12.1三角形（基础篇）讲义 2025-2026学年北京版数学八年级上册

121三角形 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 三角形的有关概念 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形的边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 3. 三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。 4. 三角形的内角：三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角，三角形三个内角的和等于180°。 5. 三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 6. 三角形的表示方法：用符号“△”表示三角形，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。 三角形的稳定性 三角形具有稳定性，即三角形的三条边长度确定后，三角形的形状和大小就固定不变了，这种性质在建筑、机械等领域有广泛应用，例如自行车车架、屋顶的桁架结构等都利用了三角形的稳定性来增强结构的稳固性。 四边形的不稳定性 四边形具有不稳定性，即四边形的四条边长度确定后，它的形状和大小仍可以发生改变，这种性质也有实际应用，如伸缩门、晾衣架等，利用四边形的不稳定性可以实现灵活的伸缩和变形。 型 习 练 题 三角形的识别与有关概念 1．在中，边的对角是（   ） A． B． C． D．以上都不对 2．下列关于三角形的描述，正确的是（    ） A．由三条线段组成的图形叫做三角形 B．三角形的内角和为，外角和为 C．锐角三角形的三个外角都是钝角 D．直角三角形只有一条高 3．如图，下列四个三角形中，以为角的三角形是（   ） A． B． C． D． 4．如图，用数字标注了3个三角形，其中表示的是（   ）    A．① B．② C．③ D．以上都不对 5．观察下列图形，其中是三角形的是（ ） A． B． C． D． 三角形的个数问题 6．如图，以点A为顶点的三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．如图中，三角形的个数为（　） A． B． C． D． 8．如图，以为边的三角形有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．如图，已知点A，B在直线m上，点C，D，E在直线n上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ）． A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 10．平面内的四个点最多可以组成不同的三角形个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 三角形的稳定性 11．如图是常见的自行车，它的车架上常常会焊接一根横梁，其运用的数学原理是（    ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．三角形具有稳定性 12．下列图形中，具有稳定性的是（    ） A．三角形 B．正方形 C．平行四边形 D．五边形 13．如图，安装空调时，一般都会采用三角形支架进行固定，这样做的数学依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．三角形具有稳定性 D．三角形的任意两边之和大于第三边 14．双人漫步机是一种有氧运动器材，适当进行有氧运动，如慢跑、快走等，可以增强人体的心肺功能，改善血液循环，有效降低血压、改善血糖．如图所示，其中的三角形支架设计应用的几何原理是（    ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 15．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　） A． B． C． D． 四边形的不稳定性 16．下列图形中不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 17．用木条钉成木架，然后扭动它，形状会改变的是（    ） A． B． C． D． 18．要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．下列实际情景运用了三角形稳定性的是（    ） A．人能直立在地面上 B．校门口的自动伸缩栅栏门 C．古建筑中的三角形屋架 D．自行车能在地面上运动而不会倒 20．如图，由五根木条构成的五边形，添加2根木条，能使五边形不变形的是（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 121三角形 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 三角形的有关概念 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形的边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 3. 三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。 4. 三角形的内角：三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角，三角形三个内角的和等于180°。 5. 三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 6. 三角形的表示方法：用符号“△”表示三角形，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。 三角形的稳定性 三角形具有稳定性，即三角形的三条边长度确定后，三角形的形状和大小就固定不变了，这种性质在建筑、机械等领域有广泛应用，例如自行车车架、屋顶的桁架结构等都利用了三角形的稳定性来增强结构的稳固性。 四边形的不稳定性 四边形具有不稳定性，即四边形的四条边长度确定后，它的形状和大小仍可以发生改变，这种性质也有实际应用，如伸缩门、晾衣架等，利用四边形的不稳定性可以实现灵活的伸缩和变形。 型 习 练 题 三角形的识别与有关概念 1．在中，边的对角是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的定义，掌握三角形是由不在同一条直线上的首尾顺次相连的三条线段组成的图形是解题的关键．由对角、对边的关系可求得答案． 【详解】解：∵ 在中，边连接顶点B和C， ∴ 其对角为（顶点A所对的角）， 故选：A． 2．下列关于三角形的描述，正确的是（    ） A．由三条线段组成的图形叫做三角形 B．三角形的内角和为，外角和为 C．锐角三角形的三个外角都是钝角 D．直角三角形只有一条高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的性质，熟练掌握三角形的性质是解题的关键． 根据三角形的定义、三角形内角和定理、直角三角形的性质进行逐项判断即可． 【详解】解：选项A、三角形是由三条不在同一直线的线段首尾顺次连接组成的图形，则 A错误； 选项B、根据三角形内角和定理得，三角形的内角和为，外角和为，则 B错误； 选项C、锐角三角形的每个内角小于，每个外角内角，则三个外角都是钝角，C正确； 选项D、直角三角形有两条直角边作为高，还有从直角顶点向斜边所作的高，有三条高，则D错误； 故选：C． 3．如图，下列四个三角形中，以为角的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的内角的定义判断解得即可． 本题考查了三角形的内角，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据定义，得以为角的三角形是，， 故选：A． 4．如图，用数字标注了3个三角形，其中表示的是（   ）    A．① B．② C．③ D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的概念，熟练掌握三角形的概念是解题的关键；根据题意及三角形的表示可进行求解． 【详解】解：表示的是①； 故选：A． 5．观察下列图形，其中是三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形是三角形．据此即可解答． 【详解】 解：图形中是三角形的是 故选：B． 三角形的个数问题 6．如图，以点A为顶点的三角形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【详解】解：以点A为顶点的三角形有，，，，共4个． 故选：C ． 7．如图中，三角形的个数为（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形，熟练掌握三角形的定义是解题的关键．根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：图中的三角形有，，，，，，共个． 故选：D． 8．如图，以为边的三角形有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的认识；根据三角形的定义找出以为边的三角形即可． 【详解】解：以为边的三角形有； ∴以为边的三角形有2个， 故选：C． 9．如图，已知点A，B在直线m上，点C，D，E在直线n上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成三角形的个数为（    ）． A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】D 【分析】本题考查三角形的个数问题，根据不在同一直线上的三个点可以构成一个三角形，进行判断即可． 【详解】解：可以组成：，共9个； 故选：D． 10．平面内的四个点最多可以组成不同的三角形个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查三角形的个数，根据三角形的定义，得到当四个点中任意三点都不共线，组成的三角形的个数最多，进行判断即可． 【详解】解：设四个点分别为， 当四个点中任意三点都不共线，组成的三角形的个数最多，分别为，共4个； 故选B． 三角形的稳定性 11．如图是常见的自行车，它的车架上常常会焊接一根横梁，其运用的数学原理是（    ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的稳定性． 根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】解：自行车的车架上常常会焊接一根横梁，其运用的数学原理是三角形具有稳定性． 故选：D． 12．下列图形中，具有稳定性的是（    ） A．三角形 B．正方形 C．平行四边形 D．五边形 【答案】A 【分析】本题考查了图形的稳定性，三角形是唯一具有稳定性的多边形，掌握这一性质是解题关键，根据三角形具有稳定性，而正方形、平行四边形、五边形等多边形不具有稳定性． 【详解】解：三角形三边长度固定后，形状唯一确定， 三角形具有稳定性， 正方形、平行四边形、五边形等边数大于的多边形，边长固定时形状可能改变， 正方形、平行四边形、五边形不具有稳定性。 故选：A． 13．如图，安装空调时，一般都会采用三角形支架进行固定，这样做的数学依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．三角形具有稳定性 D．三角形的任意两边之和大于第三边 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键． 【详解】解：安装空调时，一般都会采用三角形支架进行固定，这样做的数学依据是三角形具有稳定性， 故选：C． 14．双人漫步机是一种有氧运动器材，适当进行有氧运动，如慢跑、快走等，可以增强人体的心肺功能，改善血液循环，有效降低血压、改善血糖．如图所示，其中的三角形支架设计应用的几何原理是（    ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性，分析每个选项对应的几何原理，结合双人漫步机三角形支架的应用确定正确选项即可． 【详解】解：选项A中三角形的稳定性符合双人漫步机三角形支架的设计原理；选项B、C、D对应的原理均与三角形支架的结构稳定性无关． 故选：A． 15．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．根据三角形的稳定性，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、活动衣架是四边形，没有应用到三角形的稳定性，符合题意； B、梯子和拉杆构成三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意； C、三脚架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意； D、太阳能热水器的支架是三角形，具有三角形的稳定性，不符合题意． 故选：A ． 四边形的不稳定性 16．下列图形中不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可得解． 本题主要考查了三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：A、B、C图形都是由三角形组成的，都具有稳定性．D图形是四边形，不具有稳定性． 故选：D． 17．用木条钉成木架，然后扭动它，形状会改变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，是基础题． 根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，根据用木条钉成木架后是否得到三角形即可得出答案． 【详解】解：如图，用木条钉成木架，然后扭动它，形状会改变的是 ， 故选：D 18．要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上几根木条（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查三角形的稳定性，四边形的不稳定性，掌握相关知识是解决问题的关键．根据三角形的稳定性，再顶上一根木条把四边形分成两个三角形即可． 【详解】解：根据三角形的稳定性，再钉上一根木条把四边形分成两个三角形即可． 故选：A． 19．下列实际情景运用了三角形稳定性的是（    ） A．人能直立在地面上 B．校门口的自动伸缩栅栏门 C．古建筑中的三角形屋架 D．自行车能在地面上运动而不会倒 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性及应用，四边形的不稳定性，解答关键是分析能否在同一平面内构成三角形． 根据三角形的稳定性及应用，四边形的不稳定性，对四个例子逐一分析，再作判断． 【详解】解：人能直立在地面上，不是运用了三角形稳定性，故A不符合； 校门口的自动伸缩栅栏门是运用了四边形的不稳定性，故B不符合； 古建筑中的三角形屋架是利用了三角形的稳定性，故C符合； 自行车能在地面上运动而不会倒，不是运用了三角形稳定性，故D不符合． 故选：C． 20．如图，由五根木条构成的五边形，添加2根木条，能使五边形不变形的是（　　） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性，四边形的不稳定性，解题关键是掌握三角形的稳定性，四边形的不稳定性． 根据三角形的稳定性，四边形的不稳定性，对所给的四个图形分别作出分析，再作出判断． 【详解】解：A、B、D四个图中都有四边形，四边形具有不稳定性，故都不符合； C图中没有四边形，只有三角形，三角形具有稳定性，故C符合， 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $