精品解析：福建省南平市光泽县2025-2026学年八年级上学期期中数学试题

2025-2026学年（上）期中质量检测 八年级数学 （考试时间：120分钟满分：150分） ★友情提示：所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效； 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 2025年4月23日第30个世界读书日主题“阅读：通往未来的桥梁”．下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫作对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列图形中，是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内容和定理，已知三角形的两个角，利用三角形内角和为求出第三个角是否为即可． 【详解】解：第三个角的度数是，不是直角三角形，故选项不符合题意； 第三个角的度数是，是直角三角形，故选项符合题意； 第三个角的度数是，不是直角三角形，故选项不符合题意； 第三个角的度数是，不是直角三角形，故选项不符合题意． 故选：． 3. 安装空调时，一般会采用如图所示的方法固定，这样做的数学依据（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：根据题意得：这样做的数学依据是三角形的稳定性． 故选：B 4. 已知≌，且，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等的性质是解题关键．根据全等三角形的性质即可得答案． 【详解】解：∵（、、分别与、、对应），， ∴， 故选：B． 5. 如图，在中，，，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．先在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 6. 调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带下列选项中哪片碎玻璃（ ） A. ① B. ② C. ③ D. 三块任选一块都可以 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，根据全等三角形的判定方法“角边角”可以判定应当带③去． 【详解】解：①只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃； ②只保留了部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃； 而③不但保留了一个完整的边还保留了两个角，所以应该带去③，根据全等三角形判定“角边角”可以配出一块和原来一样的三角形玻璃． 故选：C． 7. 如图，在中，，的平分线交于点D，恰好是的垂直平分线，垂足为E，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，线段垂直平分线的性质定理，直角三角形的性质，三角形内角和定理， 先根据角平分线定义得，再根据线段垂直平分线的性质得，然后根据三角形内角和定理求出，最后根据含直角三角形的性质得出答案. 【详解】解：∵平分，且， ∴. ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴. ∵， ∴. 在中，， ∴. 故选：B. 8. 如图，在中，，平分，则图中等腰三角形的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，角平分线的定义，解决此题的关键是合理利用各个知识点之间的联系；先根据等腰三角形的性质和角平分线的定义算出角度，再根据等角对等边判断等腰三角形即可； 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∴，，是等腰三角形，共3个； 故选：B． 9. 如图，O是内一点，且O到三边的距离，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出、分别平分和，再根据三角形的内角和定理求出，然后求出，再次利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵O到三边的距离， ∴、分别平分和， ∴， ∴. 故选D. 10. 如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 12 B. 13 C. 10 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】解：连接，， 直线垂直平分线段， ， 点为边的中点，， ， 周长， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ， ，， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出周长的最小值为是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变换，掌握点关于坐标轴对称的规律是解题的关键． 根据点关于轴对称的规律：原坐标为，对称后的坐标为，据此回答即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 12. 如图，在中，D是的中点，，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了三角形的中线的性质，即三角形的中线把三角形的面积等分成相等的两部分．根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分进行计算即可． 【详解】解：∵D是的中点，， ， 故答案为：2． 13. 如图，在和中，，，再添加一个条件使成立，那么添加的条件是 _________________ ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．已知两个三角形的两组对应边相等，要使它们全等，可根据三角形全等的判定定理，添加一组对应角相等（SAS）或第三组对应边相等（SSS）等条件． 【详解】解：∵ ，， ∴ 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，在中，，，交于点，，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，以及等腰三角形的判定和性质，关键是掌握在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半．利用等腰三角形的性质可得，然后利用含30度角的直角三角形可得的长，进而可得答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：6． 15. 如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点，的位置上，与交于点G．若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：∵在长方形纸片中，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有_______个． 【答案】6 【解析】 【分析】根据等腰三角形的判定找出符合的所有点即可． 【详解】解：如图所示： C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC； C在C5，C6位置上时，AB＝BC； 即满足点C的个数是6， 故答案为: 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能找出符合的所有点是解此题的关键，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形． 二、解答题（本题共9小题，共计86分） 17. 计算：等腰三角形的一边长是8，周长是18，它的另外两边长是多少？ 【答案】8，2或5，5 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．注意掌握分类讨论思想的应用，分别从腰长为8与底边长为8去分析求解是关键．分两种情况：当腰长为8时，底边长为8时，求出等腰三角形的另外两条边长即可． 【详解】解：当腰长为8时，另外底边长为， 因为， 所以此时8，8，2能组成三角形，符合题意； 当底边长为8时，腰长为， 因为， 所以此时5，5，8能组成三角形，符合题意； 综上分析可知：它的另外两边长是8，2或5，5． 18. 如图，是的中点，．求证：． 【答案】 证明：是的中点， ， 在和中， ， 【解析】 【分析】根据是的中点，得到，再利用证明两个三角形全等． 【详解】略 【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键． 19. 已知：在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝70°，AD⊥BC，AE是∠BAC的角平分线． （1）求∠EAC的度数； （2）求∠EAD的度数． 【答案】（1）∠EAC=40°；（2）∠EAD=20°． 【解析】 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC，再利用角平分线的定义即可求出∠EAC； （2）根据直角三角形两锐角互余求出∠DAC，再结合（1）利用角的和差即可求出∠EAD． 【详解】解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝70°， ∴, ∵AE是∠BAC的角平分线 ∴； （2）∵AD⊥BC ∴， ∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=20°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，垂线的定义，角平分线有关计算，直角三角形两锐角互余．掌握这些基本定理，并能正确识图，应用定理，完成角度之间的转换是解决此题的关键． 20. 如图，已知，E、F在线段上，与交于点O，且．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，由，得，即可用证明，即可证明． 【详解】略 21. 用圆规、直尺作图，不写作法．但要保留作图痕迹．如图，两条公路和相交于点O，在的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路、的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置． 【答案】 解：如图，作的垂直平分线，的平分线，它们的交点即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了作图—作角平分线，作图—作垂直平分线，根据货站P到两条公路、的距离相等可得出点在的平分线上，再由到两工厂C、D的距离相等可得出点在的垂直平分线上，由此作图即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的；写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，使最小，并写出点的坐标． 【答案】（1） 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； 即为所求， （2） 由网格可知点的坐标是． 【解析】 【分析】本题考查作图—轴对称变换、轴对称—最短路线问题、点的坐标． 分别作出点、、关于轴的对称点，，，连接点，，得到即为所求，根据关于轴对称的点的坐标的关系写出点，，的坐标； 根据将军饮马原理，连接交轴于点，此时最小，根据点、关于轴对称，所以，借助网格写出点的坐标． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：连接交轴于点，此时最小， 点、关于轴对称， ， ， 23. 已知，如图，是等边三角形，D是的中点，，，垂足分别是E、F． （1）求证：． （2）若，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵点是边上的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，则， ∴． （2）24 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，含直角三角形的性质，理解相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由等边三角形的性质可知，，，结合题意可知，，进而可证明，得，再结合线段的和差关系即可证明结论； （2）由等边三角形的性质，结合题意可知，在根据含直角三角形的性质可知，进而可得，即可求得的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， 则的周长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴正半轴上，，． （1）如图1，当时，连接交轴于点，求点的坐标； （2）如图2，轴于且，连接交轴于一点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若不变，求出的长度；若变化，请说明理由； 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够添加辅助线构造全等三角形． （1）过点作轴交轴于，证明得到，从而得到点的坐标； （2）过点作轴交轴于，证明，得到，则； 【小问1详解】 解：如图 1，过点作轴于． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：在点运动过程中，长保持不变，的长为 3 ， 理由：如图2，过作轴于． 由（1）可知：， ， ∵是等腰直角三角形， ， ， 在与中， ， ， ， ． 25. 【尝试探究】 如图，已知等边三角形与等边三角形的顶点在同一直线上，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：平分； 【模型建立】 设，，，若， （3）探究，，之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵等边与等边的顶点三点在一条直线上， ， ， ， ， ， ∵等边，等边， ， 在与中， ， ， ． （2）证明：如图1，过点作交于点，过点作交于点， ∵（1）中已证， 又 ∵， ， ， 平分． （3） 理由如下： 如图，过点作交于点，过点作交于点，在上截取一点，使得，在上截取一点，使得，连接， ， ， ， 又 ∵等边， ， ， ， ， 即， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， ， 同理∵， ∴， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， （2）中已证， ， ， 即． 【解析】 【分析】（1）由题意结合等边三角形的性质，可得，，即，再证，即可证得； （2）过点作交于点，过点作交于点，由，根据全等三角形对应边上的高相等，可得，，再由角平分线的判定可得，平分； （3）过点作交于点，过点作交于点，在上截取一点，使得，在上截取一点，使得，连接，先证，推导得，同法可证，，最后根据三角形面积关系，得出，则可得到答案． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定，角平分线的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的判定及性质应用，三角形面积关系等，综合性强，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年（上）期中质量检测 八年级数学 （考试时间：120分钟满分：150分） ★友情提示：所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效； 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 2025年4月23日第30个世界读书日主题“阅读：通往未来的桥梁”．下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 安装空调时，一般会采用如图所示的方法固定，这样做的数学依据（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 4. 已知≌，且，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带下列选项中哪片碎玻璃（ ） A. ① B. ② C. ③ D. 三块任选一块都可以 7. 如图，在中，，的平分线交于点D，恰好是的垂直平分线，垂足为E，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，在中，，平分，则图中等腰三角形的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9. 如图，O是内一点，且O到三边的距离，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 12 B. 13 C. 10 D. 14 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为____________． 12. 如图，在中，D是的中点，，则_______． 13. 如图，在和中，，，再添加一个条件使成立，那么添加的条件是 _________________ ． 14. 如图，在中，，，交于点，，则_____． 15. 如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点，的位置上，与交于点G．若，则的度数为______． 16. 如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有_______个． 二、解答题（本题共9小题，共计86分） 17. 计算：等腰三角形的一边长是8，周长是18，它的另外两边长是多少？ 18. 如图，是的中点，．求证：． 19. 已知：在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝70°，AD⊥BC，AE是∠BAC的角平分线． （1）求∠EAC的度数； （2）求∠EAD的度数． 20. 如图，已知，E、F在线段上，与交于点O，且．求证：． 21. 用圆规、直尺作图，不写作法．但要保留作图痕迹．如图，两条公路和相交于点O，在的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路、的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的；写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，使最小，并写出点的坐标． 23. 已知，如图，是等边三角形，D是的中点，，，垂足分别是E、F． （1）求证：． （2）若，求的周长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴正半轴上，，． （1）如图1，当时，连接交轴于点，求点的坐标； （2）如图2，轴于且，连接交轴于一点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若不变，求出的长度；若变化，请说明理由； 25. 【尝试探究】 如图，已知等边三角形与等边三角形的顶点在同一直线上，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：平分； 【模型建立】 设，，，若， （3）探究，，之间满足的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $