亲爱的。同学们，今天咱们继续来讲解高中数学基础知识，梳理第十五节定积分的概念及简单应用。特别说明一下，这一节课对于新高考地区和文科生这个高考是不做要求的。你们也可以学，也可以不学。但是对于老高考地区的理科生要注意了，这一节还是有必要听一下的。首先咱们来看一下定积分的概念。我们知道微积分是17世纪数学的三大发现之一。微积分可以说是对于后世的影响是很大的。它可以解决变速运动，包括一些不规则形状的图形的面积等等，包括体积问题都可以解决。我们来看一下定积分的相关概念，这里有这样一个定义，就是如果函数FX在区间A到B上连续用分点A到B就是用这些N个数，应该准确讲应该是N减一个数去将这个区间分成N个小区间，这里我把这个草图画一下。比如说这个是A这个是B那么这里它插入N减一个数，这样的话就可以将区间分成N个小区间。假如我求这样一个曲边梯形的面积，那这个时候它就会被分割成N个小的曲边梯形的面积。然后我们计算的时候，可以将每一个小曲边梯形近似的看成是一个矩形来计算就行了。所以说对于第I个图形，从XA减1到XI我们任意取一个点KCI都可以作为那么这个科CI的纵坐标就是对应的这个点的这个纵坐标我们可以当做高，然后乘上这个底下这个面积是delta x这个delta x就是XI减去一个X这个I减1，这个刚好就是A减B的绝对值，被等分成N个部分，然后我再除以N就可以了。那么去绝对值之后，就是N分之B减A那就是德耳塔X再乘以这个高就行了。这个是然后把它们累加起来之后，就是这N个小的曲边梯形的近似值，也就是它们的面积可以近似的认为相等。当N向于趋向于无穷大的时候，也就是说我把这些小的矩形这个阴影部分的那个曲边梯形近似看成矩形，那么无限让它的底边的这个区分德耳塔X无限小的时候，这个时候上述的累加之后的这个和它就无限逼近某一个常数。你分的越细，那么你这个求和之后的这个面积和就越越接近这个曲边梯形的面积。好，然后我们把这个常数我们就叫做函数在FX在区间A到B上的一个定积分，就要在区间A到B上的一个定积分。好，这是它的定义。我们这是有一个记号，就是继承记为A到B上对FX进行积分。那么它的一个含义就是用极限的思想去表示，就是刚才我们对这个取极限就行了。对刚才的面积求和之后取极限，其中A与B分别叫做积分的下限，要么叫积分下限。这个B我们称之为积分上限区间，A到B就是叫做积分区间。叫积分区间，其中FX叫做被积函数。这个X其中X叫做积分的变量，FX乘以DX叫做B级式好，这是基本的定义，我们就解决到这里。然后我们下面来看一下第二个微积分的也就结束，主要讲的是定积分的不定积分。我们不学定积分的几何一，那么当FX大于等于0的时候，定积分表示直线。注意这个是表示极限X等于AS等于B还有Y等于0和Y等于FX所围成的曲边梯形的面积。刚才那个我们已经说了，就是曲边梯形的面积。那么当FX在A到B上有正有负的时候怎么办呢？大家看这个图，A到B上是有正有负有正有负时候，大家注意这个定积分表示介于X轴曲线Y等于FX已知直线X等于AX等于B之间各部分区间曲边梯形面积的代数和。这个时候因为我们积分下面是一个负值，所以说这里面我们就用上面的和减去下面的和，我们就减去A2，再减去A4就积分。积分之后是它们面积的就是带有正负的和。那么换句话说微积分这个微积分算出来并不是A1、A2、A3、A四这四部分面积和，是它们的带有方向的和。也就是说在下方就是负值，在上方就是个正值。所以说我们用A一加A3减去A2再减去A4，这是第二设定几个一。下面我们来看一下不积就是定积分的基本性质。第一个基本性质就如果说在外面成长一个长度K我这个K我可以提到外面来，那可以写成K倍的A到BFX乘以DX这是第一个。第二个可以拆成两段的和等于ABF1XDX加上一个A到BF2XDX第三个如果说有一个C就是被分割了，那么它可以先算是从A到C上的一个积分，然后再累加到累加一个从C到B还对这个FX进行积分。我们来看一下怎么去理解这些东西。你比如说我们举一个最简单的例子，比如说我们对一个函数。集。1到2上，这是它的一段区间。那么原来FX是这样的，如果说你外面乘个K那就相当于这个函数整个都乘以KB你看整整个都乘以KB就你每一个坐标都变成原来KB所以说面积也是变成原来的K倍，这是第一个。第二个，如果两个函数相加怎么办呢？两个函数相加就是分别相加，累加起来就相当于他们每一个的纵坐标就是高变了，对不对？所以说这里面我们可以拆成两部分之和。这个就相当于你在1到2之间。比如说我们加上一个2分之3，那么就拆成先集一到2分之3的，再积2分之3到2的，所以说有第三个这样的基本性质在。好，下面我们来看一下微积分基本定理，我们也称之为牛顿莱布尼斯公式。这个定理所满足的条件，首先在区间A到B上。对，A到B上是连续函数，还有这里面。如果存在。一个函数的导函数，就是大FX求导之后是FX我们把这个FX称为FX的原函数。叫做原函数。所以说这里面有一个重要的结论，A到B上对FX积分它也等于FB减去一个FA这就是叫做微积分基本定理。我们在计划的时候我们可以这样来记，可以写成大FX然后A到B，那么这个表示的形式就是大FB减去百肥，这是微积分基本定理。那我们来看一下定积分在物理中的应用，对，定积分在物理中的应用。首先我们来看一下变速直线运动，做变速直线运动的物体所经过的路程S那么它就等于其速度在时间区间上的一个积分，这个一定要注意。所以说我们写的话一定可以写成这样一个形式，这是它的一个记号，这是变数。那么如果便利做功，如果物体在变力FX下做直线运动，并且物体沿着渝FX相同的方向从A到E到B那么电力所做的功，这个就等于F也是从A挤到B对于大FX进行积分，这个便利做功其实对于恒力中也是成立的。只不过你看我们定积分在物理中的应用，一个是解决变速直线运动的它的位移问题，一个可以解决便利做功。注意，便利做功它的功率公式的大小问题还是很有用的。因为在现实生活中很多的力它都是便利，很多的运动它都是变速运动，这是第三个知识点。下面咱们来看有几个重要结论。首先第一个设函数FX在B区间-1到1上连续，那么只有一若FX是偶函数，则一定有这一个是成立，就是你从负的到证了这个积分的时候，两边面积是一样的。所以说我们可以写成两倍的，从零到A只积右半部分就可以了。如果是奇函数，根据对称性我们知道两部分的面积和一正一负面积和就是0。第三个，当X属于A到B的时候，FX大于GX则两函数图像即X等于AX等于B围成的曲边梯形的面积，我们就可以用两个函数相减就可以了。你看要加就是加，要减就是减，这是根据几何意义也很好理解。下面我们来练几道题。首先看第一题，第一题根据前面咱们所讲，你可以划分为两段区间，或者是可以拆成两个函数也行。比如说这个我们可以拆成两个区间，可以写成F负的二分之派到0 sine x加上一个X的绝对值DX然后再加上一个F0的二分之派，然后中间照抄下来。然后DX，因为我这个X变量只要拆成两段之后，我这个X就可以去掉了。因为在负二分之派到0，那sine x是个负值，取决于要变号，那就变成负的3X所以说第一段化简之后就是负二分之派到0，sine x减3X就是0积分。然后第二段就是0到2分之派，可以写成两倍的sine XDX就积分之后前面就是0，后面我们来看一下，找原函数，sine x的原函数就是你看谁求的是cosine sine，那就是负的cosine x求导对吧？然后再写一个绝对值是二分之派到0。注意，前面还有一个系数2，不要写漏了，所以说这个就等价于二就是负二倍的cosine，二分之派减去负二倍的cosine 0，cosine 2分之派是零，cosine 0是正一负的负结果就等于2，所以说此题的答案选C这是用定积分的基本性质来解的这是第一题。下面我们来看一下第二题，求曲线Y等于X方，Y等于X所围成的图像的面积S这个我们可以画。个草图来看。这是平面直角坐标系X轴Y轴原点，这是Y等于X方的图像，这是Y等于X方的图像，还有Y等于X13象限的角平分线，他们围成的图形的面积就是如图所示，所以一定把两个焦点给求出来，对应的一个是00，一个是一。那我们可以用上面这个面积减去下面这个面积，所以说我们积分的时候可以积从0到1。上面这个直线高一些，我们可以用X减去下面这个X平方低一些，然后再对X进行积分就行了。所以说此题的答案我们对比看一下，应该是X减去X方DX所以答案选A如果说你反倒极注意，你反倒极就应该用根号Y减去Y，对外进行积分也是可以的。好，这是第二题。然后我们看一下第三题，这个我们可以直接找原函数。我们知道sine x求导就是cosine x所以这个一定是等于sine x原函数0到2分之派，这个就等于sine 2分之派减去sine 0，sine 2分之派就是一就是一减0就是一。这第三题比较简单，直接用微积分基本定理就可以了。我们看第四个，这个就物理题了。自由落体运动的物体速度VV是等于GTG是常数，那么则T等于T如果属于1到2的时候，那么物体下落的距离就是变速运动，有个加速度，这个时候我们可以直接这个距离S就等于积分，从一第一秒到第二秒对吧？然后对这个。GT进行积分。这个就等于找它的原函数，T的原函数就是二分之T方，就是二分之GT方，然后二一好我们带进去就是G乘上一个2分之2方减去G乘上一个2分之1方，结果就等于2分之3G，就是2分之4减2分之1减2分之3G这是最后答案效果的速度。下面我们再看最后一道计算，这样一个是还是一样找原函数，那么这个原函数就等于二分之X方加上一个X比如看你做完之后，可以还原一下，你比如说二分之X方求导了，那那不就是X，对吧？一求导就是X，然后括起来从0到-1，然后将零带去，就是零减去负一代进去，那就是二分之负一的平方，然后再加上一个负一，然后我们把这个一减里面就是2分之1减1-2分之1，然后外面还有一个符号就是2分之1。本节这个内容我们就上到这里，下一期我们继续，再见。