亲爱的同学们，大家好。今天咱们来讲解高中数学基础知识梳理专栏的最后一节课，也是第六十四节课，证明不等式的基本方法。这节课之后咱们就彻彻底底的完结了这个本专栏的更新，希望大家还没有购买的同学可以抓紧购买。最后一节也是一个免费的视频，希望大家从最后一节时刻咱们可以学一些有用的东西。首先咱们来看一下这个知识书里面的第一个知识点叫比较法。所谓比较法就是有两个比较常见的，一个是做差比较，一个是做商比较。原理就是如果A减B大于0，可以推出A大于B做商比较就是对于同号的情况，如果AB都是正值，A除以B大于一的时候，我们可以推出A是大于B的，这个是它们的原理，这也是证明不等式里面最基本的一个方法，叫做比较法。当然它还有一些其他方法，等一下我们再总结，我们再看一下，证明不等式里面还有综合法与分析法。前面课上一节课咱们其实已经讲过综合法和分析法，往往这个综合法和分析法结合起来进行，我们又简称为综合分析法，这里面写一下叫综合分析法。所谓综合法就是从已知条件出发，利用这个定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理论证，得出命题成立就可以了。那么什么是分析法呢？就是从要证的结论出发，所以他。是从道德走的。是从要证的结论出发，是力推逐步寻求使它成立的。所以这里面不能填充要条件，是推出使它成立的充分条件。直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实。你像这个事实是什么呢？比如说定义公理或者已证明的定理性质等，从而得出要证明的命题。那么简单来说，这个综合法就是由因到果。上节课咱们已经说过了，这个叫由因到果分析法，就是治果说因或者叫治果说。两个刚好是相反。的过程。好，这是综合分析。完我们来看一下，还有反证法也可以证明不等式，还有放缩法也可以证明不等式。这里面我们再谈一些其他方法，像比如说还有构造法。还有这里面构造可以构造函数，构造向量，还有数形结合法，我简称为图像法。还有数学归纳法叫数学归纳法，做小题里面还有特指法，或者叫做赋值法。对于这些常见的一些方法，大家注意一定要得把每一种方法对应的适用条件一定要搞熟悉。我们先看反证法，就证明命题是先证明所要证的命题它是不成立的。以此为出发点，结合已知条件。运用公理、定义、定理、性质等进行正确的推理，得到和命题的条件，或者是已知已证明的这个定理性质明显成立的事实的。我们从而来就是说我得出和命题条件一个相矛盾的结论，以说明。假设不正确。从而得出这个原命题成立。我们把这一种方法称之为反证法，这是反证法的。那么还要放说法是证明不等式时，通常要把不等式中的某些部分的值，我们要么放大，还有些题目需要什么呢？缩小简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称之为方式法。好，下面我们来看一下第四个三个正数的算算术几何平均不等式。这个前面进不等式推广咱们已经说过，第一个空，就是咱们的说明就是大于等于这个大家来记忆就行了。然后就是当且仅当这三个数相等，就是ABA等于B等于C这个填A等于B等于C等号成立，即三个正数的算术平均。注意三个正数来算出平均数，你要大于等于它们的几何平均数或者叫几何平均。好，基本不等式的推广。我们看推广，就对于N个正整数A1一直到AN那么它们的算术平均值要大于等于它们的几何平均值。当前锦囊当然紧张，就是这些相等的时候取等，就是A一等于A2一直等于N这个取等。好，这是咱们基本公司的推广。我们就先讲到这里。这个位置填不小于或者填大于等于都可以。刚才这里面用汉字填也可以，这个都无所谓。好，下面我们来看有几道自测习题帮助大家来理解。比如说第一个要证明根号29加根号31大于二倍根号5，我们可以选择的方法有以下几种。其中最合理的，这个咱们可以用那个分析法就倒着推。如果你直接证不好证的，比如说我们想证这个事成立，先证两边同时平方，就证明根号29加上根号31的平方大于二倍根号5的平方。然后有这个平方之后，29加31就是60，加上一个二倍根号下29乘以31，29乘以31，只要大于这个就是四五二十，只要大于20就可以了。你要证明这个成立就行了，这个很明显，这个也是成立的，非常简单。好，下面所以说这个我们用的是分析法，答案选B。我们看第二题，用反证法证明，若ABC都是正数，A加B分之1，B加C分之1，C加A分之一，三数至少有一个不小于2。我们提出的假设就是这三个数中至少有一个不小于二的，三个数都小于二就可以了。所以说此题答案选D就到它的反面，比较简单。我们看第三题，已知A大于B大于C若A分之A减B分之一加B减C分之一大于等于A减C分之N那么则N的最大值。那么我们可以用把这个A减C乘到过里面来，就相当于一个恒定。也就是N只要证明N小于等于一减C乘以A减B分之1，加上一个B减C分之1，证明这个是它是成立的，就OK了。所以说N要小于等于它成立，N就小于等于前后面这个是最大值。我们只需证明这个式子最大值就可以了。我们看啊因为A减C乘以A减B分之一加B减C分之1，我们可以用进步的式把A减C我们减一个B再加上B所以说前面我们可以拆成A减B然后再加上一个B，就加上一个B减C然后去乘以一个A减B分之1，再加B减C分之1，这样来进行把它乘开A减B乘以A减B分之一就是一。加上一个第二项就是B减1分之1，乘以A减B加上B减C再乘以每一项，那么就是A减B分之B减C再加上一个B减C乘以B减C分之一就是一，那均值不等式就大于等于1加1就是二加上二倍的根号下B减C分之1，A减B乘以一个A减B分之B减C所以这刚好满足一正20相等。因为A大于B大于C，所以A减B是正值，B减C是正值，所以说这个都是正值，所以说这个算出来就是4，所以A只要小于等于这个4，最小值4就可以了。所以说是N，所以N值要小于等于这个四就可以了，所以最大值就是4，那选B，这是第三题。下面我们看第四题，已知正数XY满足2，X加Y等于2，当X等于什么时，X分之一减Y有最小值？这个我们可以用消元法，这边我们还可以用消元法来解这个X分之一减Y把Y换掉，这个Y就等于2减2X好，那么这个就等于X分之一减Y就减去2减2X整理一下，就是2分之1加2X减22分就是X分之1加2X减2。我们然后用基本不等式就大于等于二倍根号下X分之1乘以2X减2。所以说这个最小值就是两倍根2减2。当且仅当你看它刚好满足一正二进三的XY都是正数，当且仅当X分之一等于2X即2X方等于1X等于二分之根号2的时候，有最小值二倍根2减2。所以说此题的答案第一空填二分之根二，第二空填这个二倍根二。假日好，今天的课。咱们就上到这里，这个专栏咱们也到此更新结束。还没有关注我的同学可以关注我的百家号，有任何专栏上的问题或者是购买的问题都可以私信我，谢谢大家。