第四章 指数函数、对数函数与幂函数（复习课件）数学人教B版2019必修第二册

该高中数学单元复习课件系统整合指数函数、对数函数与幂函数核心知识，通过单元知识图谱将指数幂运算、函数概念图像性质、反函数关系及数学建模等内容逻辑串联，构建“概念-性质-运算-应用”的完整知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”分层模式，如通过根式化简求值、指数对数互化等基础题型培养运算能力，结合图像判断、函数性质综合运用等综合题发展几何直观与逻辑推理，助力学生巩固知识，教师精准开展复习教学。

单元复习课件 第四章指数函数、对数函数与幂函数 人教B版2019必修第二册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.熟练掌握幂的运算性质，幂函数、指数函数、对数函数的概念、图像和性质.认识到指数函数与对数函数是反函数，能够建立简单函数模型 . 3.指数函数、对数函数性质的综合运用，分类讨论、数形结合思想的灵活运用，将实际问题抽象为恰当的函数模型. 2. 强化数形结合思想、分类讨论思想、转化与划归的思想，能够利用相关数学知识和数学思想解决问题. 单元学习目标 幂函数 指数及其运算性质 指数函数、对数函数与幂函数 指数函数 对数及其运算性质 对数函数 函数图像和性质 函数模型和应用 反函数 单元知识图谱 考点一、实数指数幂及其运算 知识点一　n次方根及根式的概念 1．a的n次方根的定义 如果_________，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2．a的n次方根的表示 (1)当n是奇数时，a的n次方根表示为________，a∈______． (2)当n是偶数时，a的n次方根表示为_______，其中________表示a的负的n次方根，________． 3．根式 式子______叫做根式，这里n叫做______，a叫做__________． xn＝a R ± － [0，＋∞) 　 根指数 被开方数 考点串讲 知识点二　根式的性质 (1)＝________(，且)； (2)＝    a a |a| 考点一、实数指数幂及其运算 考点串讲 知识点三　分数指数幂的意义及有理数指数幂的运算性质 1．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数 指数幂 规定：＝________(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数 指数幂 规定：＝＝____________(a>0，m，n∈N*，且n>1) 性质 0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂______ 0 无意义 考点一、实数指数幂及其运算 考点串讲 2.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝________；(a>0，r，s∈Q) (2)(ar)s＝________；(a>0，r，s∈Q) (3)(ab)r＝________．(a>0，b>0，r∈Q) 3．无理数指数幂 无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个__________．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用． ar＋s ars arbr 确定的实数 考点一、实数指数幂及其运算 考点串讲 知识点一　指数函数的定义 函数________(且)叫做指数函数，其中x是自变量．定义域为R. y＝ax 考点二、指数函数 指数函数解析式的3个特征 (1)底数为大于0且不等于1的常数． (2)自变量的位置在指数上，且的系数是1. (3)的系数是1. 考点串讲 知识点二　指数函数的图像与性质   a>1 0<a<1 图像 考点二、指数函数 考点串讲 性 质 定义域 ________ 值域 ________ 过定点 过点______，即x＝______时，y＝______ 函数值 的变化 当x>0时，________； 当x<0时，________ 当x>0时，________； 当x<0时，________ 单调性 是R上的________ 是R上的________ R (0，＋∞) (0，1) 0 1 y>1 0<y<1 0<y<1 y>1 增函数 减函数 考点二、指数函数 底数与1的大小关系决定了指数函数图像的“升”与“降”．当时，指数函数的图像是“上升”的；当时，指数函数的图像是“下降”的． 考点串讲 知识点　对数 1．对数的概念 (1)定义 如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数__叫做以___为底__的对数，记作x＝________． x　 a N logaN (2)相关概念 ①底数与真数 其中，___叫做对数的底数，__叫做真数． ②常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作________；以无理数为底数的对数称为自然对数，并且把logeN记为________． a N 考点三、对数 是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写 考点串讲 2．对数的性质 性质1 ________没有对数 性质2 1的对数是________，即loga1＝________(a>0，且a≠1) 性质3 底数的对数是________，即logaa＝________(a>0，且a≠1) 性质4 alogaN＝N 零和负数 0 0 1 1 考点三、对数 考点串讲 知识点一　对数的运算性质 若，且，，，那么： (1)＝____________， (2)＝____________， (3)＝____________(n∈R). logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 考点四、对数的运算 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如是错误的． 考点串讲 知识点二　对数换底公式 logab＝____________(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0). 特别地：logab·logba＝________(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1). 1 考点四、对数的运算 对数换底公式常见的两种变形 (1)，即＝ ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数 . (2)＝，此公式表示底数变为原来的次方，真数变为原来的次方，所得的对数值等于原来对数值的倍． 考点串讲 知识点一　对数函数的概念 函数 叫做对数函数，其中____是自变量，函数的定义域是________．   y＝logax(a＞0，且a≠1) x (0，＋∞) 考点五、对数函数 形如，都不是对数函数，可称其为对数型函数． 考点串讲 知识点二　对数函数的图像与性质   a＞1 0＜a＜1 图 象 性 质 定义域________ 值域________ 过点________，即当x＝1时，y＝0 在(0，＋∞)上是________ 在(0，＋∞)上是________ (0，＋∞) R (1，0) 增函数 减函数 考点五、对数函数 考点串讲 知识点一　指数函数与对数函数的性质 函数 指数函数y＝ax 对数函数y＝logax 定义域 ________ ________ 值域 ________ ________ 单调性 0<a<1时，为________；a>1时，为________ R (0，＋∞) (0，＋∞) R 减函数 增函数 考点五、指数函数与对数函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax，一个函数的定义域是另一个函数的值域，而且它们的单调性相同． 考点串讲 知识点二　反函数 一般地，函数y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x)．值得注意的是，y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的定义域相同． 考点五、指数函数与对数函数 1．与的图像关于直线对称． 2．如果是单调函数，那么它的反函数一定存在．此时，如果是增函数，则也是增函数；如果是减函数，则也是减函数． 考点串讲 知识点一　幂函数的概念 一般地，函数________叫做幂函数，其中________是自变量，________是常数． x a 考点六、幂函数 幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量． 考点串讲 知识点二　幂函数的图像与性质 函数 定义域 R R R ________ ________ 值域 R ________ R ________ ________ 奇偶性 奇函数 ________ ________ 非奇非 偶函数 ________ 单调性 在R上 递增 在________ 上递减， 在________ 上递增 在______上递增 在______ 上递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上递减 偶函数 奇函数 奇函数 (－∞，0) (0，＋∞) R (0，＋∞) 考点六、幂函数 考点串讲 图像 过定点 ________ ________ (0，0)，(1，1) (1，1) 考点六、幂函数 幂函数在区间(0，＋∞)上，当时，是增函数；当时，是减函数． 考点串讲 知识点一　常见的增长模型 1．线性函数模型 线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． 2．指数函数模型 能利用__________________表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速度越来越快，常形象地称为指数爆炸． 指数函数(底数a＞1) 3．对数函数模型 能用 表达的函数模型叫做对数函数模型，对数函数增长的特点是______________，函数值增长速度________． 4．幂函数模型 幂函数y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． 对数函数(底数a＞1) 随自变量的增大 越来越慢 考点七、增长模型和数学建模 考点串讲 知识点二　数学建模 1．审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型． 2．建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． 3．解模：求解数学模型，得出数学结论． 4．还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 考点七、增长模型和数学建模 考点串讲 题型一、根式化简求值 例1　(1)下列各式正确的是(　　) A． B． C. ＝－4 D.＝－5 【解析】　(1)由于＝则选项A，C排除，D正确，B需要加条件a≠0. 【答案】　D 题型剖析 (2)计算下列各式： ①＝________． ② ＝________． ③ ＝________． 【解析】 ①＝－a. ②＝＝π－3. ③＝－－＝＝. －a　 π－3 题型一、根式化简求值 题型剖析 题型一、根式化简求值 根式化简或求值的策略 (1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值． (2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论． 题型剖析 变式1　求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 解析：(1) ＝－2； (2) ＝＝； (3) ＝|3－π|＝π－3； (4)原式＝＋y－x＝|x－y|＋y－x. 当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0； 当x<y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x). 所以原式＝ 题型一、根式化简求值 针对训练 例2　(1)将分数指数幂(a>0)化为根式为________． (2)化简：＝________(用分数指数幂表示)． (3)将下列根式与分数指数幂进行互化． ① ② ()． 题型二、根式与分数指数幂的互化 【解析】　(1)= (2))==== (3)①a3·=a3·==.　②== = =. 题型剖析 题型二、根式与分数指数幂的互化 方法归纳 根式与分数指数幂互化的方法及思路 (1)方法：根指数 分数指数的分母， 被开方数(式)的指数 分数指数的分子． (2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． 提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出． 题型剖析 变式2　下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　) A. B． C. D.(x≠0) 解析：－－ (x>0)；－ (y<0)； (x>0)； (x≠0). 答案：C 题型二、根式与分数指数幂的互化 针对训练 题型三、分数指数幂的运算与化简 　例3　化简下列各式： ；. 【解析】　(1)原式＝. (2)原式. 题型剖析 题型三、分数指数幂的运算与化简 利用指数幂的运算性质化简求值的方法 (1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． (2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． 题型剖析 变式3　计算： (1)(－1.8)0＋·； (a>0，b>0)． 解析：(1)原式＝1＋·－10＋＝1＋·－10＋27＝29－10＝19. (2)原式＝·0.12·＝2××8＝. 题型三、分数指数幂的运算与化简 针对训练 例4　已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，且f(3)＝π，求f(0)，f(1)，f(－3)的值． 【解析】　因为f(x)＝ax，且f(3)＝π，则a3＝π，解得a＝，于是. 所以，f(0)＝π0＝1，f(1)＝＝，f(－3)＝π－1＝. 题型四、指数函数 题型剖析 题型四、指数函数 求指数函数解析式的方法步骤 求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键． 题型剖析 变式4　若指数函数f(x)的图像经过点(2，9)，求f(x)的解析式及f(－1)的值． 解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，将点(2，9)代入，得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍去). 所以f(x)＝3x.所以f(－1)＝3－1＝. 题型四、指数函数 针对训练 题型五、利用指数函数性质比大小 例5　利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小： (1)与；(2)与   【解析】　(1)因为0.8－0.1与0.8－0.2都是以0.8为底的幂值，所以考察函数y＝0.8x，由于这个函数在实数集R上是减函数，又因为－0.1>－0.2，所以0.8－0.1<0.8－0.2. (2)因为2.5a与2.5a＋1都是以2.5为底的幂值，所以考察函数y＝2.5x，由于这个函数在实数集R上是增函数，又因为a<a＋1，所以2.5a<2.5a＋1. 题型剖析 题型五、利用指数函数性质比大小 比较幂值大小的三种类型及处理方法 题型剖析 变式5　比较下列各题中两个值的大小： (1)与； 解析：(1)因为0＜＜1，所以函数y＝在其定义域R上单调递减，又－1.8＞－2.5，所以＜. 解析：(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝与y＝的图像，如图所示．当x＝－0.5时，由图像观察可得＞. 题型五、利用指数函数性质比大小 针对训练 题型六、指数函数图像 例6　(1)如图所示是下列指数函数的图像： (1)先由，两个角度来判断函数的单调性，确定函数图像． ①y＝ax　②y＝bx ③y＝cx ④y＝dx 则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c 【解析】　(1)可先分为两类，③④的底数一定大于1，①②的底数一定小于1，然后再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图像上升，且当底数越大，图像向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图像下降，且当底数越小，图像向下越靠近x轴，故选B. 【答案】　(1)B　 题型剖析 (2)当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝ax－3－2必过定点________. 【答案】　(3，－1) 【解析】　(2)当a＞0且a≠1时，总有f(3)＝a3－3－2＝－1，所以函数f(x)＝ax－3－2必过定点(3，－1)． 题型六、指数函数图像 题型剖析 题型六、指数函数图像 指数函数的图像随底数变化的规律 (1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图像与直线x＝1相交于点(1，a)，由图像可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大． (2)指数函数的底数与图像间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大． 题型剖析 变式6　(1)已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图像为(　　) 解析：(1)由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图像，故选C. 答案：C　 题型六、指数函数图像 针对训练 (2)若a＞1，－1＜b＜0，则函数y＝ax＋b的图像一定在(　　) A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 答案：A 解析：∵a＞1，且－1＜b＜0，故其图像如图所示． 题型六、指数函数图像 针对训练 题型七、指数不等式 例7　(1)不等式3x－2＞1的解为________； 【解析】　(1)3x－2＞1⇒3x－2＞30⇒x－2＞0⇒x＞2，所以解为(2，＋∞). 【答案】　(1)(2，＋∞)　 (2)若ax＋1＞ (a＞0，且a≠1)，求x的取值范围． 【解析】　因为ax＋1＞，所以当a＞1时，y＝ax为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3. 当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3. 综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)， 当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞). 题型剖析 题型七、指数不等式 解指数不等式应注意的问题 (1)形如ax＞ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论； (2)形如ax＞b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解． 题型剖析 变式7　(1)解不等式≤3； (2)已知 ＞，求x的取值范围． 解析：(1)－2＝(3－1)x2－2＝32－x2， ∴原不等式等价于 32－x2≤31. ∵y＝3x是R上的增函数，∴2－x2≤1. ∴x2≥1，即x≥1或x≤－1. ∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}． (2)∵a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2＞1， ∴y＝(a2＋2a＋3)x在R上是增函数． ∴x＞1－x，解得x＞. ∴x的取值范围是{ x| x＞}. 题型七、指数不等式 针对训练 题型八、指数函数性质的综合运用 例8　已知函数f(x)＝a－ (x∈R)． (1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数； (2)若f(x)为奇函数，求f(x)在区间[1，5]上的最小值． 【解析】　(1)证明：因为f(x)的定义域为R，任取x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝. 因为x1＜x2，所以－＜0， 又(1＋)(1＋)＞0.所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2). 所以不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数． (2)因为f(x)在x∈R上为奇函数，所以f(0)＝0， 即a－＝0，解得a＝.所以f(x)＝－， 由(1)知，f(x)为增函数，所以f(x)在区间[1，5]上的最小值为f(1). 因为f(1)＝－＝，所以f(x)在区间[1，5]上的最小值为. 题型剖析 题型八、指数函数性质的综合运用 方法归纳 (1)求解含参数的由指数函数复合而成的奇、偶函数中的参数问题，可利用奇、偶函数的定义，根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，结合指数运算性质建立方程求参数； (2)若奇函数在原点处有定义，则可利用f(0)＝0，建立方程求参数． 题型剖析 变式8　已知定义在R上的函数f(x)＝2x＋，a为常数，若f(x)为偶函数， (1)求a的值； (2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并用单调性定义给予证明； (3)求函数f(x)的值域． 解析：(1)由f(x)为偶函数得对任意实数x都有2x＋＝＋a·2x成立，即2x(1－a)＝·(1－a)， 所以1－a＝0， 所以a＝1. 题型八、指数函数性质的综合运用 针对训练 (2)由(1)知f(x)＝2x＋，f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 证明如下：任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝＋－()＝(－)＋()＝(－)＋＝(－)(1-)＝(－)·， 因为x1＜x2，且x1，x2∈(0，＋∞)， 所以＜，＞1， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增． (3)由(2)知f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 又由f(x)为偶函数知函数f(x)在(－∞，0]上单调递减， 所以f(x)≥f(0)＝2. 故函数f(x)的值域为[2，＋∞). 题型八、指数函数性质的综合运用 针对训练 例9　把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)54＝625；　　 (2)2－6＝； (3)＝5.73; (4)＝－4；  (5)＝－2; (6)＝2.303.     【解析】　(1)log5625＝4；(2)＝－6；(3)＝m； (4)＝16；(5)10－2＝0.01；(6)e2.303＝10. 题型九、指数与对数转化 题型剖析 题型九、指数与对数转化 指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式 将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式 将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 题型剖析 变式9　将下列指数式与对数式互化： (1)25＝32; (2)＝4； (3)log381＝4; (4)＝m. 解析：(1)log232＝5；(2)＝－2； (3)34＝81； (4)＝4. 题型九、指数与对数转化 针对训练 题型十、对数基本性质的应用 例10　求下列各式中的x的值． (1)log2(log3x)＝0； (2)log5(log2x)＝1； (3)＝x. 【解析】　(1)因为log2(log3x)＝0， 所以log3x＝1，所以x＝3. (2)因为log5(log2x)＝1， 所以log2x＝5，所以x＝25＝32. (3)＝＝＋1， 所以＝＝1， 所以x＝1. 题型剖析 题型十、对数基本性质的应用 利用对数性质求值的方法 (1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解． 题型剖析 变式10　求下列各式中的x的值． (1)log8[log7(log2x)]＝0； (2)log2[log3(log2x)]＝1. 解析：(1)由log8[log7(log2x)]＝0 得log7(log2x)＝1， 所以log2x＝7， 所以x＝27＝128. (2)由log2[log3(log2x)]＝1得 log3(log2x)＝2， 所以log2x＝32， 所以x＝29＝512. 题型十、对数基本性质的应用 针对训练 题型十一、对数恒等式＝N的应用  例11　求下列各式的值： (1)＋； (2)22＋； (3)101＋lg 2； (4)e－1＋ln 3. 【解析】　(1)因为＝3，＝2， 所以原式＝3＋2＝5. (2)原式＝22×＝4×＝. (3)原式＝10×10lg 2＝10×2＝20. (4)原式＝e－1×eln 3＝×3＝. 题型剖析 变式11　计算：(1)＝________； (2)＝________． 解析：(1)＝＝＝4. (2)原式＝ ＝3×()－1＝3×2－1＝. 4　 题型十一、对数恒等式＝N的应用 针对训练 例12　计算下列各式的值： (1)lg 4＋lg 25；(2)； (3)log2(47×25)；(4)(lg 2)2＋lg 20×lg 5. 【解析】　(1)lg 4＋lg 25＝lg (4×25)＝lg 100＝2. (2)＝＝lg 100＝. (3)log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19. (4)(lg 2)2＋lg 20×lg 5＝(lg 2)2＋lg (10×2)× ＝(lg 2)2＋(1＋lg 2)×(1－lg 2) ＝(lg 2)2＋1－(lg 2)2 ＝1. 题型十二、对数运算性质的应用 题型剖析 题型十二、对数运算性质的应用 对数的运算 1．对于同底的对数的化简，常用方法是： (1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差). 2．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式． 题型剖析 题型十二、对数运算性质的应用 变式12　(1)计算：＋2lg 2－＝________． 解析：(1)＋2lg 2－＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1. 答案：(1)－1 (2)求下列各式的值． ①log53＋ ②(lg 5)2＋lg 2·lg 50 ③lg 25＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. 解析：(2)①log53＋＝＝log51＝0. ②(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2＝(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1. ③原式＝lg 25＋＋·lg (10×2)＋(lg 2)2＝lg 25＋lg 4＋(lg 10－lg 2)(lg 10＋lg 2)＋(lg 2)2 ＝lg 100＋(lg 10)2－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3. 针对训练 题型十三、对数换底公式的应用 例13　(1)已知2x＝3y＝a，＋＝2，则a的值为(　　) A．36　　　 B．6 C．2 D． 【解析】　(1)因为2x＝3y＝a， 所以x＝log2a，y＝log3a， 所以＋＝＋＝loga2＋loga3＝loga6＝2， 所以a2＝6，解得a＝±. 又a＞0，所以a＝. 【答案】　D 题型剖析 (2)计算下列各式： ①log89·log2732. ②2lg 4＋lg 5－lg 8－. ③＋lg 4＋2lg 5. 【解析】(2)①log89·log2732＝·＝·＝·＝. ②2lg 4＋lg 5－lg 8－＝lg 16＋lg 5－lg 8－＝－＝1－＝. ③＋lg 4＋2lg 5＝4＋lg (4×52)＝4＋2＝6. 题型十三、对数换底公式的应用 题型剖析 题型十三、对数换底公式的应用 对数换底公式的应用方法 (1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底． (2)换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；loganbm＝logab. 题型剖析 变式13　(1)式子log916·log881的值为(　　) A.18　　　 B． C． D． 解析：原式＝log3224·log2334＝2log32·log23＝. 答案：C 题型十三、对数换底公式的应用 针对训练 (2)(log43＋log83)(log32＋log98)等于(　　) A． B． C． D．以上都不对 解析：原式＝（）·（） ＝（）·（） ＝×log32＝. 答案：B 题型十三、对数换底公式的应用 针对训练 题型十四、对数函数的图像问题 例14　(1)函数y＝x＋a与y＝logax的图像只可能是下图中的(　　) 【解析】　(1)A中，由y＝x＋a的图像知a＞1，而y＝logax为减函数，A错；B中，0＜a＜1，而y＝logax为增函数，B错；C中，0＜a＜1，且y＝logax为减函数，所以C对；D中，a＜0，而y＝logax无意义，也不对． 【答案】　C 题型剖析 (2)已知函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图像上，则f(log32)＝________． 【解析】　依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－，故f(x)＝3x－，f(log32)＝3log32－＝2－＝. 【答案】　　 题型十四、对数函数的图像问题 题型剖析 (3)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系为________. 【答案】b＞a＞1＞d＞c 【解析】　由题干图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1，0＜d＜1. 过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c. 题型十四、对数函数的图像问题 题型剖析 题型十四、对数函数的图像问题 解决对数函数图像的问题时要注意 (1)明确对数函数图像的分布区域．对数函数的图像在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图像会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交． (2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图像之前要先判断对数的底数a的取值范围是a＞1，还是0＜a＜1. (3)牢记特殊点．对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像经过点：(1，0)，(a，1)和(). 题型剖析 变式14　 (1)如图所示，曲线是对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像，已知a取，，，，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为(　　) A．，，， B.，，， C．，， D．， 答案：A 题型十四、对数函数的图像问题 解析：作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C1，C2，C3，C4对应的a值分别为，，，，故选A. 针对训练 (2)函数y＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图像大致为(　　) 解析：函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1，故选A. 答案：A 题型十四、对数函数的图像问题 针对训练 题型十五、利用对数函数比较大小 例15　比较下列各组数的大小： (1)log0.33与log0.35； (2)ln 3与ln 3.001； (3)log70.5与0. 【解析】　(1)因为0<0.3<1，所以y＝log0.3x是减函数，又因为3<5，所以log0.33>log0.35. (2)因为e>1，所以y＝ln x是增函数，又因为3.001>3，所以ln 3<ln 3.001. (3)因为7>1，所以y＝log7x是增函数，又因为log71＝0，而且0.5<1，所以log70.5<log71＝0. 题型剖析 题型十五、利用对数函数比较大小 比较对数值大小时常用的三种方法 题型剖析 变式15　(1)设a＝log2π，b＝，c＝π－2，则(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a 解析：(1)a＝log2π＞1，b＝＜0，c＝π－2∈(0，1)， 所以a＞c＞b. 答案：C　 题型十五、利用对数函数比较大小 针对训练 (2)比较下列各组值的大小： ①，. ②log1.51.6，log1.51.4. ③log0.57，log0.67. ④log3π，log20.8. 解析：①因为函数y＝是减函数，且0.5＜0.6，所以＞. ②因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6＞1.4，所以log1.51.6＞log1.51.4. ③因为0＞log70.6＞log70.5，所以＜，即log0.67＜log0.57. ④因为log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，所以log3π＞log20.8. 答案：①.②.③.④. 题型十五、利用对数函数比较大小 针对训练 题型十六、对数不等式 例16　(1)已知log0.72x＜log0.7(x－1)，则x的取值范围为________； 【解析】　∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log0.72x＜log0.7(x－1)得解得x＞1， 即x的取值范围是(1，＋∞). 【答案】　(1，＋∞)　 题型剖析 　(2)已知loga(x－1)≥loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围． 【解析】loga(x－1)≥loga(3－x)， 当a＞1时，有解得2≤x＜3. 当0＜a＜1时，有解得1＜x≤2. 综上可得， 当a＞1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围为[2，3)； 当0＜a＜1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围是(1，2]. 题型十六、对数不等式 题型剖析 题型十六、对数不等式 两类对数不等式的解法 (1)形如logaf(x)＜logag(x)的不等式． ①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞g(x)＞0； ②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜g(x). (2)形如logaf(x)＜b的不等式可变形为logaf(x)＜b＝logaab. ①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞ab； ②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜ab. 题型剖析 变式16　(1)满足不等式log3x＜1的x的取值集合为________； 答案：(1){x|0＜x＜3} 解析：(1)因为log3x＜1＝log33， 所以x满足的条件为 即0＜x＜3.所以x的取值集合为{x|0＜x＜3}． 题型十六、对数不等式 针对训练 　(2)根据下列各式，确定实数a的取值范围： ①log1.5(2a)＞log1.5(a－1)； ②log0.5(a＋1)＞log0.5(3－a). 解析：①函数y＝log1.5x在(0，＋∞)上是增函数． 因为log1.5(2a)＞log1.5(a－1)，所以解得a＞1， 即实数a的取值范围是a＞1. ②函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，因为log0.5(a＋1)＞log0.5(3－a)， 所以解得－1＜a＜1.即实数a的取值范围是－1＜a＜1. 题型十六、对数不等式 针对训练 题型十七、对数函数性质的综合运用 例17　已知函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域； (2)若函数f(x)的最小值为－2，求实数a的值． 【解析】　(1)由题意得 解得－1＜x＜3，所以函数f(x)的定义域为(－1，3). (2)因为f(x)＝loga[(1＋x)(3－x)]＝loga(－x2＋2x＋3) ＝loga[－(x－1)2＋4]， 若0＜a＜1，则当x＝1时，f(x)有最小值loga4， 所以loga4＝－2，a－2＝4， 又0＜a＜1，所以a＝. 若a＞1，则当x＝1时，f(x)有最大值loga4，f(x)无最小值． 综上可知，a＝. 题型剖析 题型十七、对数函数性质的综合运用 1．解答y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数需注意的问题 ①要注意变量的取值范围．例如，f(x)＝log2x，g(x)＝x2＋x，则f(g(x))＝log2(x2＋x)中需要g(x)＞0；g(f(x))＝(log2x)2＋log2x中需要x＞0. ②判断y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数的奇偶性，首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断． 2．形如y＝logaf(x)的函数的单调性判断 首先要确保f(x)＞0， 当a＞1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y＝f(x)的单调性一致． 当0＜a＜1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y＝f(x)的单调性相反． 题型剖析 变式17　已知函数f(x)＝log2(1＋x2). 求证：(1)函数f(x)是偶函数； (2)函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数． 证明：(1)函数f(x)的定义域是R， f(－x)＝log2[1＋(－x)2]＝log2(1＋x2)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数． (2)设0＜x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝log2(1＋)－log2(1＋)＝， 由于0＜x1＜x2，则0＜＜，则0＜1＋＜1＋，所以0＜＜1. 又函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，所以＜0.所以f(x1)＜f(x2). 所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数． 题型十七、对数函数性质的综合运用 针对训练 题型十八、反函数性质的应用 例18　已知函数y＝ax＋b的图像过点(1，4)，其反函数的图像过点(2，0)，求a，b的值． 【解析】　解法一：∵y＝ax＋b的图像过点(1，4)，∴a＋b＝4，① 由y＝ax＋b得ax＝y－b，∴x＝loga(y－b)，交换x，y得y＝loga(x－b)， 将点(2，0)代入y＝loga(x－b)得loga(2－b)＝0，∴2－b＝1.② 由①②解得 解法二：∵y＝ax＋b的图像过点(1，4)，∴a＋b＝4.① 又∵y＝ax＋b的反函数图像过点(2，0)， ∴点(0，2)在原函数y＝ax＋b的图像上，∴a0＋b＝2.② 联立①②得 题型剖析 题型十八、反函数性质的应用 利用反函数的性质解题 互为反函数的图像关于直线y＝x对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数图像上任一成对的相应点也关于y＝x对称，所以若点 (a，b)在函数y＝f(x)的图像上，则点(b，a)必在其反函数y＝f－1(x)的图像上． 题型剖析 变式18　已知函数f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的图像过点(1，7)，其反函数f－1(x)的图像过点(4，0)，求f(x)的表达式． 解析：∵y＝f－1(x)的图像过点(4，0)，∴y＝f(x)的图像过点(0，4)， ∴1＋b＝4，∴b＝3，又∵f(x)＝ax＋b的图像过点(1，7)， ∴a＋b＝7，∴a＝4.∴f(x)＝4x＋3. 题型十八、反函数性质的应用 针对训练 题型十九、指数函数和对数函数图像关系 例19　已知lg a＋lg b＝0，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图像可能是(　　) 【答案】　B 【解析】　∵lg a＋lg b＝0，∴ab＝1，则b＝，从而g(x)＝－logbx＝logax，故g(x)与f(x)＝ax互为反函数，图像关于直线y＝x对称．结合选项可知选B. 题型剖析 题型十九、指数函数和对数函数图像关系 利用反函数的性质识图 指数函数与对数函数互为反函数，二者的图像关于直线y＝x对称，在有关指数函数与对数函数的图像知识问题中利用这一性质，结合平移翻转等可以很方便地解决问题． 题型剖析 变式19　y＝log2x的反函数是y＝f－1(x)，则函数y＝f－1(1－x)的图像是下图中的(　　) 解析：∵y＝log2x的反函数为y＝f－1(x)＝2x，则y＝f－1(1－x)＝21－x＝2·2－x＝2·，故排除A，B.又此函数图像过(0，2)，故正确答案为C. 答案：C 题型十九、指数函数和对数函数图像关系 针对训练 题型二十、指数函数和对数函数的综合运用 例20　(1)已知f(x)＝loga(a－ax)(a>1)． ①求函数f(x)的定义域、值域； ②判断f(x)的单调性，并证明； (2)设方程2x＋x－3＝0的根为m，方程log2x＋x－3＝0的根为n，求m＋n的值． 【解析】　(1)①要使函数f(x)＝loga(a－ax)(a>1)有意义，需满足a－ax>0，即ax<a，又∵a>1，∴x<1，故定义域是(－∞，1)，又a－ax∈(0，a)，所以值域是(－∞，1). ②设x1<x2<1，则 < <a，f(x2)－f(x1)＝loga(a－)－loga(a－)＝ <0，所以f(x1)＞f(x2)，所以函数f(x)为减函数． 题型剖析 题型二十、指数函数和对数函数的综合运用 (2)将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.如图可知，m是指数函数y＝2x的图像与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，n是对数函数y＝log2x的图像与直线y＝－x＋3交点B的横坐标，由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图像关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称，于是可设A，B两点的坐标为A(m，n)，B(n，m)，而A、B都在直线y＝－x＋3上， ∴n＝－m＋3(A点坐标代入)，或m＝ －n＋3(B点坐标代入)，故m＋n＝3. 题型剖析 题型二十、指数函数和对数函数的综合运用 指数函数与对数函数综合问题的解决方法 (1)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，应从概念、图像和性质三个方面理解它们之间的联系与区别． (2)利用数形结合，等价转化的思想可较为简便地解决函数零点(方程的根)问题． 题型剖析 变式20　已知0<a<1，则函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为(　　) A．1　　 B．2 C．3 D．4 解析：函数y＝a|x|－|logax|(0<a<1)的零点的个数即方程a|x|＝|logax|(0<a<1)的根的个数，也就是函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)的图像的交点的个数． 画出函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)的图像．如图所示，观察可得函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)的图像的交点的个数为2，从而函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为2. 答案：B 题型二十、指数函数和对数函数的综合运用 针对训练 例21　幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图像如图，则将m，n，p，q的大小关系用“<”连接起来结果是________． 【解析】　过原点的指数α>0，不过原点的α<0，所以n<0， 当x>1时，在直线y＝x上方的α>1，下方的α<1，所以p>1，0<m<1，0<q<1；x>1时，指数越大，图像越高，所以m>q，综上所述n<q<m<p. n<q<m<p 题型二十一、幂函数的图像和性质 题型剖析 题型二十一、幂函数的图像和性质 解决幂函数图像问题应把握的两个原则 (1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高)． (2)依据图像确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y＝x－1或y＝或y＝x3)来判断． 题型剖析 变式21　当α∈时，幂函数y＝xα的图像不可能经过第__________象限．   解析：幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图像经过第一、三象限；的图像经过第一象限；y＝x2的图像经过第一、二象限． 所以幂函数y＝xα的图像不可能经过第四象限． 答案：四 题型二十一、幂函数的图像和性质 针对训练 题型二十二、幂函数的单调性质及应用 例22　比较下列各题中两个值的大小： (1)2.31.1和2.51.1； 和. 【解析】　(1)考察幂函数y＝x1.1，因为其在区间[0，＋∞)上是增函数，而且2.3<2.5，所以2.31.1<2.51.1. (2)考察幂函数y＝，因为其在区间(0，＋∞)上是减函数，而且a2＋2≥2，所以. 题型剖析 题型二十二、幂函数的单调性质及应用 幂函数单调性的应用 幂函数当α>0时在第一象限单调递增，当α<0时在第一象限单调递减． 比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图像． 题型剖析 变式22　比较下列各题中两个幂值的大小． (1)3.11.3与2.91.3； 与； 与. 解析：(1)函数y＝x1.3在(0，＋∞)上为增函数，又因为3.1>2.9，所以3.11.3>2.91.3. (2)函数在上为减函数，又因为，所以. (3)因为<＝1；而>＝1；所以<. 题型二十二、幂函数的单调性质及应用 针对训练 题型二十三、指数、对数函数模型 例23　按照《国务院关于印发“十三五”节能减排综合工作方案的通知》(国发〔2016〕74号)的要求，到2020年，全国二氧化硫排放总量要控制在1 580万吨以内，要比2015年下降15%.假设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比都相等，2015年后第t(t＝0，1，2，3，4，5)年的二氧化硫排放总量最大值为f(t)万吨． (1)求f(t)的解析式； (2)求2019年全国二氧化硫排放总量要控制在多少万吨以内(精确到1万吨)． 【解析】　(1)设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比均为r，因为f(0)表示2015年的排放总量，所以由题意可知 f(t)＝f(0)(1－r)t，t＝0，1，2，3，4，5.又因为 所以f(0)＝，1－r＝，从而f(t)＝，t＝0，1，2，3，4，5. (2)由(1)可知f(4)＝≈1 632， 因此2019年全国二氧化硫排放总量要控制在1 632万吨以内． 题型剖析 题型二十三、指数、对数函数模型 应用指数函数模型应注意的问题 (1)指数函数模型的应用类型．常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决． (2)应用指数函数模型时的关键．关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型． (3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解． 题型剖析 变式23　某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　) (参考数据：lg 1.12≈0.05, lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年 解析：设经过x年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则130(1＋12%)x>200，即1.12x>⇒x>＝≈＝3.8，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年． 答案：B 题型二十三、指数、对数函数模型 针对训练 ✅ 知识构建：指数函数、对数函数、幂函数 指数函数→对数函数→幂函数→反函数→函数模型 ✅ 思想方法： 化归与转化、数形结合 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $