13.3求简单随机时间发生的可能性的大小（基础篇）讲义 2025-2026学年北京版数学八年级上册

该初中数学讲义通过思维导图系统构建了简单随机事件可能性大小的知识体系，梳理了影响可能性的三大因素（事件性质、试验条件、样本空间）、游戏公平性的判断标准与设计原则，清晰呈现知识脉络及重难点内在联系。 讲义亮点在于“情境化问题解决”的练习设计，如通过“水中捞月”等成语判断事件类型、转盘游戏公平性分析，培养抽象能力与推理意识。题型覆盖基础判断到综合应用，助力中等生掌握概率计算与公平性设计方法，教师可据此实施分层教学，提升复习效率。

13.3求简单随机时间发生的可能性的大小 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 影响可能性大小的因素 1. 事件本身的性质：如“太阳从东方升起”是必然事件，可能性为1；“掷一枚骰子出现7点”是不可能事件，可能性为0。 2. 试验条件：在相同条件下重复试验，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，该常数即为可能性大小的近似值。 3. 样本空间：所有可能结果的总数与所求事件包含的结果数的比例，决定了理论可能性大小，如掷一枚均匀硬币，正面朝上的可能性为1/2。 判断游戏公平性的标准 1. 等可能性：若游戏规则使得每个参与者面临的可能结果及获胜条件对应的概率相等，则游戏公平；否则不公平。 2. 不受人为因素干扰：游戏过程中不存在偏向某一方的操作或规则漏洞，确保结果的随机性。 常见不公平游戏的情况 1. 规则偏向：如掷一枚质地不均匀的骰子，某一面朝上的概率大于其他面，以此制定的游戏规则不公平。 2. 信息不对称：一方掌握另一方不知道的影响结果的信息，导致双方获胜可能性不等。 3. 结果数不等：如游戏中一方有2种获胜结果，另一方有1种获胜结果，且所有结果等可能时，双方获胜可能性不同。 设计公平游戏的原则 1. 确保每个参与者的获胜概率相等，可通过调整游戏规则使各方对应的有利结果数占总结果数的比例相同。 2. 采用随机机制：如使用均匀的骰子、硬币，或通过抽签等方式保证结果的随机性，避免主观因素影响。 3. 明确游戏规则：使参与各方清楚获胜条件和操作流程，确保规则透明、无歧义。 型 习 练 题 判断事件发生的可能性大小 1．下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（    ） A．水中捞月 B．守株待兔 C．旭日东升 D．夕阳西下 2．下列成语所反映的事件中，属于不可能事件的是（   ） A．水中捞月 B．一箭双雕 C．旭日东升 D．夕阳西下 3．若一个事件不发生的机会是，那么这个事件（    ） A．很可能发生 B．必然发生 C．不可能发生 D．不大可能发生 4．在一个不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外完全相同，将球摇匀，从中任取1球．①恰好取出白球；②恰好取出黄球；③恰好取出红球．根据你的判断，将这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列是（    ） A．①③② B．②①③ C．①②③ D．③②① 5．盒子里有除颜色外完全相同的5个红球、4个黄球、3个绿球，小明每次任意摸出一个球，记录下颜色后放回，然后摇匀再摸．前6次摸球的情况为红球、红球、黄球、红球、红球、黄球，则第7次小明摸球摸出的球是（   ） A．红球 B．黄球 C．绿球 D．红球、黄球或绿球． 6．若气象部门预报明天下雨的概率是，下列说法正确的是（   ） A．明天一定不会下雨 B．明天下雨的可能性比较小 C．明天下雨的可能性比较大 D．明天一定会下雨． 游戏的公平性 7．小光和小明下跳棋，他们用掷骰子决定谁先走．小光用蓝色骰子，上面是1、6、8点各两面；小明用白色骰子，上面是3、5、7点各两面，每掷一次，谁点大，谁先走．你认为公平吗？怎样修改游戏规则，能使这个游戏公平呢？ 8．如图，现有一个转盘被分成六等份．分别标有数字1，2，3，4，5，6，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．（指向分界线时重新转动） (1)随机转动转盘一次，转出的数字是5的概率是_____． (2)小明和小亮一起做游戏，转动转盘一次，若转出的数字是3的倍数，则小明获胜，不是3的倍数，则小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请判断并说明理由． 9．小华和妹妹做游戏，游戏规则如下：小华先将3枚勋章放在如图所示的方格中，然后妹妹再从其余六个小正方形中任选一个放置勋章，若勋章所在方格构成的图形是轴对称图形，则小华获胜，否则妹妹获胜． 问上述游戏规则公平吗？请说明理由． 10．2025年春节期间电影《哪吒2：魔童闹海》火热上映，现有一张《哪吒2：魔童闹海》的电影票，小颖和小华都想获得，小明为她们出了一个主意：从印有数字1，2，2，3，3，4，5，6，7的9个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字为奇数，则小颖得到电影票；否则，小华得到电影票．你认为用这种方式获得电影票对小颖、小华公平吗？请说明理由． 11．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形，分别标有数字1，2，3，4，5，6，其中标有数字1的扇形的圆心角度数为；标有数字2，4及6的扇形的圆心角度数均为；标有数字3，5的扇形的圆心角度数均为．甲乙两人利用这个转盘做游戏：转动转盘一次，转盘停止后，若指针指向奇数，则甲获胜；若指针指向偶数，则乙获胜．你认为这个游戏对甲乙双方公平吗？为什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3求简单随机时间发生的可能性的大小 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 影响可能性大小的因素 1. 事件本身的性质：如“太阳从东方升起”是必然事件，可能性为1；“掷一枚骰子出现7点”是不可能事件，可能性为0。 2. 试验条件：在相同条件下重复试验，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，该常数即为可能性大小的近似值。 3. 样本空间：所有可能结果的总数与所求事件包含的结果数的比例，决定了理论可能性大小，如掷一枚均匀硬币，正面朝上的可能性为1/2。 判断游戏公平性的标准 1. 等可能性：若游戏规则使得每个参与者面临的可能结果及获胜条件对应的概率相等，则游戏公平；否则不公平。 2. 不受人为因素干扰：游戏过程中不存在偏向某一方的操作或规则漏洞，确保结果的随机性。 常见不公平游戏的情况 1. 规则偏向：如掷一枚质地不均匀的骰子，某一面朝上的概率大于其他面，以此制定的游戏规则不公平。 2. 信息不对称：一方掌握另一方不知道的影响结果的信息，导致双方获胜可能性不等。 3. 结果数不等：如游戏中一方有2种获胜结果，另一方有1种获胜结果，且所有结果等可能时，双方获胜可能性不同。 设计公平游戏的原则 1. 确保每个参与者的获胜概率相等，可通过调整游戏规则使各方对应的有利结果数占总结果数的比例相同。 2. 采用随机机制：如使用均匀的骰子、硬币，或通过抽签等方式保证结果的随机性，避免主观因素影响。 3. 明确游戏规则：使参与各方清楚获胜条件和操作流程，确保规则透明、无歧义。 型 习 练 题 判断事件发生的可能性大小 1．下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（    ） A．水中捞月 B．守株待兔 C．旭日东升 D．夕阳西下 【答案】A 【分析】本题考查了事件的分类，事件分为不可能事件、随机事件、必然事件，不可能事件可能性为0，必然事件可能性为1，随机事件可能性介于0和1之间，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 水中捞月是不可能事件，可能性为0； B. 守株待兔是随机事件，可能性大于0但小于1； C. 旭日东升是必然事件，可能性为1； D. 夕阳西下是必然事件，可能性为1﹒ 故选：A 2．下列成语所反映的事件中，属于不可能事件的是（   ） A．水中捞月 B．一箭双雕 C．旭日东升 D．夕阳西下 【答案】A 【分析】本题考查了随机事件、必然事件与不可能事件的概念辨析，解题的关键是明确“不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件”． 先界定必然事件、随机事件、不可能事件的定义，再结合每个成语的实际含义，判断对应事件的类型，筛选出不可能事件． 【详解】解：A、“水中捞月”指在水中打捞月亮，一定不会发生，此事件是不可能事件，该选项符合题意； B、“一箭双雕”指一箭射中两只雕，有可能发生也有可能不发生，此事件是随机事件，该选项不符合题意； C、“旭日东升”指早晨太阳从东方升起，一定发生，此事件是必然事件，该选项不符合题意； D、“夕阳西下”指傍晚太阳从西方落下，一定发生，此事件是必然事件，该选项不符合题意； 故选：A． 3．若一个事件不发生的机会是，那么这个事件（    ） A．很可能发生 B．必然发生 C．不可能发生 D．不大可能发生 【答案】D 【分析】本题主要考查了事件可能性大小问题、判断事件发生可能性的大小，能正确判断事件的可能性大小是解题的关键．根据事件发生的可能性大小逐项判断即可； 【详解】解：选项A：很可能发生，那么这个事件发生的可能性很大，不符合题意； 选项B：必然发生，那么这个事件一定会发生，不符合题意； 选项C：不可能发生，那么这个事件一定不会发生，不符合题意； 选项D：不大可能发生，那么这个事件发生的可能性很小，符合题意； 故选：D． 4．在一个不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外完全相同，将球摇匀，从中任取1球．①恰好取出白球；②恰好取出黄球；③恰好取出红球．根据你的判断，将这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列是（    ） A．①③② B．②①③ C．①②③ D．③②① 【答案】C 【分析】本题考查可能性大小，根据球的数量决定事件发生可能性大小解答即可． 【详解】解：∵白球数量（1个）＜黄球数量（2个）＜红球数量（3个）， ∴这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列是①②③， 故选：C． 5．盒子里有除颜色外完全相同的5个红球、4个黄球、3个绿球，小明每次任意摸出一个球，记录下颜色后放回，然后摇匀再摸．前6次摸球的情况为红球、红球、黄球、红球、红球、黄球，则第7次小明摸球摸出的球是（   ） A．红球 B．黄球 C．绿球 D．红球、黄球或绿球 【答案】D 【分析】本题考查了独立事件的概念，熟练掌握独立事件的概念是解决本题的关键． 根据题意可知每次摸球都是独立事件，前次结果不影响下次概率，由此可解． 【详解】解：盒中共有5红、4黄、3绿球，每次摸球后放回并摇匀， ∴每次摸球时各颜色球的数量和概率保持不变， 即红球概率为，黄球为，绿球为， 由于每次摸球独立，前6次结果不影响第7次， 故第7次摸球时，红、黄、绿球均有可能被摸出，只是概率不同． 故选：D ． 6．若气象部门预报明天下雨的概率是，下列说法正确的是（   ） A．明天一定不会下雨 B．明天下雨的可能性比较小 C．明天下雨的可能性比较大 D．明天一定会下雨 【答案】C 【分析】本题主要考查随机事件，熟练掌握随机事件的定义是解题的关键；因此此题可根据题意直接进行求解． 【详解】解：若气象部门预报明天下雨的概率是，说明明天下雨的可能性比较大； 故选C． 游戏的公平性 7．小光和小明下跳棋，他们用掷骰子决定谁先走．小光用蓝色骰子，上面是1、6、8点各两面；小明用白色骰子，上面是3、5、7点各两面，每掷一次，谁点大，谁先走．你认为公平吗？怎样修改游戏规则，能使这个游戏公平呢？ 【答案】不公平，见解析 【分析】本题主要考查游戏的公平性，有三种可能，当小光掷到6时，小明掷到7时比他大，也就是小明掷的点数比小光大的有四种可能；当小明掷到3时，小光掷到6和8时比他大，掷到5时，小光掷到6和8时比他大，掷到7时，小光掷到8时比他大．也就是小光掷的点数比小明大的有5种可能；所以不公平．要想让这个游戏公平：如果小光用1、6、8的骰子，小明用3、6、7的骰子，那么游戏就公平了．其中有一个面数字相同． 【详解】解：这个游戏不公平，因为当小光掷到1时，小明掷到哪个面都比他大，有三种可能，当小光掷到6时，小明掷到7时比他大，也就是小明掷的点数比小光大的有四种可能；当小明掷到3时，小光掷到6和8时比他大，掷到5时，小光掷到6和8时比他大，掷到7时，小光掷到8时比他大．也就是小光掷的点数比小明大的有5种可能；所以不公平． 可以这样修改：如果小光用1、6、8的骰子，小明用3、6、7的骰子，那么游戏就公平了．其中有一个面数字相同． 8．如图，现有一个转盘被分成六等份．分别标有数字1，2，3，4，5，6，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．（指向分界线时重新转动） (1)随机转动转盘一次，转出的数字是5的概率是_____． (2)小明和小亮一起做游戏，转动转盘一次，若转出的数字是3的倍数，则小明获胜，不是3的倍数，则小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请判断并说明理由． 【答案】(1)； (2)不公平，理由见解析． 【分析】本题考查了简单的概率公式及游戏公平性的判断，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据简单的概率公式求解即可； （2）根据题意，转出的数字是的倍数只有两个，不是的倍数有四个，从而判断得出答案． 【详解】（1）解：随机转动转盘一次，转出的数字是5的概率是， 故答案为：； （2）解：不公平，理由如下： 转盘中的倍数有和两个数，而不是的倍数有共四个数， ∴小明获胜的概率为：，小亮获胜的概率为：， ∵， ∴这个游戏对双方不公平． 9．小华和妹妹做游戏，游戏规则如下：小华先将3枚勋章放在如图所示的方格中，然后妹妹再从其余六个小正方形中任选一个放置勋章，若勋章所在方格构成的图形是轴对称图形，则小华获胜，否则妹妹获胜． 问上述游戏规则公平吗？请说明理由． 【答案】不公平，理由见详解 【分析】本题考查了概率的计算与游戏公平性的判断，具体涉及以下知识点：等可能事件概率的计算，游戏公平性的标准，轴对称图形的概念应用，理解这些是计算相关概率的关键前提． 分别计算出小华获胜和妹妹获胜的概率，通过找出妹妹放置勋章后能使图形成为轴对称图形的所有情况，来计算小华获胜的概率；用总情况数减去小华获胜的情况数得到妹妹获胜的情况数，进而计算妹妹获胜的概率 【详解】解：妹妹从其余六个小正方形中任选一个放置勋章， 所以总共有 6 种等可能的结果． 通过观察图形，我们发现妹妹放置勋章后能使图形成为轴对称图形的情况有 4 种， 小华获胜的概率：． 妹妹获胜的概率：． 因为，即小华获胜的概率大于妹妹获胜的概率， 所以此游戏规则不公平． 10．2025年春节期间电影《哪吒2：魔童闹海》火热上映，现有一张《哪吒2：魔童闹海》的电影票，小颖和小华都想获得，小明为她们出了一个主意：从印有数字1，2，2，3，3，4，5，6，7的9个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字为奇数，则小颖得到电影票；否则，小华得到电影票．你认为用这种方式获得电影票对小颖、小华公平吗？请说明理由． 【答案】不公平，见解析 【分析】本题考查了公平性问题． 比较两人得票概率即可． 【详解】解：任意摸出一球，共有9种等可能的结果，其中摸到一个球的球面数字为奇数的结果有5种，摸到偶数的结果有4种． ∴（小颖得到电影票），（小华得到电影票）， ∵， ∴这种方式不公平． 11．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形，分别标有数字1，2，3，4，5，6，其中标有数字1的扇形的圆心角度数为；标有数字2，4及6的扇形的圆心角度数均为；标有数字3，5的扇形的圆心角度数均为．甲乙两人利用这个转盘做游戏：转动转盘一次，转盘停止后，若指针指向奇数，则甲获胜；若指针指向偶数，则乙获胜．你认为这个游戏对甲乙双方公平吗？为什么？ 【答案】这个游戏对甲乙双方公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断，分别求出甲获胜与乙获胜的概率，比较大小即可．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 【详解】解：这个游戏对甲乙双方公平，理由如下： 标有数字1的扇形的圆心角为；标有数字2，4及6的扇形的圆心角均为；标有数字3，5的扇形的圆心角均为， 指针指向奇数的有：，指针指向偶数的有：， 甲获胜乙获胜， 这个游戏对甲、乙双方公平． 学科网（北京）股份有限公司 $