11.7二次根式的加减法（基础篇）讲义 2025-2026学年北京版数学八年级上册

11.7二次根式的加减法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、同类二次根式的概念 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。例如：与是同类二次根式，因为它们的被开方数都是2；化简后为，所以与也是同类二次根式。判断同类二次根式的前提是先将二次根式化为最简二次根式，再比较被开方数是否相同。 二、二次根式加减法的法则 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。合并同类二次根式的方法与合并同类项类似，即把同类二次根式的系数相加，根指数和被开方数不变。例如：；。 三、二次根式加减法的步骤 1. 化简：将每个二次根式都化为最简二次根式，即把被开方数中能开得尽方的因数或因式开出来，使被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 2. 判断：找出化简后被开方数相同的二次根式，即确定同类二次根式。 3. 合并：将同类二次根式的系数相加，字母和字母的指数（此处为根指数和被开方数）不变，非同类二次根式不能合并，直接写在结果中。例如：计算，先化简得，再合并同类二次根式得。 四、注意事项 1. 不是同类二次根式的二次根式不能合并，例如与不能合并。 2. 进行二次根式的加减运算时，必须先化简，再合并，不能直接将被开方数相加或相减。例如，（正确结果为）。 3. 合并同类二次根式时，只合并系数，根指数和被开方数保持不变。 4. 运算结果要化为最简二次根式。 型 习 练 题 同类二次根式 1．下列二次根式与是同类二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：是最简二次根式，被开方数为． 选项A：，被开方数为，不符合题意． 选项B：，被开方数为，符合题意． 选项C：，被开方数为，不符合题意． 选项D：，被开方数为，不符合题意． 故选：B． 2．下列二次根式中不能与合并的二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类二次根式，掌握被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式是解决本题的关键． 先化简各选项的二次根式，再根据最简二次根式的被开方数相同即可解答． 【详解】解：A、==，被开方数为3，与的被开方数2不同， ∴不能合并，符合题意； B、==，被开方数为2，能合并，不符合题意； C、==，被开方数为2，能合并，不符合题意； D、==，被开方数为2，能合并，不符合题意． 故选A． 3．下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（  ） A．与 B．与（其中） C．与 D．与（其中，） 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 判断二次根式是否为同类，需将它们化为最简二次根式，比较被开方数是否相同，据此逐项判断即可． 【详解】解：同类二次根式需化简后被开方数相同， 选项A：与，被开方数分别为和7，不同，故不是同类二次根式； 选项B：与（其中），可化为，被开方数分别为和，不同，故不是同类二次根式； 选项C：，，两者最简形式被开方数均为6，故是同类二次根式； 选项D：，，其中，，被开方数分别为和，不同，故不是同类二次根式； 故选：C． 4．下列各式与可以合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质及同类二次根式，熟练掌握二次根式的性质及同类二次根式是解题的关键；判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后根号内的数相同，先将化简，再逐一检查各选项化简后的结果即可． 【详解】解：∵， ∴选项A：， 选项B：， 选项C：， 选项D：， ∴只有选项C化简后根号内为2，与化简后的被开方数相同，可以合并； 故选C． 5．若最简二次根式与可以合并，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式的计算，准确计算是解题的关键． 两个二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相同，先将化为最简形式，得到，从而确定被开方数为2． 【详解】∵ ，且与可以合并， ∴ 与是同类二次根式， ∴ ， ∴， ∴ ， 故选：A． 二次根式的加减运算 6．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的运算法则计算即可． 本题考查二次根式的运算规则，熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】解：A. 不是同类二次根式，无法计算，错误；     B. ，正确，符合题意； C. ，原题错误，不符合题意；     D. ，原题错误，不符合题意； 故选：B． 7．把四张一模一样的长方形纸片按如图所示的方式摆放，形成大正方形，它的面积是．图中空白部分是一个小正方形．如果，那么这个小正方形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用以及正方形周长的计算，熟练掌握算术平方根的定义和正方形周长公式是解题的关键． 先根据大正方形面积求出边长，再结合的长度求出长方形的宽，进而得到小正方形的边长，最后计算其周长． 【详解】解：∵ 大正方形的面积是， ∴ 大正方形的边长， ∵ ， ∴ 长方形的宽为， ∴ 小正方形的边长为， ∴ 小正方形的周长为， 故答案为：． 8．张老师在黑板上出了一道计算题：，要求同学们在“○”中填入适当的运算符号，使得计算结果是有理数，“○”中可以填的符号是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，分别计算加减乘除每种运算的结果，进而即可求解，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：加法时：，为有理数； 减法时：，为无理数； 乘法时：，为有理数； 除法时：，为无理数； ∴ “”中填“”或“”时，结果为有理数， 故选：． 9．计算，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的减法计算，先化简二次根式，再根据二次根式的减法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：C． 10．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，包括加法、减法、乘法和除法．需要根据二次根式的运算法则逐一判断． 【详解】解：A．，选项错误，不符合题意； B．，选项错误，不符合题意； C．，选项正确，符合题意； D．，选项错误，不符合题意； 故选：C． 比较二次根式的大小 11．比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较； 对于带根号的无理数的大小比较，可以利用平方法先转化为有理数的大小比较，先比较两个数平方的大小即可得到它们的大小关系． 【详解】解：∵ ，， 又∵ ，且 ，， ∴ ， 故答案为：． 12．比较大小∶ ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，通过计算两个表达式的差值，并判断差值的正负来比较大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13．比较大小：    (用“”、“”或“”填空)． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较．通过计算两数的差，根据差的符号判断大小关系，即可求解． 【详解】解：， 由于，所以， 因此 ， 故 ． 故答案为：． 14．比较大小： （填“”、“”、“”）． 【答案】 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键．先把根号外的因式移入根号内，再根据实数的大小比较方法比较大小即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 即 故答案为：． 15．比较大小：填“>”、“<”或“=” ； 【答案】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，如果有无理数比较大小时，可以采用平方法、比差法、立方法等．对于第一个比较，利用正负数的大小关系；对于第二个比较，通过平方比较两个正无理数的大小． 【详解】对于第一个空：因为 是负数，而 是正数， ∵负数小于正数， ∴． 对于第二个空：计算平方值，，，由于 ，且两数均为正数，所以 ． 新定义下的实数运算 16．已知表示不超过x的最大整数．如：，．现定义：，如，则 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，涉及的知识点是对 “取整函数”的理解与应用．解题中用到的方法是“定义代入法”，即严格按照题目给出的新定义，分步计算每个部分的值．解题关键是准确理解“不超过的最大整数”的含义（尤其是负数的取整，如的取整是，而非．易错点是对负数取整时出现错误，误将算成，导致后续计算结果偏差．先根据“表示不超过的最大整数”的定义，分别求出和对应的，再代入的公式计算两个的值，最后求和． 【详解】解：， ， 所以， 故答案为：． 17．对于两个不相等的实数，，规定：表示，中较小值，如．按照这个规定，方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，实数大小比较． 先根据定义求出 ，将方程转化为分式方程，解分式方程即可． 【详解】解：由规定，， 原方程化为：， 解得：， 经检验：是原方程的解， 故答案为： ． 18．若定义一种新运算：，则的值为 ． 【答案】6 【分析】考查新定义运算、完全平方公式与平方差公式．解题关键是根据新运算规则，将a、b代入公式，结合乘法公式简化计算；易错点是展开完全平方时遗漏中间项，或计算平方差时符号出错． 首先设，，根据新运算，分别计算、、；其次用完全平方公式算、，用平方差公式算；最后代入新运算公式，计算得结果． 【详解】设 ，，则 ， ， ． 代入得 ． 故答案为：6． 19．定义，之间的新运算：如果，那么，例如：，那么，若，，，那么，，之间的数量关系是： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了新定义运算的理解与应用，幂的运算和幂的等式性质．理解新定义运算的运算法则是解题的关键． 根据新运算的定义，将各等式转化为指数形式，再利用同底数幂的运算性质推导关系． 【详解】由定义， 即如果，那么， ，，， 又， ， 故答案为． 20．材料：一般地，n个相同因数a相乘，记为，如：此时，3叫作以4为底的64的对数，记为，那么 ___________． 【答案】12 【分析】本题考查了新定义运算，理解新定义，熟练掌握有理数的乘方及逆运算是解题的关键． 根据对数的定义，分别求出和的值，然后代入表达式计算． 【详解】解：， ． ， ， ． 故答案为：12． 实数的混合运算 21．计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，需要计算包含立方根、绝对值、指数和平方根的混合运算．解题时需逐步处理各部分，注意符号变化及运算顺序．首先计算立方根和平方根，再处理绝对值和指数，最后进行加减运算． 【详解】解： ． 22．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，包括算术平方根，立方根，化简绝对值等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先分别计算算术平方根，化简绝对值，立方根，然后进行加减运算即可． 【详解】解： 23．计算： (1)． (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，幂的运算，整式的乘法，解题的关键是掌握各运算法则． （1）利用乘方运算，绝对值的化简，求一个数的立方根，二次根式的化简等运算法则进行化简，最后再进行加减运算即可； （2）利用积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行计算，然后再合并同类项即可； （3）利用单项式乘多项式，多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 24．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键． （1）先去绝对值，再计算算术平方根和立方根，最后计算减法即可得到答案； （2）先计算立方根和算术平方根，再计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 25．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂等知识，解题的关键是： （1）根据算术平方根的定义，立方根的定义，零指数幂的意义等计算即可； （2）根据绝对值的意义，算术平方根的定义，立方根的定义等计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 化简求值 26．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查二次根式的化简求值，先利用平方差公式将原式展开，然后进行合并，再将代入计算即可．掌握相应的运算法则、公式及运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 27．先化简再求值∶，其中， 【答案】， 【分析】本题考查二次根式的化简求值，分式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质与分式的性质是解题的关键． 先化简得，则，再化简，然后把代入化简式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 当时，原式． 28．已知，，求值． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，需要先根据已知条件判断的正负性，再对原式进行化简，最后将与的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：已知，， 根据有理数乘法法则“同号得正”可知同号， 又∵两数之和为正， ∴， 将，，代入 原式． ∴的值． 29．已知．求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）对原式根据完全平方公式进行因式分解，然后代入求值即可； （2）对原式根据平方差公式进行因式分解，然后代入求值即可． 【详解】（1）∵ ∴ ； （2）∵ ∴ ． 30．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值；运用分式混合运算法则将原式化简，再代入求值即可. 【详解】解： . 将代入得原式. 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.7二次根式的加减法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、同类二次根式的概念 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。例如：与是同类二次根式，因为它们的被开方数都是2；化简后为，所以与也是同类二次根式。判断同类二次根式的前提是先将二次根式化为最简二次根式，再比较被开方数是否相同。 二、二次根式加减法的法则 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。合并同类二次根式的方法与合并同类项类似，即把同类二次根式的系数相加，根指数和被开方数不变。例如：；。 三、二次根式加减法的步骤 1. 化简：将每个二次根式都化为最简二次根式，即把被开方数中能开得尽方的因数或因式开出来，使被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 2. 判断：找出化简后被开方数相同的二次根式，即确定同类二次根式。 3. 合并：将同类二次根式的系数相加，字母和字母的指数（此处为根指数和被开方数）不变，非同类二次根式不能合并，直接写在结果中。例如：计算，先化简得，再合并同类二次根式得。 四、注意事项 1. 不是同类二次根式的二次根式不能合并，例如与不能合并。 2. 进行二次根式的加减运算时，必须先化简，再合并，不能直接将被开方数相加或相减。例如，（正确结果为）。 3. 合并同类二次根式时，只合并系数，根指数和被开方数保持不变。 4. 运算结果要化为最简二次根式。 型 习 练 题 同类二次根式 1．下列二次根式与是同类二次根式的是（  ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中不能与合并的二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（  ） A．与 B．与（其中） C．与 D．与（其中，） 4．下列各式与可以合并的是（    ） A． B． C． D． 5．若最简二次根式与可以合并，则的值是（　　） A． B． C． D． 二次根式的加减运算 6．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．把四张一模一样的长方形纸片按如图所示的方式摆放，形成大正方形，它的面积是．图中空白部分是一个小正方形．如果，那么这个小正方形的周长为（    ） A． B． C． D． 8．张老师在黑板上出了一道计算题：，要求同学们在“○”中填入适当的运算符号，使得计算结果是有理数，“○”中可以填的符号是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．计算，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 10．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 比较二次根式的大小 11．比较大小： ．（填“”“”或“”） 12．比较大小∶ ． 13．比较大小：    (用“”、“”或“”填空)． 14．比较大小： （填“”、“”、“”）． 15．比较大小：填“>”、“<”或“=” ； 新定义下的实数运算 16．已知表示不超过x的最大整数．如：，．现定义：，如，则 ． 17．对于两个不相等的实数，，规定：表示，中较小值，如．按照这个规定，方程的解为 ． 18．若定义一种新运算：，则的值为 ． 19．定义，之间的新运算：如果，那么，例如：，那么，若，，，那么，，之间的数量关系是： ． 20．材料：一般地，n个相同因数a相乘，记为，如：此时，3叫作以4为底的64的对数，记为，那么 ___________． 实数的混合运算 21．计算： 22．计算：． 23．计算： (1)． (2) (3) 24．计算： (1)； (2)． 25．计算： (1)； (2)． 化简求值 26．先化简，再求值：，其中． 27．先化简再求值∶，其中， 28．已知，，求值． 29．已知．求下列各式的值： (1)； (2)． 30．先化简，再求值：，其中． 学科网（北京）股份有限公司 $