12.9逆命题、逆定理（基础篇）讲义 2025-2026学年北京版数学八年级上册

本讲义聚焦初中数学“逆命题、逆定理”核心知识点，系统梳理逆命题的定义（条件与结论互换）、形式（“若p则q”与“若q则p”）及真假关系，逆定理的定义（逆命题为真）及存在条件（并非所有定理都有逆定理），辅以思维导图梳理知识脉络，练习题作为学习支架覆盖逆命题书写、逆定理辨析等题型。 资料以“定义-辨析-应用”为主线，通过思维导图直观呈现知识结构培养抽象能力（数学眼光），练习题从命题转换到定理辨析，训练推理意识（数学思维）与数学语言表达。课中教师可依托清晰框架高效授课，课后学生通过分层练习巩固，查漏补缺，提升逻辑推理与问题解决能力。

12.9逆命题、逆定理 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、逆命题 1. 定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。 2. 形式：若原命题为“如果p，那么q”（或“若p，则q”），则其逆命题为“如果q，那么p”（或“若q，则p”）。 3. 说明：任何一个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题；原命题是假命题，它的逆命题也可能是真命题。 二、逆定理 1. 定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 2. 说明：并不是所有的定理都有逆定理。只有当一个定理的逆命题被证明是正确的（即真命题）时，这个逆命题才能称为该定理的逆定理。 型 习 练 题 写出命题的逆命题 1．下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 B．等边三角形是锐角三角形 C．如果两个角是直角，那么它们相等 D．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 2．已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（    ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．下列各命题的逆命题不成立的是（　　） A．两直线平行，内错角相等． B．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 C．如果，那么 D．对顶角相等 4．下列各命题的逆命题一定成立的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．全等三角形的对应角相等 C．如果，那么 D．如果，那么 5．下列说法正确的个数是（   ） ①每个命题都有逆命题 ②真命题的逆命题是真命题 ③假命题的逆命题是真命题 ④每个定理都有逆定理 ⑤每个定理一定有逆命题 ⑥命题“若，那么”的逆命题是假命题，可举反例． A．1 B．2 C．3 D．4 互逆定理 6．下列说法错误的是（    ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．真命题的逆命题不一定是真命题 D．互逆定理中的两个命题都是真命题 7．下列说法正确的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．定理的逆命题一定是真命题 8．下列定理：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应边相等；③同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．下列定理：①等腰三角形两底角相等；②全等三角形的对应边相等；③同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．下列定理有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．等角的补角相等 C．同角的余角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.9逆命题、逆定理 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、逆命题 1. 定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。 2. 形式：若原命题为“如果p，那么q”（或“若p，则q”），则其逆命题为“如果q，那么p”（或“若q，则p”）。 3. 说明：任何一个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题；原命题是假命题，它的逆命题也可能是真命题。 二、逆定理 1. 定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 2. 说明：并不是所有的定理都有逆定理。只有当一个定理的逆命题被证明是正确的（即真命题）时，这个逆命题才能称为该定理的逆定理。 型 习 练 题 写出命题的逆命题 1．下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 B．等边三角形是锐角三角形 C．如果两个角是直角，那么它们相等 D．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 【答案】D 【分析】本题考查了命题和逆命题，命题的真假，乘法法则，等边三角形的概念，角平分线的判定，首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．正确的写出各个命题的逆命题是解题的关键． 【详解】解：A.原命题“如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数”的逆命题是“如果两个实数的积是正数，那么这两个实数都是正数”． ∵两个负数的积也为正数（如）， ∴逆命题不成立． B.原命题“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是“锐角三角形是等边三角形”． ∵锐角三角形只需三个角均为锐角（如，，的三角形），不一定等边， ∴逆命题不成立． C.原命题“如果两个角是直角，那么它们相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么它们是直角”． ∵相等的角可以是任意度数（如），不一定是直角， ∴逆命题不成立． D.原命题“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”的逆命题是“如果点在角的平分线上，那么它到角的两边距离相等”． ∵根据角平分线性质定理，角平分线上的点到角的两边距离相等， ∴逆命题成立． 故选：D 2．已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（    ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查逆命题，将原命题的条件和结论互换即可． 【详解】解：∵原命题为“如果，那么”， ∴逆命题为如果 ，那么 ， 故选：B 3．下列各命题的逆命题不成立的是（　　） A．两直线平行，内错角相等． B．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 C．如果，那么 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】本题考查逆命题的真假判断，准确分析判断是解题的关键． 需要写出每个原命题的逆命题，并运用初中数学知识判断其是否成立． 【详解】、原命题两直线平行，内错角相等的逆命题为内错角相等，两直线平行， 内错角相等是平行线的判定定理， 逆命题成立； 、原命题若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等的逆命题为若两个数相等，则这两个数的绝对值相等； 两数相等则绝对值必相等， 逆命题成立； 、原命题如果，那么的逆命题为如果，那么， 时，平方必然相等， 逆命题成立； 、原命题对顶角相等的逆命题为相等的角是对顶角， 相等的角不一定是对顶角， 逆命题不成立； 故选． 4．下列各命题的逆命题一定成立的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．全等三角形的对应角相等 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题考查逆命题的定义，需先明确逆命题的定义：将原命题的题设和结论互换，得到的新命题即为逆命题．然后逐一分析每个选项的逆命题是否成立． 【详解】解：选项A的逆命题：两个锐角互余的三角形是直角三角形，逆命题成立； 选项B的逆命题：对应角相等的两个三角形是全等三角形，逆命题不成立； 选项C的逆命题：如果，那么，逆命题不成立； 选项D的逆命题：如果，那么，逆命题不成立． 综上，逆命题一定成立的是选项A． 故选：A． 5．下列说法正确的个数是（   ） ①每个命题都有逆命题 ②真命题的逆命题是真命题 ③假命题的逆命题是真命题 ④每个定理都有逆定理 ⑤每个定理一定有逆命题 ⑥命题“若，那么”的逆命题是假命题，可举反例． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了逆命题，真假命题，逆定理，根据定义逐个判断即可. 【详解】解：因为每个命题都有逆命题，所以①正确； 因为真命题的逆命题不一定是真命题，所以②不正确； 因为假命题的逆命题不一定是真命题，所以③不正确； 因为每个定理都有逆命题，不一定是真命题，所以④不正确，⑤正确； 因为命题“若，那么”的逆命题是“若，那么”，可举反例当，则，所以⑥不正确. 所以正确的有2个. 故选：B. 互逆定理 6．下列说法错误的是（    ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．真命题的逆命题不一定是真命题 D．互逆定理中的两个命题都是真命题 【答案】B 【分析】本题考查命题与定理，逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等知识．根据命题和定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意； B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，正确，故本选项不符合题意； D、互逆定理中的两个命题都是真命题，正确，本选项不符合题意； 故选：B． 7．下列说法正确的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．定理的逆命题一定是真命题 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理，判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，经过推理论证的真命题叫定理，两个命题的题设与结论互换的命题互为逆命题． 利用逆命题、逆定理的知识对各项进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项符合题意； B、定理不一定有逆定理，原说法错误，故本选项不符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，原说法错误，故本选项不符合题意； D、定理的逆命题不一定是真命题，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A 8．下列定理：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应边相等；③同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理，逆定理，熟练掌握逆命题与逆定理的区别是解题的关键．分别写出其逆命题，然后判断对错，即可得出答案． 【详解】解：①有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题，故①有逆定理，符合题意； ②全等三角形的对应边相等的逆命题是：三边分别相等的两个三角形全等，是真命题，故②有逆定理，符合题意； ③同位角相等，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同位角相等，是真命题，故③有逆定理，符合题意； 故选：D． 9．下列定理：①等腰三角形两底角相等；②全等三角形的对应边相等；③同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查定理与逆定理，分别写出三个命题的逆命题，判断真假，即可得出结果． 【详解】解：①的逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，为真命题； ②的逆命题为：对应边相等的两个三角形全等，为真命题； ③的逆命题为：两直线平行，同位角相等，为真命题； 故三个定理都有逆定理； 故选：D． 10．下列定理有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．等角的补角相等 C．同角的余角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 分别写出各个选项的条件和结论互换的说法，然后进行判断即可． 【详解】解：A、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，错误，故没有逆定理，不符合题意； B、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是等角的补角，错误，故没有逆定理，不符合题意； C、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，错误，故没有逆定理，不符合题意； D、逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，且是逆定理，符合题意， 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $