12.6等腰三角形（基础篇）讲义 2025-2026学年北京版数学八年级上册

12.6等腰三角形 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 等腰三角形 定义 有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。 性质 1. 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 2. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）。 3. 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴。 判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。 定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形。 性质 1. 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。 2. 等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且它的任意一条边上都有三线合一的性质（即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）。 3. 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三条边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线。 判定 1. 三条边都相等的三角形是等边三角形。 2. 三个角都相等的三角形是等边三角形。 3. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 型 习 练 题 等边对等角 1．等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接计算顶角． 【详解】解：∵ 等腰三角形的一个底角为， ∴ 另一个底角也为． 又∵ 三角形内角和为， ∴ 顶角的度数为：． 故选：B． 2．如果等腰三角形的一个内角等于，那么它的顶角是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：∵ 等腰三角形的一个内角等于， ∴ 若为顶角，则顶角为， 若为底角，则另一个底角也为，顶角为， ∴ 顶角为或． 故选：C． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 等腰三角形的一个内角可能为顶角或底角，需分情况讨论顶角的值． 3．如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得，由折叠的性质和等边对等角推出，据此根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 故选：A． 4．如图，，且点在边上，点恰好在的延长线上，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质定理，等腰三角形的性质，能熟记全等三角形的性质（全等三角形的对应角相等，对应边相等）是解此题的关键．根据全等三角形的性质得出，，，，再逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， 而与不一定相等，故A不一定成立； ， ， ， ，故B正确； ∵，， ∴，故C选项正确； ∵， ∴，故D正确； 故选：A． 5．如图，，点E在上，．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，以及三角形的外角和，解决本题的关键是求解出与的度数． 根据平行线的性质，可得，再由等边对等角，可求解，再根据三角形外角和的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵． ∴， ∴． 故选：B ． 三线合一 6．如图，，D是的中点，于点．则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟记等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质得出，，再根据直角三角形的性质即可得的度数． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ； 故选：B． 7．如图1是我国古代建筑中常见的梁架示意图，其顶部可看作如图2所示的，，于点，若的长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一． 直接根据等腰三角形三线合一作答即可． 【详解】解：∵，， ∴点是的中点， ∴． 故选：C． 8．如图，在中，，，于点，于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三线合一，直角三角形等相关内容，解题关键在于熟练掌握其知识点解题即可； 由题得，可知，即可求解. 【详解】解：∵中，，，于点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：B. 9．如图，在中，，为中点，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，由等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，为中点，， ∴， ∴． 故选：D． 10．如图，中，，，是的中线，点在边上，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一性质，等边对等角、三角形内角和定理等知识，由等腰三角形三线合一性质得，，又，则有，然后通过角度和差即可求解，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，是的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 证明等腰三角形 11．如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形周长的计算，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点．掌握这些是解题的关键． 根据可得：，从而得到，则三角形的周长可转化为，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：C． 12．如图，在中，，，若某个直角三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠部分），则拼成的等腰三角形有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形，考虑以为腰的等腰三角形即可． 【详解】解：把分别沿边翻折，有两种等腰三角形，还有两种情况如下图所示； 左图中，则， ∴； 右图中，则， ∴． 综上，共有4种拼法； 故选：B． 13．如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，中线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于，如图，先证明得到，则利用等腰三角形的性质得到，再根据三角形面积公式得到，，所以． 【详解】解：延长交于，如图， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：C． 14．如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论，其中正确的有（   ） ①是等腰三角形；②；③若；；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义证明，得到即可判断①；同理可证即可判断②；根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出的度数即可判断③；根据现有条件无法证明，即可判断④． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；故①符合题意； 同理， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴ ，故③符合题意； 若，则，根据条件无法证明这一点， ∴不一定等于，故④不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定、角平分线的定义及平行线的性质，三角形内角和定理等知识点，根据两直线平行、内错角相等以及等角对等边来判定等腰三角形是解答本题的关键． 15．三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的判定，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 利用三角形内角和定理，可求出第三个内角的度数，结合，可得出该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形，再对照四个选项，即可得出结论． 【详解】解：第三个内角的度数为， ， ∴该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形． 故选：C． 等腰三角形的性质和判定 16．如图，在四边形中，，，与相交于点．求证： (1) ； (2)． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握这些是解题的关键． （1）根据条件用证明即可； （2）根据条件用证明，得，从而得出． 【详解】（1）解：在和中， ， ； （2）在和中， ， ， ， ． 17．如图，在中，平分，交于点，点在上，连接．已知，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】此题考查三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质． （1）先利用三角形内角和定理求得，再证明即可； （2）利用角平分线的定义结合等角对等边求得，再等腰三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）证明：在中，，， ． 则， ； （2）解：平分， ． ， ，则， ． ， ． ， ． 18．如图，在中，，，点D，E在上，且，过点D作交的延长线于点F，连接 (1)若，求证：为等腰三角形； (2)在（1）的条件下，若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)50 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，理解等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质是解决问题的关键． （1）根据等腰直角三角形性质得，根据得，再由三角形外角性质得，，由此得，证明是等腰直角三角形得，由此得，进而得，据此即可得出结论； （2）根据在（1）的条件下得，，，由此得，由此可依据“SAS”判定和全等得，进而得 【详解】（1）证明：在中，，， 是等腰直角三角形， ， 点D，E在上，且， ， 是的外角，是的外角， ，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 是等腰三角形； （2）解：在（1）的条件下，， ，，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 19．如图，是等腰三角形，，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点． (1)证明：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定和性质等知识点，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由得，再根据余角性质可得，最后根据对顶角的性质可得，即；再根据等边对等角即可证明结论； （2）先求得，再证明是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，       ∵， ∴， ∴，， ∴，     ∵， ∴，    ∴，        ∴是等腰三角形． （2）解∶ ∵，， ∴，                  ∵，， ∴是等边三角形，    ∴． 20．如图，在中，点D、E在边上，，． (1)求证：； (2)若，，请直接写出图中所有的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查等腰三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理. （1）证明，即可得证； （2）根据角的和差及等腰三角形的定义作答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，是等腰三角形． 等边三角形的性质和安定 21．已知：是等边三角形，点、分别在边、上，与交于点，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，延长到点，，连接、，求证：平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可证，得到，由三角形的外角的性质即可求解； （2）根据等边三角形的性质得出，，证明，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， 即的度数为； （2）证明：由（1）知：， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平分． 22．如图，在边上，且求，，的度数． 【答案】，， 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角形的外角的性质，根据等边三角形的性质，得，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得，从而求解，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：， 是等边三角形，，， ， 又，， ， ． 23．在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，过点作，与交于点． (1)求证：是等边三角形． (2)当为的中点时，；当不是的中点时，与还相等吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)与相等，理由见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据等边三角形的判定和性质进行求解即可； （2）证明，得出答案即可． 【详解】（1）解：在等边三角形中，， ， ∵在等边中， ∴是等边三角形； （2）解：与相等．理由如下： 是等边三角形， ， 又， ， ， ， ， ， ∴， ∴． 24．已知，如图，延长的各边，使得，顺次连接D，E，F，得到为等边三角形．求证： (1)； (2)为等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据等边三角形的性质，得到，线段的和差关系推出，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，平角的定义，三角形的外角以及三角形的内角和定理推出，，即可得证． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 25．如图，为等边三角形，，点O为线段上一点，的延长线与的延长线交于点F，． (1)求证：； (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，以及等边三角形的判定和性质，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． （1）根据证明即可； （2）根据等边三角形的性质及平行线的性质先证得是等边三角形，又根据等边三角形的性质和全等的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 又∵为等边三角形， ∴， 又由得：， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $12.6等腰三角形 (30分提至70分使用) 讲 义 概 览 定义 等腰三角形 性质 判定 新课探索 定义 等边三角形 性质 判定 讲义内容 等边对等角 三线合一 证明等腰三角形 题型练习 等腰三角形的性质和判定 等边三角形的性质和安定 新 课 探 索 等腰三角形 定义 有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹 的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。 性质 1.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“等腰三角 形三线合一”)。 3.等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线 就是它的对称轴。 判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。 定义 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形。 性质 1.等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。 2.等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且它的任意一条边上都有三线合一的性 质（即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）。 3.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三条边上的中线（顶角平分线、 底边上的高)所在的直线。 判定 1. 三条边都相等的三角形是等边三角形。 2.三个角都相等的三角形是等边三角形。 3.有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。 题 型 练 习 等边对等角 1.等腰三角形的一个底角为70°，则它的顶角为() A.709 B.40° C.70°或40° D.110° 2.如果等腰三角形的一个内角等于30°，那么它的顶角是() A.30° B.120 C.30°或120° D.30°或75 3.如图，把三角形纸片ABC折叠，使得点B,点C都与点A重合，折痕分别为DE,MN, 若∠BAC=110°，则∠DAM的度数为() A.40° B.60° C.70° D.80° 4.如图，△ABC≌△A'B'C,且点B在AB边上，点A恰好在BC的延长线上，下列结论不一 定正确的是() A.∠B'CA=∠B'AC B.∠ACB=2∠B C.∠BB'C=1∠BBA D.∠BCB'=∠ACA' 5.如图，AB∥CD,点E在BC上，CD=CE,若∠ABC=34°，则∠BED的度数是() D c A.10 B.107° C.116° D.124° 三线合一 6.如图，AB=AC,D是BC的中点，DE⊥AC于点E.∠B=50°.则∠ADE是() D A.30° B.50° C.40° D.45° 7.如图1是我国古代建筑中常见的梁架示意图，其顶部可看作如图2所示的ABC, AB=AC,AD⊥BC于点D,若BD的长为4m,则BC的长为() D 图1 图2 A.2m B.4m C.8m D.16m 8.如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=50°，AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,则 ∠AFB的度数是() A.105° B.115 C.125° D.130 9.如图，在ABC中，AB=AC,D为BC中点，∠BAD=27°，则∠B的度数为() D A.27° B.54° C.36° D.63 10.如图，ABC中，AB=AC,∠BAC=80°，AD是ABC的中线，点E在边AC上， AE=AD,则∠EDC等于() A.10° B.15° C.20° D.30° 证明等腰三角形 11.如图，在ABC中，点D在边BC上，∠ADB=2LC.若AB=5,BC=6,则△ABD的 周长为() D A.8 B.10 C.11 D.12 12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=37°，若某个直角三角形与ABC能拼成一个 等腰三角形（无重叠部分），则拼成的等腰三角形有() B A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 13.如图，ABC的面积为10Cm2,BP平分∠ABC,AP⊥BP,则△PBC的面积为() cm2 A B A.3 B.4 C.5 D.6 14.如图，ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC交AB于点 D,交AC于点E,那么下列结论，其中正确的有() ①BDF是等腰三角形；②DE=BD+CE;③若LA=50°；LBFC=115°；④DF=EF. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 15.三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是() 40° A.锐角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 等腰三角形的性质和判定 16.如图，在四边形ABCD中，AD=BC,AC=BD,AC与BD相交于点E,求证： D A B (I)△ADC≌△BCD; (2AE BE 17.如图，在ABC中，BD平分∠ABC,交AC于点D,点E在AB上，连接DE.己知 ∠A=30°，∠C=∠AED=75°. C A E (I)求证：DE∥BC: (2)若AB=12,DE=4,求AD的长. 18.如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D,E在BC上，且AE=AD,过点D 作DF⊥AD交AE的延长线于点F,连接CF. B D (I)若DF=DA,求证：△ACD为等腰三角形： (2)在(1)的条件下，若CD=10,求四边形ADFC的面积. I9.如图，ABC是等腰三角形，AB=AC,点D是AB边上一点，过点D作DE⊥BC, 垂足为点E,直线DE与CA的延长线相交于点F. (I)证明：△ADF是等腰三角形； (2)若∠B=60°，BD=4,AD=3,求BC的长. 20.如图，在ABC中，点D、E在边BC上，AB=AC,AD=AE. E (I)求证：BD=CE; (2)若∠B=30°，∠DAE=60°，请直接写出图中所有的等腰三角形. 等边三角形的性质和安定 21,己知：ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、AC上，CD与BE交于点F, AD=CE. H B 图1 图2 (1)如图1，求∠BFD的度数： (2)如图2，延长CD到点G,FG=BF,连接AG、BG,求证：CG平分LAGB. 22.如图，PQ在BC边上，且BP=PQ=QC=AP=AQ.求∠APQ,∠B,∠BAC的度数， 23.在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE=BD,过点E作 EF∥BC,与AC交于点F. E B (I)求证：△AEF是等边三角形， (2)当E为AB的中点时，CE=ED；当E不是AB的中点时，CE与ED还相等吗？请说明理 由 24.已知，如图，延长ABC的各边，使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连接D,E,F, 得到aDEF为等边三角形.求证： E (I)△AEF≌△CDE; (2)ABC为等边三角形. 25.如图，ABC为等边三角形，DE∥AC,点O为线段EC上一点，D0的延长线与AC 的延长线交于点F,DO=F0. 4 B E (1)求证：△D0E≌△F0C; (2)若AC=7,FC=3,求0C.