm。 当腰为8cm，底边为5cm时，周长为8+8+5=21cm 练一练 若等腰三角形的一个角为40°，则另外 两个角的度数为 。 70°,70°或40°,100° 解：当顶角为40°时，两底角为70°。 当底角为40°时，顶角为100°。 题型剖析 题型四、等腰（等边）三角形 例5 已知，如图: AB=AC，AD=BD=BC，则∠A= 。 36° A B C D 解：已知AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C， 同理，因为 AD=DC=BC，所以∠A=∠ABD,∠BDC=∠C, 因为∠BDC=∠A+∠ABD 所以∠ABC=∠C=∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A, 在△ABC中，∠A+∠ABC+ ∠C=180° 即∠A+2∠A+2∠A=180° 所以∠A=36°。 题型剖析 题型四、等腰（等边）三角形 等腰三角形角度计算的常见模型和核心技巧 1.基础等腰模型：若AB=AC，则∠B=∠C= . 2.嵌套等腰模型：出现多组相等线段（如AD=BD=BC或AD=DC=BC）时，可设最小角为x，利用三角形外角等于不相邻两内角和推导各角关系； 3.外角+等腰结合：优先利用外角公式转化为内角关系，再结合等腰对等角建立关系. 题型剖析 题型四、等腰（等边）三角形 练一练 如图，P、Q是△ABC边上的两点，BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数. 解：因为PQ=AP=AQ， 所以△APQ是等边三角形，因此：∠APQ = ∠AQP = ∠PAQ = 60°。 又因为BP = AP ，所以△ABP 是等腰三角形，∠B =∠BAP ， 由三角形外角性质，∠APQ =∠B +∠BAP = 2∠BAP ，则∠BAP = 30° 同理， QC = AQ ，∠C =∠CAQ ， 根据外角性质，∠AQP =∠C +∠CAQ = 2∠CAQ ，则∠CAQ = 30° 因此∠BAC =∠BAP +∠PAQ +∠CAQ = 30°+ 60°+ 30°= 120° A B C P Q 题型剖析 题型四、等腰（等边）三角形 例6 如图所示，三角形ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD，DM⊥BE,垂足为M.求证：BM=EM. 解：已知△ABC 是等边三角形，所以∠ABC =∠ACB = 60°， AB = BC = AC 。 因为 D 是 AC 中点，所以 BD 是等边三角形的中线，也是角平分线和高， 故∠DBC = 30°。 又 CE = CD ，所以△CDE 是等腰三角形，∠E = ∠CDE 。 由∠ACB = ∠E +∠CDE = 60°，得∠E = 30°。 因此∠DBC =∠E = 30°，所以△DBE 是等腰三角形，DB = DE 。 又 DM ⊥ BE ，根据等腰三角形“三线合一”， M 是 BE 中点， 即 BM = EM 。 题型剖析 题型四、等腰（等边）三角形 等腰三角形+等边三角形结合的题型总结 1.标注已知条件 （1）等边三角形性质：三边相等、三角均为60°、三线合一。 （2）等腰三角形性质：等边对等角、三线合一。 2.找角度关系 利用等边三角形的60°角，结合等腰三角形底角相等，三角形外角等于不相邻两内角和等进行推导。 3.证等腰或全等。 题型剖析 题型四、等腰（等边）三角形 练一练 如图，在△ABC中，BC=5，BP、CP分别是∠ABC与∠ACB的平分线，且PD//AB，PE//AC，则△PDE的周长为________. 5 解：已知 BP 平分∠ABC ，所以∠ABP = ∠PBD ， 又 PD∥AB ，根据平行线内错角相等，∠ABP =∠BPD ， 因此∠PBD = ∠BPD ，所以△PBD 是等腰三角形， PD = BD ， 同理， CP 平分∠ACB ，所以∠ACP =∠PCE ， 又 PE ∥AC ，根据平行线内错角相等，∠ACP =∠CPE ， 因此∠PCE =∠CPE ，所以△PCE 是等腰三角形， PE = CE ， 那么△PDE 的周长为：PD + DE + PE = BD + DE + CE = BC = 5. 题型剖析 题型五、距离之和最短问题 例7 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK+CK的最小值是以下哪条线段的长度（　　）A．EF B．AB C．AC D．BC 解：如图，连接AK， 因为EF是AB的垂直平分线，所以点B关于直线EF的对称点是点A， 那么BK = AK，所以BK + CK = AK + CK. 根据两点之间线段最短，AK + CK的最小值就是AC的长度. 所以BK + CK的最小值是AC的长度. C 题型剖析 题型五、距离之和最短问题 1. 找对称点：遇到“求折线和最小”的问题，先找其中一个点关于动点所在直线的对称点；​ 2. 转化线段：利用对称性质，把折线中的一段转化为对称点到动点的线段，这样折线和就变成了“两点之间的线段”；​ 3. 用“两点之间线段最短”：连接对称点和另一个定点，这条线段的长度就是最小值； 4. 常见模型 ​- 直线同侧两点 - 角内定点 - 垂线段最短 简单说，就是“对称转化，化折为直”. “将军饮马”问题的解题技巧 题型剖析 练一练 如图，∠AOB＝60°，点P为∠AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上，当△PMN周长最小时，∠MPN的度数是（　　） A．120° B．60° C.30° D．90° 题型五、距离之和最短问题 解：1. 找对称点： 分别作点P关于OA的对称点 P1，关于OB的对称点 P2 。 则 PM = P1M ， PN = P2N ，所以△PMN的周长 PM + PN + MN = P1M + P2N + MN 。 2. 求最小值的位置： 根据两点之间线段最短，当 P1 、M、N、 P2 共线时，周长最小。 3. 计算角度： 由对称性质，∠P1OA =∠POA ，∠P2OB =∠POB ，所以∠P1OP2 = 2∠AOB = 120° 。 在△ P1OP2 中， OP1 = OP = OP2 ，所以 ∠P1 = ∠P2 = 30° 。 又因为 ∠MPP1 = ∠P1 ， ∠NPP2 = ∠P2 ，所以 ∠MPN = 180°- 30°- 30°= 120° A 题型剖析 1. 下列图形中,不是轴对称图形的是（ ） B 2. 把一张长方形纸条折叠一次，EF是折痕，如果∠1＝31°，那么∠2＝ 。 118° 解：由AD∥BC，∠1的内错角∠EFG为31°，折叠后对应的角也是31°，所以∠2 = 180° - 31°×2 = 118°。 针对训练 3. 若等腰三角形的周长为10，一边长为2，则此等腰三角形的腰长为（ ） A.2或4 B.4 C.3 D.2 利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；等腰三角形的性质等知识。 B 4. 如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为点E，交AB于点D，若CE=5，△ABC的周长为25，则△ADC的周长为 。 15 考查垂直平分线的性质。 针对训练 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，则∠B=_________. 30° 考查垂直平分线+角平分线的性质。 针对训练 6.（1）如图1，AE//BC，AE平分∠DAC，则△ABC是_________三角形. （2）如图2，BC平分∠ABD，AC//BD，AC=3，则AB=_________. （3）如图3，在△ABC中，BE是角平分线，DE//BC交AB于点D.若DE=7，AD=5，则AB=_______. （4）如图4，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE//BC，若AB=12，AC=18，BC=24，则△ADE的周长为_________. 图1 图2 图3 图4 考查角平分线、等腰三角形的性质与判定 等腰 3 12 30 针对训练 7.如图，在△ABC中，AC=6,BC=8,AB的垂直平分线DE交AB边于点D，交BC边于点E，在线段DE上有一动点P，连接AP、PC，则△APC的周长最小值为 。 考查将军饮马之同侧两点问题 14 解析：1. 利用垂直平分线的性质： DE是AB的垂直平分线，所以点A关于DE的对称点是点B，即AP = BP。 2. 转化周长： △APC的周长 = AP + PC + AC = BP + PC + AC。 根据两点之间线段最短，当B、P、C共线时，BP + PC最小，最小值为BC的长度。 ​ 3. 计算最小值： AC = 6，BC = 8，所以△APC的周长最小值为6 + 8 = 14。 针对训练 8.如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数是 。 考查将军饮马之角内定点问题 80° 解析：1. 作对称点求周长最小： 分别作点A关于BC的对称点A'，关于DC的对称点A''，连接A'A''，与BC、DC的交点即为E、F，此时△AEF的周长最小。 ​ 2. 计算角度： 已知∠B = ∠D = 90°，∠C = 50°，所以∠DAB = 360° - 90° - 90° - 50° = 130°。 由对称性质，∠A' = ∠EAB，∠A'' = ∠FAD，且∠A' + ∠A'' = 180° - ∠C = 130°（或由四边形内角和推导），所以∠EAB + ∠FAD = 50°。 因此∠EAF = ∠DAB - (∠EAB + ∠FAD) = 130° - 50° = 80°。 针对训练 9.如图，在△ABC中，AB=AC=13,BC=10,AD是BC边上的中线，AD⊥BC，且AD=12，F是AD上的动点，E是AC上的动点，则CF+EF的最小值是 。 考查将军饮马之垂线段最短问题 解析：1. 利用等腰三角形的对称性：△ABC是等腰三角形，AD是BC的中线也是对称轴，所以点B和点C关于AD对称，即CF = BF。 ​ 2. 转化线段和：CF + EF = BF + EF，根据“垂线段最短”，当BE⊥AC时，BF + EF最小，最小值为BE的长度。 3. 计算BE的长度： △ABC的面积 === 60， 又△ABC的面积 =，即60 = ， 解得BE =。 针对训练 10.如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，垂足为点D.点E在BC的延长线上，BD=ED.求证：CE=BC. 考查等边三角形+等腰三角形性质 证明：已知△ABC是等边三角形，BD⊥AC， ∴ ∠ACB = 60°，BD平分AC且平分∠ABC， ∴ ∠DBC = 30°，CD =AC =BC（等边三角形三边相等）。 又∵ BD = ED， ∴ △BDE是等腰三角形，∠E = ∠DBC = 30°。 在△DCE中，∠ACB是外角，∴ ∠ACB = ∠E + ∠CDE，即60° = 30° + ∠CDE， ∴ ∠CDE = 30°。 因此∠E = ∠CDE，∴ CE = CD。 又∵ CD =BC（直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半）， ∴ CE =BC。 A B C E D 针对训练 本节课你学到了什么知识和方法？ 经历了哪些思考？ 建立了什么样的数学模型？ 还有什么疑惑？ 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $