12.11勾股定理（基础篇）讲义 2025-2026学年北京版数学八年级上册

12.11勾股定理 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 勾股定理的定义 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，那么可以表示为：a² + b² = c²。 勾股定理的常见表示形式 1. 基本形式：对于直角三角形，a² + b² = c²（其中a、b为直角边，c为斜边）。 2. 变形形式：c = ，a = ，b = 。 勾股定理的应用条件 必须在直角三角形中才能应用勾股定理，已知其中任意两边的长度，可以求出第三边的长度。 勾股数 能够构成直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数有：（3，4，5）及其倍数（如6，8，10；9，12，15等）、（5，12，13）、（7，24，25）、（8，15，17）等。 型 习 练 题 用勾股定理理解三角形 1．如图，于，和都是等腰直角三角形，如果，，那么的长为（   ） A． B． C．7 D．13 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟知等腰三角形两腰相等的性质是解答此题的关键． 根据等腰三角形性质得到，，再结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】解： 和都是等腰直角三角形，，， ，， ． 故选：B． 2．如图，在中，，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的面积计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．过点A作于点D，由等腰三角形的性质得出，再由勾股定理求出，然后由三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 故选： 3．如图，直角中，，将沿折叠得，点的对应点为点，则点到的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理和三角形面积公式，连接交于E，过D作于点H，利用勾股定理和等面积法得到、和，再次利用勾股定理求得和． 【详解】解：连接交于E，过D作于点H，如图， ∵将沿折叠得， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， 则，解得 ． 故选：C． 4．如图，在中，，的平分线交于点，若，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中求面积，涉及勾股定理求线段长、角平分线性质及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理，熟记角平分线的性质是解决问题的关键． 首先，在中，由勾股定理求出，然后过点作于点，如图所示，由角平分线性质得到，最后由三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：在中，，，，则由勾股定理可得， 过点作于点，如图所示： 的平分线交于点，，， ， 的面积是， 故选：B． 5．如图，在中，，，延长至点，使，连接，点落在线段的垂直平分线上，则的面积为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，过点A作，根据，，得出，则，根据垂直平分线的性质得出，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：过点A作， ∵，， ∴， ∴， ∵点落在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴的面积， 故选：A． 勾股数问题 6．下列几组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．5，12，13 【答案】D 【分析】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a，b，c为正整数，且满足，那么，a、b、c叫做一组勾股数． 根据勾股数的定义（三个正整数满足 ），逐项判断即可． 【详解】解：对于 A：1， 2， 3 是正整数，但 ，∴不是勾股数； 对于 B：0.3， 0.4， 0.5不是正整数，∴不是勾股数； 对于 C：，，中是整数，但和不是整数，∴不是勾股数； 对于D：5，12，13是正整数，且，∴是勾股数． 故选D． 7．下列各组数：①3、4、5，②4、5、6，③5、12、13，④6、8、10满足勾股数的有（   ） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理，通过计算每组数中较小两数的平方和是否等于最大数的平方，判断是否为勾股数． 【详解】解：对于①，因为，，所以，所以3、4、5是勾股数； 对于②，因为，，所以，所以4、5、6不是勾股数； 对于③ ，因为，，所以，所以5、12、13是勾股数； 对于④ ，因为，，所以，所以6、8、10是勾股数； 所以满足勾股数的是①③④，共3组． 故选：B． 8．下列各组数据中，不是勾股数的是（） A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．5，7，9 【答案】D 【分析】本题考查勾股数的定义，掌握勾股数的判定条件“三个正整数且满足勾股定理”是解题的关键． 根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵勾股数需满足两较小正整数的平方和等于最大正整数的平方， ∴验证各选项： A．，相等，是勾股数； B．，相等，是勾股数； C．，相等，是勾股数； D．，不是勾股数． 故选：D． 9．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为8、6、18，则正方形的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 根据勾股定理得，，，代入数值即可求解． 【详解】解：如图所示，标记正方形E， 由题意可知，，， ∴， ∵正方形B、C、D的面积依次为8、6、18， ∴， ∴， 故选：C． 10．如下图所示，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形、、、的面积分别是12，16，9，12，则最大正方形E的面积是（   ） A．28 B．25 C．49 D．40 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据数形结合得出正方形之间面积关系是解题关键． 根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，利用四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积进而求出即可． 【详解】 ∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形， ∴正方形A的面积12，正方形B的面积16，正方形C的面积9，正方形D的面积12， ∴正方形F的面积为：，正方形G的面积为：， 则最大正方形E的面积是：． 故选：C． 以弦图为背景的计算题 11．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而设计的几何图形．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理的证明方法是解题的关键． 根据三角形的面积和正方形的面积即可得到结论． 【详解】解：由题意得，， A、可知，又，（负值已舍），故选项A正确，符合题目要求， B、可知，故选项B错误，不符合题目要求， C、可知，故选项C错误，不符合题目要求， D、可知，故选项D错误，不符合题目要求． 故选：A． 12．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成．如图，直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．若，，则每个直角三角形的面积为（   ） A．64 B．60 C．120 D．128 【答案】B 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算，准确理解题意是解题的关键．根据每个直角三角形的面积为（大正方形面积小正方形面积），代入求解即可． 【详解】解：∵此图是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成， ∴每个直角三角形的面积为（大正方形面积小正方形面积）， ∵，， ∴， 故选：B． 13．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键． 利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， D、利用C中结论，本选项不符合题意． 故选B． 14．如图个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌的正方形，大正方形面积为，小正方形面积为，若用、表示直角三角形的两直角边，四个说法：，，，．正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，完全平方公式，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．根据大正方形的面积和勾股定理可判断；根据小正方形的面积和四个直角三角形全等可判断；根据四个三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，可判断；利用完全平方公式先求得，进而可判断． 【详解】解：大正方形的面积是， 大正方形的边长是， 利用勾股定理可得， 故说法正确，符合题意； 小正方形面积为， 小正方形的边长是， 四个直角三角形全等， ， ， 故说法正确，符合题意； 根据图形可得四个三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， 即，化简得，  故说法正确，符合题意； ， ， ， ， 故说法不正确，不符合题意； 综上所述，说法正确的是． 故选：B ． 15．“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查“赵爽弦图”的图形特征，对选项中的图形进行判断．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形图案． 【详解】解：A、是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形，符合“赵爽弦图”的特征； B、是由四个直角三角形组成的大正方形，但直角三角形的排列方式与“赵爽弦图”不符； C、是由正方形和三角形组成的图形，不符合“赵爽弦图”的特征； D、是由三角形组成的大三角形，不符合“赵爽弦图”的特征； 故选：A． 勾股定理与无理数 16．如图，数轴上的点、对应的实数分别是、，线段于点，且长为个单位长度．若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于和之间的点，则点表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，由勾股定理得，求出，由即可求解．能用勾股定理求解，找出实数在数轴上的点是解题的关键． 【详解】解：∵数轴上的点、对应的实数分别是、，，长为个单位长度， ∴，，， ∴在中，， ∵以点为圆心，长为半径的弧交数轴于和之间的点， ∴， ∵数轴上的点对应的实数是， ∴点表示的实数是． 故选：D． 17．如图，是直角三角形，，点表示2，，若以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，先由勾股定理求出的长，即可得出的长，再根据数轴上两点之间的距离公式计算即可． 【详解】解：设点M表示的数为m， ， 由勾股定理得：， 由题意得：， ， 故选：B． 18．如图，长方形放在数轴上，，，以A为圆心，长为半径画弧交数轴于P点，则P点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，由勾股定理可得，再结合数轴即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴P点表示的数为， 故选：C． 19．如图，数轴上点所表示的数为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理．熟练掌握勾股定理解直角三角形，数轴上两点之间的距离，实数的运算，是解题的关键． 先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，得到数轴上两点间的距离，再根据两点间的距离公式即可求出A点表示的数． 【详解】解：∵图中的直角三角形的两直角边为1和2， ∴斜边长为：， ∴点A所表示的数为：． 故选：D． 20．如图，数轴上点A所表示的数是2，，且．以原点O为圆心，为半径画弧，交数轴的负半轴于点C，则点C表示（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质，关键是求出的值，然后根据圆的性质即可求解． 根据勾股定理求得的长，然后根据圆的性质即可求解，进而即可判断． 【详解】解：由已知得， ∵，且， ∴在中，， ∵以原点为圆心，为半径画弧，交数轴负半轴于点， ∴， ∴点所表示的数为； 故选D． 求最短路径 21．如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．米 【答案】C 【分析】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，解题关键是把长方体展开后用了勾股定理求出对角线的长度．昆虫有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）两个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的路径． 【详解】解：由题意得， 路径一： ； 路径二： ； 路径三： ； ∵， ∴5为最短路径． 故选：C． 22．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（   ） A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，底面周长为米，柱身高为6米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点， 米，（米）， （米）， 故雕刻在木柱上的巨龙长至少为（米）， 故选：A． 23．如图，一个棱长为60厘米的正方体快递包裹，在顶点A处有一只蚂蚁．蚂蚁沿着正方体的表面爬行，从顶点A爬到顶点B的最短路程是（    ）    A．厘米 B．120厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确将正方体展开，利用勾股定理进行求解是解题的关键． 根据正方体展开图的特点，将正方体展开，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，将正方体展开，则，， ∴由勾股定理得， ∴需要爬行的最短路程是厘米， 故选：D．    24．如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高为5，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（　　） A．4 B． C． D．13 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理中最短路径问题，解题的关键是理解圆柱展开图，结合两点间线段距离最短得到最小距离线段．将圆柱展开根据图像得到A，C两点的位置结合两点间距离公式及勾股定理直接求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，圆柱展开图如图所示，根据两点间线段距离最短，连接，即为最短距离， ∵圆柱体的底面圆周长为6，高为5， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 故选：B． 25．如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形．现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体表面爬行到顶点C处，则小虫爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平面展开——最短路径问题，勾股定理，化为最简二次根式，此类问题先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再利用两点之间，线段最短，确定两点之间的最短路径．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题． 将立体图形展开，有两种不同的展法，连接，利用勾股定理求出的长，找出最短的即可． 【详解】解：①如图，将长方体的上面和右面或者前面和下面展开在同一平面内，    ∵，，， ∴； ②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内， ∵，，， ∴， ∵ ∴小虫爬行的最短路程为． 故选：B． 勾股定理与折叠问题 26．如图，折叠长方形纸片，使点D落在边上的点F处，折痕为．已知该纸片宽，长，求的长．    【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据长方形的性质，折叠的性质，勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解∶∵四边形是长方形， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长是． 27．如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处， (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，进而即可求出的长． （2）在中，用勾股定理列方程即可求得的长． 【详解】（1）解：，，， 根据翻折的性质可得， 则． （2）解：设，由折叠可知：，， 在中， ∴ 解得： ∴的长为． 28．如图，在长方形中，点E在边上，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点F处，，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)18 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）由折叠的性质可知，，然后再直角中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：由折叠可知：， 在长方形中，， 在中，由勾股定理得： ， ∴； （2）解：由折叠可知：， 在长方形中，，，， 设，则， 在中，由勾股定理得： ∴， 解之得：， ∴， ∴． 29．如图，在长方形中，，E是边上一点．将四边形沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为．若恰好经过点A，求： (1)的长． (2)的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查折叠的性质，勾股定理解三角形，求三角形的面积，结合图形求解是解题关键． （1）根据长方形的性质得出，再由折叠的性质确定，利用勾股定理求解即可； （2）结合图形直接求面积即可． 【详解】（1）解：因为四边形为长方形， 所以． 由折叠的性质，得． 由勾股定理，得， 所以， 所以． 设，则． 所以， 解得， 所以． （2）． 30．如图，在纸片中，，，，折叠，使、两点重合，折痕为，、分别在、上，连接，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查的是翻折变换和勾股定理，根据翻折的性质和勾股定理列出方程是解答此题的关键．设，则，在中，利用勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：由折叠得，， 设，则， 在中， 由勾股定理得，， 即， 解得，， ． 答：的长为． 求梯子滑落高度 31．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）如图，在上取点，使米，根据勾股定理求出，再计算即可； 【详解】（1）解：根据题意得：米，米，米， 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴风筝的垂直高度为米； （2）如图，在上取点，使米，连接， ∴（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线米． 32．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的上，这时点B到墙底端C的距离为米．如果梯子的顶端沿墙面下滑米，那么点B是否也向外移动米？请通过计算说明． 【答案】点B不是向外移动米，说明见解析 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求出的长度是解题的关键． 在中，利用勾股定理可得米，从而得到米，然后在中，利用勾股定理可得的长度，即可求解． 【详解】解：点B不是向外移动米，说明如下： 根据题意得：米，米，米， 在中，（米）， ∴（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 即点B向外移动米， ∴点B不是向外移动米． 33．一架梯子长米，靠在墙上，梯子底端离墙米． (1)求梯子顶端到地面的高度； (2)若梯子顶端下滑米，底端将水平滑动多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（）设梯子顶端到地面的高度为米，根据勾股定理列出方程解答即可求解； （）设底端将水平滑动米，根据勾股定理列出方程解答即可求解； 本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设梯子顶端到地面的高度为米， 由勾股定理得，， 解得， 答：梯子顶端到地面的高度为米； （2）解：设底端将水平滑动米， 由题意得，， 解得， 答：底端将水平滑动米． 34．如图一个长为的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为．如果梯子的顶端A下滑到，请求出滑动的水平距离． 【答案】滑动的水平距离是 【分析】本题考查了勾股定理的应用，明确题意，在和中利用勾股定理解直角三角形是解答本题的． 利用勾股定理先求出滑动前的长，再求出滑动后的长，二者相减即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴中，， ∴， 即滑动的距离为． 35．消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． 在中，根据勾股定理可得的长，从而得到的长，然后在中，根据勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 求大数折断前高度 36．如图，已知一棵高为的大树在一次强台风中于离地面处(点)折断倒下，求倒下部分的树梢(点)到树根(点)的水平距离(的长)． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据树高可求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 答：倒下部分的树梢(点)到树根(点)的水平距离(的长)为． 37．如图，一棵高的巨大杉树在台风中被刮断，树顶C落在离树根B点处，科研人员要查看断痕A处的情况，在离树根B点的D处竖起一架梯子，请问这架梯子有多长？ 【答案】这架梯子的长为 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设的长为，则，利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：设的长为，则． 根据题意，得， 即， 解得． ∴的长为． 在中，， 由勾股定理，得． 答：这架梯子的长为． 38．某地遭台风袭击，马路边竖有一根高为8m的电线杆，被大风从离地面的B处吹断裂，倒下的电线杆顶部C是否会落在与它的底部A的距离为的快车道上？说明理由． 【答案】会，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用和实数的大小比较，解题的关键是正确求出的长度．先根据线段的和差求出的长度，再由勾股定理求出的长度，与5进行大小比较即可． 【详解】解：根据题意，m，， 则， ∴， 又∵， ∴倒下的电线杆顶部会落在与它的底部A距离5m的快车道上． 39．如图，超强台风“桦加沙”登陆时把一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【答案】树枝落地时会砸着小轿车；理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为，比较和的大小，可知大树砸不到小车． 【详解】解：树枝落地时不会砸着小轿车；理由如下： 由题意可知，， ∴为直角三角形， 在中，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴树枝落地时会砸着小轿车． 40．如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处， (1)如图1，求木杆折断之前的高度； (2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 【答案】(1)木杆折断之前的高度是 (2)的长是 【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理列出直角三角形的三边关系，即可求出的长； （2）根据（1）的结论结合勾股定理列式求解． 【详解】（1）解：在中，，，， 根据勾股定理：，， 答：木杆折断之前的高度是． （2）解：设的长为，则， 在中，根据勾股定理： ，解得：． 的长是． 选址使到两地距离相等 41．如图，公路上两点相距为两村庄，于点于点．已知，现在要在公路上建一个土特产市场，使得两村庄到市场的距离相等．市场应建在距点多少千米处？ 【答案】市场应建在距点20km的位置 【分析】可以设则在直角中根据勾股定理可以求得，在直角中根据勾股定理可以求得，根据，即可求得的值． 【详解】解：设，则． 在中，； 在中，． 由题意得， 解得，即． 故市场应建在距点km的位置． 【点睛】本题考查了勾股定理，正确的运算是解题的关键． 42．如图，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座信号塔，且使C，D两个村庄到E的距离相等．已知于点A，于点B，，，，求信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方？ 【答案】30千米 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据和求x的值是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴和都是直角三角形， ∴，， 又∵，，， ∴， 解得． 答：信号塔E应该建在离A乡镇30千米的地方． 43．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且.测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【答案】少千米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、根据勾股定理构建方程是解题的关键； 设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少千米． 44．某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长． 【答案】， 【分析】通过设未知数，利用勾股定理分别表示出和，再根据建立方程求解．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据距离相等建立方程是解题的关键． 【详解】解：设，则． 根据题意，得． ∴， 解得． ∴． ∴，． 45．如图，铁路上A，B两点相距，C，D两点为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等， (1)E站应建在距A点多少千米处？ (2)求两个村庄之间的直线距离（结果保留根号）． 【答案】(1)E站应建在距A点5千米处 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，全等三角形的性质与判定，熟知勾股定理是解题的关键． （1）设，则，根据勾股定理和可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据（1）可得，证明，得到，则可证明，由勾股定理得，则由勾股定理得． 【详解】（1）解：设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵C，D两村到E站的距离相等， ∴，即， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：E站应建在距A点5千米处； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， 答：两个村庄之间的直线距离为． 判断是否受台风影响 46．由于过度采伐森林和破坏植物，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭．如图，近日市气象局测得在市正南方向的处有一沙尘中心，沿方向以的速度移动，已知市到的距离为，沙尘中心经过从点移动到点． (1)求的长； (2)如果在距沙尘中心的圆形区域内都将受到沙尘暴的影响，那么市会受到沙尘暴的影响吗？若会，求出市受到沙尘暴影响的时间持续多久；若不会，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理的应用． （1）先根据沙尘中心移动速度及时间求出，再利用勾股定理求的长； （2）令，由等腰三角形三线合一，可得，用勾股定理求出，进而可得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知， 在中，， ， 即的长为； （2）解：， 市会受到沙尘暴的影响． 如图，令， ， ， ， ， ， 即市受到沙尘暴影响的时间持续． 47．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)______； (2)过点C作，垂足为D，_______，海港_______（填“会”、“不会”）受台风影响； (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)400 (2)240；会 (3)海港受台风影响的时间会持续h． 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理求出即可； （2）过点作，利用等面积法得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （3）假设当时，正好影响港口，利用勾股定理得出，再得出的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：，，， ； 故答案为：400； （2）解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，， 海港受台风影响； 故答案为：240；会； （3）解：如图，假设当时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为， （h）， 答：海港受台风影响的时间会持续h． 48．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)海港受台风影响的时间会持续h 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）过点作，利用勾股定理求出，再利用等面积法得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）假设当时，正好影响港口，利用勾股定理得出，再得出的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作， ，，， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）如图，假设当时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为， （h）， 答：海港受台风影响的时间会持续h． 49．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗?为什么? (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长? 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)台风影响该海港持续的时间为 【分析】（1）过点作于点，此时线段为点到线段的距离，通过三角形面积相等可求出线段的长，若，则海港受台风影响，若，则海港不受台风影响； （2）通过勾股定理可求出线段、的长，从而求出线段的长，利用路程除以速度即可求出时间； 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，过点作于点构建直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴是直角三角形． ∴， 即， 解得． ∵， ∴海港受台风影响． （2）设台风到达点时开始影响该海港，到达点时解除影响该海港， ∴． ∵于点， ∴， ， ∴． ∵台风的速度为， ∴． ∴台风影响该海港持续的时间为． 50．如图，在点正北方的处有一信号接收站，点在点的北偏东的方向，一信号车从点向点的方向以的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收站接收信号的有效范围为． (1)作于点，求点到射线的距离；并判断处是否能接收信号，说明理由； (2)信号接收站若能接收信号，求出接收信号持续多长时间？ 【答案】(1)；能，理由见解析 (2)接收信号持续 【分析】本题考查勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质与判定，理解题意，利用勾股定理解决问题是解题的关键． （1）通过证明是等腰直角三角形，求出的长，再结合题意判断处能接收信号，即可解答； （2）分别求出信号接收站恰好能接收信号的临界点与，求出的长度，再利用时间路程速度，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴点到射线的距离为； ∵， ∴处能接收信号； （2）解：由（1）得，， 当时，， 当时，， ∴， ， 答：接收信号持续． 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.11勾股定理 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 勾股定理的定义 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，那么可以表示为：a² + b² = c²。 勾股定理的常见表示形式 1. 基本形式：对于直角三角形，a² + b² = c²（其中a、b为直角边，c为斜边）。 2. 变形形式：c = ，a = ，b = 。 勾股定理的应用条件 必须在直角三角形中才能应用勾股定理，已知其中任意两边的长度，可以求出第三边的长度。 勾股数 能够构成直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数有：（3，4，5）及其倍数（如6，8，10；9，12，15等）、（5，12，13）、（7，24，25）、（8，15，17）等。 型 习 练 题 用勾股定理理解三角形 1．如图，于，和都是等腰直角三角形，如果，，那么的长为（   ） A． B． C．7 D．13 2．如图，在中，，则的面积是（ ） A． B． C． D． 3．如图，直角中，，将沿折叠得，点的对应点为点，则点到的距离为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，，的平分线交于点，若，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，延长至点，使，连接，点落在线段的垂直平分线上，则的面积为（   ） A． B．3 C． D． 勾股数问题 6．下列几组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．，， D．5，12，13 7．下列各组数：①3、4、5，②4、5、6，③5、12、13，④6、8、10满足勾股数的有（   ） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 8．下列各组数据中，不是勾股数的是（） A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．5，7，9 9．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为8、6、18，则正方形的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如下图所示，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形、、、的面积分别是12，16，9，12，则最大正方形E的面积是（   ） A．28 B．25 C．49 D．40 以弦图为背景的计算题 11．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而设计的几何图形．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（   ） A． B． C． D． 12．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成．如图，直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．若，，则每个直角三角形的面积为（   ） A．64 B．60 C．120 D．128 13．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 14．如图个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌的正方形，大正方形面积为，小正方形面积为，若用、表示直角三角形的两直角边，四个说法：，，，．正确的是（  ） A． B． C． D． 15．“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（    ） A． B． C． D． 勾股定理与无理数 16．如图，数轴上的点、对应的实数分别是、，线段于点，且长为个单位长度．若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于和之间的点，则点表示的实数是（   ） A． B． C． D． 17．如图，是直角三角形，，点表示2，，若以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（   ）    A． B． C． D． 18．如图，长方形放在数轴上，，，以A为圆心，长为半径画弧交数轴于P点，则P点表示的数为（    ） A． B． C． D． 19．如图，数轴上点所表示的数为，则的值是（    ） A． B． C． D． 20．如图，数轴上点A所表示的数是2，，且．以原点O为圆心，为半径画弧，交数轴的负半轴于点C，则点C表示（　　） A． B． C． D． 求最短路径 21．如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为（　　） A．3米 B．4米 C．5米 D．米 22．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（   ） A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米 23．如图，一个棱长为60厘米的正方体快递包裹，在顶点A处有一只蚂蚁．蚂蚁沿着正方体的表面爬行，从顶点A爬到顶点B的最短路程是（    ）    A．厘米 B．120厘米 C．厘米 D．厘米 24．如图，一圆柱体的底面圆周长为6，高为5，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（　　） A．4 B． C． D．13 25．如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形．现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体表面爬行到顶点C处，则小虫爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D． 勾股定理与折叠问题 26．如图，折叠长方形纸片，使点D落在边上的点F处，折痕为．已知该纸片宽，长，求的长．    27．如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处， (1)求的长； (2)求的长． 28．如图，在长方形中，点E在边上，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点F处，，． (1)求的长； (2)求的面积． 29．如图，在长方形中，，E是边上一点．将四边形沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为．若恰好经过点A，求： (1)的长． (2)的面积． 30．如图，在纸片中，，，，折叠，使、两点重合，折痕为，、分别在、上，连接，求的长． 求梯子滑落高度 31．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 32．如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的上，这时点B到墙底端C的距离为米．如果梯子的顶端沿墙面下滑米，那么点B是否也向外移动米？请通过计算说明． 33．一架梯子长米，靠在墙上，梯子底端离墙米． (1)求梯子顶端到地面的高度； (2)若梯子顶端下滑米，底端将水平滑动多少米？ 34．如图一个长为的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为．如果梯子的顶端A下滑到，请求出滑动的水平距离． 35．消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度． 求大数折断前高度 36．如图，已知一棵高为的大树在一次强台风中于离地面处(点)折断倒下，求倒下部分的树梢(点)到树根(点)的水平距离(的长)． 37．如图，一棵高的巨大杉树在台风中被刮断，树顶C落在离树根B点处，科研人员要查看断痕A处的情况，在离树根B点的D处竖起一架梯子，请问这架梯子有多长？ 38．某地遭台风袭击，马路边竖有一根高为8m的电线杆，被大风从离地面的B处吹断裂，倒下的电线杆顶部C是否会落在与它的底部A的距离为的快车道上？说明理由． 39．如图，超强台风“桦加沙”登陆时把一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 40．如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处， (1)如图1，求木杆折断之前的高度； (2)如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 选址使到两地距离相等 41．如图，公路上两点相距为两村庄，于点于点．已知，现在要在公路上建一个土特产市场，使得两村庄到市场的距离相等．市场应建在距点多少千米处？ 42．如图，某电信公司计划在A，B两乡镇间的E处修建一座信号塔，且使C，D两个村庄到E的距离相等．已知于点A，于点B，，，，求信号塔E应该建在离A乡镇多少千米的地方？ 43．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且.测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 44．某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长． 45．如图，铁路上A，B两点相距，C，D两点为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等， (1)E站应建在距A点多少千米处？ (2)求两个村庄之间的直线距离（结果保留根号）． 判断是否受台风影响 46．由于过度采伐森林和破坏植物，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭．如图，近日市气象局测得在市正南方向的处有一沙尘中心，沿方向以的速度移动，已知市到的距离为，沙尘中心经过从点移动到点． (1)求的长； (2)如果在距沙尘中心的圆形区域内都将受到沙尘暴的影响，那么市会受到沙尘暴的影响吗？若会，求出市受到沙尘暴影响的时间持续多久；若不会，请说明理由． 47．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)______； (2)过点C作，垂足为D，_______，海港_______（填“会”、“不会”）受台风影响； (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 48．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 49．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗?为什么? (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长? 50．如图，在点正北方的处有一信号接收站，点在点的北偏东的方向，一信号车从点向点的方向以的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收站接收信号的有效范围为． (1)作于点，求点到射线的距离；并判断处是否能接收信号，说明理由； (2)信号接收站若能接收信号，求出接收信号持续多长时间？ 学科网（北京）股份有限公司 $