亲爱的同学们，大家好。今天咱们来讲解高中数学基础知识梳理专栏的第二十8节，数列求和及综合应用。这一节实际上基础知识咱们不需要掌握太多，只需掌握数列求和的几种常见的方法，以及综合应用问题，咱们需要注意的一些事项就OK了。下面咱们来看一下数列求和的常见方法有哪些，我会再补充，不仅仅仅限于我们这个课件上反映的这几种方法。首先我们来看一下第一种方法叫公式法。所谓公式法就是如果说我们在遇到有一些等差等比的数列的题的时候，只可以直接用等比数列的求和公式求解的，我们都统称为公式法。所以说这也是最直接的一种方法，我们简称为公式法，这是第一类方法。我们再看第二类方法是倒序相加。刚前面课我们已经讲过了，如果一个数列AN满足与首末两项等距离的两项的和相等或者等于同一常数，或者相加有规律。大家注意，只要相加有规律也可以采用此法，都可以用倒序相加的方法。有同学肯定会觉得相加不是常数，怎么叫有规律呢？我跟大家说二项式定理里面有一些题目，他只要拆解相加之后，只要有规律，我们都可以用倒序相加法。你像我们以前有一些题目都跟就是这样的。好，这是第二个倒序相加。那么还有裂项相消，只要将数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，我们都可以采用此法，我们故而称之为一项生效。等一下我们现在看那个对联检测里面会有一些小提醒，与它有关的。好，我们来看第四种叫分组求和。所谓分组求和法就是一个数列的通项，最常见的就是由多个等差或者是等比相加减而成的这样的通项公式。我们就可以用是分组求和的方法，就分别求和之后再相加，并项求和就是一个数列中，如果项与项之间能够两两结合，我们合并之后又有规律。你像尤其是带负一的N次方的系数，我们都可以用并项求和。尤其是有些分级5讨论的题目，往往也用变相求和。当然也有一些其他题型。比方说我举个例子，比如说一个数列这个是一这个一二，然后1234等一直下去。比如说求第202，就是前2021项的和项的和，那这个数列很有意思，这个数列就是说你看人家是1121231234。所以说我们把第一项保留，第二项、第三项结合起来，第三项、第四项、第五项结合起来，然后我们再求和。然后你看第2021项可以写多少个这样的，然后再求和，这叫并项求和。好，这是第五个方法，也是很重要的，错位相减。前面我们已经讲过了，就上节课我们推导等比数列的前项和公式就能成为线条。如果一个数列的各项，它是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成。当然了，如果一个等差除以等比，也可以看成一个等差乘以一个等比，只不过公比变成原来的Q分之一，对吧？原来是Q后来变成Q分之一也可以。那么这个数列的前项和我们可以用错位相减法来表示。这个前面推导我们已经讲过了，等下会后面会有一些细节我们可以讲了。好，那么数列应用题的层叠模型，首先第一个等差模型就是等增加或者是等减小的量。它是一个固定量时，该模型就是一个等差模型，增加量或者是减少率就是公差。那么第二个模型就是等比模型，第一个是等差模型，第二个就是等比模型。当后一个量与前一个量量的比是一个固定的数时，那么该模型就是等比模型。你像我们以前讲的什么模型呢？就是分期付款模型，复利计算问题等等，这个都是等比模型。像有一些工资的增长等等，这个都谈模型。递推模型是什么呢？可以找到数列中任何一项与他们前面项之间对关系式，可以由地推推导关系入手解决实际问题，该模型就是地推模型。大家注意，地推模型和概率可以结合起来出考题可以出的很难。大家可以关注我的这个之后，我这有一些题目里面，就是我们会在定期里面会出一些这个相关的地推数列的一些题型，和概率统计结合起来出考题的也是有的。大家一定要注意，这有两个重要结论。一个是一方加二方加三方一直加N方是等于6分之1N乘N加1N加一好，我把这两个式子我们推导一下，可能有同学不会推导的。我们来看一下第一个重要结论的推导。第一个重要的结论推导，我们可以利用累加法来推导。好，我们来看一下第一个式子的推导过程。这个推导我们来看一下，因为N的3次方减去N减一的3次方，大家看我这个写的，这个写了N的3次方减N减一的3次方，它是等于谁呢？可以用立方差公式。因为我们学过A的3次方减B的3次方，它是等于A减B乘以A方加上一个AB再加上一个B方。所以说N的3次方减去N减一的3次方，我们可以写成N减去N减1。那么乘以谁呢？乘以N的平方加上一个N乘上N减一再加上一个N减一的平方，N减一就是一。然后我们把后面整理一下，三倍的N方，因为这有个N方，三方这边有一个减N这边有一个减去2N那么就减去3，然后我们再加上一个一好，我们就有这样一个式子。我们来推导一下，现在我们用累加法，当N取2的时候，我们会有二的3次方减去一的3次方，那么就等于3乘以2的平方减去3乘以二再加1。同理N取3的时候会有三的3次方减去2的3次方，等于3乘以3的平方减去3乘以3再加一好，我就不再罗列写了，以此类推，N取N减一的时候我们再写一个，就是N用N减一替换掉的时候，不能说N取N减1，就是N就N减1次方里面的N会有一个N减一的3次方减去N减2的3次方，那么就等于3乘上一个N减一的平方减去三倍的N减一再加上一个一好。最后一项就是N取N的时候，这个就取的是N的3次方减去N减一的3次方，那么就等于三倍的N方减去一个3N再加上一个一好累加。雷加德累加的左边累加就是N的3次方减去一的3次方，就中间选项全部抵消了，然后这边可以写成三倍的一，就是三倍的二方加三方加四方。把这个三提出来，里面刚好写成二方加三方，一直加到N方，然后减去三倍的一，一直加到然后再加上一个VR是N减一个式子，再加上N减一的一相加就加上一个N减一好，我们继续整理，左边就是N的3次方减一等于大家看啊这边少一个一的平方，那我们干脆我们就加上一个谁啊，3乘以一的平方，那就加上一个3乘以一的平方，然后我们再减去一个三就可以了，所以说这边前面可以写成三倍的一方加二方，一直加到N方，这不就是我们所求，对吧？然后减去3，第二项就是乘以2分之1加到N那就是二分之N倍的N加1，然后再加上一个N减去一个3，再减去一个一就是N减4。好，继续整理。我要求的是这个式子，然后把这边都移过去。所以说一方加二方加三方一直加到N方，那么就等于N的3次方减一把，这个移过来就是减N再加4，再加上一个2分之1，这个三倍的N乘N的平方再加上一个三，然后把它通过分，大家注意这个整体之后再除以三把，这个化解就是我们上面这个式的一个结果。好，这是第一个的推导过程。那么有同学说第二个怎么推导呢？同理一样的怎么推导呢？你们直接应用N的4次方减去这个N减一的4次方，再用的解法可以推导出来，这个你们可以下去尝试，我们我就不再讲了。下面我们来看一下对点自测的第一题。在数列AN中，AN加一减AN等于2，那就说明这是一个等差数列，公差为二，SN为SAN的前项和S10。如果等于50，则数列AN加AN加一的前十项和，所以这是一个新数列，好像这样的话公差为二。所以说我这个AN可以加上，AN加一就这个通项，我们可以变成AN再加。因为这个AN加一是谁啊？AN加一就是2加AN所以我们可以选择AN加2，这个结果就等于两倍的AN再加上一个就是这个数列前十项和。那么前十项和那不就等于两倍的第一项就是两倍的A1加2这第一项加2倍的A2加2，这第二项一直加到2倍的A10假日。对，我就我要把这个括号往前写一步，所以我要把这个橡皮擦这一步写到前面来，把这个括号括到前面来。所以这个也是一样的，它代表的是一项为了让大家看得清楚，就是两倍的AN加2，对吧？所以说我这个写成两倍的A2加2，这是第二项。那么第十项就是两倍的A10加2。你们看这是前十项和就是我们所求分组求和。凡是两倍的A1A2，两倍的A10，全部整合到一起，写成两倍的A一加2倍的A2加到2倍的A10，用分组求和，那么后面十个二相加写到一起，前面刚好就是两倍的A一加A2，把二提出来一直加到A10，后面就是十个二相加就是20，所以说就等于两倍的A1加到A10，刚好就是S10，再加20。好，然后把S10值代进来，就是2乘以50加24，这个计算结果就是120。说此题的答案选C这是第一小题。下面我们来看一下第二小题，数列AN中，AN等于N乘N加1分之1，若AN的前项和SN等于2019分之2018。大家注意只要带分式的形式，我们都可以尝试着用利润生肖只要注意，只要裂项相消的适用条件。这里面我们讲一下裂项相消的适用条件。只要你这个N可以写成一个新数列的相邻两项乘积分之C乘上一个FN的形式。而这个FN只要我们可以拆成BN加一减去BN的形式，我们都可以采用此法。因为你把这个BN加一减BN带到上面里面之后，它可以写成C倍的BN分之一减去BN加1分之1。你看这个就相当于数列的第新数列的第N项，就是新数列第N加一项。你看这是新数列两项相差相相减的形式，我们就可以用列成相交C是一个常数。所以说这个很明显可以列成N乘以N加一分之，上面可以写成N加一减N那N加一减N就是一，如果不足之后我们再配凑，所以说裂裂开之后，这个可以写成N分之一减去N加1分之1。所以这个数列的前项和SNN取一的话，就是1分之1减去2分之1，这是第一项。那么第二项，就是N取2的时候，就是2分之1减去3分之1，以此类推。我们写的最后一项，就是N分之一减去N加1分之1，中间项全部抵消，结果就得保留首项和末项，就是一加一减N加1分之1，一减N加1分之1，这个刚好是等于N加一分之N这个刚好让它等于2019分之2018，所以说很轻松可以解除N是等于2018，所以此题的答案就是2018。好，这是第二题。下面我们看第三题，这个遇到了错位相减法，我们来看一下这个错位相减法的推导，这刚好是一个等差乘上一个等比。我们来看一下这个通项，这个通项就是看最后一项就可以了，看这一项就可以了，刚好是等于一个等差N加2乘上一个等比数列，就是2分之1的N次方，一个等差乘上一个等比等比数列，公比是2分之1等公差是一好，我们写一般来说写五项。当然有同学还用秒杀技巧，就是直接将错位相减法的结论记下来了，直接套公式也可以。你像今年的高考试题里面那个折纸的题，对吧？最值的题最后就是一个等差乘上一个等比特别相点的题，相信大家有部分同学已经做过了。好，我们写五项，S等于3乘以2分之1加4乘以2的平方分之一，加5乘以2的3次方分之一。加它的前一项肯定是N加1乘以2的N减1次方分之一，再加最后一项N加2乘以2的N次方分之一，这是一式。那么两边同时乘以公比2分之1，所以2分之1SN那么就等于3乘以2分之1乘到后面就是二的平方分之1加4乘以2的3次方分之一，加5乘以2的4次方分之一加省略号N加1乘以2的N次方分之一。那么最后一项乘以2分之1就变成N加2乘以2的N加1次方乘积，这是二次。然后我们测一下脸，大家看我这个箭头，箭头指的是就是错位减的。比如说我们用四倍的二的N平方之一减，它前项保留，左边相减就是2分之1SN第一项2分之3保留，然后加上大家注意，各项队伍D这个D是144倍的2的平方分之一减去三倍的，它不就是一倍的二的平方分之一吗？加上五倍的二的三次分之一，减去四倍的二的3次方之一，就是一倍的二的3次方分之一。同理下面肯定是二的4分之1，我就不再写了，一直加到大家看这个最后项N加二倍的2的N次方之一减去它了，一定是二的N次方分之，后面再减去最后一项，注意这个减一定要不要忘记写了，减去N加二倍的2的N加次方分之。这个第一步非常重要的工作我们已经完成了。完成之后直接整理2分之3加这个直接通直接用等比数列前项和公式等于首项是二的平方分之1乘以1减公比，所以这里一定要写成一减公比的N减1次方。因为它是N减一项，参与了减去N加2乘以2的N加1次方分之一。好，那我们后面基本上快写完了，写成2分之3。大家注意，加上一个，我们口算一减2分之2分之一可以相当于剩个2分之1，就是2分之1乘起来就是2分之1减去2分之1再乘以2分之1N减1次方，那么就是二的N次方分之一，再减去后面就是二的N加1次方，分之N加2，继续通分，2分之3加2分之1就是2，就是2分之4，就是2。这两项通分提高负号出来，直接通分2的N加，2的N加1次方。注意，这一项就是2的N加1次方分之22再加上N加2就是N加4，N加4，所以最后两边再同时乘以2，所以说这个SN同时乘以2，第一项就变成4，第二项就变成2的N次方分之N加4。最后大家注意像这种题型，一般来说最后都可以写成一个常数加上某一个数的N次方的形式。某个数的N次方形式就是BN加C乘上一个Q的N次方的形式。那最后一定是这种类型的。如果不是针对性，说明化简是不到位的。当然也要套结论做也可以，这个都无所谓。做完之后一定要检验一下，看你做的对不对。因为错位相减法是最容易出错的一类题型，这是第三小题。下面我们来看一下第四小题，如果A一等于一且满足对于任意的正整数AN加一等于AN加A一等于N那么则A1分之1加A2分之1一直到A2017分之1等于什么？好，下面我们来看一下这个式子对于这样一个式子，大家注意对于这样一个事，我们可以看一下这个AN加一看有第一个这个式子，AN加一减去一个AN减去一个AN，这个是等于。好，我们来看一下，这里我把这个擦掉，这里有一个打印的小错误，把它稍微改一下。这个是AN加A一再加上一个N，不是等于N的，也是加。好，我们下面来看一下，这就说明AN加一减AN是等于一张就等于1N了。你看后一项减前一项是这种形式，我们可以用累加法来求N就要可以用累加法。好，下面我们来用累加法来做，求通项公式。N取1A2减A一等于2，N取2A2A不是A3减A2，N取2就等于3，依此类推，写到AN注意啊不要写AN加一了，直接写AN减AN减1，那么就等于N好，我们看啊这个花框里面的累加，左边累加就是AN减去A1，这是N减一个四，右边累加之后就是2加3一直加到N所以AN就是谁呢？AN就是把A一再移过来，就是A1加到2，一直加到NA就是一，那不就是一直加到N，所以说就等于二分之N乘加1。所以你看这是A1分之1加A2分之1加加到A2017分之一。那我们来先看一下AN分之一，所以AN分之一就等于N乘N加1分之2。这个列项跟刚才前面列项一样，可以写成两倍的N分之一减去N加1分之1，所以这个A1分之1一直加到A这个2017分之1，那么N取一带进来就是两倍的一减2分之1。去二代进来就是A的2分之1，可以写成两倍的2分之1减3分之1，一直加到最后一项2017代进来，就是2017分之1减去2018分之1。最后我们整理完了，把二提出来，这个裂项相消之后，结果只保留两项，就是一减2018分之1。通过分就是2乘以2018分之2018减1就是2017的。最后这个答案就是1 009分之2017，这是第四题，难度不是特别大，用了一个累加法。好，今天的课咱们就上到这里，这节课也是咱们数列这个板块的最后一节课。好，感谢大家的收看，有什么问题都可以私信我，谢谢你的关注，再见。