精品解析：湖南省长沙市第六中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

长沙市第六中学2026年秋高二期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量坐标运算即得. 【详解】由，，得. 故选：C 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程确定直线斜率，由倾斜角与斜率的关系即可得倾斜角大小. 【详解】设直线倾斜角为，则直线的斜率． ，， 故选：C． 3. 已知为递增的等差数列，，，则（     ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和基本量法，列式求解. 【详解】因为为等差数列，，所以， 由，得或（舍），所以，. 故选：A 4. 已知平行直线与之间距离为，则实数（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先根据两直线平行求出参数，然后由平行线之间距离公式求出参数，最后求出即可. 【详解】因为与平行，所以，得， 则， 所以，计算得或， 所以或 故选：A 5. 已知双曲线，则顶点到渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线方程可以写出渐近线方程和顶点坐标，再用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由双曲线可得渐近线方程为，上顶点坐标为， 所以顶点到渐近线的距离为. 故选：C 6. 圆：和圆：的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】判断出两个圆的位置关系，由此确定公切线的条数. 【详解】由题知圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，所以，，所以两圆外切，所以两圆共有3条公切线. 故选：C 7. 如果实数 满足等，那么 的最大值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】可理解为，即点与原点连线的斜率，数形结合即可解决. 【详解】的几何意义是圆上的点P(x，y)与原点连线的斜率，如图所示， 设直线方程为，则，解得斜率的最大值为，所以max＝． 故选：C 8. 古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为中点，某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线焦点到准线的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先利用中位线计算，结合对称性判断抛物线以为对称轴，焦点在上，再以顶点为原点建立坐标系，设抛物线标准方程，根据点在抛物线上求得参数p即得结果. 【详解】因为M是PB的中点，O是AB的中点，则，， 截圆锥的平面平行于母线PA且过母线PB的中点M，故O也在截面上， 根据对称性可知抛物线的对称轴为，焦点在上， 建立以M为原点，为x轴，过M点的垂线为y轴， 设抛物线与底面交点为E，则， 设抛物线为，则，解得， 即该抛物线焦点到准线的距离为p，即为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线被圆截得的最小弦长为 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】将直线方程变形，求出直线经过的定点，可判断A；利用点到直线的距离公式进行计算，可判断B；根据过定点的直线与圆相交时最小弦长计算方法计算可判断C；利用圆心距与两圆半径之间的关系计算可判断D. 【详解】对于A，直线的方程为， 变形可得：， 令，解得，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆，其圆心为，半径为， 当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 由于，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故B错误； 对于C，因为直线过定点，且点在圆内， 则经过，两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小， 此时圆心到直线的距离为， 所以最小弦长为，故C正确； 对于D，圆的方程，即， 其圆心为，半径为，需满足， 若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切， 则有，解得，故D正确. 故选：ACD. 10. 长方体的底面是边长为的正方形，长方体的高为，分别在上，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 二面角的正切值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线线垂直、线线平行的向量证法可知AB正误；根据异面直线所成角、二面角的向量求法可知CD正误. 【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， ，，，， ，，，，，，，， 对于A，，， ，与不垂直，A错误； 对于B，，，， 则，B正确； 对于C，，， ，即异面直线与所成角的余弦值为，C正确； 对于D，轴平面，平面的一个法向量； 设平面的法向量，又，， ，令，解得：，，； ，， 即二面角的正切值为，D正确. 故选：BCD. 11. 已知抛物线的准线l与圆相切，P为C上的动点，N是圆M上的动点，过P作l的垂线，垂足为Q，C的焦点为F，则下列结论正确的是（ ） A. 点F的坐标为 B. 的最小值为 C. 存在两个P点，使得 D. 若为正三角形，则圆M与直线PQ相交 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，准线与圆相切，可知，即可确定焦点为F坐标，即可判断选项；对B，转化为，根据将军饮马理论可判断选项； 对C，若，则，做中垂线，解出方程，与抛物线联立，解得个数，即可判断几个交点；对D，根据为正三角形，可得解得纵坐标，和圆与轴交点比较，即可判断. 【详解】对A，准线与圆相切， 可知，可得，所以，故A正确； 对B，根据可得， 可确定最小值为，故B错误； 对C，若，则，做中垂线， 根据题意知，设为中点，则可得， 直线斜率为，根据点斜式可确定为， 与抛物线联立得， ， 所以可知有两个解，所以存在两个P点，使得，故C正确； 对D，根据为正三角形，所以，则， 且，所以可得，和圆与轴交点为， ，所以可知圆M与直线PQ相交，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：合理利用抛物线上点到焦点距离和到准线距离相等. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意求出，易得数列是周期为的周期数列，从而得解. 【详解】，， 所以数列是周期为的周期数列， 又. 故答案为： 13. 在四面体中，平面，，，，则四面体外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质定理及勾股定理，结合长方体的体对角线为外接球的直径，求出半径，再利用球的表面积公式即可求解． 【详解】如图所示， 平面ABC，，，由勾股定理得，， 又，得，则． 设外接球的半径为，则，解得， 所以外接球的表面积为． 故答案为： 14. 已知，分别为椭圆的左右焦点，点，分别是椭圆的右顶点和上顶点，若直线上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的方程，设出点坐标，利用向量垂直的坐标运算得到，根据，并借助和，化简得到，再利用椭圆中，即可得解. 【详解】如图，由题意得，，，， 直线的方程为：， 点在直线上，设点坐标为， 则，， 由，得， 即，即， 化简得　　（1） 直线上存在点，使得，即方程（1）有解， 所以， 化简得，即， 化简得，即，即， 解得：，即， 即， 即，又椭圆中， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查椭圆中离心率的取值范围的求解，其中涉及到向量垂直的坐标运算，考查学生的转化与化归能力和运算求解能力，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）求的前项和及的最大值. 【答案】（1）；（2），取得最大值. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出关于首项和公差的方程组，解出这两个量，再利用等差数列的通项公式可得出数列的通项公式； （2）求出等差数列的前项和，再利用二次函数的性质求出的最大值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由及，， 得，解得，所以数列的通项公式为； （2）由（1）知，. 因为，所以当时，取得最大值. 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了等差数列前项和的最值，对于等差数列问题，一般建立首项和公差的方程组，利用这两个量进行求解，考查计算能力，属于中等题. 16. 已知圆经过坐标原点，且圆心为． （1）求圆的标准方程； （2）已知直线与圆相交于，两点，求弦长的值； （3）过点引圆的切线，求切线的方程． 【答案】（1） （2） （3）和 【解析】 【分析】（1）根据圆心半径求圆的标准方程； （2）根据点到直线的距离以及勾股定理求解弦长； （3）分类讨论然后结合圆心到直线的距离为半径求解； 【小问1详解】 由题意可得，圆心为，半径为2，则圆的方程为； 小问2详解】 由（1）可知：圆的半径， 设圆心到的距离为，则， 所以. 【小问3详解】 当斜率不存在时，为过点的圆C的切线. 当斜率存在时，设切线方程为，即， =2，解得 ，所以. 综上所述：切线的方程为和． 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． （1）求证：平面； （2）求直线平面夹角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线线平行得到线面平行即可证明； （2）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，由线面角的夹角向量公式求出直线平面夹角的正弦值； （3）在（2）基础上，由点到平面距离向量公式求出答案. 【小问1详解】 因为底面为正方形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设平面的法向量为， 则， 令，则，则， 直线平面夹角的正弦值为； 【小问3详解】 由（2）知，平面的法向量为， 点到平面距离为. 18. 已知抛物线：的准线方程为． （1）求抛物线的方程； （2）直线：交抛物线于、两点，求弦长． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的准线求得，从而求得抛物线的方程. （2）联立直线的方程和抛物线的方程，根据根与系数关系求得. 【小问1详解】 由抛物线：的准线方程为，得，． 抛物线的方程为． 【小问2详解】 设，， 由消去，得，则，． 又直线过抛物线的焦点， ． 19. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上不同的两点，且关于轴对称，直线和交于点. ①求动点的轨迹； ②过点的动直线与点的轨迹交于两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①（）；②存在，. 【解析】 【分析】（1）根据离心率和短轴长结合关系求值，写出方程即可； （2）①利用相关点代入法求轨迹方程即可；②设直线方程为，联立直线与双曲线方程，根据韦达定理计算，由可得，根据斜率公式及韦达定理即可求解. 【小问1详解】 由题意，，所以， 而，所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①设，，由题意得， 直线的方程为：， 直线的方程为：， 所以， 因为在椭圆上，所以， 可得，所以， 所以，即， 因为不与重合，所以， 所以的轨迹为（）. ②设过点的直线方程为，， ，可得， 所以，， 设， 因为， 所以， 则， 即， ， 即，即， 所以， 因为不恒为0，所以，所以， 所以在轴上存在定点，使得，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市第六中学2026年秋高二期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 已知为递增的等差数列，，，则（     ） A. B. C. D. 或 4. 已知平行直线与之间的距离为，则实数（ ） A 或 B. 或 C. 或 D. 或 5. 已知双曲线，则顶点到渐近线距离为（ ） A. B. C. D. 6. 圆：和圆：的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如果实数 满足等，那么 的最大值是（ ） A. B. C. D. 1 8. 古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为中点，某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线焦点到准线的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线被圆截得的最小弦长为 D. 若圆与圆恰有三条公切线，则 10. 长方体的底面是边长为的正方形，长方体的高为，分别在上，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 二面角的正切值为 11. 已知抛物线准线l与圆相切，P为C上的动点，N是圆M上的动点，过P作l的垂线，垂足为Q，C的焦点为F，则下列结论正确的是（ ） A. 点F的坐标为 B. 的最小值为 C. 存在两个P点，使得 D. 若正三角形，则圆M与直线PQ相交 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，若，则___________． 13. 在四面体中，平面，，，，则四面体外接球的表面积为______． 14. 已知，分别为椭圆的左右焦点，点，分别是椭圆的右顶点和上顶点，若直线上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）求的前项和及的最大值. 16. 已知圆经过坐标原点，且圆心为． （1）求圆的标准方程； （2）已知直线与圆相交于，两点，求弦长的值； （3）过点引圆的切线，求切线的方程． 17. 如图，在四棱锥中，底面正方形，平面，． （1）求证：平面； （2）求直线平面夹角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 已知抛物线：的准线方程为． （1）求抛物线的方程； （2）直线：交抛物线于、两点，求弦长． 19. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上不同的两点，且关于轴对称，直线和交于点. ①求动点的轨迹； ②过点的动直线与点的轨迹交于两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $