精品解析：河北省唐山市丰润区2025-2026学年八年级上数学期中试卷

丰润区2025-2026学年度第一学期期中检测 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共24题，总分100分，考试时间90分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，考生务必将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题有12个小题，每题2分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算得，则“？”是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 为估计池塘两岸A，B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O测得，，那么A，B间的距离不可能是（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 25 3. 如图，，和是对应角．在中，是最长边．在中，是最长边，且，，则的长是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是(　　) A. (ab3)2＝a2b6 B. a2·a3＝a6 C. (a＋b)(a－2b)＝a2－2b2 D. 5a－2a＝3 5. 如图，有一块厚薄均匀的的长方形硬纸板上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，利用格点的性质可知这一点是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 6. 把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（ ） A. a=2，b=3 B. a=-2，b=-3 C. a=-2，b=3 D. a=2，b=-3 7. 如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　） A. B. C. D. 8. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在如图所示的网格中，的位置如图所示，点A、P、M、N都在格点上，其中到两边距离相等的点是（ ） A. P B. A C. N D. M 10. 下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点P，画射线与相交于点D，则的大小为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，的平分线，交于点P．下列结论： ①平分； ②； ③若于点M，于点N，则； ④． 其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①③ 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，16题第一空2分第二空1分，共12分） 13. 计算____________． 14. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为__________． 15. 在○处填入一个整式，使关于的多项式可以因式分解，则○可以为________．（写出一个即可） 16. 如图，为一面垂直于地面的墙，梯子斜靠在墙面上，为了方便测量梯子顶部A距离地面的高度，小明设计的方案如下：①测量的长度；②使梯子缓慢下滑，使得，标记此时梯子的底端点D；③此时的长度即为梯子顶部A距离地面的高度，这个设计方案的根据是______． 三、解答题（本大题有8个小题，共64分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 分解因式： （1） （2） 19. 如图，，分别是的角平分线与高线，，． （1）求的度数； （2）求的度数． 20. 如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母） 21. 图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）图②中阴影部分的正方形的边长是 ； （2）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积： 方法1： ；方法2： ； （3）观察图②，请写出代数式，，之间的等量关系： ． （4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：已知：，，求：的值； 22. 把两个含有45°角的直角三角板ACB和DEC如图放置，点A，C，E在同一直线上，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F. (1)求证：△ADC≌△BEC； (2)猜想AD与EB是否垂直？并说明理由． 23. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”如：，，，因此8，24，32都是“和谐数”． （1）16是“和谐数”吗？为什么？ （2）设两个连续奇数为和（其中k取非负整数），由这两个连续奇数构造的“和谐数”是8的倍数吗？为什么？ 24. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BC=12厘米．过点C作直线，动点P从点C开始沿射线CB方向以2厘米/秒的速度运动，动点Q也同时从点C出发在直线上以1厘米/秒的速度向上或向下运动．连接AP、AQ，设运动时间为t秒． （1）请写出CP、CQ的长度（用含t的代数式表示）：CP= 厘米，CQ= 厘米； （2）当点P在边BC上时，若△ABP的面积为24厘米，求t的值； （3）当为多少时，△ABP与△ACQ全等？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰润区2025-2026学年度第一学期期中检测 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共24题，总分100分，考试时间90分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，考生务必将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题有12个小题，每题2分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算得，则“？”是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】运用同底数幂相除，底数不变，指数相减，计算即可． 【详解】，则“？”是2， 故选：C． 【点睛】本题考查同底数幂的除法；注意． 2. 为估计池塘两岸A，B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O测得，，那么A，B间的距离不可能是（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系．根据三角形三边关系求出的范围判断即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：，即， 故选：A． 3. 如图，，和是对应角．在中，是最长边．在中，是最长边，且，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．由全等三角形的对应边相等得到，而，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4. 下列计算正确的是(　　) A. (ab3)2＝a2b6 B. a2·a3＝a6 C. (a＋b)(a－2b)＝a2－2b2 D. 5a－2a＝3 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据多项式乘多项式、合并同类项、同底数幂的乘法和幂的乘方与积的乘方分别进行解答，即可得出答案． 详解：A．（ab3）2=a2b6，故本选项正确； B．a2•a3=a5，故本选项错误； C．（a+b）（a﹣2b）=a2﹣ab﹣2b2，故本选项错误； D．5a﹣2a=3a，故本选项错误． 故选A． 点睛：本题考查了多项式乘多项式、合并同类项、同底数幂的乘法和幂的乘方与积的乘方，熟记法则和公式是本题的关键． 5. 如图，有一块厚薄均匀的的长方形硬纸板上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，利用格点的性质可知这一点是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的重心．掌握重心为三角形三条中线的交点是解题关键． 【详解】解：∵三角形硬纸板处于平衡状态， ∴这个点为三角形的重心，由图可知点C为该三角形的重心． 故选：C． 6. 把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（ ） A. a=2，b=3 B. a=-2，b=-3 C. a=-2，b=3 D. a=2，b=-3 【答案】B 【解析】 【分析】根据整式的乘法，先还原多项式，然后对应求出a、b即可． 【详解】解：（x+1）×（x-3） =x2-3x+x-3 =x2-2x-3 所以a=-2，b=-3， 故选B． 【点睛】此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系，利用它们之间的互逆运算的关系是解题关键． 7. 如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等．根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ， ∴当时，利用可得； 当时，利用可得； 当时，利用可得； 当时，无法证明； 故选：D． 8. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义逐项分析即可． 【详解】A．，不是因式分解； B．，不是因式分解； C．是因式分解； D．的右边不是积的形式，不是因式分解． 故选C． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解． 9. 在如图所示的网格中，的位置如图所示，点A、P、M、N都在格点上，其中到两边距离相等的点是（ ） A. P B. A C. N D. M 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答． 【详解】解：由图形可知，点M在的角平分线上，点A、P、N不在的角平分线上， 所以点M到两边距离相等， 故选：D． 10. 下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方差公式因式分解的概念，掌握平方差公式的适用条件是解题关键． 根据平方差公式的结构特征，逐一判断多项式是否符合“二项式、两项符号相反、且两项均能表示为某个整式的平方”的条件． 【详解】解：可用平方差公式因式分解的结构是：二项式，两项符号相反，且两项均为平方形式， 选项：，两项符号相同，不符合； 选项：，非平方项，不符合； 选项：，符合平方差公式，可分解为； 选项：，两项符号相同，不符合． 故选：． 11. 如图，中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点P，画射线与相交于点D，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余，掌握尺规作图的方法是解题的关键．由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得平分，即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图知，平分， ∴， 故选：C． 12. 如图，在中，，的平分线，交于点P．下列结论： ①平分； ②； ③若于点M，于点N，则； ④． 其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理和三角形外角性质．熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理和三角形外角性质是解题的关键． 根据角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理和三角形外角性质对每个结论逐一进行分析即可． 【详解】解： 过点作于点，于点，于点， 平分，，， ， 平分，，， ， ， ，，， 平分， 故结论①正确； 是由，平分、得到的， 实际关系为， 显然（例如取特殊角验证，若，则，和为而非）， 故结论②错误； 若于，于点， 则， 由，，且， ， ， 由，，且， ， ， ， 故结论③正确； 是的外角， ， 平分，平分， ． 又是的外角， ， 联立得， ， 故结论④正确； 综上所述，结论①③④正确， 故选B． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，16题第一空2分第二空1分，共12分） 13. 计算____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式运算法则，是解题的关键．根据单项式的乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，进行求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由三角形内角和定理可求，再由平行线的性质可求，进而可求． 【详解】解：如图所示， 根据直角三角形的性质，得， 直尺的对边平行， ， ， ， 故答案为：． 15. 在○处填入一个整式，使关于的多项式可以因式分解，则○可以为________．（写出一个即可） 【答案】2x 【解析】 【分析】可根据完全平方公式或提公因数法分解因式求解即可． 【详解】解：∵， ∴○可以为2x、－2x、2x－1等，答案不唯一， 故答案为：2x． 【点睛】本题考查因式分解，熟记常用公式，掌握因式分解的方法是解答的关键． 16. 如图，为一面垂直于地面的墙，梯子斜靠在墙面上，为了方便测量梯子顶部A距离地面的高度，小明设计的方案如下：①测量的长度；②使梯子缓慢下滑，使得，标记此时梯子的底端点D；③此时的长度即为梯子顶部A距离地面的高度，这个设计方案的根据是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分析题意，得出梯子长度不发生变化，即，又因为，，故，即可作答． 【详解】解：依题意，梯子缓慢下滑过程中，梯子长度不发生变化，即， ∵，， ∴， ∴这个设计方案的根据是， 故答案为：． 三、解答题（本大题有8个小题，共64分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． （1）利用多项式乘法法则计算，再合并同类项即可． （2）利用多项式除单项式法则计算即可； 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． （1）首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可； （2）直接利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式． 19. 如图，，分别是的角平分线与高线，，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线和高线的定义，正确的识图，确定角度之间的和差关系是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求的度数即可； （2）由角平分线求出的度数，根据互余关系求出的度数，利用即可得出结果． 【小问1详解】 解：，， 在中， ； 【小问2详解】 解：是的角平分线，， 是的高线， ， 在中，， ， ， ． 20. 如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母） 【答案】AC=DF(答案不唯一)， 证明：∵BF=EC， ∴BF﹣CF=EC﹣CF， ∴BC=EF， 在△ABC和△DEF中 ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【解析】 【分析】先求出BC=EF，添加条件AC=DF，根据SAS推出两三角形全等即可． 【详解】略 考点：全等三角形的判定． 21. 图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）图②中阴影部分的正方形的边长是 ； （2）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积： 方法1： ；方法2： ； （3）观察图②，请写出代数式，，之间的等量关系： ． （4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：已知：，，求：的值； 【答案】（1） （2）， （3） （4）13 【解析】 【分析】（1）由图可知，图②中阴影部分的正方形的边长是小长方形长与宽的差； （2）用正方形面积公式可表示阴影部分面积，根据阴影部分面积等于大正方形面积减去四个小长方形面积可表示阴影部分面积； （3）根据（2）中两种方法表示的阴影部分面积相等，即可得出等量关系； （4）由（3）可得，将，代入即可求解． 【小问1详解】 解：由图可知： 图②中阴影部分的正方形的边长是：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：方法一：阴影部分面积， 方法二：阴影部分面积， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：由（2）可得：阴影部分面积， ∴， 故答案为：； 【小问4详解】 解：由（3）可得：， 把，代入得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，用不同的方法表示图形面积，以及熟知完全平方公式是解题的关键． 22. 把两个含有45°角的直角三角板ACB和DEC如图放置，点A，C，E在同一直线上，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F. (1)求证：△ADC≌△BEC； (2)猜想AD与EB是否垂直？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)AD⊥EB.理由见解析. 【解析】 【详解】分析：（1）由SAS判定△ADC≌△BEC； （2）根据全等三角形的性质可知：对应边相等AD=BE、对应角相等∠BEC=∠ADC；加上已知条件来求∠AFE=90°即可． 详解：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴∠ECD=∠BCA=90°，CE=CD，BC=AC，在△DCA和△ECB中，∵，∴△ADC≌△BEC（SAS）； （2）∵△ADC≌△BEC，∴AD=BE，∠BEC=∠ADC，又∠ADC+∠DAC=90°，∴∠BEC+∠DAC=90°，∴∠AFE=90°，即AD⊥BE． 点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，是基础知识要熟练掌握． 23. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”如：，，，因此8，24，32都是“和谐数”． （1）16是“和谐数”吗？为什么？ （2）设两个连续奇数为和（其中k取非负整数），由这两个连续奇数构造的“和谐数”是8的倍数吗？为什么？ 【答案】（1）16是“和谐数”，理由见解析 （2）是，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，平方差公式的应用． （1）假设16是“和谐数”， 则存在两个连续奇数，使，求出的值，即可得出结论； （2）利用平方差公式进行分解，如果分解后的结果是否是8的倍数则符合题意，否则不是． 【小问1详解】 解：16是“和谐数”，理由如下： 假设16是“和谐数”， 则存在两个连续奇数，使，即， 解得，符合题意， ∴， ∴16是“和谐数”； 【小问2详解】 解：是，理由如下： ， ∵是8的倍数， ∴由两个连续奇数为和（其中k取非负整数）构造的“和谐数”是8的倍数． 24. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BC=12厘米．过点C作直线，动点P从点C开始沿射线CB方向以2厘米/秒的速度运动，动点Q也同时从点C出发在直线上以1厘米/秒的速度向上或向下运动．连接AP、AQ，设运动时间为t秒． （1）请写出CP、CQ的长度（用含t的代数式表示）：CP= 厘米，CQ= 厘米； （2）当点P在边BC上时，若△ABP的面积为24厘米，求t的值； （3）当为多少时，△ABP与△ACQ全等？ 【答案】（1），；（2）t=2；（3）当t值为4或12时，△ABP与△ACQ全等 【解析】 【分析】（1）由路程=速度×时间，可得CP、CQ的长度； （2）过点A作AD⊥BC于D，由等腰直角三角形的性质可得AD=BD=CD=6cm，由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况讨论，由全等三角形判定可得BP=CQ，即可求解． 【详解】（1）由题意可得：CP=2tcm，CQ=tcm， 故答案为：2t，t； （2）如图，过点A作AD⊥BC于D， ∵AB=AC，∠BAC=90°，BC=12cm，AD⊥BC， ∴AD=BD=CD=6cm， ∵△ABP的面积为24cm2， ∴， ∴BP=8， ∴12-2t=8， ∴t=2； （3）如图2，当点Q向上运动时， ∵AB=AC，∠ACQ=∠ABP=45°， ∴点P在线段CB上， ∴当BP=CQ时，△ABP≌△ACQ， ∴12-2t=t， ∴t=4； 如图3，当点Q向下运动时， ∵AB=AC，∠ACQ=∠ABP=135°， ∴点P在线段CB的延长线上， ∴当BP=CQ时，△ABP≌△ACQ， ∴2t-12=t， ∴t=12； 综上所述：当t=4或12时，△ABP与△ACQ全等． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $