亲爱的同学们，大家好。今天我们继续来讲解高中数学基础知识梳理专栏第11节函数与方程。这节课我们首先来看函数的零点。说到这个函数的零点，每年都有一小组的同学对于零点的概念忘记了，理解的不够透彻，导致有一些回答问题的时候出现一些概念性的错误。比如说在这里面大家我问大家一个问题，零点它是不是点？大家可以想一下，就是你们先不翻这个基础知识，看一看还记不记得什么是零点。好，这里我来下一个定义。对于函数Y等于FX我们把能够使FX等于零成立的实数X我们称之为函数零点。注意，是实数X叫做函数的零点。所以说在这里面零点不是点，零点就是与X轴交点的横坐标，就是方程FX等于零的根。我们来看一下方程的根与函数零点的关系。方程FX等于零有根，那么它就等价于函数图像与X轴有交点，那么也等价于函数Y等于FX有零点。注意，这三个他们代表的逻辑意义内在的实质是一样的。好，我们来看一下函数零点存在的判定方法，就是一个函数零点存在不存在，怎么去判定或者怎么去求。首先第一个解方程，有些题目可以直接解，我们把这种方法我们称之为直接法，直接求函数的求直接求方程的根，方程的根就是函数零点。第二个是利用端点函数值异号来判定，这里专门有一个叫做零点存在性定理。叫零点存在性定理。第三个用数形结合根据图像有没有焦点的问题来判断。好，这里我们先把这个零点存在性定理讲一下，因为这个是比较重要的，叫零点存在性定理。那么是什么是零点存在性定理呢？就是如果FX在区间A到B上连续不断，所以必须是连续的。且满足FA乘以FB小于0，那么则FX在A到B开局间上至少存在一个零点。这就是零点存在性定理，就至少存在一个零点，那么反之注意，反之不成立。就比如说我举个反例，我们画一个二次函数图像，大家可以看一下。假设这个是A这个是B你看这个函数在A到B上存在2个0点，但是AA处对应的函数值和B处对应的函数值它是同号的，它并不是一号的，它相乘是大于零的。所以说反之它就不成立了，这个大家要注意。好，我们来看一下二次函数零点的关系。这个前面咱们已经讲过了，我们简单的复习一下就行了。我们要判断二次函数有没有零点，就是让Y为零，换句话就是解AX方加BX加C等于零这个方程有几根。那么要判断这个1元2次方程有没有根，就看根的判别式德耳。所以说德耳塔大于零有2根，零点个数是两个图像，就是这个图等于零相切与X轴相切就有一个根，就是X一等于X2都等于负的二的一分之B如果小于零就是无根，那么零点的个数也是两个，那么UX交点个数也是一个，这是二次函数的图像与里面的关系，这里面有几个重要的结论，我们来看一下。首先看第一个，若函数Y等于FX在B区间，A到B上的图像是一条连续不断的曲线，并且有FA乘以FB小于0，那么这函数一定有零点特别的当如果它还是个单调的函数，有且仅有一个理念。我们以前有一些这种题，就是判断你像那个还零点的个数和零点分布问题，都跟这一块的知识点是有关的。第二个我们来看一下第二个，由函数图像是连续不断的，在B区间A到B上有零点不一定能够推出。FA乘以FB它是小于零的，注意，不一定能够推出。刚才我已经讲过了，如图所示，这是我们刚才一个，所以说FA乘以FB小于零是FX在B区间上有零点的充分不必要注意，它这个条件是充分不必要条件。好，这是第二个重要的阶段。好，下面咱们针对前面的基础知识，我们来做一个景点。至于那个二分法，咱们不再讲了，你们因为一般来说每年的这个考官他不作为，基本是不考的，所以说我们也不作为重点去复习了。首先看第一个函数，FX等于ln 2X减一的零点区间位是什么呢？我们可以用那个定义，就是那个0.31性定理来判断，就是看区间端点是否一号对吧？来判断同号有可能有，但是一号一定是有的。所以说你就看哪个一号直接选就可以了。因为它这个是单选题。我们首先看F2、F0，F0这个是趋近于负无穷大，这个不再说了。我们看F1，F1等于ln 2减1，我们知道lin 2一定是小于lin一这个12.7828 20小于一的，所以这个一定是小于零了。好，这是第一个判断。然后第二个我们来看一下F2，F2就等于ln 4减1，ln 44是大于一的，所以说这个一定是大于零的。F3你看越大，那就是ln 6100的肯定也是大于零的。好，由一和二区间端点对应的函数值一号，所以说零点一定存在于1到2之间，此时的答案应该选D第二题函数FX等于X开三次根四减去两倍的E的负X幂的零点的个数为多少？好，这个就不一样了，这个大家注意，只要是超越函数。听好了，超越函数。什么是超越函数呢？不太正常的函数，你画图你画不出来，至少来说你超出你目前的能力范围，我们我们就怎么办呢？我们就可以构造双函数，什么意思呢？你要求这个零点不就是让FX等于零吗？减去二的一的负次方等于0。好，然后我们把它整理一下，那就相当于你解这个方程，就相当于解X开三次根式等于二倍的E的负X次幂。那么这个就我们就可以构造两个函数了。第一个函数Y等于X开三次根式，就是X3分之1次方与约Y等于二倍的E的X次幂分之一。那么就相当于这两个函数，它有几个焦点的问题，根据咱们所学的基本函数的画法，X3分之1次B向上图的横经过00和11。对于上级下级判断奇偶性，我们知道它一定是一个奇函数，这个是Y等于X的3分之1的图像。这个前面幂函数的基础知识我们已经讲过了，这个比较简单。那么一个大家注意，1分之1的X次幂可以写成二倍的。1分之1的X它是一个指数类型的单调递减了，取0的时候对应12，大家注意，取0的时候对应的是二单调递减，那么取一的话是小于一的，那么它的图像一定是这样的一个图。那这样弯下来，所以说它有且只有几个焦点，一个焦点，这个焦点一定位于0到1之间，所以此题答案选B注意，这里面我们这个方法称之为构构造构造双函数法，利用双函数图像的交点个数来判定的，构造双函数来做，这是第二题。下面我们来看第三题，已知函数FX等于一的X绝对值加X绝对值。若关于X方程有两个不同的实数根，那么则实数X取值范围一样的。我们画构造双函数。首先这个方程根，我们把这个方程可以转化成把X绝对值移过去，写成一的X绝对值等于负的X绝对值加上一个K那我们就构造两个函数，一个是Y等于一的X绝对值，一个是Y等于负的X绝对值加上一个K好，下面我们来画里面和绝对值的图像。第一个我们知道当大于零的时候就是一的X幂，它就是单调递减的一个图。小于零部分和大于零图像关于Y轴对称，你看人家头像是长成这个样子的。我写反了，稍等一下，我把它改一下，然后把它清，我把这个擦掉，稍等一下。保留大于零的部分，不是保留小于零的。好，我把这个整理一下。这个是一，是这样的，你看小就是保留大于零的部分图像，小于零关于外轴对称。这样的话好这个是注意，这个是Y等于一的X绝对值的图像，那么负X绝对值，它就是两条直线向下的。你看它这个开口向下的，因为本来X就是开口向上加个负号也是关于X轴对称。你如果你加个K，你可以上移，你看你也可以下移，对吧？如果你要有两个不等的实数根，那必须画成这样一个图才可以。那么这个就是零K这个点零点这个位置是K所以说K只要大于一就OK了。那有图可以做，只要可以大于一就行了。所以此题答案选B比较的简单，这个只要会构造双函数难度都不大好。我们再看第四题，已知实数A大于1，函数FX log以A为底X对数加X减M的零点所在区间为01，那么实数M的范围，那么这个零点所在区间既然是它，我们还是根据图像构造双函数，然后我们令它为零，令它为零，就把它构造成两个可画函数图像。那么一个是Y等于，一个是Y等于log，以A为底X对数与Y等于负X加M有两个有有不是有一个交点，这个交点的横坐标一之间，首先我们还是画出对数函数的图像，B大于一，它是单调递增的。这个是Y等于log以A为底X对数的图像，这是X轴Y轴。那么这个一次函数，注意，一次函数如果说你交点，你看你刚好一次函数Y等于负X图像。如果说你画的刚好经过一年的时候，大家看这个焦点就是一只有往下浇的时候，大家看啊往下浇的时候，那么你这个焦点才会0到1字线，那么这个位置横着就是这个纵截距就是M如果经过一年的时候，我们看啊把一年带进去，那么M值就是一，所以说只要让这个M的值小于一就可以了。有的说老师，那你往往下画也可以吗？可以，随便画，只要你小于一，它都是成立的。所以说此题答案选D完全由图像来做，这是第四题。下面我们来看最后一道题，偶函数FX满足FX减一等于FX加1，当X属于-1到0的时候，FX等于X方当。若函数GX等于FX减去log x加外面加绝对值，那么则X在0到10上的零点的个数。注意，这是一个周期的结论，前面课我们已经讲过了，或者你用迭代法一X加一替换X我写一下，以X加一来代换X得到FX就等于FX加一再加1加2，所以说函数的周期T就是2，现在我们来画这个图像，你这个GX等于0，那么就等价于FX等于log x的绝对值，现在我们先把FX图像给画出来。那不0到10上吗？首先-1到0，因为它是个偶函数，你-1到0这是负一，负一对应的是一，负一对应的是一。我画一条水平的线，这条线特别的关键。好，这是Y等于一直线。因为负一对应的是一，那么你根据偶函数的性质，那你一数对应的也是一，图像这边是实心的实心的点，这是第一个周期，-1到1是一个周期。二那么根据周期函数的这个性质，你这个1到2上也是这样的，也是一，不对，是1到3。说错了，1到3也是一个周期，也是一个周期。那我图上可以这样来画，这是2，那么从这我们接着画，因为你研究0到10，对不对？我们接着往后画，那么下一个周期就是3到5，再画一个周期，不要怕麻烦对吧？当然这个如果说很长的话，你就不要一直画了，太累了对吧？5到77到9，反正你这个图就是0到10，还无所谓。多的话我们就用省略号对吧，这个少，适当调理调节一下心情对吧。画完9到11，中间这个是十，这个画下来再画上去，这就结束了。我现在用另外一条线来画log x的垂直的图像，我们换一个绿色的，换一个环保颜色的。首先log x的图像是这样的，画虚线实数注意，这个十很重要，实数对应的是一，因为log十是一，所以他图像就是这一段全部都交过来。来看这个焦点的个数，马上就可以数出来了。一个个数它刚好经过十一这个点传过来了，所以这边是个空心的，这下面也是个空心的。因为你外面加绝对值，就相当于把X轴上下方的部分把它翻折到X轴的上方，所以它的图像有一部分是翻折上来的。所以说最后就是这样的两段来看绿色的实心的实线部分，我们来数一下这个焦点。我现在换紫色的线来紫色的，紫色的线来看一下这个焦点个数。首先数一数，小学生的数数，一个、两个、三个、四个、五个、六个儿七个八个，这还有俩不要看成一个了，九个、十个，此题的答案就选B如果说你小学数数还数错了，没办法，命中该有此劫，你就拿不到分数。好，那今天的课咱们就上到这里，下期我们再见。