13.3求简单随机事件发生的可能性的大小（题型专练）数学北京版2024八年级上册

13.3 求简单随机事件发生的可能性的大小 题型一 概率意义的理解 1．（2022九年级·浙江·专题练习）小敏同学连续抛了两次硬币，都是正面朝上，那么他第三次抛硬币时，出现正面朝上的概率是（    ） A．0 B．1 C． D． 2．（2021九年级上·全国·专题练习）下面4个说法中，正确的个数为 ． （1）“从袋中取出一只红球的概率是99%”，这句话的意思是肯定会取出一只红球，因为概率已经很大．　 （2）袋中有红、黄、白三种颜色的小球，这些小球除颜色外没有其他差别，因为小张对取出一只红球没有把握，所以小张说：“从袋中取出一只红球的概率是50%”．　 （3）小李说“这次考试我得90分以上的概率是200%”． （4）“从盒中取出一只红球的概率是0”，这句话是说取出一只红球的可能性很小． 3．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如果事件A发生的概率是，那么在相同条件下重复试验，下列说法正确的是（    ） A．做200次这种试验，事件A必发生1次 B．做200次这种试验，事件A发生的频率是 C．做200次这种试验，事件A可能发生1次 D．做200次这种试验，前199次事件A没发生，最后1次事件A才发生 4．（2023八年级下·江苏·专题练习）某校艺术节的乒乓球比赛中，小明同学顺利进入决赛．有同学预测“小明夺冠的可能性是”，则对该同学的说法理解最合理的是（   ） A．小明夺冠的可能性较大 B．小明夺冠的可能性较小 C．小明肯定会赢 D．若小明比赛10局，他一定会赢8局 5．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）若某随机事件发生的概率为，则该事件在一次试验中（   ） A．一定不发生 B．可能发生，也可能不发生 C．一定发生 D．以上都不对 6．（21-22八年级上·北京通州·期末）有两个正方体的积木块，如图所示． 下面是小怡投掷某块积木200次的情况统计表： 灰色的面朝上 白色的面朝上 32次 168次 根据表中的数据推测，小怡最有可能投掷的是 号积木． 题型二 根据概率公式计算概率 7．（2025·北京·中考真题）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川攀枝花·中考真题）班级里有位女同学和位男同学，每位同学的名字都被分别写在一张小纸条上，放入一个盒中搅匀，如果班长已经抽出了6张纸条，其中写有2位女同学和4位男同学的名字，他把这6张纸条放在桌上，闭上眼睛在盒中余下的纸条中再抽第7张，那么这张纸条上写的是男同学的名字的概率为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级下·河北邢台·期中）一个不透明的盒子里有5个红球、3个黄球和2个蓝球，这些球仅颜色不同．从中任意摸出一球，则下列说法中错误的是（   ） A．摸到红球的概率最大 B．摸到蓝球的概率最小 C．摸到黄球的概率为 D．摸到蓝球的概率为 10．（24-25八年级下·北京·期末）在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，其中有5个黄球、4个蓝球，这些球除颜色外完全相同．随机摸出一个小球，若摸出红球的概率为，则摸出黄球的概率为 ． 11．（24-25九年级上·广东中山·期末）如图，是某公园的进口，是不同的出口，若小华从处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从东面出口出来的概率为 ． 12．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）一个不透明的口袋中装有6个白球和10个红球，4个黄球，每个球除颜色外都相同．从口袋中任意摸出一个球． (1)（摸到红球）________； (2)（摸到不是白球）________； (3)从口袋中取走个红球，使摸到红球和白球的概率相等，求的值． 13．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个而标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”． (1)任意掷这枚骰子，掷出“6”的概率是多少？ (2)任意掷这枚骰子，掷出“3的倍数”的概率是多少？ (3)任意掷这枚骰子，掷出“奇数”和掷出“偶数”的概率哪个大？ 题型三 已知概率求数量 14．（22-23九年级上·全国·期中）在一个不透明口袋中，装有若干个颜色不同其余相同的球，若口袋中装有4个黄球，且摸到黄球的概率为，那么口袋中球的总个数为（　　） A．4 B．8 C．9 D．12 15．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有3个，黄球有2个，现从中任意摸出一个是白球的概率为，则袋中蓝球的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 16．（24-25七年级下·广东清远·期末）在一个不透明的口袋中，装有2个白球，3个黄球，若干个红球，它们除颜色外没有任何区别．经过大量重复试验，发现充分搅匀后随机摸出一球，恰好是白球的概率稳定在，则口袋中红球的个数是 17．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球7个． (1)摸出的球是白球是______；（从“随机事件”，“必然事件”，“不可能事件”中选一个填空） (2)求任意摸出一个球是黑球的概率； (3)小明从盒子里取出个白球，放入个黑球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是白球的概率为，则______． 18．（18-19七年级下·全国·单元测试）一个不透明口袋中装有红球个，黄球个，绿球个，这些球除颜色外没有任何其他区别．从中任意摸出一个球． (1)计算摸到的是绿球的概率． (2)如果要使摸到绿球的概率为，需要在这个口袋中再放入多少个绿球？ 19．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）一个袋子中装有红、白、黄三种颜色的球（这些球除颜色外其余完全相同），小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、白球的频率分别稳定在和，且白球有8个． (1)求袋子中球的总数； (2)求摸到黄球的概率． 20．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）一个不透明盒子中装有8张红色卡牌和6张白色卡牌，两种卡牌除颜色外完全相同，将盒子中的卡牌充分摇匀． (1)求随机取出一张卡牌是白色卡牌的概率； (2)为了使取出两种卡牌的概率相同，再向盒子中放入红色卡牌和白色卡牌共6张，求再放入的白色卡牌的张数． 题型一 几何概率 21．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）一个小球（看作一点）在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外，其他完全相同，则小球最终停留在黑色方砖上的概率是（　　） A． B． C． D． 22．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图是由4块完全相同的正方形瓷砖铺成的地面，若一只蚂蚁爬到该区域内，停留在区域内的任意位置（分隔线忽略不计），则蚂蚁停留在阴影区域内的概率是（    ） A． B． C． D． 23．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，将一枚飞镖任意投掷到边长为8的正方形镖盘内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 24．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，现随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 结果保留 25．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图，一只蚂蚁在区域内爬行，是的中线，，分别为，的中点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为 ． 26．（24-25七年级下·山西运城·期末）如图，这是一个正八边形转盘被分成了8等份，其中1个区域标有数字“1”，2个区域标有数字“2”，2个区域标有数字“3”，3个区域标有数字“4”，指针位置固定，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即转出的数字（若指针指向分界线，则重新转）． (1)转动转盘一次，转盘停止后，求指针指向数字3的概率． (2)转动转盘一次，转盘停止后，求指针指向的数字为偶数的概率． 题型二 游戏公平性 27．（2025七年级上·广东·专题练习）用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（   ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 28．（24-25七年级下·河南郑州·期中）一个不透明的箱子中放有1个红球、2个黄球和3个黑球，这些小球除颜色外都相同，小明、小芳、小雪三人先后去摸球，每人每次只能摸出一个球，每次摸出球后放回，摸出红球的人获得礼品（可以所有人都获得礼品）．你觉得这个游戏（    ） A．对所有人都公平 B．无法判断是否公平 C．先摸者获得礼品的可能性大 D．后摸者获得礼品的可能性大 29．（2025·安徽合肥·二模）五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三人都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的色子，将两枚色子点数相加后除以3，规定：当正好整除时姐姐去，当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去．这个游戏（   ） A．是公平的 B．有利于姐姐 C．有利于哥哥 D．有利于妹妹 30．（2025·湖北·模拟预测）如图，两个带指针的转盘A，B分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是2，5，9，转盘B上的数字分别是3，6，8（两个转盘除表面数字不同之外，其他完全相同）．小美拨动A转盘上的指针，小丽拨动B转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次），则 （填“小美”或“小丽”）获胜的可能性大． 31．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，为了确定谁去听讲座，小明想了一个办法：他拿出一个装有质地、大小均相同的个红球与个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红球，那么妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，那么小明去听讲座．则该办法 （填“公平”或“不公平”）． 32．（20-21九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． (1)这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； (2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 理由如下： 由树状图可以看出：共有12种可能，摸到“一白一红”有4种，摸到“一红一蓝”的情况有2种， 故小颖获胜的概率为= ，小亮获胜的概率为=，所以这个游戏不公平． 33．（2025·广东韶关·模拟预测）甲、乙两人玩如图所示的转盘游戏，游戏规则是：转盘被平均分为个区域，颜色分别为黑、白、红，转动转盘时，指针指向的颜色，即为转出的颜色（如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次）．两人参与游戏，一人转动两次转盘，另一人对转出的颜色进行猜测．若转出的颜色与猜测的人描述的特征相符，则猜测的人获胜；否则，转动转盘的人获胜．猜测的方法从下面三种方案中选一种． ．猜“颜色相同” ；．猜“一定有黑色”；．猜“没有黑色”．    请利用所学的概率知识回答下列问题： (1)用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果； (2)如果你是猜测的人，你将选择哪种猜测方案，才能使自己获胜的可能性最大？为什么？ 34．（24-25七年级下·河南郑州·期末）小明和小亮都想参加学校社团组织的暑期实践活动，但只剩下一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个可以自由转动的转盘等分成个扇形，分别标有，，，，，，，，，这个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明转动转盘，小亮猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则小亮参加活动，否则小明参加活动．猜数的方法从下面两种中选一种：①猜“是的倍数”或“不是的倍数”；②猜“是大于的数”或“不是大于的数”． (1)猜“是的倍数”的概率是_______； (2)如果你是小亮，那么为了尽可能参加活动，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？为什么？ (3)你认为这两种猜数方法对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一种对双方都公平的猜数方法． 题型三 概率在比赛中的应用 35．（23-24九年级上·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 36．（21-22九年级上·河北廊坊·期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题， (1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？ 37．（22-23九年级上·全国·单元测试）某篮球运动员去年共参加40场比赛，其中3分球的命中率为0.25，平均每场有12次3分球未投中． (1)该运动员去年的比赛中共投出多少个3分球？共投中多少个3分球？ (2)在其中的一场比赛中，该运动员3分球共出手20次，小明说，该运动员这场比赛中一定投中了5个3分球，你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 38．（24-25九年级下·全国·随堂练习）王大伯在保险箱中放入50000元人民币，并设置了4位数的密码，每个数字都是这十个数字中的一个，但由于年龄的缘故，他把密码中间的两个数字忘了，那么王大伯胡乱输入密码，恰好能打开保险箱的事件是 事件；若每次输入的密码不重复，则他最多可能试 次，才能正确输入密码． 39．（21-22八年级上·北京房山·期末）口袋里有除颜色外其它都相同的个红球和个黑球． (1)先从袋子里取出个黑球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件． 如果事件是必然事件，请直接写出的值； 如果事件是随机事件，请直接写出的值． (2)先从袋子中取出个黑球，再放入个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，求的值． 40．（24-25八年级上·北京房山·期末）初二（1）班数学课实施积分奖励制度，满足以下某一条件的同学便可在课下转一次转盘获得相应积分：①作业优秀或课上积极回答问题；②通过小组合作交流有效解决问题，并展示成果；③发现并提出有价值的问题．每周评选出个人总分和小组总分优胜者，进行奖励． 同学们自己动手制作了一个可以自由转动的转盘．如图所示，把一个圆分成形状相同，面积相等的16个扇形区域．其中有部分区域写有积分，奖励10分的区域有2个，5分的区域有3个，2分的区域有5个，规定转盘停止后，如果指针对准某个有积分的区域，那么就可以获得这个区域上所标的积分 (1)求某同学转一次转盘获得各个积分的可能性大小． (2)同学们觉得获得5分的可能性太小了，想调整获得5分的可能性为，使得其他积分的可能性不变．则需要将多少个无积分的扇形区域写上5分？ 41．（22-23八年级上·北京房山·期末）将个0或排列在一起组成一个数组，记为，其中取0或，称是一个元完美数组（且为整数）.例如：，都是2元完美数组，，都是4元完美数组.定义以下两个新运算： 新运算1：对于， 新运算2：对于任意两个元完美数组和，．例如：对于3元完美数组和，有． (1)①在，，中是2元完美数组的有_____； ②设，，则______； (2)已知完美数组，求出所有4元完美数组，使得； (3)现有个不同的2022元完美数组，是正整数，且对于其中任意的两个完美数组，满足，则的最大可能值是______． 42．（21-22八年级上·北京海淀·期末）文具店购进了20盒“2B铅笔”，但在销售过程中发现其中混入了若干“HB铅笔”，店员进行统计后发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB铅笔”，具体数据如下表： 混入“HB”铅笔数 0 1 2 盒数 6 m n （1）用等式写出m、n满足的关系式__________； （2）从20盒中任意选取1盒； ①“盒子中没有混入HB铅笔”是________事件； ②若“盒中混入1支HB铅笔”的概率为0.25，求m、n的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.3 求简单随机事件发生的可能性的大小 题型一 概率意义的理解 1．（2022九年级·浙江·专题练习）小敏同学连续抛了两次硬币，都是正面朝上，那么他第三次抛硬币时，出现正面朝上的概率是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据概率的意义判断即可． 【详解】解：小敏同学连续抛了两次硬币，都是正面朝上，那么他第三次抛硬币时，出现正面朝上的概率是：， 故选：C． 【点睛】本题考查了概率的意义和计算，抛一枚质地均匀的硬币时，每次正面朝上和反面朝上的概率都是相同的． 2．（2021九年级上·全国·专题练习）下面4个说法中，正确的个数为 ． （1）“从袋中取出一只红球的概率是99%”，这句话的意思是肯定会取出一只红球，因为概率已经很大．　 （2）袋中有红、黄、白三种颜色的小球，这些小球除颜色外没有其他差别，因为小张对取出一只红球没有把握，所以小张说：“从袋中取出一只红球的概率是50%”．　 （3）小李说“这次考试我得90分以上的概率是200%”． （4）“从盒中取出一只红球的概率是0”，这句话是说取出一只红球的可能性很小． 【答案】0 【分析】有概率的定义：某事件发生可能性的大小，可对（1）进行判断；根据等可能性可对（2）进行判断；根据概率的取值范围：，可对（3）进行判断；根据不可能事件的概率为0，可对（4）进行判断． 【详解】（1）中即使概率是99%，只能说取出红球的可能性大，但是仍然有取出不是红球的可能，所以（1）错误；　 （2）因为有三个球，机会相等，所以概率应该是，所以（2）错误；　　 （3）概率的取值范围是，不可能达到，所以（3）错误； （4）概率为0，说明事件是不可能事件，故不可能取到红球，所以（4）错误． 故答案为：0． 【点睛】本题考查概率的定义，关键是理解概率是反映事件可能性大小的量，概率小的又可能发生，概率大的有可能不发生，一定发生的事件是必然事件，概率为1，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，概率为，一定不发生的事件是不可能事件，概率为0． 3．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如果事件A发生的概率是，那么在相同条件下重复试验，下列说法正确的是（    ） A．做200次这种试验，事件A必发生1次 B．做200次这种试验，事件A发生的频率是 C．做200次这种试验，事件A可能发生1次 D．做200次这种试验，前199次事件A没发生，最后1次事件A才发生 【答案】C 【分析】本题考查了概率的意义.直接利用概率的意义分别分析得出答案． 【详解】解：A.做次这种试验，事件必发生次，事件A不一定发生，故错误； B. 做200次这种试验，事件发生的频率是，频率不等于概率，故此选项错误； C. 做次这种试验，事件可能发生次，正确； D. 做次这种试验中，前次事件没发生，后次事件发生，事件A不一定发生，故错误． 故选：C． 4．（2023八年级下·江苏·专题练习）某校艺术节的乒乓球比赛中，小明同学顺利进入决赛．有同学预测“小明夺冠的可能性是”，则对该同学的说法理解最合理的是（   ） A．小明夺冠的可能性较大 B．小明夺冠的可能性较小 C．小明肯定会赢 D．若小明比赛10局，他一定会赢8局 【答案】A 【分析】本题考查概率的意义，准确理解概率的意义是解题的关键．根据概率的意义分别对各选项进行判断即可． 【详解】解：根据题意，有人预测李东夺冠的可能性是，结合概率的意义， A、小明夺冠的可能性较大，故本选项符合题意； B、小明夺冠的可能性较大，故选项不符合题意； C、小明赢的可能性较大，故选项不符合题意； D、若小明比赛10局，他可能会赢8局，故选项不符合题意． 故选：A． 5．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）若某随机事件发生的概率为，则该事件在一次试验中（   ） A．一定不发生 B．可能发生，也可能不发生 C．一定发生 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了概率，概率是反映事件发生机会的大小的概念，可能发生也可能不发生，理解概率的定义是解题的关键． 【详解】解：∵某随机事件发生的概率为， 根据概率的意义可知，该事件在一次试验中可能发生，也可能不发生， 故选：． 6．（21-22八年级上·北京通州·期末）有两个正方体的积木块，如图所示． 下面是小怡投掷某块积木200次的情况统计表： 灰色的面朝上 白色的面朝上 32次 168次 根据表中的数据推测，小怡最有可能投掷的是 号积木． 【答案】② 【分析】计算出①号积木、②号积木朝上的面为白色、为灰色的概率，再求出小怡掷200次积木的实验频率，进行判断即可． 【详解】①号积木由于三面灰色，三面白色，因此随机掷1次，朝上的面是白色、灰色的可能性都是， ②号积木由于一面灰色，五面白色，因此随机掷1次，朝上的面是灰色的可能性都是，是白色的可能性为， 由表格中的数据可得，小怡掷200次积木得到朝上的面为灰色的频率为，白色的频率为， 故选择的是②号积木， 理由：小怡掷200次积木的实验频率接近于②号积木相应的概率． 故答案为② 【点睛】本题主要考查频率与概率的关系，解题的关键是正确理解实验频率与概率的关系． 题型二 根据概率公式计算概率 7．（2025·北京·中考真题）一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率=事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【详解】解：∵袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，从袋子中随机摸出一个球， ∴摸出的球是白球的概率是． 故选：A． 8．（2024·四川攀枝花·中考真题）班级里有位女同学和位男同学，每位同学的名字都被分别写在一张小纸条上，放入一个盒中搅匀，如果班长已经抽出了6张纸条，其中写有2位女同学和4位男同学的名字，他把这6张纸条放在桌上，闭上眼睛在盒中余下的纸条中再抽第7张，那么这张纸条上写的是男同学的名字的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了概率公式，计算剩余纸条中男同学名字的概率，需先确定剩余男同学和总剩余纸条的数量，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：总人数与剩余纸条数：班级共有女同学人，男同学人， 总人数为（人）， 班长已抽出6张纸条，剩余纸条数为张． ∵已抽出的6张中有2位女同学和4位男同学， 因此剩余女同学为（人），剩余男同学为（人）． ∴第7张纸条从剩余张中随机抽取，抽到男同学的概率为剩余男同学人数与剩余总人数的比值，即． 故选：D． 9．（24-25九年级下·河北邢台·期中）一个不透明的盒子里有5个红球、3个黄球和2个蓝球，这些球仅颜色不同．从中任意摸出一球，则下列说法中错误的是（   ） A．摸到红球的概率最大 B．摸到蓝球的概率最小 C．摸到黄球的概率为 D．摸到蓝球的概率为 【答案】C 【分析】本题主要考查了事件可能性大小以及简单概率计算，熟练掌握简单概率公式是解题关键．根据可能性等于所求情况数与总情况数之比、简单概率计算公式，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、因为盒子里红球数量最多，所以摸到红球的概率最大，该选项说法正确，不符合题意； B、 因为盒子里蓝球数量最少，摸到蓝球的概率最小，该选项说法正确，不符合题意； C、因为盒子里共装有个球，3个黄球，所以摸到黄球的概率为，该选项说法错误，符合题意； D、摸到蓝球的概率为，故该选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 10．（24-25八年级下·北京·期末）在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，其中有5个黄球、4个蓝球，这些球除颜色外完全相同．随机摸出一个小球，若摸出红球的概率为，则摸出黄球的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求概率，以及根据概率求数量．用黄球和蓝球除以它们的概率之和可求出球的总数量，即可求解． 【详解】解：球的总数量为个， ∴摸出黄球的概率为． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·广东中山·期末）如图，是某公园的进口，是不同的出口，若小华从处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从东面出口出来的概率为 ． 【答案】 【分析】根据简单概率公式计算概率即可． 本题考查了简单概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：一共有5种等可能性，其中从东面出口出来的可能性有3种， 故从东面出口出来的概率为． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）一个不透明的口袋中装有6个白球和10个红球，4个黄球，每个球除颜色外都相同．从口袋中任意摸出一个球． (1)（摸到红球）________； (2)（摸到不是白球）________； (3)从口袋中取走个红球，使摸到红球和白球的概率相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为4 【分析】本题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式计算可得． （2）直接利用概率公式计算可得． （3）直接利用概率公式计算可得． 【详解】（1）解：（摸到红球）， 故答案为：； （2）解：（摸到不是白球）， 故答案为：； （3）解：根据题意得， 解得，， 经检验，是原方程的解， 所以，的值为4 13．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个而标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”． (1)任意掷这枚骰子，掷出“6”的概率是多少？ (2)任意掷这枚骰子，掷出“3的倍数”的概率是多少？ (3)任意掷这枚骰子，掷出“奇数”和掷出“偶数”的概率哪个大？ 【答案】(1) (2) (3)掷出“偶数”的概率较大． 【分析】本题主要考查概率知识，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率的计算公式，先求出标有“6”的面数，然后利用概率公式计算可得答案； （2）找到“3的倍数”的面数，然后利用概率公式计算可得答案； （3）根据标有“偶数”的面数之和与总面数的比即可求得掷出“偶数”的概率和掷出“奇数”的概率，再比较即可求解． 【详解】（1）解：∵骰子有20个面，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个而标有“4”，5个面标有“5”，其余的而标有“6”． ∴标有“6”的面数为5面， ∴掷出“6”的概率是； （2）解：∵标有“6”的面数为5面，标有“3”的面数为3面， ∴掷出“3的倍数”的概率是； （3）解：∵标有“6”的面数为5面，2个面标有“2”，4个而标有“4”， ∴掷出“偶数”的概率是； ∴掷出“奇数”的概率是； ∵， ∴掷出“偶数”的概率较大． 题型三 已知概率求数量 14．（22-23九年级上·全国·期中）在一个不透明口袋中，装有若干个颜色不同其余相同的球，若口袋中装有4个黄球，且摸到黄球的概率为，那么口袋中球的总个数为（　　） A．4 B．8 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了已知概率求数量，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．熟练掌握概率公式是解题的关键． 根据概率公式即可求解． 【详解】解：由题意得，口袋中球的总个数为， 故选：D． 15．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有3个，黄球有2个，现从中任意摸出一个是白球的概率为，则袋中蓝球的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．根据蓝球的概率公式列出方程求解即可． 【详解】解：设袋中蓝球的个数是m，则袋中共有个小球， 由题意得：， 解得：， 即袋中蓝球的个数是1， 故选：D． 16．（24-25七年级下·广东清远·期末）在一个不透明的口袋中，装有2个白球，3个黄球，若干个红球，它们除颜色外没有任何区别．经过大量重复试验，发现充分搅匀后随机摸出一球，恰好是白球的概率稳定在，则口袋中红球的个数是 【答案】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题关键．由摸到白球的频率稳定在附近得出口袋中得到白色球的概率，进而利用概率公式求出红球个数即可． 【详解】解：设红球个数为个， ∵摸到白色球的频率稳定在左右， ∴口袋中得到白色球的概率为， ∴， 解得：， 故红球的个数为个． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球7个． (1)摸出的球是白球是______；（从“随机事件”，“必然事件”，“不可能事件”中选一个填空） (2)求任意摸出一个球是黑球的概率； (3)小明从盒子里取出个白球，放入个黑球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是白球的概率为，则______． 【答案】(1)随机事件 (2) (3)2 【分析】本题考查简单事件的概率计算，事件的分类，理解题意是解答的关键． （1）根据事件的分类求解即可； （2）根据简单事件的概率计算公式求解即可； （3）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）∵红球3个，白球5个，黑球7个 ∴摸出的球是白球是随机事件， 故答案为：随机事件； （2）∵红球3个，白球5个，黑球7个 ∴任意摸出一个球是黑球的概率是； （3）根据题意得， ， 即 解得． 18．（18-19七年级下·全国·单元测试）一个不透明口袋中装有红球个，黄球个，绿球个，这些球除颜色外没有任何其他区别．从中任意摸出一个球． (1)计算摸到的是绿球的概率． (2)如果要使摸到绿球的概率为，需要在这个口袋中再放入多少个绿球？ 【答案】(1)； (2)再放入个绿球． 【分析】本题考查概率公式，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 口袋中共有个球，每个球被摸到的机会相等，其中有个绿球，所以摸到绿球的概率为； 设需要在这个口袋中再放入个绿球，因为增加后摸到绿球的概率是，所以增加绿球后绿球的个数占总数的，列方程求解即可． 【详解】（1）解：口袋中装有红球个，黄球个，绿球个，共个球， 其中绿球的个数是个， 任意摸出一个球是绿球的概率为； （2）解：设需要在这个口袋中再放入个绿球， 根据题意可得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 答：需要在这个口袋中再放入个绿球． 19．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）一个袋子中装有红、白、黄三种颜色的球（这些球除颜色外其余完全相同），小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、白球的频率分别稳定在和，且白球有8个． (1)求袋子中球的总数； (2)求摸到黄球的概率． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查了利用频率估计概率． （1）根据摸到白球的频率稳定在，且白球有8个，列式计算即可； （2）先根据红球的频率求出红球的个数，再求出黄球的个数，最后利用概率公式即可得到结论． 【详解】（1）解：因为摸到白球的频率稳定在 ，且白球有8个， 则球的总数为（个）； （2）解：红球频率为， 则红球个数为（个）， 黄球个数为（个）， 摸到黄球的概率． 20．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）一个不透明盒子中装有8张红色卡牌和6张白色卡牌，两种卡牌除颜色外完全相同，将盒子中的卡牌充分摇匀． (1)求随机取出一张卡牌是白色卡牌的概率； (2)为了使取出两种卡牌的概率相同，再向盒子中放入红色卡牌和白色卡牌共6张，求再放入的白色卡牌的张数． 【答案】(1) (2)再放入的白色卡牌的张数为4张 【分析】本题考查求概率，利用概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）直接利用概率公式进行求解即可； （2）设再放入的白色卡牌张，进而得到放入红色卡牌张，根据取出两种卡牌的概率相同，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：随机取出一张卡牌是白色卡牌的概率为； （2）设再放入的白色卡牌张，则放入红色卡牌张，由题意，得： ， 解得：； 答：再放入的白色卡牌的张数为4张． 题型一 几何概率 21．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）一个小球（看作一点）在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外，其他完全相同，则小球最终停留在黑色方砖上的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何概率；根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：∵总面积为9个方砖的面积，其中黑色方砖有4个， ∴小球最终停留在黑色方砖上的概率是． 故选：A． 22．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图是由4块完全相同的正方形瓷砖铺成的地面，若一只蚂蚁爬到该区域内，停留在区域内的任意位置（分隔线忽略不计），则蚂蚁停留在阴影区域内的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 由图可得该正方形由4块一模一样的直角三角形组成，其中阴影区域由2个一模一样的直角三角形组成，再根据概率公式即可求解． 【详解】解：由题意得，蚂蚁停留在阴影区域内的概率是， 故选：D． 23．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，将一枚飞镖任意投掷到边长为8的正方形镖盘内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，圆的直径为正方形的边长即直径为８，，用小正方形的面积除以大正方形的面积即可． 本题考查了几何概率计算，正确理解概率的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵边长为8的正方形镖盘， ∴圆的直径为正方形的边长即直径为， 连接， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故飞镖落在阴影区域的概率为， 故选：C． 24．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，现随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 结果保留 【答案】 【分析】用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求得答案． 本题主要考查了几何概率的知识，解题的关键是了解概率的求法，难度不大． 【详解】解：正方形的边长为2， 阴影部分的面积，正方形的面积为4， 随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 故答案为： 25．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图，一只蚂蚁在区域内爬行，是的中线，，分别为，的中点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用三角形的中线的性质求面积，几何概率的含义，设，根据三角形的中线的性质求解，，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：设， ∵，分别为，的中点， ∴，，， ∵是的中线， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴蚂蚁停留在阴影区域的概率为， 故答案为： 26．（24-25七年级下·山西运城·期末）如图，这是一个正八边形转盘被分成了8等份，其中1个区域标有数字“1”，2个区域标有数字“2”，2个区域标有数字“3”，3个区域标有数字“4”，指针位置固定，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即转出的数字（若指针指向分界线，则重新转）． (1)转动转盘一次，转盘停止后，求指针指向数字3的概率． (2)转动转盘一次，转盘停止后，求指针指向的数字为偶数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键是熟练掌握概率公式． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）先求出所以标有偶数的区域的个数，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：转盘被分成了8等份，其中2个区域标有数字“3”， 所以指针指向数字3的概率． （2）解：因为2和4是偶数，2个区域标有数字“2”，3个区域标有数字“4”，所以标有偶数的区域有5个， 所以指针指向的数字为偶数的概率． 题型二 游戏公平性 27．（2025七年级上·广东·专题练习）用如下方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平的方式有（   ）种． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查判断游戏是否公平，解题的关键是看游戏中双方赢的概率是否相等．根据题中图片，逐个分析即可求解． 【详解】第一个图片：箱子里有4个黑球，4个白球，任意摸出一个球，摸到黑球和白球的可能性相同，所以用摸球的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 第二个图片：转盘中乙队的区域比甲队的区域大，则转到乙队的可能性大，乙队获胜的可能性比甲队大，所以用转盘的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，不公平； 第三个图片：硬币只有正、反两面，抛一次硬币，正面朝上和反面朝上的可能性相等，所以用抛硬币的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 第四个图片：1～6中，奇数有1、3、5，有3个；偶数有2、4、6，有3个；奇数与偶数的个数相等，则掷出奇数、偶数的可能性相同，所以用掷骰子的方式确定甲、乙两支足球队比赛谁先开球，公平； 综上所述，公平的方式有3种； 故选C． 28．（24-25七年级下·河南郑州·期中）一个不透明的箱子中放有1个红球、2个黄球和3个黑球，这些小球除颜色外都相同，小明、小芳、小雪三人先后去摸球，每人每次只能摸出一个球，每次摸出球后放回，摸出红球的人获得礼品（可以所有人都获得礼品）．你觉得这个游戏（    ） A．对所有人都公平 B．无法判断是否公平 C．先摸者获得礼品的可能性大 D．后摸者获得礼品的可能性大 【答案】A 【分析】此题考查游戏公平性，三个人摸到每种球的概率均相等，所以游戏公平． 本题考查游戏公平性的判断，关键在于每次摸球后放回，使得每次摸到红球的概率相同． 【详解】解：∵小明、小芳、小雪三人每次摸到红球的概率均为， ∴游戏对所有人都公平， 故选：A． 29．（2025·安徽合肥·二模）五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三人都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的色子，将两枚色子点数相加后除以3，规定：当正好整除时姐姐去，当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去．这个游戏（   ） A．是公平的 B．有利于姐姐 C．有利于哥哥 D．有利于妹妹 【答案】A 【分析】本题主要考查了游戏公平的判断，判断游戏的公平性，就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．首先根据题意列出表格，然后根据表格求出每个事件的概率，比较大小，即可求得游戏是否公平．根据列表法解答即可． 【详解】解：同时掷两枚筛子，其点数之和的结果如下表所示： 第二枚第一枚 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 由表格可知，共有36种等可能结果，其中点数之和正好能被3整除的有12种，点数之和除以3后余数是1的有12种，点数之和除以3后余数是2的有12种，他们获得电影票的概率都是，即为，所以这个游戏是公平的， 故选：A． 30．（2025·湖北·模拟预测）如图，两个带指针的转盘A，B分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是2，5，9，转盘B上的数字分别是3，6，8（两个转盘除表面数字不同之外，其他完全相同）．小美拨动A转盘上的指针，小丽拨动B转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次），则 （填“小美”或“小丽”）获胜的可能性大． 【答案】小丽 【分析】考查了判断游戏公平性．解题关键抓住判断游戏公平性要先计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 先用列表法求得各自获胜的概率，再进行比较进行判断即可． 【详解】解：列表得：       B           A 2 5 9 3 2，3 5，3 9，3 6 2，6 5，6 9，6 8 2，8 5，8 9，8 共有 9 种可能，其中小美获胜的次数为，小丽获胜的次数为5， ∴， ∴， ∴小丽的获胜可能性较大． 故答案为：小丽． 31．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，为了确定谁去听讲座，小明想了一个办法：他拿出一个装有质地、大小均相同的个红球与个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红球，那么妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，那么小明去听讲座．则该办法 （填“公平”或“不公平”）． 【答案】不公平 【分析】此题考查了概率公式和游戏公平性问题，根据概率公式分别求得妹妹与小明去听讲座的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 【详解】解：红球有个，白球有个， ，， ， 这个办法不公平． 故答案为：不公平． 32．（20-21九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． (1)这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； (2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 【答案】(1)这个游戏公平，详见解析 (2)拿出一个白球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了． 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．画出树状图，求出他们各自获胜的概率是解答本题的关键． （1）画出树状图，根据概率公式即可求出概率，比较概率即可得出结论； （2）让二者的概率相同即可． 【详解】（1）解：游戏方案不公平． 理由如下： 由树状图可以看出：共有12种可能，摸到“一白一红”有4种，摸到“一红一蓝”的情况有2种， 故小颖获胜的概率为= ，小亮获胜的概率为=，所以这个游戏不公平． （2）拿出一个白球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了． 33．（2025·广东韶关·模拟预测）甲、乙两人玩如图所示的转盘游戏，游戏规则是：转盘被平均分为个区域，颜色分别为黑、白、红，转动转盘时，指针指向的颜色，即为转出的颜色（如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次）．两人参与游戏，一人转动两次转盘，另一人对转出的颜色进行猜测．若转出的颜色与猜测的人描述的特征相符，则猜测的人获胜；否则，转动转盘的人获胜．猜测的方法从下面三种方案中选一种． ．猜“颜色相同” ； ．猜“一定有黑色”； ．猜“没有黑色”．    请利用所学的概率知识回答下列问题： (1)用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果； (2)如果你是猜测的人，你将选择哪种猜测方案，才能使自己获胜的可能性最大？为什么？ 【答案】(1)列表见解析，共有种等可能的结果：（黑,黑），（黑,白），（黑,红），（白,黑），（白,白），（白,红），（红,黑），（红,白），（红,红） (2)选方案．理由见解析 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，掌握概率公式是解题的关键．   （1）用画树状图法或列表法根据题意列出所有可能的结果；   （2）分别用概率公式算出三种方案的概率，比较概率大小，从而选择概率最大的方案． 【详解】（1）解：列表如下： 黑 白 红 黑 （黑,黑） （黑,白） （黑,红） 白 （白,黑） （白,白） （白,红） 红 （红,黑） （红,白） （红,红） 共有种等可能的结果：（黑,黑），（黑,白），（黑,红），（白,黑），（白,白），（白,红），（红,黑），（红,白），（红,红）； （2）解：选方案．理由如下： ，，， ． 选方案，才能使自己获胜的可能性最大． 34．（24-25七年级下·河南郑州·期末）小明和小亮都想参加学校社团组织的暑期实践活动，但只剩下一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个可以自由转动的转盘等分成个扇形，分别标有，，，，，，，，，这个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明转动转盘，小亮猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则小亮参加活动，否则小明参加活动．猜数的方法从下面两种中选一种：①猜“是的倍数”或“不是的倍数”；②猜“是大于的数”或“不是大于的数”． (1)猜“是的倍数”的概率是_______； (2)如果你是小亮，那么为了尽可能参加活动，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？为什么？ (3)你认为这两种猜数方法对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一种对双方都公平的猜数方法． 【答案】(1) (2)选择方法①中“不是3的倍数”，见解析 (3)不公平，猜“是奇数”或“是偶数” 【分析】本题主要考查了应用概率解决游戏公平问题，掌握概率的计算公式是解题的关键． （1）利用简单概率公式进行求解即可； （2）求出每种方式的概率，然后进行比较即可； （3）根据概率相等设计方法即可． 【详解】（1）解：是的倍数的数有：3，6，9， ∴猜“是的倍数”的概率是， 故答案为：； （2）解：选择方法①中“不是3的倍数”，理由如下： 大于的数有：5，6，7，8，9，10， ∴猜“是大于的数”的概率为：； 不是大于4的数有：1，2，3，4， ∴猜“不是大于的数”的概率为：； 由①可得猜“不是的倍数”的概率是， ∵， ∴选择方法①中“不是3的倍数”； （3）解：不公平，因为两人抽到的概率不相等， 猜“是奇数”或“是偶数”比较公平． 题型三 概率在比赛中的应用 35．（23-24九年级上·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了概率的计算，逐局分析胜负计算概率即可解题． （2）本题考查了用列举法求概率，考虑前4局中乙恰好当1次裁判出现的局数，逐一计算概率，即可解题． 【详解】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输， 第1局甲当裁判， 第2局甲为选手， 每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判， 第2局甲获胜， 第4局甲当裁判的概率； （2）解：第1局甲当裁判， 乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局， 当在第2局时的概率， 当在第3局时的概率， 当在第4局时的概率， 乙恰好当1次裁判的概率． 36．（21-22九年级上·河北廊坊·期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题， (1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？ 【答案】(1) (2)甲 【分析】（1）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉两次所有可能出现的情况，进而求出捉2次，捉到丙的概率； （2）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉三次所有可能出现的情况，通过甲、乙、丙被捉到的次数得出结论． 【详解】（1）解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：    共有4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种， 所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为． （2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：    共有8种可能出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种， 根据所有结果出现的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人． 【点睛】本题考查用树状图法求随机事件发生的概率．列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键． 37．（22-23九年级上·全国·单元测试）某篮球运动员去年共参加40场比赛，其中3分球的命中率为0.25，平均每场有12次3分球未投中． (1)该运动员去年的比赛中共投出多少个3分球？共投中多少个3分球？ (2)在其中的一场比赛中，该运动员3分球共出手20次，小明说，该运动员这场比赛中一定投中了5个3分球，你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1)共投出640个3分球，共投中160个3分球 (2)说法不正确；理由见解析 【分析】（1）设该运动员共出手x个3分球，则3分球命中0.25x个，未投中0.75x个，根据“某篮球运动员去年共参加40场比赛，平均每场有12次3分球未投中”列出方程，解方程即可； （2）根据概率的意义知某事件发生的概率，就是在大量重复试验的基础上事件发生的频率稳定到的某个值；由此加以理解即可． 【详解】（1）解：设该运动员共投出x个3分球． ∵3分球的命中率为0.25， ∴3分球的未命中率为1－0.25＝0.75． 根据题意，得 ＝12． 解得x＝640． ∴0.25x＝0.25×640＝160(个)． 答：运动员去年的比赛中共投出640个3分球，共投中160个3分球． （2）解：小明的说法不正确；3分球的命中率为0.25，是相对于40场比赛来说的，而在其中的一场比赛中，虽然该运动员3分球共出手20次，但是该运动员在这场比赛中不一定投中了5个3分球． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、概率的意义．解题的关键是理解概率的意义． 38．（24-25九年级下·全国·随堂练习）王大伯在保险箱中放入50000元人民币，并设置了4位数的密码，每个数字都是这十个数字中的一个，但由于年龄的缘故，他把密码中间的两个数字忘了，那么王大伯胡乱输入密码，恰好能打开保险箱的事件是 事件；若每次输入的密码不重复，则他最多可能试 次，才能正确输入密码． 【答案】 随机 100 【分析】本题考查了事件的分类，可能性大小，根据事件的分类可知该事件为随机事件，再计算出数字的总共组合有几种，其中只有一种能打开即可． 【详解】解：王大伯胡乱输入密码，恰好能打开保险箱的事件是随机事件， 四位数字，如个位和千位上的数字已经确定，假设十位上的数字是0，则百位上的数字即有可能是中的一个，有10种可能， 同样，假设十位上的数字是1，则百位上的数字即有可能是中的一个，也有10种可能， 依此类推，要打开该锁有种可能， 在最差的情况下，即前99次试验都失败，则第100次必定成功， 故最多可能试验100次． 故答案为：随机；100． 39．（21-22八年级上·北京房山·期末）口袋里有除颜色外其它都相同的个红球和个黑球． (1)先从袋子里取出个黑球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件． 如果事件是必然事件，请直接写出的值； 如果事件是随机事件，请直接写出的值． (2)先从袋子中取出个黑球，再放入个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，求的值． 【答案】(1) ；   的值为或或； (2) 【分析】本题主要考查了必然事件和随机事件定义，求概率，熟练掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，概率公式是解题的关键． 根据必然事件的定义可知：从袋子里随机摸出一个球一定是红球，袋子里一定全部是红球，没有黑球，所以黑球要全部被拿走，所以的值是； 根据随机事件的定义可知：从袋子里随机摸出一个球可能是红球也可能是黑球，所以袋子里一定既有红球又有黑球，所以的值为或或； 取出个黑球，再放入个一样的红球，袋子里的小球的总数仍是个，其中红球的个数是，根据摸出一个球是红球的可能性大小是，可得：，解方程求出即可． 【详解】（1）解：事件是必然事件， 从袋子里随机摸出一个球一定是红球， 袋子里一定全部是红球，没有黑球， 黑球要全部被拿走， ；   解：事件是随机事件， 从袋子里随机摸出一个球可能是红球也可能是黑球， 袋子里一定既有红球又有黑球， 袋子里的黑球不能全部被拿走，最少有一个黑球， 的值为或或； （2）解：袋子里一共有个球， 取出个黑球，再放入个一样的红球，袋子里的小球的总数仍是个， 其中红球的个数是， 摸出红球的可能性大小是， 根据题意得：， ． 40．（24-25八年级上·北京房山·期末）初二（1）班数学课实施积分奖励制度，满足以下某一条件的同学便可在课下转一次转盘获得相应积分：①作业优秀或课上积极回答问题；②通过小组合作交流有效解决问题，并展示成果；③发现并提出有价值的问题．每周评选出个人总分和小组总分优胜者，进行奖励． 同学们自己动手制作了一个可以自由转动的转盘．如图所示，把一个圆分成形状相同，面积相等的16个扇形区域．其中有部分区域写有积分，奖励10分的区域有2个，5分的区域有3个，2分的区域有5个，规定转盘停止后，如果指针对准某个有积分的区域，那么就可以获得这个区域上所标的积分 (1)求某同学转一次转盘获得各个积分的可能性大小． (2)同学们觉得获得5分的可能性太小了，想调整获得5分的可能性为，使得其他积分的可能性不变．则需要将多少个无积分的扇形区域写上5分？ 【答案】(1)见解析 (2)需要将1个无积分的扇形区域写上5分． 【分析】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式． （1）根据概率公式计算某同学转一次转盘获得积分的可能性大小即可； （2）需要将x个无积分的扇形区域写上5分，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：奖励10分的概率是； 奖励5分的概率是； 奖励2分的概率是； （2）解：需要将x个无积分的扇形区域写上5分， 则由题意得，， 解得：， 所以需要将1个无积分的扇形区域写上5分． 41．（22-23八年级上·北京房山·期末）将个0或排列在一起组成一个数组，记为，其中取0或，称是一个元完美数组（且为整数）.例如：，都是2元完美数组，，都是4元完美数组.定义以下两个新运算： 新运算1：对于， 新运算2：对于任意两个元完美数组和，．例如：对于3元完美数组和，有． (1)①在，，中是2元完美数组的有_____； ②设，，则______； (2)已知完美数组，求出所有4元完美数组，使得； (3)现有个不同的2022元完美数组，是正整数，且对于其中任意的两个完美数组，满足，则的最大可能值是______． 【答案】(1)①；② (2)或或或或或． (3) 【分析】（1）①根据定义直接判定即可； ②根据定义直接计算即可； （2）由定义可知当时，，当时，，当或0，再由此求解即可； （3）根据题意可知C、D中对应的元都不相等，的最大值为，当C确定后，D中的对应元与C中的不同即可． 【详解】（1）解：①∵中有， ∴不是2元完美数组； ∵中只有和0，且有2个数， ∴是2元完美数组； ∵中有3个数， ∴不是2元完美数组； 故答案为：． ② ． 故答案为：． （2）解：∵， ∴当时，，当时，， 当时，或0， ∵， ∴， ∵， ∴或或或或或． （3）解：∵， ∴、中对应的元都不相等或、中对应的元都相等且为， ∵、是不同的两个完美数组， ∴、中对应的元都不相等， ∴的最大值为，当确定后，中的对应元与中的不同． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，弄清定义，熟练掌握绝对值的运算，能够通过所给的运算关系，得到一般规律是解题的关键． 42．（21-22八年级上·北京海淀·期末）文具店购进了20盒“2B铅笔”，但在销售过程中发现其中混入了若干“HB铅笔”，店员进行统计后发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB铅笔”，具体数据如下表： 混入“HB”铅笔数 0 1 2 盒数 6 m n （1）用等式写出m、n满足的关系式__________； （2）从20盒中任意选取1盒； ①“盒子中没有混入HB铅笔”是________事件； ②若“盒中混入1支HB铅笔”的概率为0.25，求m、n的值． 【答案】（1）m+n=14；（2）①随机；②m=5，n=9 【分析】（1）根据表格确定m，n满足的数量关系即可； （2）①根据事件的性质进行解答即可； ②利用概率公式列式计算即可． 【详解】解：（1）观察表格发现：6+m+n=20， ∴用等式写出m，n所满足的数量关系为m+n=14， 故答案为：m+n=14； （2）①“盒中没有混入‘HB’铅笔”是随机事件， 故答案为：随机； ②∵“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为0.25， ∴， ∴m=5，n=9． 【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $