12.8尺规作图（基础篇）练习2025-2026学年北京版数学八年级上册

12.8尺规作图 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、线段的基本尺规作图 1. 作一条线段等于已知线段：已知线段a，用圆规量取线段a的长度，再以某一点为端点，用圆规画弧，截取与线段a等长的线段。 2. 作已知线段的垂直平分线：分别以已知线段的两个端点为圆心，以大于线段一半长度为半径画弧，两弧在线段两侧分别交于两点，过这两点作直线，即为已知线段的垂直平分线。 二、角的基本尺规作图 1. 作一个角等于已知角：已知∠AOB，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；再以另一射线端点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；以C'为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D'，过O'、D'作射线O'B'，则∠A'O'B'等于∠AOB。 2. 作已知角的平分线：以已知角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；分别以这两点为圆心，以大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在角的内部交于一点；过角的顶点和这个交点作射线，即为已知角的平分线。 三、三角形的尺规作图 1. 已知三边作三角形：已知线段a、b、c（任意两边之和大于第三边），作线段AB=a；以A为圆心，b为半径画弧，以B为圆心，c为半径画弧，两弧交于点C；连接AC、BC，则△ABC即为所求作的三角形。 2. 已知两边及其夹角作三角形：已知线段a、b及∠α，作∠DAE=∠α；在AD上截取AB=a，在AE上截取AC=b；连接BC，则△ABC即为所求作的三角形。 3. 已知两角及其夹边作三角形：已知∠α、∠β及线段c，作线段AB=c；在AB的同旁，分别以A、B为顶点作∠DAB=∠α，∠EBA=∠β，AD与BE交于点C；则△ABC即为所求作的三角形。 型 习 练 题 作线段 1．尺规作图(要求保留作图痕迹)： 已知：线段a,b．求作：线段c，使； 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作线段的和差倍分，解题的关键是利用尺规多次截取已知线段构造倍数与差的关系． 作射线，在射线上依次截取3段等于的线段得的线段；从的线段上截取一段等于的线段，剩余部分即为． 【详解】解：①作射线； ②在射线上顺次截取，，，则； ③在线段上截取； 线段即为所求的线段． 2．尺规作图： 已知：如图，线段a，b． 求作：线段，使． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作线段，熟练掌握线段的作法是解题关键． 先画射线，再以点A为圆心、a长为半径画弧，交射线于点C，然后以点C为圆心、a长为半径画弧，交射线于点D，最后以点D为圆心，b长为半径画弧，交线段于点B，由此即可得． 【详解】解：如图，线段即为所作． 3．如图，已知平面上有三个点A，B，C，请按要求画图． (1)画直线； (2)延长到D，使得，连接． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了画直线和线段，解决本题的关键是根据直线、线段的特点画图． （1）过点、、C分别画直线和即可； （2）以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，连接即可． 【详解】（1）解：如下图所示，直线和即为所求作； （2）解：如下图所示， 以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点， 连接． 4．如图，已知线段a，b，c，用圆规和直尺作线段，使它等于． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图作线段． 作射线，在射线上顺次截取，在线段上截取，线段即为所求． 【详解】解：（1）作射线； （2）在射线上顺次截取，； （3）在线段上截取，线段即为所求． 5．如图所示，点A、B表示的数分别是a、b． 用刻度尺或圆规作图：在数轴上画出表示的点；（用两种方法，写出必要的文字说明） 方法一： 方法二： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图——作一条线段等于已知线段．根据作一条线段等于已知线段的作法解答即可． 【详解】解：方法一：如图，以点A为圆心，为半径画弧交原点左侧数轴点D，则点D即为所求； 方法二：如图，以原点O为圆心，为半径画弧交原点左侧数轴于点D，则点D即为所求． 作已知角 6．尺规作图．不写作法，保留作图痕迹．如图，过点A作射线交于点D，且． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，等腰三角形的判定，以A为顶点，在的上方，向左作，交于D即可． 【详解】解：如图，点D即为所求， 7．如图，已知，请用尺规作图法，在线段上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解（作法不唯一）． 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点M、N．以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点P．以点P为圆心，以长为半径画弧，交前弧于点Q．作射线，交于点D，则点D即为所求． 【详解】解：点D如下图所示： 8．如图，已知，用尺规作一个角等于的2倍． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图，根据作一个角等于已知角的作图方法，先作，再作，则． 【详解】解：如图，即为所求． 9．尺规作图：作的等于已知．（要求不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图作一个角等于已知角，解题的关键是掌握尺规作图作一个角等于已知角的方法和步骤． 利用尺规作图的基本方法，作出与已知相等的． 【详解】解：解：如图所示，即为所求． 10．如图， 是 的外角． (1)请过点A作射线 （点D在点A的右侧）；过点A作BC的垂线，垂足为 M；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若平分 求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角等于已知角和垂线，角平分线的性质和等腰三角形的性质，解决此题的关键是熟练掌握尺规作图作已知角； （1）根据尺规作图作一个角等于已知角的步骤和作垂线的步骤作出图形即可； （2）先根据角平分线的定义得到角相等，再根据平行线的性质得到角相等，进而得到等腰三角形即可得到答案； 【详解】（1）解：如图所示即可； （2）解：∵平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴． 作角平分线 11．已知在中，，平分交于， (1)如图1．在图1中尺规作图作出点；若于，，求的度数； (2)如图2，若交于，求证：． 【答案】(1)尺规作图见解析， (2)证明见解析 【分析】本题考查了尺规作角平分线、三角形内角和定理、角平分线的性质及等腰三角形的判定，解题的关键是利用三角形内角和求出各角的度数，结合角的和差关系推导角度，进而证明线段相等． （1）尺规作的平分线确定点D；由，求，结合三角形内角和得，由平分得，再由得∠CAE，计算； （2）设∠B为，通过角度推导得，从而证得 【详解】（1）解：尺规作图：作的平分线，交BC于点（如下图）． ∵，， ∴ ∵中，，平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：设，则， ∵中，，平分， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．如图，在中，，．    (1)尺规作图：作的平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图——作已知角的平分线及三角形内角和定理、外角性质，熟知尺规作图及相关性质是正确解答此题的关键. （1）根据作角平分线的作法作图即可：以点为圆心，以适当长度为半径作弧，分别交和于，两点.分别以，两点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点. （2）根据，即可求得答案. 【详解】（1）    射线即为所求. （2），， . 平分， . . 13．如图，已知，为射线上一点． (1)用尺规作图的方法作等腰三角形，使得，点在内部，且点到两边的距离相等（保留作图痕迹，不写做法）； (2)在（1）的条件下，若，求等腰三角形中的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图——基本作图，作角的平分线，作线段的垂直平分线，关键是掌握基本作图：作已知角的平分线和线段的垂直平分线的方法． （1）作的垂直平分线，作的平分线，相交于点，即为所求作的等腰三角形； （2）由角平分线定义得到． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：到两边的距离相等， 平分， ． 14．如图，区域S内要修建一个加油站P，其设计要求是加油站到A、B两个小镇的距离相等．且到m，n两条公路的距离也相等．请在图中区域S内确定加油站的位置（保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．作的角平分线，连接，作线段的垂直平分线，交于点P，点P即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求． 15．如图，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点E； (2)在（1）的前提下，连接，若E是的中点，求证：是的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，角平分线的判定和性质． （1）直接根据角平分线的作法画图即可； （2）作交于F，根据角平分线的判定定理得到，进而得到，即可证明是的平分线． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求； （2）解：如图，作交于F， ∵是的角平分线， ∴， ∵若E是的中点， ∴， ∴， ∴是的平分线． 作垂直平分线 16．如图，在中．．求作线段的中点．小明发现作线段的垂直平分线交于点，点即为所求． (1)使用直尺和圆规，依小明的思路作出点（保留作图痕迹）； (2)请证明小明的做法是正确的． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质； （1）根据题意作线段的垂直平分线交于点，点即为所求． （2）根据垂直平分线的性质得出，等边等角可得，进而根据等角的余角相等，可得，得出，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：作图如图所示： （2）证明：连接， ∵垂直平分， ∴（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）． ， ， ， ， ， ， ∴点为线段的中点． 17．作图题：已知，求作一个三角形，使，并作出边的中线．（要求：尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了复杂作图——作全等三角形，作垂直平分线，全等三角形的判定，根据相关只是带你正确作图是解题关键．利用 “” 即可作出一个三角形，使，再作的垂直平分线交于点，即为边的中线．． 【详解】解：如图，即为所求，即为所求． 18．如图，市政部门要在某公园区域P内修建一个公共健身驿站．按照规划要求，健身驿站与两个居民小区C，D的距离相等，到两条景观步道a和b的距离也相等．健身驿站应修建在什么位置？利用尺规作图，在图中找出公共健身驿站点M的位置（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查作图-——应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握角平分线和线段的中垂线的性质及其尺规作图．分别作出角的平分线和线段的中垂线，两线的交点即为所求． 【详解】解：如答图所示，点即为公共健身驿站的位置． 19．如图，已知． (1)作边的垂直平分线，分别交边，于点，（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，的周长为，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作法、垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）分别以为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线，分别交边，于点，即可； （2）根据垂直平分线的性质得到，，再利用三角形的周长公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，边的垂直平分线即为所求： （2）解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， ∴的周长． 20．如图，已知． (1)画出的高； (2)画出的中线（要求保留作图痕迹，不用证明）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握过直线外一点作已知直线的垂线及线段垂直平分线的尺规作图． （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图可得； （2）作线段的垂直平行线交与点F，连接，即即为所求． 【详解】（1）解：如下图：即为所求： （2）解：如下图：即为所求： 作等腰三角形 21．如图，线段，，，的长度比是1∶2∶3∶4，选择其中的三条线段为边作一个三角形．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写出作法，并在所作三角形边上标注所选线段名称）    【答案】见详解 【分析】本题主要考查了三角形三边关系；作图—复杂作图,选b，c，d三边利用“边边边”作三角形即可； 【详解】只能选b，c，d三边画三角形；    22．如图，为外部一点，连接、，已知，． (1)尺规作图：在内求作一点，使；（保留作图痕迹，不用写做法）； (2)根据你的作图，判定的依据是___________； (3)求的度数． 【答案】(1)作图见详解 (2) (3) 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意，以点为圆心，为半径画弧，再以点为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接即可得到答案； （2）①根据（1）中的尺规作图，结合全等三角形的判定定理即可得到答案； （3）结合全等三角形的判定可得，在和中，由三角形内角和定理得到、，数形结合表示出计算即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 点即为所求； （2）解：由（1）中尺规作图可得， 再由，结合两个三角形全等的判定定理即可得到， 故答案为：； （3）解：在中，由三角形内角和定理可得， 在中，由三角形内角和定理可得， ， ， ． 23．如图所示，已知线段a及，求作，使，，，不写作法，保留作图痕迹． 【答案】答案见解析 【分析】本题考查了用尺规作三角形，熟练掌握用尺规作三角形是解题的关键．先作，，则，然后在射线和上分别截取和，再连接即可． 【详解】解：如图，就是所求作的三角形． 24．如图，已知线段a，b和，用直尺和圆规作一个，使得，．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图—作三角形，先作射线，再以点A为圆心，线段的长为半径画弧交射线于D，接着以点D为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于B，再接着作，最后以点A为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于C，连接，则即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求． 25．如图，已知，，线段（以答题卡为准），请根据以下作法提示，求作，使得，，，并完成以下填空．（保留作图痕迹） 作法： （1）作线段___________； （2）在的同旁，作___________，作___________，与交于点___________，故就是所求作的三角形． 【答案】作图见解析；（1）；（2），， 【分析】本题主要考查了尺规作三角形，能根据要求作图是解题的关键． 先作线段，在的同旁作，再作两个角等于已知角，与交于点，可得答案． 【详解】如图， （1）作直线a，在直线a上截取线段，使； 故答案为：． （2）在的同旁作，再作两个角等于已知角，与交于点，故就是所求作的三角形． 故答案为：，，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.8尺规作图 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、线段的基本尺规作图 1. 作一条线段等于已知线段：已知线段a，用圆规量取线段a的长度，再以某一点为端点，用圆规画弧，截取与线段a等长的线段。 2. 作已知线段的垂直平分线：分别以已知线段的两个端点为圆心，以大于线段一半长度为半径画弧，两弧在线段两侧分别交于两点，过这两点作直线，即为已知线段的垂直平分线。 二、角的基本尺规作图 1. 作一个角等于已知角：已知∠AOB，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；再以另一射线端点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；以C'为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D'，过O'、D'作射线O'B'，则∠A'O'B'等于∠AOB。 2. 作已知角的平分线：以已知角的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两点；分别以这两点为圆心，以大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在角的内部交于一点；过角的顶点和这个交点作射线，即为已知角的平分线。 三、三角形的尺规作图 1. 已知三边作三角形：已知线段a、b、c（任意两边之和大于第三边），作线段AB=a；以A为圆心，b为半径画弧，以B为圆心，c为半径画弧，两弧交于点C；连接AC、BC，则△ABC即为所求作的三角形。 2. 已知两边及其夹角作三角形：已知线段a、b及∠α，作∠DAE=∠α；在AD上截取AB=a，在AE上截取AC=b；连接BC，则△ABC即为所求作的三角形。 3. 已知两角及其夹边作三角形：已知∠α、∠β及线段c，作线段AB=c；在AB的同旁，分别以A、B为顶点作∠DAB=∠α，∠EBA=∠β，AD与BE交于点C；则△ABC即为所求作的三角形。 型 习 练 题 作线段 1．尺规作图(要求保留作图痕迹)： 已知：线段a,b．求作：线段c，使； 2．尺规作图： 已知：如图，线段a，b． 求作：线段，使． 3．如图，已知平面上有三个点A，B，C，请按要求画图． (1)画直线； (2)延长到D，使得，连接． 4．如图，已知线段a，b，c，用圆规和直尺作线段，使它等于． 5．如图所示，点A、B表示的数分别是a、b． 用刻度尺或圆规作图：在数轴上画出表示的点；（用两种方法，写出必要的文字说明） 方法一： 方法二： 作已知角 6．尺规作图．不写作法，保留作图痕迹．如图，过点A作射线交于点D，且． 7．如图，已知，请用尺规作图法，在线段上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 8．如图，已知，用尺规作一个角等于的2倍． 9．尺规作图：作的等于已知．（要求不写作法，保留作图痕迹）． 10．如图， 是 的外角． (1)请过点A作射线 （点D在点A的右侧）；过点A作BC的垂线，垂足为 M；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若平分 求证：． 作角平分线 11．已知在中，，平分交于， (1)如图1．在图1中尺规作图作出点；若于，，求的度数； (2)如图2，若交于，求证：． 12．如图，在中，，．    (1)尺规作图：作的平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数． 13．如图，已知，为射线上一点． (1)用尺规作图的方法作等腰三角形，使得，点在内部，且点到两边的距离相等（保留作图痕迹，不写做法）； (2)在（1）的条件下，若，求等腰三角形中的度数． 14．如图，区域S内要修建一个加油站P，其设计要求是加油站到A、B两个小镇的距离相等．且到m，n两条公路的距离也相等．请在图中区域S内确定加油站的位置（保留作图痕迹）． 15．如图，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点E； (2)在（1）的前提下，连接，若E是的中点，求证：是的平分线． 作垂直平分线 16．如图，在中．．求作线段的中点．小明发现作线段的垂直平分线交于点，点即为所求． (1)使用直尺和圆规，依小明的思路作出点（保留作图痕迹）； (2)请证明小明的做法是正确的． 17．作图题：已知，求作一个三角形，使，并作出边的中线．（要求：尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法） 18．如图，市政部门要在某公园区域P内修建一个公共健身驿站．按照规划要求，健身驿站与两个居民小区C，D的距离相等，到两条景观步道a和b的距离也相等．健身驿站应修建在什么位置？利用尺规作图，在图中找出公共健身驿站点M的位置（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． 19．如图，已知． (1)作边的垂直平分线，分别交边，于点，（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，的周长为，求的周长．． 20．如图，已知． (1)画出的高； (2)画出的中线（要求保留作图痕迹，不用证明）． 作等腰三角形 21．如图，线段，，，的长度比是1∶2∶3∶4，选择其中的三条线段为边作一个三角形．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写出作法，并在所作三角形边上标注所选线段名称）    22．如图，为外部一点，连接、，已知，． (1)尺规作图：在内求作一点，使；（保留作图痕迹，不用写做法）； (2)根据你的作图，判定的依据是___________； (3)求的度数． 23．如图所示，已知线段a及，求作，使，，，不写作法，保留作图痕迹． 24．如图，已知线段a，b和，用直尺和圆规作一个，使得，．（保留作图痕迹，不写作法） 25．如图，已知，，线段（以答题卡为准），请根据以下作法提示，求作，使得，，，并完成以下填空．（保留作图痕迹） 作法： （1）作线段___________； （2）在的同旁，作___________，作___________，与交于点___________，故就是所求作的三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $