专题02 反比例函数综合题(期末真题汇编）九年级数学上学期人教版
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内容正文：
专题02 反比例函数综合题
4大高频考点概览
考点01 反比例函数与几何综合
考点02 反比例函数与二次函数图像综合
考点03 反比例函数与一次函数图像综合
考点04 一次函数与反比例函数的实际应用
地 城
考点01
反比例函数与几何综合
一、选择题
1．（24-25九年级下·福建莆田·期末）如图，点A坐标为，点，点是正方形的中心，且点均在反比例函数图象的同一分支上，则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．6
【答案】D
【知识点】反比例函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确求得D、M的坐标是解题的关键．
由题意可得，；如图：过D作y轴，则 ，再结合正方形的性质可证明可得，进而得到，再根据中点坐标求得点M的坐标为，然后根据均在反比例函数图象的同一分支上得到求解即可．
【详解】解：∵点A坐标为，点，
∴，，
如图：过D作y轴，则 ，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是正方形的中心，
∴点M的坐标为，
∵点均在反比例函数图象的同一分支上，
∴，解得：．
故选D．
二、非选择题
2．（24-25九年级下·辽宁盘锦·期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积
【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．由题意得，，然后由即可求解．
【详解】解：由题意得：，，
∴四边形的面积为，
故答案为：．
3．（24-25九年级下·河北邢台·期末）如图，已知线段的坐标分别为，要使反比例函数图象与线段有公共点，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】反比例函数与几何综合
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征，分别求出点A、B在反比例函数图象上时k的值，然后数形结合即可得出答案．
【详解】解：当反比例函数经过时，，
当反比例函数经过时，，
如图，
由图象可知：当时，反比例函数图象与线段有公共点，
故答案为：．
4．（24-25九年级下·福建南平·期末）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，若平行四边形的面积为4，则实数的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质．延长交y轴于点D，根据平行四边形面积可求出，继而可得点A坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可．
【详解】解：如图，延长交y轴于点D，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
5．（24-25九年级下·辽宁大连·期末）如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为
【答案】
【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积
【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解．
【详解】解：延长交轴于点，
∵轴，
∴轴，
∵点A在函数的图象上，
∴，
∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上，
∴，
∴四边形的面积等于，
故答案为：．
6．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，反比例函数过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）如图2，过点作轴的平行线，作于，于，设，证明出，得到，然后得到求解即可．
【详解】（1）解：点在反比例函数上，
，
，
反比例函数为；
（2）如图2，过点作轴的平行线，作于，于，
设，
，
，，
把线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，恰好也落在这个反比例函数的图象上，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
恰好也落在这个反比例函数的图象上，
，
解得或（舍去）
∴．
【点睛】此题考查了反比例函数和几何综合，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，解一元二次方程等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形．
7．（24-25九年级下·广东珠海·期末）如图，已知点P是反比例函数（）图象上一动点，过点P分别作y轴、x轴的平行线交反比例函数（）图象上点A、点B，连接，．
(1)若点P的横坐标为1，则的面积为 ，的面积为 ；
(2)随着点P在反比例函数（）图象上运动时，的面积是否会发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，请计算出的面积．
【答案】(1)4，8
(2)不变，8
【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积
【分析】（1）延长交x轴于点C，过点B作轴于点D，依题意得点，四边形是矩形，四边形是梯形，点，点，则，，，，，，由此可得的面积，根据反比例函数比例系数k的几何意义得，，由此得；
（2）设点P的坐标为，则点点，点，同理可证明四边形是矩形，四边形是梯形，则，，，，，，由（1）可知．
此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键．
【详解】（1）解：延长交x轴于点C，过点B作轴于点D，如图所示：
∵点P的横坐标为1，且点P在反比例函数的图象上，
∴点，
∵平行y轴，平行y轴，
∴，轴，点A的横坐标为1，点B的纵坐标为2，
∴四边形是矩形，四边形是梯形，
又∵点A，B在反比例函数的图象上，
∴点，点，
∴，，，，
∴，，
∴，
根据反比例函数比例系数k的几何意义得：，
，
∴，
故答案为：4；8；
（2）解：的面积不发生变化，始终等于8，理由如下：
设点P的坐标为，
则点A的横坐标为a，点B的纵坐标为，
∵点A，B在反比例函数的图象上，
∴点，点，
同理可证明：四边形是矩形，四边形是梯形，
则，，，，
∴，
∴，
由（1）可知：．
地 城
考点02
反比例函数与二次函数图像综合
一、选择题
1．（24-25九年级下·山东潍坊·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、反比例函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案．
【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，
则反比例函数的图象在第二、四象限，
一次函数经过第一、三、四象限，
故选：A．
2．（24-25九年级下·浙江杭州·期末）函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查了二次函数的图象及反比例函数图象的综合判断，根据二次函数图象和性质得到的取值范围，再判断反比例函数的图象，即可得到答案．
【详解】解：A. 由的图象可知，，，则，得到，的图象应该分别在二、四象限，故选项错误，不符合题意；
B.由可知，图象必过原点，选项中的二次数图象不经过原点，故选项错误，不合题意；
C. 由的图象可知，，，则，得到，的图象分别在一、三象限，故选项正确，符合题意；
D. 由的图象可知，，，则，得到，则的图象应该分别在一、三象限，但选项中的反比例函数图象分别位于二、四象限，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
3．（24-25九年级下·安徽滁州·期末）如图，同一平面直角坐标系中，抛物线与双曲线的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查了二次函数的图象和双曲线的图象，先根据抛物线图象确定a与0的大小，再判断双曲线图象是否满足条件即可．
【详解】解：，
∴对称轴为，
A、由抛物线图象可知，对称轴，所以双曲线的图象应该在第一、三象限，故选项A符合题意；
B、由抛物线图象可知，所以双曲线的图象应该在第二、四象限，故选项B不符合题意；
C、由抛物线图象可知，对称轴，故选项C不符合题意；
D、由抛物线图象可知，所以双曲线的图象应该在第一、三象限，故选项D不符合题意；
故选：A．
4．（24-25九年级下·广东深圳·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断
【分析】先根据得知二次函数与轴的交点为，从而可以排除B、C选项，再根据的取值即可得出答案
【详解】解：二次函数的解析式为，
二次函数与轴的交点为，
故B、C选项错误，不符合题意；
当时，反比例函数的图象经过一、三象限，二次函数开口向上，故A选项错误，不符合题意；
当时，反比例函数的图象经过二、四象限，二次函数开口向下，故D选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与二次函数图象的综合判断，熟练掌握图象与系数的关系，采用数形结合的思想解题，是解题的关键．
5．（24-25九年级下·山东德州·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与各项系数符号、一次函数、二次函数图象综合判断、反比例函数、二次函数图象综合判断
【分析】根据二次函数的图象开口向上，得，与轴交于正半轴，得，根据二次函数的对称轴可得，从而得到一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，即可得到答案．
【详解】解：二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，
，，
又观察二次函数的图象，二次函数的对称轴为，
，
一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，只有选项D图象符合，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象、反比例函数的图象，根据二次函数的图象得到，，，是解题的关键．
6．（24-25九年级下·安徽六安·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、反比例函数、二次函数图象综合判断
【分析】根据二次函数图象推出，再根据一次函数，反比例函数图象与系数的关系即可得到答案．
【详解】解：由二次函数图象可知，二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，且与y轴交于负半轴，
∴，
∴，
∴一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，
∴四个选项中只有B选项符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数和反比例函数图象的综合判断，熟知三个函数图象与其对应的系数关系是解题的关键．
7．（24-25·山东菏泽·期末）根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断、一次函数与反比例函数图象综合判断
【分析】先根据二次函数的图象，确定a、b、c的符号，再根据a、b、c的符号判断反比例函数y与一次函数y＝bx+c的图象经过的象限即可．
【详解】解：由二次函数图象可知a＞0，c＜0，
由对称轴x0，可知b＜0，
所以反比例函数y的图象在一、三象限，
一次函数y＝bx+c经过二、三、四象限．
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质、一次函数的图象的性质、反比例函数图象的性质，关键在于通过二次函数图象推出a、b、c的取值范围．
8．（24-25·贵州黔东南·期末）若二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与各项系数符号、一次函数、二次函数图象综合判断、反比例函数、二次函数图象综合判断
【分析】根据二次函数的图像确定a，b，c的正负，即可确定一次函数所经过的象限和反比例函数所在的象限．
【详解】解：∵二次函数的图像开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴的交点在y轴负半轴，
∴a>0，，c<0，
∴b>0，-c>0，
∴一次函数的图像经过第一、二、三象限，反比例函数的图像在第一，三象限，选项C符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，一次函数图像与系数的关系，反比例函数图像与系数的关系，熟练并灵活运用这些知识是解题关键．
二、非选择题
地 城
考点03
反比例函数与一次函数图像综合
一、选择题
1．（24-25九年级下·陕西西安·期末）反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】判断一次函数的图象、判断（画）反比例函数图象、一次函数与反比例函数图象综合判断
【分析】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数的图象、反比例函数图象，解题关键是读懂图象信息．
根据一次函数解析式的特征判断出一次函数与轴交于，再根据两个函数中的值相同即可判断正确答案．
【详解】解：一次函数与轴交于，
而选项、选项中一次函数均与轴交于负半轴，
选项、选项错误；
又两个函数中的值相同，
时，一次函数经过一、二、三象限时，反比例函数经过一、三象限；
时，一次函数经过一、二、四象限时，反比例函数经过二、四象限，
选项错误，选项正确．
故选：．
2．（24-25九年级下·山西大同·期末）已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断
【分析】本题考查一次函数，反比例函数，熟练掌握一次函数和反比例函数图象和性质是解题的关键；
根据和分别讨论，即可求解；
【详解】解：当，的图象过一，二，三象限，过一，三象限；
当时，的图象过一，二，四象限，过二，四象限；
当时，和A选项图象一致；
故选：A
3．（24-25九年级下·贵州六盘水·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断
【分析】本题考查反比例函数和一次函数的图象，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．分当时和当时，分别探究即可．
【详解】解：当时，
函数过第二、四象限，函数过第一、二、三象限，
没有选项符合条件；
当时，
函数过第一、三象限，函数过第一、二、四象限，
选项D符合题意；
故选：D．
4．（24-25九年级下·山东东营·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、一次函数与反比例函数图象综合判断
【分析】本题考查了二次函数的图象性质、反比例函数与一次函数的图象综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据开口方向以及与轴的交点位置，得，根据对称轴，得，再结合以及运用数形结合思想，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：∵二次函数开口方向向上，与轴交于负半轴，
∴，
∵根据对称轴，
∴，
∴
∴经过第一、二、三象限
结合二次函数的图象，得当时，
即经过第二、四象限，
故选：C
5．（24-25九年级下·广东佛山·期末）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，先根据一次函数的性质判断出取值，再根据反比例函数的性质判断出的取值，二者一致的即为正确答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、由函数的增减性可知，但从函数图象与轴的交点来看，相矛盾，故选项不符合题意；
B、由函数的增减性可知，但从函数图象与轴的交点来看，相矛盾，故选项不符合题意；
C、由函数的图象可知，由函数的图象可知，故选项符合题意；
D、由函数的图象可知，由函数的图象可知，相矛盾，故选项不符合题意；
故选：C．
6．（24-25九年级下·广东清远·期末）如图，函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，根据一次函数及反比例函数的性质分开讨论：当时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，然后与选项作比较即可得出结果；当时，直线经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限，
【详解】解：当时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，
当时，直线经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限，
A、图中直线经过直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第二、四象限，故选项错误；
B、图中直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，故选项正确；
C、图中直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，故选项错误；
D、图中直线经过第二、四象限，双曲线经过第一、三象限，故选项错误．
故选B．
二、非选择题
地 城
考点04
一次函数与反比例函数的实际应用
一、选择题
1．（24-25九年级下·湖北武汉·期末）小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数的图象，发现它关于原点中心对称．下面是关于函数的描述，其中正确的是（ ）
A．函数图象的对称中心是
B．当时，随的增大而增大
C．当时，函数有最小值，且最小值为4
D．二次函数的图象与函数的图象有3个不同的公共点
【答案】C
【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用
【分析】本题考查函数的图象及性质，将函数变形为，因此该函数图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到，根据由函数的图象逐项判断即可．
【详解】解：∵函数可变形为，
∴函数的图象可看作由函数的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到，
∵函数的图象的对称中心为原点，
∴函数的图象的对称中心为，故A选项错误；
∵由图可知，函数在时，不存在连续的增减性，
∴函数的图象在时，不存在连续的增减性，故B选项错误；
∵由图象可知，函数图象在时，有最低点，即存在最小值，
∵，
即当时，由最小值，为2，
∴函数在时，有最小值，为，
∴函数在时，由最小值，为，故C选项正确；
∵由函数与函数，可得，
即，
解得，，
∴二次函数的图象与函数的图象有2个不同的公共点，故D选项错误．
故选：C
二、非选择题
2．（24-25九年级上·四川达州·期末）【问题情境】已知矩形的面积为1，求该矩形周长的最小值．
【函数模型】设该矩形的长为，周长为，则矩形的宽为，所以与的函数表达式为
【探索研究】
小芳同学借鉴以往研究函数的经验，对问题进行如下处理：设，则，这样将问题就转化为求函数的最小值，她首先探索函数的图象性质．下表是与的几组对应值．
1
2
3
2
（1）表格中___________，___________．
（2）请在平面直角坐标系中画出对应函数的图象，并写出函数图象的两条性质：性质1：___________；性质2：___________
【问题解决】
（3）根据上面的探究，得到【问题情景】中的答案：矩形周长的最小值为___________．
【答案】（1）；4；（2）图见解析；①当时，随的增大而减小；②函数有最小值，最小值为2；（3）4
【知识点】求自变量的值或函数值、用描点法画函数图象、一次函数与反比例函数的实际应用
【分析】本题考查了反比例函数的性质,反比例函数的图象，矩形的性质，二次函数的最值,读懂题目信息，理解函数的图象是解题的关键．
（1）根据表格数据即可求出m，n的值；
（2）根据表格数据，描点、连线，即可得出函数的图象，结合图象即可写出函数图象的两条性质；
（3）由（2）得，当时，y有最小值，y最小值，由此可以得到问题情景的结论．
【详解】解：对于，
当时，；
当时，，解得，，
∴；
故答案为：；4；
（2）根据（1）中表格数据描点、连线得，
由图象得：①当时，随的增大而减小；
②函数有最小值，最小值为2；
（3）由图象知：当时，y有最小值，y最小值，
所以，矩形周长的最小值为4．
3．（24-25九年级下·安徽淮南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点和点．
(1)填空：______，______；
(2)求一次函数的解析式和的面积；
(3)根据图象回答：当x为何值时，（请直接写出答案）______．
【答案】(1)
(2)4
(3)或
【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，明确函数图象上的点满足函数关系式是本题关键．
（1）将点坐标，点坐标代入解析式可求的值；
（2）用待定系数法可求一次函数解析式，根据可求的面积．
（ 3 ）由图象直接可得．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点，
，
，
故答案为：．
（2）解：一次函数解析式，且过，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为，
∵一次函数图象与轴交点为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵，即，
∴一次函数图象在反比例函数图象下方，
或，
故答案为：或．
4．（24-25九年级下·安徽亳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)连接，求的面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)16
【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的其他综合应用、坐标与图形综合
【分析】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与一次函数综合．熟练掌握反比例函数与一次函数综合是解题的关键．
（1）把点代入，解得，则点的坐标为，然后由反比例函数的图象过点，求反比例函数即可；
（2）把点代入直线，解得，即，根据不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象的上方（包含交点）所对应的的取值范围，结合图象作答即可；
（3）先求解一次函数与轴的交点坐标，再根据三角形面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：把点代入得，，
解得：，
点的坐标为：，
反比例函数的图象过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：把点代入直线得，，
解得，
∴，
由函数图象可知：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，
不等式的解集为或．
（3）解：连接，如图所示，
∵直线与轴相交于点，
当时，
∴
∴
∴．
5．（24-25九年级下·广东梅州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点．
(1)求对应的函数解析式；
(2)根据函数图象写出关于x的不等式的解集．
【答案】(1)一次函数解析式为；反比例函数解析式为；
(2)或．
【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）根据图象及两个函数的交点坐标，直接写出不等式的解集即可．
【详解】（1）解：∵直线与双曲线相交于两点．
∴，
∴，，
∴反比例函数解析式为，，
∵和在直线图象上，
，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：根据图象可知，不等式的解集为或．
6．（24-25九年级下·河北石家庄·期末）一次函数与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，反比例函数的图象过点，图象与直线在第三象限相交于点，连接．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)已知点的横坐标为，
①求的面积；
②请结合函数图象，直接写出不等式的解集；
【答案】(1)
(2)①8；② 或
【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，
（1）将代入一次函数可得的值为3，将代入反比例函数 可得的值，从而可得答案；
（2）①先求解，再结合三角形的面积公式计算即可；
②根据函数图象可得答案．
【详解】（1）解：将代入一次函数中，得 ，
，
，
将代入反比例函数得： ，
，
反比例函数解析式为 ；
（2）解：① 在中，当时， ，
，
∴，
；
②∵，
∴，
由图象可得：或．
7．（24-25九年级下·安徽六安·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出时的取值范围；
(3)过线段AB上的动点，作轴的垂线，垂足为点M，其交函数的图象于点，若，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用
【分析】本题是反比例函数的综合题，主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）把代入得到，求得，得到反比例函数的表达式为；
（2）求出点的坐标，根据函数的图形即可得到结论；
（3）设，得到，根据题意列方程求出，即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，
，
，
，
∴反比例函数的表达式为，
（2）解：联立，
解得：或，
，
观察图象得，时，的取值范围为或，
即时，的取值范围为或；
（3）解：设，
∵轴，
∴，
，
，
解得：，
．
8．（24-25九年下上·浙江杭州·期末）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象相交于，两点，分别连接和．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出时，的取值范围；
(3)求的面积．
【答案】(1)，
(2)或
(3)4
【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用
【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形的面积，熟练掌握待定系数法求函数的表达式，以及求一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积是解决问题的关键．
（1）将点，代入得，，进而可得反比例函数的表达式，点，将，代入即可得出一次函数的表达式；
（2）根据一次函数与反比例函数交于点，，结合函数的图象即可得出当时，的取值范围；
（3）设一次函数与轴交于点，与轴交于点，过点作轴于，过点作轴于，则点，点，由此可得，，，然后根据可得出答案．
【详解】（1）解：将点代入，解得
把代入，得到，解得，
反比例函数的表达式为，点，
将，代入，
得，解得，
一次函数的表达式为；
（2）解：一次函数与反比例函数交于点，，
根据一次函数和反比例函数的图象得：当时，的取值范围是：或；
（3）解：设一次函数与轴交于点，与轴交于点，过点作轴于，过点作轴于，如图所示：
对于，当时，，当时，，
的坐标为，点的坐标为，
，，
，
点，，
，，
，，
．
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专题02 反比例函数综合题
4大高频考点概览
考点01 反比例函数与几何综合
考点02 反比例函数与二次函数图像综合
考点03 反比例函数与一次函数图像综合
考点04 一次函数与反比例函数的实际应用
地 城
考点01
反比例函数与几何综合
一、选择题
1．（24-25九年级下·福建莆田·期末）如图，点A坐标为，点，点是正方形的中心，且点均在反比例函数图象的同一分支上，则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．6
二、非选择题
2．（24-25九年级下·辽宁盘锦·期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为 ．
3．（24-25九年级下·河北邢台·期末）如图，已知线段的坐标分别为，要使反比例函数图象与线段有公共点，则的取值范围是 ．
4．（24-25九年级下·福建南平·期末）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，若平行四边形的面积为4，则实数的值为 ．
5．（24-25九年级下·辽宁大连·期末）如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为
6．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，反比例函数过点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标．
7．（24-25九年级下·广东珠海·期末）如图，已知点P是反比例函数（）图象上一动点，过点P分别作y轴、x轴的平行线交反比例函数（）图象上点A、点B，连接，．
(1)若点P的横坐标为1，则的面积为 ，的面积为 ；
(2)随着点P在反比例函数（）图象上运动时，的面积是否会发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，请计算出的面积．
地 城
考点02
反比例函数与二次函数图像综合
一、选择题
1．（24-25九年级下·山东潍坊·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级下·浙江杭州·期末）函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25九年级下·安徽滁州·期末）如图，同一平面直角坐标系中，抛物线与双曲线的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25九年级下·广东深圳·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25九年级下·山东德州·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25九年级下·安徽六安·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25·山东菏泽·期末）根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25·贵州黔东南·期末）若二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像为（ ）
A． B． C． D．
二、非选择题
地 城
考点03
反比例函数与一次函数图像综合
一、选择题
1．（24-25九年级下·陕西西安·期末）反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25九年级下·山西大同·期末）已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级下·贵州六盘水·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25九年级下·山东东营·期末）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25九年级下·广东佛山·期末）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（）
A． B．
C． D．
6．（24-25九年级下·广东清远·期末）如图，函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、非选择题
地 城
考点04
一次函数与反比例函数的实际应用
一、选择题
1．（24-25九年级下·湖北武汉·期末）小明喜欢用计算机软件研究数学问题，下图是他绘制的“对勾”函数的图象，发现它关于原点中心对称．下面是关于函数的描述，其中正确的是（ ）
A．函数图象的对称中心是
B．当时，随的增大而增大
C．当时，函数有最小值，且最小值为4
D．二次函数的图象与函数的图象有3个不同的公共点
二、非选择题
2．（24-25九年级上·四川达州·期末）【问题情境】已知矩形的面积为1，求该矩形周长的最小值．
【函数模型】设该矩形的长为，周长为，则矩形的宽为，所以与的函数表达式为
【探索研究】
小芳同学借鉴以往研究函数的经验，对问题进行如下处理：设，则，这样将问题就转化为求函数的最小值，她首先探索函数的图象性质．下表是与的几组对应值．
1
2
3
2
（1）表格中___________，___________．
（2）请在平面直角坐标系中画出对应函数的图象，并写出函数图象的两条性质：性质1：___________；性质2：___________
【问题解决】
（3）根据上面的探究，得到【问题情景】中的答案：矩形周长的最小值为___________．
3．（24-25九年级下·安徽淮南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点和点．
(1)填空：______，______；
(2)求一次函数的解析式和的面积；
(3)根据图象回答：当x为何值时，（请直接写出答案）______．
4．（24-25九年级下·安徽亳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)连接，求的面积．
5．（24-25九年级下·广东梅州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点．
(1)求对应的函数解析式；
(2)根据函数图象写出关于x的不等式的解集．
6．（24-25九年级下·河北石家庄·期末）一次函数与轴交于点，与轴交于点．点在直线上，反比例函数的图象过点，图象与直线在第三象限相交于点，连接．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)已知点的横坐标为，
①求的面积；
②请结合函数图象，直接写出不等式的解集；
7．（24-25九年级下·安徽六安·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出时的取值范围；
(3)过线段AB上的动点，作轴的垂线，垂足为点M，其交函数的图象于点，若，求点的坐标．
8．（24-25九年下上·浙江杭州·期末）如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象相交于，两点，分别连接和．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出时，的取值范围；
(3)求的面积．
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