亲爱的同学们，大家好。今天咱们来讲解高中数学基础知识梳理的第六十一节坐标系。这一节也是新高考地区不做考试要求的，希望新高考地区的考生可以忽略此节。下面我们首先来谈一下这个坐标系，这里面涉及到平面直角坐标系中的一个伸缩变换。假如说设PXY是平面直角坐标系内的任意一点，那么这里面我们引入一个变化，X撇等于兰姆达XY撇等于缪Y也就是说P对应的P撇的时候就是X撇，Y撇是变换之后的坐标，就是在原来P的基础之上变成横坐标变成原来的兰姆达倍，纵坐标变成原来的缪倍，我们就称这个范为平面直角坐标系内的一个坐标。伸缩变换简称伸缩变。好，下面我们来看一下什么是极坐标系，我们设M是平面内一点极点O于点M之间的距离，OM叫做点M的极进，这里面我们引入一个概念叫做极进。我们记着柔以极轴就是以OX为始边。比如这是O这个是X为始边边射线OM就是我们刚才所讲的这个OM这个坐标我们用柔西塔来表示这个OM的这个长度称之为柔，这段的距离称之为柔，那么这里面射线OM为终边的角，XOM叫做点M的极角。咱们也有一个专业的名词叫极角，记为西塔。就这个角度，我们记为西塔。我们把这样一个有序实数对柔西塔叫做点M的极坐标，记为M柔西塔。好，下面我们来看一下极坐标系与平面直角坐标系的关系。我们把平面直角坐标系里面的原点叫做极点X轴，正半轴叫极轴，并在两个坐标系里面取相同的长度。根据咱们前面所讲的是任意角的三角函数的关系。我们知道比如说你这个是极轴，OX是极轴，这个是上面的极径，M点坐标在平面轴系我们用XY在极坐标系我们用柔西塔，这个角就是西塔。那么根据Z角的三角函数值的定义，我们知道这个X就应该等于柔乘上一个cosine西塔，Y就等于柔乘上一个sine西塔。由此我们可以得到两个平方，这个柔方就等于X方加上一个Y方，这个碳西塔就等于Y比上一个X由这四个关系我们也可以找到平面直角坐标系和极坐标系之间这点的一种转化关系，就是可以互相转换。我们由前两个可以把极坐标转换成平面，只有坐标系统的平面只有坐标。然后由后两个关系，我们可以由XY由平面直角坐标系里面的XY来反求柔和。西塔，这是很重要的四个关系式，这也是我们解决后面题型的一个基本功。下面我们来看一下常用简单曲线的极坐标方程。首先看这样的几个，第一个原点，在起点半径为R的一个圆，我们可以用柔等于R来表示。实际上你把它还原平面直角坐标也很好理解。比如说两边同时平方之后，这个柔方就是X方加Y方等于R方。那么在平面直角坐标系里面就是以00为圆心，R为半径的一个圆。同样这里面以R0为圆心，半径为R0的圆，我们就用柔等于2r cosine西塔。这里面我们限制限制西塔的范围是负二分之派到二分之派。第三个圆心以R2分之派为圆心，半径为R的圆我们可以用柔等于2r sine西塔来表示。有同学说老师你这个到底是怎么来的？你也可以用平面直角坐标系反推极坐标这样的方法来记忆。也可以。你比如说你如果一R0，那么平面直角坐标系的方程就是X减R的平方加Y方等于R方。我把它整理一下，写成X方加Y方减2RQ，2RX加上一个R方等于R方，两个R方消掉X方加Y方就是柔方减2RX就是柔乘cosine西塔等于0，两边再约去揉，所以说柔减2r cosine西塔等于，所以说柔就等于2r cosine西塔。这是一种推导方法。那么还有一种推导还有一种推导我们可以这样的就是直接根据几何意义。比如说我们在上面任意找一点它的坐标，就是UC大用西塔，我们连接这个任意一个点的动点M这段长是周，这个长就是西塔，不是这个层是西塔，就是我们把这个OM连接起来，这个是西塔，那这个角就是这个二西塔。我现在要找他们之间关系，我们看这个是R由它向谁做垂线呢？由它向这个OM做垂线，OM的垂线这一半的长就是2分之1。所以在这个三角形中我们可以得到余弦cos西塔就等于2分之1除以半径R那么就等于柔除以2R所以说化简之后柔就等于2r cosine西塔，这不就完了吗？所以说大家要注意两种推导方法。下面这个一样的，我就不再讲了，一样的推导。后面的这所有的情况我们都可以这样来记忆，来可以来推导并记。就这三种大家可以自行看一下。一个是过几点倾斜角为R的直线，用西塔等于R或者是派加R都可以。注意你要注意，如果说如果说你这里面的柔大于等于0的话，这地方我们特别强调一下。如果柔大于等于0，那你这个就是柔等于阿尔法，或者是不是西塔等于阿尔法，或者是西塔等于派加阿尔法两种情况来表示，这个不能漏了。如果柔属于R那只有用这一种情况就够了，因为C上为负值指的是斜向下的方向。第二个内容直接根据我们刚才所说的，直接用推导走也可以。你看这个是西塔，这个是柔西塔，那么这段长就是柔，我们根据这个关系，这段是A就是根据cosine西塔等于AB柔化简时会流它，同理这个也是一样的，我就不再说说了。然后下面我们来做几道题。首先看第一题，下列极坐标方程表示圆的是极坐标方程表示圆只有D选项。对，我们首先看第一个，第一个西塔等于二分之派，表示的是如果这里面柔属于R假如柔属于R，它代表的是一条直线，代表的就是Y轴，就是X等于零这条线。然后这个柔柔乘CC那就相当于Y就是Y等于0，也是一条直线。这个展开之后就是揉身sine西塔就是Y加柔身，cosine西塔就是XY加X等于也是直线，只有这个柔是根号下X方加Y方等于一。整理一下就是X方加Y方等于一，它代表的是以原点为圆心，一为半径的一个单位圆，这是一单选。好，我们再看第二题，在极坐标系中，直线与圆交于AB2点，则AB的值好，这里我们可以用那个什么呢？可以用转化成这个普通方程，也就是转化成平面直角坐标系下的普通方程。我们来解，首先这条直线这个是X减去根号3，Y减一等于0。这个圆的话是两边同时乘以柔，我们可以转化成柔方等于二柔cosine西塔柔方就是X方加Y方等于2X整理一下，这个就是X减一的平方加Y方等于一，这个圆心坐标为10，半径R是等于一。所以说我们要算要算直线和圆的相交的这个弦长，我们用勾股定理来算，我们用勾股定理这个是10，我们算出这个距离D然后这个弦长AB就是两倍的根号下R方减去D方，用勾股定理，因为根号下R方减D方就是那个弦长的一半。好，我们算来算这个D，D用点到直线的距离公式，根号下一方加上负根号三的平方。前面的课咱们就说过，然后把这个10带进去，那就是110带进去，这个是一减去根号3乘以0减1，这个距离第73为0，为零的话就相当于是直径的直径，那么这个直径就是2，我们直接算出来是啥就是啥，这个是二倍的根号下R方就是一减去0，这个刚好是等于2，那刚好是过这个圆心的，非常强，非常的特殊。好，下面我们来看一下第三题，极坐标系中点22分之派到直线的距离。好还是一样的。我们画普通方程，这个是可以写成二倍的cosine 2分之派，二倍的sine 2分之派，这个就是X等于一。我们把这个整理一下，这个就是零二这个点。你由图像也可以看出来，02这个点是在Y轴上，这个点就是02到X等于一的距离，直接向它做垂线，这个就是一。所以此题答案填一好，下面我们来看第四题，在极坐标系中点A点BO是几点？三角形OB的面积是等于什么？还是一样的，我们都可以转化成普通的这个平面直角坐标系下这个A的坐标。我们口算柔乘以sine西塔cosine三分之派，2分之1就是2分之1。然后一乘sine 3分之派就是二分之根号就是A点。那么B点坐标就是2乘cosine 3分之2派，cosine 3分之2派就是负的2分之1，也就是负一。然后2乘sine 3分之22分根3乘2就是根号3。下面欧式几点，我们现在来画一个草图。A点坐标是2分之12分之根三，这个是A点坐标。B点坐标是负一根号3，这个是大概是B点坐标这个是欧式基点，我们连接OB。好连接AOB，连接起来之后，这样的话我们可以用那个其实这道题你们可以将直线AB的方程解出来，用点到直线距离公式和零点距公式算也可以，或者拆成两个扇形，把这个交点解出来也可以。这道题平面直角坐标系方法我们就不再细节了，我们现在用极坐标系的方法来做，看是不是更巧妙一些。我们看方法2，这个是X是极轴，OX是极轴，那么它我们画一个三分之派，60度的长度为一。假如这个是A点，这个角度是三分之派，再画一个120度的，但是这个极轴直径是二这个长度的二倍，这是B连接AB大家看啊你这个角度AOB这个角就是三分之派，这个长度是一，这个长度是几呢？2。所以说这个三角形S3角形AOB的面积可以用面积公式，就等于2分之1乘以2乘以1再乘以乘以三分之派，结果就等于二分之根三，这个就接完了，这个就简单一下，你要画平面直角坐标系上的反而会复杂一些。给我们介绍两种方法。好，我们再看第五题，点32经过伸缩变换之后，这个就变成了谁呢？变成了所得点坐标是一，我们看这个对不对。首先原来坐标是32，经过变换之后，这个X撇就变成三分之XY撇就变成二分之Y所以就变成一，这个是对的。首先我们再再看啊，我们再看第二个，将这个横坐标变成原来的两倍，横坐标变成原来的两倍，那就变成sine x这个也是对的，就是X变成二分之X就是倒着来推，所以说这个是对的。那么在极坐标系中点和点为同一点，那我们看啊二极径都是一样的，我们看啊这个角-3分之5派，就是它这个角的中边和三分之派角的中边是一样的。这个是没有区别的，这个也是对的。我们看第四个，在极坐标系中，柔乘以cosine现在表示圆，这个是代表的是一条直线，这个代表就是X等于一，这个是错的这此题答案是填12，还有3，这三个都是对的。今天的这个其实属于以前老高考地区的选做题，我们就讲到这里，感谢大家的收看，下期我们再见。