同学们好，今天我们继续来讲解高中数学基础知识梳理专栏的第十8节课三角恒等变换。相信大家已经有所体会。三角恒等变换可以说是咱们三角函数板块的一个重难点。很多同学都是因为三角函数变换而导致三角函数相关的一些题目做不出来，或者是做的有问题。所以说这一节课的基本知识可以说对于部分同学来讲的话是很有必要的。下面我们来看一下具体的知识点。首先看第一个两角和与差的正弦余弦正切公式。这个推导可以用平面向量的方法推导，或者你们用初中的方法推导也可以。在此我们就不推导了，我们直接把公式回忆一遍。Cosine阿尔法加贝塔就等于cosine阿尔法，cosine贝塔减去一个sine阿法sine贝塔。Cosine阿尔法减贝塔就等于cosine阿尔法cos贝塔加上sine阿尔法sine贝塔，这是两角和差的余弦公式。那我们看下一组两角和差的正弦公式，sine阿尔法加贝塔就等于sine阿尔法乘以cosine贝塔减去加上cosine阿尔法sine贝塔，sine阿尔法减贝塔是等于sine阿尔法，cosine贝塔减去cosine阿尔法sine贝塔。大家来记忆的时候要注意，如果说是余弦中间是加号的，中这边就变成减号，然后cosine cosine减sine sine，这边是减号，中间是加号，那么正弦这个加减号保持一致，这个是要注意的。下面我们来看一下正切的两个tent。阿尔法加贝塔就等于看见阿尔法加碳定贝塔去除以一减N阿尔法乘以tine贝塔。那么tangent阿尔法减贝塔就可以写成tangent阿尔法减去探顶贝塔除以一加上一个探顶二法乘以肯定比差。大家注意这是两角和差的正切和正切里面的0.21元个和一个差的这两个公式。大家注意这个限制性的条件，就是这个颌角和差角都得不等于K派加二分之派，包括阿尔法和贝塔的两个角也不能取K派加二分之派。这是它形成的，如果说能够写成切，这是它的一个前提条件。下面我们来看一下二倍角，二倍角的正弦公式就是sine 2，阿尔法是等于两倍的，sine阿尔法乘以cosine阿尔法。Cosine 2阿尔法就等于cosine方阿尔法减去sine方阿尔法，那么也等于两倍的cosine方阿尔法，减一也等于一减两倍的sine方阿尔法。Tangent 2阿尔法是等于两倍的tent阿尔法除以一减tangent阿尔法。大家注意这个二倍角公式，是由sine阿尔法加阿尔法推导出来的。那么cosine 2阿尔法就等于相当于cosine阿尔法加阿尔法得得出来的。就是用前面的那个和差的正弦余弦，包括后面这个摊的话，就用正切来推导完了。这个大家要注意，像前面的这个公司，我要在稍微点讲一下上面的这个探险阿尔法加贝塔公式，实际上它的推导过程暗含着一种解题思路。我把这其中一个推导一下，大家可以看一下tine阿尔法加贝塔，我们知道是等于sine阿尔法加贝塔除以cosine阿尔法加贝塔，我们把它展开。Sine阿尔法加贝塔根据两角和的正弦和余弦公式，就是分别写出分子和分母。分子就是sine阿尔法cos贝塔加上cosine阿尔法星贝塔去除以分母，分母就是cosine阿尔法cos贝塔，中间一定要属于用减号，那么就减去sine阿尔法sine贝塔。好，写到这一步之后我们再看，现在我将分子分母同时除以cosine阿尔法cosine贝塔。注意，分子分母同时除以cosine阿尔法cosine贝塔，那么这个时候第一项sine阿尔法cosine贝塔除以cosine阿尔法cosine贝塔，那么就变成sine阿尔法除以cosine n阿尔法。因为cosine贝塔消掉，这样的话我们就可以得到碳径阿尔法。然后这一项除以cos阿尔法cosine贝塔之后，消去为cosine阿尔法，那么就剩下sine贝塔除以cosine贝塔，那么就变成加上tangent方。同理下面cosine阿尔法cosine贝塔除以cosine阿尔法cosine贝塔就变成一。后面两个sine除以两个cosine，那么就变成两个tangent的乘积，就是tent阿尔法乘以泰坦贝塔。这样的话我们就推导完了，这是第三个公式的推导过程。这里面就按照一种闲话切的一个思想在里面，所以说我介绍给大家看一下。下面我们来看一下公式的一些变形。比如说第一个公式，这个公司我来写一个，大家看一下由刚才的正两角和的正切公式。我们知道tangent阿尔法加贝塔就等于tent阿尔法加碳减贝塔去除以碳减阿尔法减去碳减贝塔。所以说有把这个tangent阿尔法减tangent贝塔乘到等式的左端，那么这里面我们就可以得到碳定阿尔法加碳定贝塔，那么就等于判定阿尔法加贝塔，那么去乘以探径阿尔法减去tangent贝塔，这是第一个公式变形。如果你这里是减号，上面是减号，这下面是减号。所以说放到这边来，你和减号对应就是减号。但是这边第二个括号里的因式就变成加号，这是第一个公式变形。然后我们来看一下降幂公式。第一个降幂公全部用二倍角公式推导来的。因为我们知道cosine 2阿尔法它是等于一减两倍的sine方阿尔法。所以说我们把它变形一下，可以得到sine方阿尔法是等于2分之1减cosine二氧化。其实第一个加密公式就是2分之1减去一个cosine二氧化。第二个公式就是2分之1加cosine阿尔法。那么sine阿尔法乘以sine阿尔法，就变成2分之1 sine 2阿尔法。还有我们来看一下生命公式，一加cosine阿尔法就相当于把一加cos尔法这个2乘过来对比，对应它的半角，那就变成两倍的cosine方二分之阿尔法。那么下面这个一减cosine方，就变成了电池量两倍的sine方二分之阿尔法。那么还有这个公式，这个公式其实你用左边有右边推左边，很简单，这个展开之后就可以了。那么左边推右边的一样的把这个一拆成sin方，我简单写一下来看，一我们可以写成sine方二分之阿尔法加cosine方二分之阿尔法。而sine阿尔法我们可以写成两倍的sine 2分之阿尔法乘以cosine 2分之阿尔法。刚好这是一个完全平方式就得到了，它就变成了sine 2分之阿尔法加cosine 2分之阿尔法的平方，这就推导完了。同理，如果这里是减号，这个中间就是一个减号，后面也变成一个减号就可以了。这是几个升幂公式，就是这个22这个是降幂公式，这是降幂公式。而三式的这四个叫做升幂公式，就是生命与降幂。这个手段在高考中也是经常要用的，这个希望大家给予重视。下面咱们接着来看一下辅助角公式，这个辅助公式很重要，辅助公式就是形如A倍的sine x加B倍的cosine x等于根号下的A方加B方sine x加斐。这里的变形你可以用推导，你也可以用这个G我们是根据前面所讲的任意角的三角函数值，我来讲一下这个推导用的时候我们来看一下怎么用这个推导？就是由A倍的sine x加B倍的cosine x那么等于根号下的。就我提个根号下的A方加B方，然后这个里面第一项我们就变成根号下的A方加B方分之A倍的sine x加根号下的A方加B方分之B倍的cosine x括起来，后面这个怎么办呢？大家来看，我们来进行一个知识储备。就是假设假设有这样的一个点P点，那么这个P点的坐标就是AB而P点是某一个角Y角终边上的一点，就是我连接OP，使得P是在角的终边上的一点。那么根据任意角的三角函数的定义，我们的这个OP就是R它就是根号下的A方加B方。所以这样的话我们可以推出这个3Y就是我们图中的B比上一个R那么cosine斐就是A比上就是X比R就是A比上一个R这个tangent斐就等于BBA，大家可以看一下。所以说根据我们刚才所所讲，这个括号里面我们就可以写成根号下的A方加B方分之A那么就变成cosine y所以就变成cosine斐。Sine x加上一个这个就变成sine匪乘以cosine x。根据两角和差的正弦公式，所以说这个括号里面我们就可以变成sine x加上一个斐，这个就推导完了。那么用的时候怎么用呢？一般来说出现形容这种类型的就是一个角的正弦加上一个角的余弦的倍数。我们通常就引入一个特殊点P点AB使得这个点是中间线上，就是俯角匪上的一个点。我们在求的时候只要求出tangent斐就可以了，这个tangent斐就等于B比A一般来说由AB的象限我们就知道斐角的象限是第一象限角。如果AB都是正直，外角就是锐角。一般来说第一象限我们用锐角，这个用锐角第一象限，第二象限用钝角，第三象限用负的钝角，第四象限用户的锐角来表示，这是咱们一个规则。其他的就是按照这个原理来推，一般来说取得我们让斐角的绝对值，让它取的是小于派，因为它可以取无数多个角，你不管就取一个绝对值最小的，就是取锐角、钝角，负的锐角和负的钝角就OK了。这是咱们所说的一个它基本的规律。当然它可以娶很多角，它还可以变成余弦，甚至在前面你提个负值也可以，那就用推导走的很多。如果说我们纯粹套这个公式的话，我们就这样固定下来，统一变成前面是一个正值，这个位置只能变成正弦这样一种技巧来做就可以了。我还是说了，你可以用推导走配套的话，你想变正弦就变正弦，想变余弦就变余弦，这个都无所谓，这是。第四个，这基本上是每年必考的，我们多讲了一下，这里我们接着看有几个重要结论。首先半角公式，这样的三个半角公式大家注意不要求记忆，实际上没有太大的用处。一般来说我们只要两边同时平方，它就是降幂公式。这个公式第三个公式大家注意，第三个公式就等于上面两个公式相除。上面两个公式相除之后，这个开发怎么来呢？就是比如说第一个将分子分母同时乘以一减cosine阿尔法，那么一加cosine阿尔法乘以一减cosine尔法就变成一减cosine方阿尔法，那么开出来就是它。那后面这个就分子分母同时乘以一加cosine阿尔法，得到了后面这个式子，大家注意这个是一个小变形技巧，这是也是推导过程，我们就不再说了。这个正负还是有角的象限所确定的，这个原理大家一定要懂。下面咱们来讲几道习题。首先看第一题，若角阿尔法的终边经过负一二倍根，三则探进阿尔法加三分之派，这里面我们直接用定义，只要角的终边上有一点坐标PXY那么这个角的正切切值就是Y比X那么这里的Y就是纵坐标二倍根三，X就是负一，这个答案就是负的二倍根三。再由这个特殊角的三角函数值，我们知道它径三分之派是等于根号三的，所以说这里面我们推导讲一下，这个tg阿尔法加三分之派，那么就等于tangent阿尔法加ta 3分之派。去除以一减tangent阿尔法乘以tent三分之派。这个tine阿尔法我们刚才推导出来是负的二倍根3 tangent三分之派的就是根号3除以一减负二倍根三去乘以一个根号三好。我们把它口算一下，上面就是负的根号3，下方二倍根三乘以根号3，那就六加一就是7。这最后这个答案就是负的七分之根号3，答案选B好，下面我们来看第二题，若cosine阿尔法等于负的四分，5分之4阿尔法是第三象限的角，那么sine阿尔法减四分之派的值是多少？这里既然是第三象限的角，我们可以求出这个角的正弦。因为阿尔法是第三象限角，所以说cosine阿尔法和sine阿尔法都是负值。所以说可以推出sine阿尔法就等于负的根号下一减cosine方阿尔法，然后把这个值给带进去，算出这个是负的5分之3。所以sine阿尔法减去四分之派就等于根据两角和差的正弦公式，就等于sine阿尔法乘以cosine 4分之派减cosine阿尔法乘以sine 4分之派。Sine阿尔法的值代进去就是负的5分之3乘以二分之根二，减去cosine阿尔法就是负的5分之4再乘以二分之根二。其实在变的话可以将十分之根二乘出来，这个最后的答案就是十分之根号2，这是答案就选D，这个是一道基础题，就是程序运用公式。下面我们来看一下第三题。若角阿尔法的终边与单位圆交于负五分之根号5，5分之2倍根号5，求cosine 2阿尔法。它是这样的，基限于单位元交易三个三角函数值都可以求出来。你比如说第一个三角函数值，sine阿尔法等于Y比R就是5分之2倍根号5，cosine阿尔法就等于X比R就是X就是负的五分之根号5。所以cosine 2阿尔法就等于cosine方阿尔法减去sine方阿尔法。当然了它还有其他公式，比如说你只写一个，比如说你就写第二个，它也等于两倍的cosine方阿尔法减1，那么也等于两倍的负的五分之根号5，多少平方减1？所以说这个负的五分之根五的平方就是5分之1，5分之1乘2，5分之2减去一就是负的5分之3。所以此题答案选D直接套公式比较简单。我们再看一下第四题，在平面直角坐标系XY中，已知角阿尔法贝塔的始边均为X轴的非负半轴终边分别经过两个点。那么你既然经过这样两个点的话，我们直接根据定义。我们都知道这个tangent阿尔法就是Y比X就是2比1就是2。那B点是角贝塔的中边上的一个点了，所以说这个肯定贝塔也是Y比X就是1比5就是5分之1，所以直接套公式。所以我们可以得出tg阿尔法减贝塔就应该等于sine阿尔法减tangent贝塔去除以一加上一个tg阿尔法乘以tangent贝塔，套公式，直接把它带进来，就是2减5分之1除以一加上一个2乘以一个5分之1这套公式。上面将分子分母同时乘以5 2乘5是10，减1除以5加上一个二，结果就等于7分之9，所以这个答案就是79。好，这是第四题。下面我们再看一下第五题，已知cosine西塔是等于负的五分之根号5，且西塔是属于二分之派到派半径，求tangent 2西塔的值。那么还是一样的，我们由这个角的范围，我们先求tangent西塔，因为西塔是属于二分之派，到派就是第二象限角，所以sine西塔一定是一个大于零的值。既然这样的话，所以sine西塔一定是等于根号下的一减cosine方西塔。我们把它整理一下，就是根号下的一减负的五分之根号5，那就是一减5分之1。这个开出来就是5分之2倍根号。所以探径西塔，就等于根据通道间的三角函数关系，就等于sine西塔除以cosine西塔，那就是5分之2倍根号5。去除以负的五分之根号5，约去五分之根号5，这个值就是-2。所以说这个再用二倍角公式的正切公式探径2，西塔就是两个tent，西塔去除以一减判定方西塔二倍的tangent，西塔可以写成2乘以-2，去除以一减去一个-2的平方，下面就是-3，上面是-4，所以这个答案就是3分之4。好，这是第五题。今天的这个三角恒等变换的基本知识点咱们就梳理到这里。下期我们继续再讲其他的相关的像图像性质等，包括这个形如Y等于AB的sine欧米伽X加斐这样角的它的像这样一个函数图像的它的性质。好，下期我们再见。