同学们好，今天我们继续来讲解高中数学基础知识梳理专栏第二十四节，平面向量的数量级及平面向量的应用。这一节是平面向量的核心，是高考必考的。所以说这一节的所有的基本知识，希望大家都要牢牢固固的把它掌握好。这样的话对你将来参加高考的时候，做平面向量有关的题型的时候，才能够做到得心应手。下面我们来看一下第一个知识点，向量的夹角。我们来看一下这个定义。已知两个非零的向量，A向量和B向量，我们做OA向量等于A向量，OB向量等于B向量。注意我这里面还是一样，我再强调一下，因为这是数学公式编辑器，这个黑体我没有加上，所以说我们在手写的时候，注意大家手写的时候上面都要加上一个小的箭头，否则的话就是加粗。因为我们手写的时候不可能加粗，所以说统一要求在手写的时候都要加上一个箭头。如图所示，则角AOB为西塔。我们把这样一个西塔就叫做两个向量的夹角。我们记着用两个小尖括号来表示注意，把两个向量的起点重合到一起，这样的话我们就可以形成一个角。这个西塔就是我们所说的夹角。这个向量夹角的范围是属于零到派，包括零也包括派。而且我们规定A向量与B向量同向的时候规定是0，反向的时候规定是派。再看第三个垂直关系，如果非零向量A向量与B向量夹角是90度或者是二分之派的时候，我们就说两个向量是垂直。我们记为A向量垂直于B向量。我们再看第二个知识点，平面向量的数量级。数量级的定义里面我们来看一下，已知两个非零向量A向量与和B向量，它们的夹角为西塔。那么这两个向量的数量级是A向量乘以B向量，就是我们记为A向量乘以B向量。好，这样的话我们有一个引入一个它的公式，即A向量乘以B向量就等于A向量的模乘以B向量的模乘以cosine西塔。好，这里面我们假如说设西塔为A与B的夹角，这两个向量夹角，那么则A向量在B向量上的投影。好，这里我来讲解一下，假如说这个是A向量，那么这个是B向量，这个是夹角。西塔什么是投影呢？就是有一光线，现在照射在垂直于B轴，光线照射它投到这个B上的一个影子，这个长度好，我们就称之为A在B上的投影。这个根据解释的三种知识，我们知道这一段的长B除以B项的模就等于cosine西塔。故这一段的长就是A向量的模乘以cosine西塔。所以说投影的投影就是A向量的模乘以cos西塔。当然了向量B向量在A向量上的投影，那么我们就可以写成B向量的模乘以cosine西塔。当然了，这里面还有一个它的变形。因为我们知道A向量的模乘以B向量的模乘以cosine西塔，它是等于两个向量的数量积。所以说从这个意义上讲，A向量的模型cosine西塔，它也等于A向量乘以B向量除以B向量的模。那么从你这个我们还可以写成两个向量的数量级，在哪个向量投影就除以哪个向量模。你这样在A项投影，我就除以A向量模就可以了，这是第二个知识点。然后我们来看一下数量级的几个意义。数量级几个意义我们规我们就是这样来理解的。就是假如我们把B向量模乘以cosine西塔结合在一起，那就等价于A向量模乘以B向量。在A向量的投影，或者是我们把A向量模乘cos像结合在一起，那就相当于B向量的模乘以A向的B向量的投影。所以说两个像素就等于A向量的模的长度与B向量在A向量上的投影的乘积。注意，是B向量在A向量上投影的乘积。好，这里大家还要注意点。刚才我们讲到投影的时候，我提问大家一个问题，投影能不能为负值？投影能不能为零？大家想一下，那么由刚才咱们说我们这个西塔角，是属于零到派。既然这样的话，你扣线，线上可以取证，可以是负，还可以为零。也就是当西塔角为钝角的时候，这个时候大家可以看一下B线呢在A线上的投影，它就是个负值的原因，它就是投影在B线上的反向。所以说正和负只是一个方向的作用。你看我们物理学学上的这个力，包括这个速度都是矢量，那么正和负就代表一个方向。所以说我们在做物理题的时候，首先要规定一个正方向。比如说你向左为正向，上为正向，右为正等，对吧？都可以先规定。规定之后，它这个正正负就代表一个方向，所以说我们这个向量里面其实也是一样的。好，下面我们来看一下第三点，平面向量，数量积的性质及其作为表示，这是咱们做很多题的一个灵魂。包括空间向量里面，就是空间几何里面，用向量空间向量的方法去解决某些问题的时候，这一块仍然是它的基本功。就是原来由二维的我们拓展到三维，很多东西都是一样的。好，现在我们来看一下，一个一个看啊。我们首先看一下定义及性质，两个向量数量积公式刚才已经讲过了，不再重复。那么这里面我们来看一下它的坐标表示，就是横坐标乘以横坐标加纵坐标乘以纵坐标。上一期视频咱们有一道题已经应用了这样一个数量积公式。还有两个向量的乘积就是向量的平方。我们来看一下，A向量的平方就等于A向量乘以A向量。根据两个向量数量积公式，它就等于A向量的模乘以A向量的模。既然两个向量是一样的，那么它们就是同向的。所以说他们的夹角就是是零度，这个可以写成扣成零度。扣成零度我们觉得就是一，所以说就等于A向量的模乘以A向量模，就是A向量模的平方。所以说有这样一个向量的平方就等于向量我的平方。大家注意，有同学这样理解，一个数的平方不就等于这个向量，这个数的绝对值的平方。那你就理解错了，我们这里面谈的是向量并不是数，所以说这个就是向量的平方V等于为什么等于向量模的平方？这是它的推导过程。所以说这个模的公式也就是这么推导来了。那么根据刚才公式，因为我们知道如果A向量的模注意，如果A向量的坐标是XY那么这里面我们会有一个模的公式，那就是根号下的X方加上一个Y方，就是根号下横坐标的平方加纵坐标的平方。同理如果A项坐标和B点坐标分别为X1Y1X罗马2，那这个可以写成X1X2加Y1Y2。根据刚才的公式，下面A项目就是根号下X一的平方加Y一的平方乘以根号下X2的平方加上一个Y2的平方，这个是夹角公式。那么两个向量垂直的重要条件，就是两个向量数量积为零，即X1X2加Y1Y2等于。还有这个是柯西不等式的二维表示形式，这是向量表示形式，其中后面这个就是二维表示形式，这个直接根据这个公式来的，因为两个向量数量积就等于两个向量的模乘以cosine西塔，这个cosine西塔绝对值是小于等于B的，故而有这个公式是成立的。就是两个线段平行的时候，等号是成立的。这个也比较的简单，这个在求有些最值的时候可以用得上，这是几个重要的一个性质。我们来看一下第四个平面向量，数量积的运算率首先满足交换律，即A向量乘B向量，它就等于B向量乘以A向量。还有这个结合律，我们可以这样来结合，所以三个人不能结合，两个人可以结合，那么它也等于A向量去乘以兰姆达倍的B向量，我们可以这样来结合，分配率是可以的那就等于A向量乘以C向量加上一个B向量乘以C向量。但是这种写法是错误的，就是说如果说你有A向量乘以B向量乘以C向量这两个结合，它并不等于A向量乘以B向量括起来乘上一个C向量这种这种是不是不相等的。所以说我们中间用不等号来连接。好，下面我们来看一下向量在平面几何中的应用。平面向量在平面几何中应用，主要就是用向量的线性运算级数量级来解决平面几何中的平行、垂直长度还有夹角。主要是这四类最基本的题型，刚才都有配套的公式，希望大家在应用的时候，首先要保证这些基本知识点都没有问题。你想你你的公司级的这个问题，你能做对题，即便是做对了，那只能说明你的运气太好了。但是这种运气不可能永远都光顾于一个技术知识不牢固的人，这点一定要注意。好，我们来看一下第六个平面像在物理中的应用。由于物理学中的力、速度、位移，包括加速度，包括这个加速度。我们写一下的加速度。大家有想学物理的同学都知道，当然你要是一个文科生，这都无所谓了，他们都是始料。它们的分解与合成与向量的加法和减法都是相似的，都可以用向量的知识来解决，像这个力的分解和合成。你看很多同学踏入高中先学物理学上的力。还有每年有一些物理老师上衔接班课的时候说，你们数学老师把这个三角函数学了没有？把平面向量学了没有？因为如果数学老师不讲的话，那物理老师就得讲，所以说他们的工作量就变大了。所以每年的物理老师都在抱怨数学跟不上，数学学的同步同步上有一定的偏差。所以说导致每年授课的时候。他们在帮我们数学老师来讲数物理老师帮我们数学老师来讲这个数学上的知识点。所以这一点的话，我们作为数学老师还是有一点愧疚的。好，我们再看第二个物理学中的功。注意功它是一个标量。那我们来看一下这个数量级其实可以解决咱们物理学上的功能问题。比如说这是力，这是位移，我们知道这是两个矢量，其实都应该加上一个箭头，我这里面是加粗的，当然你也看不出来加粗，实际上是有啊，这个不能加粗，是这个乘以这是代表数量级，那么它就等于D的模乘以S的模乘以cos西塔。为什么呢？这里面我们举个例子，比如说有一个小木块放在这个地面上，你假如施加一个力F注意不是水平向右的方向，有一个小夹角，那么它平移S就是距离是S这有个小夹角，那么就相当于这个力在水平方向上的分力。你看不就相当于做投影吗？那分力不就是F的模乘以一个cos西塔吗？再乘以水平方向的距位移，这不就是力。所以说我们用数量级来表示，就是向量乘以S向量，就是F向量乘以S向量就可以了。你们看我这一个数量级完美的和物理学成功结合起来了，所以说这个塑料机有一定它存在的意义。好，下面咱们来看一下几个重要结论。首先看第一个，这个刚才已经说过了，刚才已经说过了。但是你们要注意一点，如果说两个向量同向，那么同向我们知道这个cosine西塔就等于一就cosine 0等于一，所以自然而然相等。如果反向的前面加个负号就扣成180度。Cos 180度，我们知道是等于负一，所以它是等于负的。它还有如果欧式三角形ABC的垂心会有这样一个结论，这个结论我给大家证明一下，大家来看一下最新的结论，假如说这是A这个是B这个是C。这锤心我们知道是三鞭膏的交点。我们以前面两个相等为例，因为大家看啊这个证明过程，我写的这个右端，因为OA向量乘以OB向量等于OB乘OC好，现在我把这个OB乘OC移到左边来G所以说可以得到OA乘以OB减去OB乘以OC它是等于零的。然后我将这个OB提出来，所以OB向量乘以OA减OC这两个向量相减它是等于零的。即OB向量乘以OA减OC大家看一下，OA减OC就等于CA向量等于0，这就两个向量数量积为零了。所以说就说明OB向量垂直于CA向量，大家看啊是OB向量垂直于CA向量。也就是说你这个BO延长之后，和AC是垂直的。那么同理由OB乘OC等于OC乘OA可以推出另外一个垂直，那么OBA乘OB等于OAOC乘O可以得到另外一个OC和AB也垂直，同时也可以得到OA和BC也垂直等等。那就说明O是三角形的垂心就算完了，这是第二个结论，是垂心的结论。我们再看第三个，在三角形ABC中，内角ABC所对的边分别为小A小B小C那么会有一个AB向量乘以C向量等于二分之C方加B方减A方。好，现在我把这个也推导一下，我们来看一下AB向量乘AC向量，AB向量乘以ac向量。看上方这个图，那么就等于AB向量的模乘以，这里面写错了，这是AC向量乘以AC向量的模乘以cosine a夹角不就是A角，对吧？ABAB向量和AC向量这个夹角是A角。大家看我这个标注了，夹角就是A角，AB那就是C边，AC那不就是B边，那么cosa根据余弦定理的推论就等于B方加C方减A方除以2BC然后把2BBC消掉，所以说它就等于2分之1C方加B方减去A方。这个就证明完了，这是第三个结论。当然这个结论也有可能用不上。好，下面咱们来讲一下有关的一些知识点。其实这里大家注意，有一个面积公式，我还是给大家推导一下。我这里我清个屏，希望大家能记的话还是要记一下。这是第四个结论，就是在三角形ABC中，这个S3角形ABC的面积还有一个向量的面积公式。好，现在我们来画一个三角形，大家看一下这个是ABC。因为讲到数量级这一块，所以说我们把它推导一下。解散心中其实也有，这个是我们知道是等于2分之1。我直接推导是等于2分之1AB的模乘以AC的模，那么再乘以sine角A，这个也等于2分之1来看，也是等于2分之1AB的模乘以AC的模。把这样一个sine a我们可以写成根号下一减去sine方A就是把它换成余弦，现在我把这个乘进来，那么它就可以写成等于2分之1根号下AB的平方乘以AC的平方。然后减去AB的平方就是AB模的平方乘以AC模的平方，乘以Q乘以A。那我们看啊这个Q乘A的平方，好，这个照写下来和乘以A的平方。好，现在大家注意，因为我们学过AB向量乘以ac向量，它是等于AB的模乘以AC的模，然后再乘上一个cos a所以说后面这个平方，我们前面我们又学过AB模的平方，就等于AB向量的平方乘以AC向量模的平方，可以写成AC向量的平。减去这个，刚好我们可以写成两个向量数量积的平方，那么可以写成AB乘以AC这个数量级的平方。开根号，大家看一下，这个相似度好高。但是不一样，一个是先乘积之后再平方，一个是平方之后再乘积，这是有区别的。我再给大家一个简易的公式，假如说若这里面我们规定，如果AB向量的坐标你求出来了是X1Y1，你AC向量的坐标也求出来了是X2Y2。好，那现在我们把这个公式给你推导一下。好，现在所以说这个面积S我还可以写成2分之1根号下AB向量模的平方，就是X一方加上一个Y一方乘以AC向量平方，就是X2方加上一个Y2的平方，减去AB乘以AC就是X1X2加Y1乘Y2的平方。开根号OK写到这里，然后就等于2分之1根号下。大家看啊这个展开有X1方X2方消掉，有个Y一方Y2方消掉。那么这个前面就有一个X一方Y2方加X2方Y一方减去一个2倍的X1X2Y1玩儿，其他都消掉，这个也等于2分之1。这个绝对值下来刚好大家看啊我画横线刚好是个完全平方式，看出来就是X1Y2减去X2Y1的绝对值。你们看这个就是最后的这个坐标的运算的一个公式。对，这里面X1Y1、X2Y2指的是AB向量和AC向量坐标，也可以靠这个公式来求扇形的面积，也是比较简单的。好，下面咱们来看一下有几个小练习，我们练一下。首先看第一题，已知向量AB满足A向量模式，一两个向量数量积是负一，求这个值我们可以直接算，那么直接解A向量乘以还有手写起多加箭头，乘以2，A向量减去B向量乘开直接用乘法的分配率就等于二倍的A的平方减去A向量乘以B向量，二倍A向量的平方就等于二倍的A向量模的平方减去A向量乘以B向量了。直接把这值代去，那就是2乘1的平方减去一个负一，结果就等于3。这此题答案选B，这是第一题，让我们来看一下第二题投影，这个投影我们直接用投影公式，A项在B项的投影，我们可以用第二个公式，两个向量数量积在哪个向量投影就除以哪向量。我注意，上面都是数量级，直接套公式。两个向量的乘积就是横坐标乘以横坐标加上一个纵坐标乘以纵坐标。所以B项的模就是根号下-4的平方，再加上一个七的平方，上面-8 21减八是十三，就是21减8，21减8是十三，下方就是根号下四四十六16，再加上一个49点，这个是等于65。我们知道分子分母同时乘以根号65 60，5分之13就是五分之根号65。这此题答案选C，这是第二题。下面我们来看一下第三题，若非零向量AB满足A的模，等于三分之根号二倍的B的模。而且有这样一个关系，我们来看一下这个关系，这个关系只有两个垂直。因为A向量减去B向量垂直于3A向量加上一个2B向量这样垂直，所以说数量就为零。所以可以得到A向量减去一个B向量乘以3A向量加上一个2B向量，那么就等于我把它乘开，顺序为零，就等于3A的平方加上一个A乘2AB2B就是2AB还有负B乘以3A就是-3AB因为乘法可以交换，然后负B乘以2B就是-2B方，-2B方。好，整理一下，就是3A方，2AB减3AB就是减AB然后再减去一个2B的平方，这个是等于0。好，现在我们把它全部转换成模的形式，转换成模的形式。所以说这下面，所以3A的平方减去AB就可以写成A的模乘以B的模乘以夹角的余弦值。我们用西塔来表示这个夹角，假如这个夹角为西塔，我们来西塔看看是哪个值就可以了。减去2B的模的平方等于0。好，现在根据A向量的模等于它，我现在把A向模换掉，那就是3乘以括起来3分之2倍根2B向量模的平方减去三分之根号2，二倍根二乘以B向量的模，再乘上一个B向量模，再乘上一个cosine西塔减去二倍的B向量模的平方是等于零的，这样的话我们两边同时消去B的模的平方，前面就是3乘以3分之2倍根号，那就是9分之8减去一个3分之2倍根二乘以cosine西塔减去一个二等于0。这个就是可以得到3分之2倍根2 cosine西塔，应该等于就把它移到右端，写到然后再写到左边来。这个是3分之8减去2，那就是3分之8减3分之6，那就是3分之2，两边约去3分之1，所以说cosine西塔是等于二分之根二，等于二分根二。既然等于二分根二，所以此题答案选B，这是第三小题。下面我们来看第四小题，说一个质点受到平面上的三个力F1、F2、F3的作用而处于平衡状态。我们知道只要是平衡状态，何为零就立立的就是处于静止状态。下面我们来看一下，一般来说物理学上的平衡一般是两种，一个是匀速直线运动状态，还一个是静止状态。当然还有这个云转速的匀速转动运动状态下，因为好久我也没有做物理题了，如果说有讲不对的地方，大家可以留言。一般来说静止状态和匀速直线运动状态都是属于。均衡的这个平衡状态。那么已知F1F2如果成60度角，所以它如果说这两成60度角，那么我们可以看，只要数据屏上来，从这个向量的角度上，我们可以得到F1向量加力F2向量再加上一个F3向量，这个力一定是零向量。那么换句话说换句话说，这个F3向量一定是等于负的。F1向量加上一个F2向量，其实就相当于这个合力，它大小就合力的大小，所以说我要求它的大小就两边同时平方。你看两边同时平方，那么这个左边的这个就等于这个力的大小，对吧？五的平方就等于它的平方来展开，负一的平方就是一，展开之后就是F1的平方，加上一个两倍的F1乘以F2再加上一个F3的平方。好，我们知道向量的话就等于模的平方，就是等于F1模的平方加上一个两倍的F1的模，乘以F2的模，再乘以两线的夹角，就是60度乘以Q3，60度再加上一个，这里写错了，这是F2，然后再加上一个F2，这个模的平方就力的大小。那么第一个力是二，那就是二的平方加上一个二，乘以2乘以4，再乘以cosine 60度是2分之1，再加上一个E2的大小就是4，那就是四的平方。我们把这个前面计算一下，这个是四加上16，中间的这一项是约个二调，18就等于28，所以说F3根号之后，就是两倍根号7，这是第四题下我们来看一下第五题，已知两个向量坐标已经告诉我们了，还是一样的。如果手写体的话，这里上面必须都加箭头才可以。问我们M值，那不是数量级为零，对吧？我们来看一下数量级就两项只要垂直数量积为零，那么就等于横坐标乘以横坐标加纵坐标乘以纵坐标是等于0。所以说可以得到3M就等于6M就等于2，这个比较简单，直接套公式就可以了。好，今天咱们平面向量数量题这一节重要的知识点，咱们就上到这里。感谢你的收看，下一期我们再见，谢谢大家。