12.2 三角形的性质（三角形边的性质）（题型专练）数学北京版2024八年级上册

12.2 三角形的性质（三角形边的性质） 题型一 构成三角形的条件 1．（2025八年级上·全国·专题练习）某校组织研学活动需要每个班准备一面三角形的班旗，下面是八年级4个班设计班旗的数据（三边长），其中不能实现三角形班旗制作的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25八年级上·北京·期中）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（   ） A．1，1，2 B．1，2，3 C．1，2，2 D．1，2，4 3．（23-24八年级上·北京昌平·期末）以下列长度的三条线段为边，能组成一个等腰三角形的是（    ） A．2，4，7 B．5，6，6 C．1，1，2 D．3，4，5 题型二 确定三角形第三边的取值范围 4．（24-25八年级上·北京·期末）若一个三角形的三条边长分别为，，，则的长可以是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·北京房山·期末）同学们用小木条拼三角形，有长度为，，和的木条若干根，小杰已经取了和的两根木条，那么第三根小木条可取（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·北京·期中）已知三角形三边长分别为，若为整数，则这样的三角形个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，，点是的中点，连接，那么线段的长度有可能是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·北京·期中）课堂上，老师组织大家用小棒摆三角形．已知三条线段的长分别是4，5，，若它们能构成三角形，则整数不可能是（   ） A．10 B．8 C．7 D．4 题型三 确定三角形第三边的值 9．（24-25八年级上·北京·期中）若三角形的两边长分别为2和3，则第三边的值可能是（   ） A．1 B．4 C．5 D．6 10．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A，B之间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·北京平谷·期末）如果三角形的三边长分别为a，4，5，那么整数a的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（23-24八年级上·河北保定·期末）的边长如图所示，写出一个符合条件的的整数值： ．    13．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知的周长为16，，当的值为 时，是等腰三角形． 14．（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）如果三条线段、、，可组成三角形，且，，是偶数，则的值为 ． 题型四 三角形的三边关系的应用 15．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）我们知道三角形具有稳定性，但四边形却是不稳定的．已知四边形的边长如图所示．当为等腰三角形时，对角线的长为（　　） A．4或6 B．5 C．4 D．6 16．（24-25七年级下·山东济南·期中）某晾衣架的示意图如图所示，若，则晾衣架底部横杆的长可能为（   ） A．50 B．56 C．60 D．66 17．（2025·湖北武汉·模拟预测）现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 18．（2025·江苏无锡·三模）小毛在滑雪场沿着不同路径滑冰．如图中的灰色线条表示4条不同路径，分别标记为P、Q、R、S．请问这4条路径从最短到最长的正确排列顺序是（    ） A．P，Q，R，S B．P，R，S，Q C．Q，S，P，R D．R，P，S，Q 19．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知三角形的三边长分别为3，8，． (1)求的取值范围； (2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？ 20．（24-25八年级上·广东汕头·期末）已知分别为的三边，且满足．求的取值范围； 题型一 由三角形的三边关系化简绝对值 21．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简的结果是（　　） A． B． C． D． 22．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若一个三角形的三边长分别为3，x，9，则化简（   ） A．18 B．8 C． D． 23．（23-24八年级上·北京海淀·开学考试）已为，，是的三边长． (1)若，，满足．试判断的形状； (2)化简： 24．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若a，b，c满足，试判断的形状． 25．（24-25八年级上·江西宜春·期末）先化简，再求值：，其中m的值是两边长分别为2和3的三角形的第三边长，且m是整数． 26．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知a，b，c是的三边长． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若a，b，c满足，试判断的形状； (3)化简：． 题型二 由三角形的三边关系进行证明 27．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，已知中，大于其它两边，分别在上，连接．求证：． 28．（23-24八年级上·北京·期末）如图，已知中，，P为内一点．求证： 29．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在中，D为的中点． (1)求证：； (2)若，，求的取值范围． 30．（21-22八年级上·四川内江·阶段练习）若a、b、c为三角形的三边长，求证：的值一定为负数． 题型三 三角形的三边关系与等腰三角形的边长问题 31．（24-25八年级上·北京·期中）如果等腰三角形的两边长分别为和，那么它的周长是 ． 32．（24-25八年级上·北京怀柔·期末）已知等腰三角形的周长为，其中一边的长为5，则底边的长为 . 33．（12-13八年级上·江苏泰州·期中）已知一个等腰三角形的两条边长分别为、，则该等腰三角形的腰长为 ． 34．（2023八年级上·全国·专题练习）定义：如果一个三角形的一条边是另一条边长度的两倍，则称这个三角形为倍长三角形．若等腰是倍长三角形，且一边长为6，则的底边长为 ． 35．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知一个等腰三角形的两边长x，y满足方程组，求这个等腰三角形的周长． 36．（20-21八年级上·四川自贡·期中）已知等腰三角形的周长是16cm． （1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长； （2）若其中一边长为6cm，求另外两边长； 37．（24-25八年级上·安徽池州·期末）已知a，b是等腰三角形的两边长，且满足，求这个等腰三角形的周长． 38．（24-25八年级上·吉林·期末）【阅读理解】例题：若，求和的值． 解：，，即，，，∴，． 【方法运用】若，求的值． 【拓展提升】已知是等腰的三边长，若满足，求的周长． 39．（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）附加题 如图，A、B两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在的中点C处有一个雕塑，张倩从点A出发，沿直线一直向前经过点C走到点E，并使，然后她测量点E到假山D的距离，则的长度就是A、B两点之间的距离． (1)你能说明张倩这样做的根据吗？ (2)如果张倩恰好未带测量工具，但是知道A和假山、雕塑分别相距200米、120米，你能帮助她确定的长度范围吗？ (3)在第（2）问的启发下，你能“已知三角形的一边和另一边上的中线，求第三边的范围吗？”请你解决下列问题：在中，是边的中线，，，求的取值范围． 40．（24-25七年级上·上海·阶段练习）设三角形三边长为a、b、c，且三边长满足方程组，试求的值． 41．（24-25八年级上·全国·期末）【综合探究】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小军在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． （1）【探究发现】图1中，由已知和作图能得到的理由是 ． A．    B．    C．    D． （2）【初步应用】如图2，在中，若，，求得的取值范围是________． A．    B．    C．    D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． （3）【问题解决】如图3，分别以和为边作等腰直角三角形，即在中，，，在中，，，连接，试探究与的数量关系，并说明理由． 提示：．延长到，使，连接，根据（，，）证明，得，又因为，所以． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.2 三角形的性质（三角形边的性质） 题型一 构成三角形的条件 1．（2025八年级上·全国·专题练习）某校组织研学活动需要每个班准备一面三角形的班旗，下面是八年级4个班设计班旗的数据（三边长），其中不能实现三角形班旗制作的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边。若存在两边之和等于或小于第三边，则无法构成三角形；逐一验证各选项是否满足三角形三边关系即可. 【详解】解：选项A：，，，最长边，，满足条件，可构成三角形；不符合题意； 选项B：，，，最长边，，等于第三边，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形；符合题意； 选项C：，，，最长边，，满足条件，可构成三角形；不符合题意； 选项D：，，，最长边，，满足条件，可构成三角形；不符合题意； 故选：B 2．（24-25八年级上·北京·期中）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（   ） A．1，1，2 B．1，2，3 C．1，2，2 D．1，2，4 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故A选项错误； B、，不能组成三角形，故B选项错误； C、，能组成三角形，故C选项正确； D、，不能组成三角形，故D选项错误； 故选：C． 3．（23-24八年级上·北京昌平·期末）以下列长度的三条线段为边，能组成一个等腰三角形的是（    ） A．2，4，7 B．5，6，6 C．1，1，2 D．3，4，5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，根据组成三角形的条件：任意两边之和大于第三边，以及等腰三角形的两边相等，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意； B、有两条边相等们可以组成等腰三角形，符合题意； C、，不能组成三角形，不符合题意； D、三条边都不相等，不能组成等腰三角形， 故选：B． 题型二 确定三角形第三边的取值范围 4．（24-25八年级上·北京·期末）若一个三角形的三条边长分别为，，，则的长可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：一个三角形的三条边长分别为，，， ，即， 的长可以是， 故选：C． 5．（24-25八年级上·北京房山·期末）同学们用小木条拼三角形，有长度为，，和的木条若干根，小杰已经取了和的两根木条，那么第三根小木条可取（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的三边关系，设第三根小木条的长度为，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到x的取值范围，根据选项中所给长度选求解即可． 【详解】解：设第三根小木条的长度为， 根据题意，得，则， 根据选项中数据，选项A中的符合题意， 故选：A． 6．（24-25八年级上·北京·期中）已知三角形三边长分别为，若为整数，则这样的三角形个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：∵三角形三边长分别为， ∴， 解得， ∵x为整数， ∴x为8、9、10， ∴这样的三角形个数为3． 故选：C． 7．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，，点是的中点，连接，那么线段的长度有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，延长至点，使，连接，证明，得，在中，，代入数据即可得出结论．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：延长至点，使，连接， ∴， ∵点是的中点，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴线段的长度有可能是． 故选：C． 8．（24-25八年级上·北京·期中）课堂上，老师组织大家用小棒摆三角形．已知三条线段的长分别是4，5，，若它们能构成三角形，则整数不可能是（   ） A．10 B．8 C．7 D．4 【答案】A 【分析】考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得，即， ∴整数不可能为10， 故选：A． 题型三 确定三角形第三边的值 9．（24-25八年级上·北京·期中）若三角形的两边长分别为2和3，则第三边的值可能是（   ） A．1 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形三边关系，根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围解答即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得， ∴第三边可能为4， 故选：B． 10．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A，B之间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，根据三角形的三边关系求出的范围，判断即可． 【详解】解：在中，，，， 则， A，B间的距离不可能是， 故选：D． 11．（23-24八年级上·北京平谷·期末）如果三角形的三边长分别为a，4，5，那么整数a的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得出的取值范围，从而得出答案，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． 【详解】解：由三角形的三边关系可得：，则， a的值不可能是1， 故选：A． 12．（23-24八年级上·河北保定·期末）的边长如图所示，写出一个符合条件的的整数值： ．    【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出第三边的取值范围，然后再写出一个符合条件的的整数值即可． 【详解】解：∵，即， ∴m的整数值可以是4、5、6． 故答案为：4．（答案不唯一） 13．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知的周长为16，，当的值为 时，是等腰三角形． 【答案】4 或 5 或 6 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，当时，当时，当时，再结合三角形的三边关系可得答案． 【详解】解： 的边，周长为16， 当时，则 符合三角形的三边关系， 当时，则 符合三角形的三边关系， 当时，符合三角形的三边关系， 所以为6或5或4． 故答案为：4 或 5 或 6． 14．（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）如果三条线段、、，可组成三角形，且，，是偶数，则的值为 ． 【答案】4或6 【分析】此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．解题时还要注意题目的要求，要按题意解题． 根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得：．又因为c为偶数，从而可得答案． 【详解】解：∵如果三条线段、、，可组成三角形，且，， ∴， 又∵c为偶数， ∴c的值为4或6． 故答案为：4或6． 题型四 三角形的三边关系的应用 15．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）我们知道三角形具有稳定性，但四边形却是不稳定的．已知四边形的边长如图所示．当为等腰三角形时，对角线的长为（　　） A．4或6 B．5 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，等腰三角形的定义；根据等腰三角形的定义得到或，再结合三角形的三边关系计算结果即可． 【详解】解：当为等腰三角形时， ∴或； 当时 满足， 在满足； 当时， 在中，，不满足条件，舍掉； ∴； 故选：C． 16．（24-25七年级下·山东济南·期中）某晾衣架的示意图如图所示，若，则晾衣架底部横杆的长可能为（   ） A．50 B．56 C．60 D．66 【答案】A 【分析】根据三角形存在的条件，解答即可． 本题考查了三角形的三边长关系，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴50符合题意． 故选：A． 17．（2025·湖北武汉·模拟预测）现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，理解题意、列出每段铁丝的长度是解题关键． 根据三角形的三边关系，设最小的长度为，又因任意三小段都不能拼成三角形，得每段长度是，，，，，，，，，，，依此类推，总和不大于即可求解． 【详解】解： 段之和为， 若要尽可能的大，则每段的长度尽可能的小， 每段的长度不小于，且其中任意三小段都不能拼成三角形， 这些小段的长度只可能分别是，，，，，，，，，，， ， ， 小段的长度分别为，，，，，，，，，， 的最大值为． 故选：B． 18．（2025·江苏无锡·三模）小毛在滑雪场沿着不同路径滑冰．如图中的灰色线条表示4条不同路径，分别标记为P、Q、R、S．请问这4条路径从最短到最长的正确排列顺序是（    ） A．P，Q，R，S B．P，R，S，Q C．Q，S，P，R D．R，P，S，Q 【答案】D 【分析】本题考查线段的性质，三角形的三边关系，根据两点之间线段最短，三角形的任意两边之和大于第三边，进行判断即可． 【详解】解：由图，根据两点之间线段最短，可知：的路径长小于的路径长，的路径长小于的路径长； 根据三角形的三边关系，可知：的路径长小于的路径长； 综上：4条路径从最短到最长的正确排列顺序R，P，S，Q； 故选：D． 19．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知三角形的三边长分别为3，8，． (1)求的取值范围； (2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？ 【答案】(1) (2)17 【分析】此题考查了三角形三边关系的应用，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此进行解答即可． （1）根据三角形的三边关系即可得到答案； （2）由（1）中求得的范围并根据为偶数即可得到的值，再根据三角形的周长最小即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得， 即 则的取值范围为； （2）由（1）得 为偶数 为6，8，10 要组成三角形的周长最小， 只能为6， 三角形的周长最小为， 则三角形的周长最小为17 20．（24-25八年级上·广东汕头·期末）已知分别为的三边，且满足．求的取值范围； 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，一元一次不等式组，由题意知，，，即，计算求解即可． 【详解】解：分别为的三边，且满足， 解得，， 的取值范围为． 题型一 由三角形的三边关系化简绝对值 21．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，三角形的三边关系，整式的加减等知识点，首先根据三角形的三边关系确定的取值范围，再去绝对值计算即可解答，熟练掌握三角形的三边关系并能正确得出是解决此题的关键． 【详解】解：一个三角形的三边长分别为2，x，7， ， ， 故选：． 22．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若一个三角形的三边长分别为3，x，9，则化简（   ） A．18 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的化简和三角形的三边关系，掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 根据三边关系得到的取值范围，再化简． 【详解】解：∵三角形的三边长分别是， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 23．（23-24八年级上·北京海淀·开学考试）已为，，是的三边长． (1)若，，满足．试判断的形状； (2)化简： 【答案】(1)等边三角形 (2) 【分析】（1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论； （2）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可． 【详解】（1）解：， 且， ， 为等边三角形； （2），，是的三边长， ，，， 原式 ． 【点睛】此题考查三角形的三边关系和三角形分类，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题． 24．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若a，b，c满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)等边三角形 【分析】本题考查的是化简绝对值，整式的加减运算，非负数的性质，三角形三边关系的应用； （1）结合三角形的三边关系化简绝对值，再合并同类项即可； （2）由非负数的性质证明，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵ 三边长， ∴ ∴ ． ； （2）解：∵且，， ∴且 ∴且，即 ∴等边三角形． 25．（24-25八年级上·江西宜春·期末）先化简，再求值：，其中m的值是两边长分别为2和3的三角形的第三边长，且m是整数． 【答案】或 【分析】此题考查了分式的化简求值、三角形三边关系、分式有意义的条件等知识点．根据分式的加减法和除法法则得到化简结果，根据三角形三边关系、分式有意义的条件、m是整数得到m的值，代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式                           ∵，即，m为整数，且使原式有意义 ∴或4， 当时，原式， 当时，原式 26．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知a，b，c是的三边长． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若a，b，c满足，试判断的形状； (3)化简：． 【答案】(1)等边三角形 (2)等腰三角形 (3) 【分析】本题主要考查非负数的性质，利用非负数的性质求得a、b、c关系是解题的关键． （1）由非负数的性质可分别求得a、b、c的关系可求得答案． （2）根据求出或，即可得出绪论； （3）根据三角形三边关系确定出，，，进一步化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴且， ∴， ∴为等边三角形． （2）解：∵， ∴或， ∴或， ∴为等腰三角形． （3）解：∵a，b，c是的三边长， ∴，，， ∴ ． 题型二 由三角形的三边关系进行证明 27．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，已知中，大于其它两边，分别在上，连接．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，连接，根据大边对大角可得到，，进而可推出，从而可得到，同理可得，从而求证，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】证明：连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 28．（23-24八年级上·北京·期末）如图，已知中，，P为内一点．求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，旋转的性质，以及等边三角形的性质和三角形三边关系定理，掌握做辅助线是解题的关键．将绕A逆时针旋转得到，得到，从而判定为等边三角形根据线段关系，得出结论即可． 【详解】 解：把绕A逆时针旋转得到，如图 ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即B，A，C′共线， ∴， 即． 29．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在中，D为的中点． (1)求证：； (2)若，，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）延长至点E，使，连接，证明，得出，根据可以证明； （2）根据三角形三边关系得出，即可得出，根据，，求出结果即可． 【详解】（1）证明：延长至点E，使，连接， ∵D为的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，对顶角相等，三角形三边关系的应用，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明． 30．（21-22八年级上·四川内江·阶段练习）若a、b、c为三角形的三边长，求证：的值一定为负数． 【答案】见解析 【分析】根据平方差公式和完全平方公式把（a2+b2-c2）2-4a2b2变形为（a+b+c）（a+b-c）（a-b-c）（a-b+c），再根据三角形的三边关系即可得出答案． 【详解】证明：    ， ∵a、b、c为三角形的三边长， ∴，，，， ∴， 故的值一定为负数． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，用到的知识点是平方差公式、完全平方公式以及三角形的三边关系，关键是对给出的式子进行变形． 题型三 三角形的三边关系与等腰三角形的边长问题 31．（24-25八年级上·北京·期中）如果等腰三角形的两边长分别为和，那么它的周长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 分两种情况讨论：当等腰三角形的腰长为，底边长为时；当等腰三角形的腰长为，底边长为时，最后综上，即可解答． 【详解】解：当等腰三角形的腰长为，底边长为， ，可以组成三角形，此时周长； 当等腰三角形的腰长为，底边长为， ，可以组成三角形，此时周长； 综上所述，等腰三角形的周长为或， 故答案为：或． 32．（24-25八年级上·北京怀柔·期末）已知等腰三角形的周长为，其中一边的长为5，则底边的长为 . 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．分类讨论当等腰三角形的底边长为5时，当等腰三角形的腰长为5时，结合三角形的三边关系即可求解； 【详解】解：当等腰三角形的底边长为5时， 等腰三角形的周长为， 它的腰长； 当等腰三角形的腰长为5时， 等腰三角形的周长为， 它的底边长， ， 不能组成三角形； 综上所述：它的底边长为5， 故答案为： 33．（12-13八年级上·江苏泰州·期中）已知一个等腰三角形的两条边长分别为、，则该等腰三角形的腰长为 ． 【答案】 【分析】先根据已知条件和三角形三边关系定理可知，等腰三角形的腰长不可能为，只能为，即可求解． 【详解】解：∵等腰三角形的两条边长分别为，， ∴由三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长不可能为，只能为， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 34．（2023八年级上·全国·专题练习）定义：如果一个三角形的一条边是另一条边长度的两倍，则称这个三角形为倍长三角形．若等腰是倍长三角形，且一边长为6，则的底边长为 ． 【答案】3或6 【分析】由倍长三角形的定义，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：∵等腰是倍长三角形， ∴腰长＝底边长的2倍或底边长＝腰长的2倍， 如果腰长是6，底边长是3或， ∵， ∴此时不能构成三角形， ∴底边长是3，腰长是6； 如果底边长是6，腰长是12或3， ∵， ∴此时不能构成三角形， ∴底边长是6，腰长是， ∴的底边长是3或6． 故答案为：3或6． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握倍长三角形的定义，并分两种情况讨论． 35．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知一个等腰三角形的两边长x，y满足方程组，求这个等腰三角形的周长． 【答案】7或8 【分析】解二元一次方程组求得x，y的值，然后根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系即可求得答案． 【详解】解：， 解得：， ∵一个等腰三角形的两边长x，y, ∴当其三边长为3，3，2时，，则其周长为； 当其三边长为3，2，2时，，则其周长为； 即这个等腰三角形的周长为7或8． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，三角形的三边关系及等腰三角形的性质，结合已知条件求得x，y的值是解题的关键． 36．（20-21八年级上·四川自贡·期中）已知等腰三角形的周长是16cm． （1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长； （2）若其中一边长为6cm，求另外两边长； 【答案】（1）6cm、6cm；（2）6cm、4cm或5cm、5cm 【分析】（1）由已知边未说明是腰还是底，需分情况讨论，求得另外两边的长，再根据三角形三边关系判断是否能构成三角形； （2）由已知边未说明是腰还是底，需分情况讨论，求得另外两边的长，再根据三角形三边关系判断是否能构成三角形． 【详解】（1）如果腰长为4cm，则底边长为16-4-4=8cm． ∴等腰三角形的三边长为4cm，4cm，8cm， 又∵4+4＝8， ∴不符合三角形三边关系定理． ∴应该是底边长为4cm． ∴腰长为（16-4）÷2=6cm． ∴等腰三角形的三边长为4cm，6cm，6cm， 又∵4+6>6，符合三角形三边关系定理， ∴另外两边长都为6cm； 综合上述可得，另外两边分别为6cm、6cm． （2）如果腰长为6cm，则底边长为16-6-6=4cm． ∴等腰三角形的三边长为4cm，6cm，6cm， 又∵4+6>6，符合三角形三边关系定理． ∴另外两边长分别为6cm和4cm． 如果底边长为6cm，则腰长为（16-6）÷2=5cm． ∴等腰三角形的三边长为6cm，5cm，5cm， 又∵5+5>6，符合三角形三边关系定理， ∴另外两边长都为5cm． 综合上述可得另外两边长分别为6cm、4cm或5cm、5cm． 【点睛】考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系和分类讨论思想．解题关键是：当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去． 37．（24-25八年级上·安徽池州·期末）已知a，b是等腰三角形的两边长，且满足，求这个等腰三角形的周长． 【答案】17或19 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义以及非负数的性质，三角形的三边关系，正确分情况讨论是解题关键．直接利用非负数的性质得出a，b的值，再利用等腰三角形的定义得出答案． 【详解】解∶∵， ∴，， 解得：，， ∵等腰三角形的两边长分别为a，b， ∴当a为腰长时，，此时符合题意， ∴等腰三角形的周长为：， 当b为腰长时，，此时符合题意， 等腰三角形的周长为：， 故此等腰三角形的周长为17或19． 38．（24-25八年级上·吉林·期末）【阅读理解】例题：若，求和的值． 解：，，即，，，∴，． 【方法运用】若，求的值． 【拓展提升】已知是等腰的三边长，若满足，求的周长． 【答案】（）；（） 【分析】（）仿照题例方法解答即可； （）把右式移到左边，再仿照题例方法求出的值，再根据等腰三角形的定义及三角形三边关系解答即可求解； 本题考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，等腰三角形的定义，看懂题意是解题的关键． 【详解】解：方法运用：∵ ∴， 即， ∴，， ∴，， ∴的值为； 拓展提升：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴，， ∵是等腰三角形， 当时， ∵， ∴构成不了三角形，该种情况不符合； 当时，的周长； ∴的周长为． 39．（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）附加题 如图，A、B两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在的中点C处有一个雕塑，张倩从点A出发，沿直线一直向前经过点C走到点E，并使，然后她测量点E到假山D的距离，则的长度就是A、B两点之间的距离． (1)你能说明张倩这样做的根据吗？ (2)如果张倩恰好未带测量工具，但是知道A和假山、雕塑分别相距200米、120米，你能帮助她确定的长度范围吗？ (3)在第（2）问的启发下，你能“已知三角形的一边和另一边上的中线，求第三边的范围吗？”请你解决下列问题：在中，是边的中线，，，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)40米米 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）只需要证明即可得到答案； （2）确定的长度范围只需要确定的长度，由三角形三边的关系求解即可得到答案； （3）延长到E使得，连接，根据（1）（2）求解即可． 【详解】（1）解：在和中， ∴， ∴． （2）∵， 又∵， ∴， 即40米米， ∴40米米． （3）如图，延长至E使，连接； 则， 根据（1）（2），∴， ∴， 即． 40．（24-25七年级上·上海·阶段练习）设三角形三边长为a、b、c，且三边长满足方程组，试求的值． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式的应用，因式分解的应用，解方程组等知识，有一定的综合性；把方程组中第一个方程分别减去第二个、第三个方程，利用完全平方公式变形得：，左边利用十字相乘法分解因式即可求得的值．关键是由方程组得到． 【详解】解：， 得：， 即， ∴， 分解因式得：， ∴或， ∴或； ∵三角形三边长为a、b、c， ∴， ∴不符合题意， ∴． 41．（24-25八年级上·全国·期末）【综合探究】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小军在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． （1）【探究发现】图1中，由已知和作图能得到的理由是 ． A．    B．    C．    D． （2）【初步应用】如图2，在中，若，，求得的取值范围是________． A．    B．    C．    D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． （3）【问题解决】如图3，分别以和为边作等腰直角三角形，即在中，，，在中，，，连接，试探究与的数量关系，并说明理由． 提示：．延长到，使，连接，根据（，，）证明，得，又因为，所以． 【答案】（1）B；（2）C；（3），理由见解析 【分析】（1）由是边上的中线，得出，结合，，可利用证明，得出答案即可； （2）延长到，使，连接，得出，由（1）得，得出，再根据三角形的三边关系得出答案即可； （3）延长到，使得，连接，由（1）得，得，，推出，得出，进一步推出，利用证明，得出，结合，进一步推出即可． 【详解】解：（1）是边上的中线， ， 在和中， ， ， 由已知和作图能得到的理由是， 故选：B； （2）如图，延长到，使，连接， ， 由（1）得， ， 在中，， ， ， ， 故选：C； （3），理由如下： 如图，延长到，使得，连接，    由（1）得， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、倍长中线模型、三角形的三边关系、平行线的判定与性质，灵活运用知识点推理证明是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$