专题06 圆（期末真题汇编）九年级数学上学期人教版
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内容正文：
专题06 圆
7大高频考点概览
考点01 圆的基本概念解析
考点02 利用弧、弦、圆心角的关系求解
考点03 切线的性质定理
考点04 圆周角定理
考点05 弧长和扇形面积
考点06 垂径定理
考点07 圆与四边形
地 城
考点01
圆的基本概念解析
一、选择题
1．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在中，是直径，于，若，，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．4
2．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦 B．长度相等的弧是等弧
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．同圆中，所有的半径都相等
3．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，是的直径，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，，为上两点，，为上一动点（不与，重合），为的中点．若的半径为2，则的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
二、非选择题
5．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，是半圆O的直径，，，，则O到的距离 ．
6．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）我们常见的炒菜锅是抛物线面，锅盖是圆弧面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的圆弧记为．
(1)求的解析式和所在圆的半径；
(2)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
7．（24-25九年级上·浙江金华·期末）尺规作图问题：在中作一个度数为的圆心角．
以下是小华的作图过程，他分两步完成，如图所示：
第一步：以上一点为圆心，长为半径作弧，交于点，连结．
第二步：分别以，为圆心，大于线段长度的长为半径作圆弧交于圆内一点，连结并延长交于点．
请根据他的作图过程回答以下问题：
(1)求的度数．
(2)说明的度数为的理由．
8．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，是半圆的直径，是半圆上的一点．
(1)作的平分线交半圆于点．
(2)在（1）的作图下，连接，求证：．
地 城
考点02
利用弧、弦、圆心角的关系求解
一、选择题
1．（24-25九年级上·广西百色·期末）如图，在中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，是的直径，为上的点，且，连接．若弦，则直径的长为（ ）
A．3 B．6 C．6 D．6
3．（24-25九年级上·四川德阳·期末）如图，A、B是上的两点，，C是的中点，则四边形是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
二、非选择题
4．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在中，若，，则的度数为 ．
5．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，的弦、相交于点，，为，则 °．
6．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，已知的直径为，点是半圆上一个三等分点，则 ．
7．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知是的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点，若．
(1)求的度数；
(2)若，求的值；
(3)在（2）的基础上求的值．
8．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，是半圆的直径，点O为圆心，C是半圆上一点，连接．
(1)用无刻度的直尺和圆规作图：在半圆上确定一点P，使得(保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下,连接，，若，，求四边形的面积．
地 城
考点03
切线的性质定理
一、选择题
1．(24-25九年级上·江西南昌·期末)如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠C＝55°，则∠P等于（ ）
A．110° B．70° C．140° D．55°
2．(24-25九年级上·陕西安康·期末)如图，已知与相切于点A，是的直径，连接交于点D，E为上一点，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．(24-25九年级上·重庆市·期末)如图，以为直径的交于点，是的切线，点为中点，连接．若，，则的半径是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
二、非选择题
4．(24-25九年级上·广西南宁·期末)如图，在中，，，点为边上一点且，点为边上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，若的半径为，则四边形面积的最小值是 ．
5．(24-25九年级上·内蒙古赤峰市·期末)抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，分别与相切于点，，延长，交于点．若，的半径为，则图中的长为 ．（结果保留）
6．(24-25九年级上·江西南昌·期末)如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90o，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2cm，AD＝4cm．
(1)求⊙O的直径BE的长；
(2)计算△ABC的面积．
7．(24-25九年级上·北京市海淀区·期末)如图，，分别与相切于，两点，的延长线交弦于点，，连接．
(1)求证：；
(2)若，的半径为2，求的长．
地 城
考点04
圆周角定理
一、选择题
1．(24-25九年级上·广西南宁·期末)如图，在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25九年级上·陕西安康·期末)如图， △内接于⊙O,是⊙O的直径，∠.则∠的度数是 （ ）
A． B． C． D．
3．(24-25九年级上·重庆市·期末)如图，中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．(24-25九年级上·内蒙古赤峰市·期末)如图，已知是的直径，，，是圆上的点，且，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．(24-25九年级上·北京市海淀区·期末)如图，点A是上一点，点，为上与点A不重合的两点．若再从下列三个表述中选取一个作为题设，以作为结论，则所有能组成真命题的表述的序号是（ ）
①垂直平分；
②四边形是平行四边形；
③．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、非选择题
6．(24-25九年级上·北京市海淀区·期末)如图，为的直径，内接于．若，则 ．
7．(24-25九年级上·江西南昌·期末)如图，在中，请仅用无刻度直尺作出，使得．（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，已知是的一条弦：
(2)在图2中，已知点A在上，点B在外．
8．(24-25九年级上·北京市海淀区·期末)已知：如图，是的弦．
求作：上的点，使得．
作法：①连接并延长交于；
②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；
③作直线交于点，，连接，．
所以，点，就是所求作的点．
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：连接，．
，，
（______）（填推理的依据）．
．
，，，都在上，
，（______）（填推理的依据）．
．
地 城
考点05
弧长和扇形面积
一、选择题
1．(24-25九年级上·江西南昌·期末)如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝2∠B，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π B．2π C．3π D．6π
2．(24-25九年级上·广西南宁·期末)的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．5
3．(24-25九年级上·北京市海淀区·期末)如图，以点为圆心的两个同心圆中，点，在大圆上，点，在小圆上，和的长度分别是，．若扇形与扇形的面积相等，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
二、非选择题
4．(24-25九年级上·江西南昌·期末)若一个扇形的圆心角为，面积为，则这个扇形的弧长为 （结果保留）
5．(24-25九年级上·陕西安康·期末)如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，，则阴影部分的面积为 ．
6．(24-25九年级上·重庆市·期末)如图，扇形中，，连接，以A为旋转中心，将旋转得到，若，则阴影部分的面积为 ．（结果保留）
地 城
考点06
垂径定理
一、选择题
1．（24-25九年级上·北京朝阳·期末）如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，在中，圆心O到的距离为，的半径为，则弦的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图1是圆形干果盘，其示意图如图2所示，四条隔板，，，
长度相等，横纵隔板互相垂直交于隔板的三等分点，测得，则该干果盘的半径为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、非选择题
5．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图所示，是一个直径为的圆柱形输油管的横截面，若此时油面宽，则油面的深度为 ．
6．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段圆弧所在圆的圆心．已知米，C是上的一点，，垂足为D，米．则这段弯路的半径是 米．
7．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，已知为的直径，为的弦，且．若，，则的长是 ．
8．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，是⊙的直径，⊙的弦在直线的上方，且，以为直径向下作半圆（圆心为）交于、两点，若，则 ．
地 城
考点07
圆与四边形
一、选择题
1．（24-25九年级上·重庆江北·期末）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，为内接四边形，为直径，C为中点，若，则（ ）
A．128° B．116° C．154° D．126°
3．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，点，，，在上，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，四边形内接于．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，是的直径，点C，D，E在圆上，，则（ ）
A． B． C． D．
二、非选择题
6．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，四边形内接于，为延长线上一点，如果，那么 ．
7．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”．
(1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ；
(2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”；
(3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长．
8．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，四边形内接于是的直径，，求的度数．
试卷第1页，共3页
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专题06 圆
7大高频考点概览
考点01 圆的基本概念解析
考点02 利用弧、弦、圆心角的关系求解
考点03 切线的性质定理
考点04 圆周角定理
考点05 弧长和扇形面积
考点06 垂径定理
考点07 圆与四边形
地 城
考点01
圆的基本概念解析
一、选择题
1．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在中，是直径，于，若，，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质、圆的基本概念辨析
【分析】本题考查了圆的基本性质，线段垂直平分线的性质；
连接，求出半径，可得，，则垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质可得答案．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
∴,
∴，，
∴,
又∵，
∴，
故选：C．
2．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是最长的弦 B．长度相等的弧是等弧
C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．同圆中，所有的半径都相等
【答案】B
【知识点】圆的基本概念辨析、中心对称图形的识别
【分析】此题主要考查了圆的认识，中心对称图形和轴对称图形的定义．根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案．
【详解】解：A、直径是最长的弦，原说法正确，本选项不符合题意；
B、同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，原说法错误，本选项符合题意；
C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，原说法正确，本选项不符合题意；
D、同圆中，所有的半径都相等，原说法正确，本选项不符合题意；
故选：B．
3．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，是的直径，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理的应用、圆的基本概念辨析
【分析】本题考查了三角形内角和定理，垂线定义，由，得出，根据，再由三角形内角和定理计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
4．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，，为上两点，，为上一动点（不与，重合），为的中点．若的半径为2，则的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【知识点】三角形三边关系的应用、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、圆的基本概念辨析
【分析】本题考查了中位线的性质，三角形边长关系，勾股定理，连接，取的中点，连接，根据中位线的性质可得，再利用勾股定理求得，根据三角形边长关系可得，即可解答，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，
为的中点，的中点，
，,
,
,
根据三角形边长关系可得，
的最大值为，
故选：A．
二、非选择题
5．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，是半圆O的直径，，，，则O到的距离 ．
【答案】
【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、圆的基本概念辨析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，圆的定义，勾股定理．由等腰三角形的性质及三角形内角和定理得，再根据，得到，进而求出，根据题意得到，即，可求 ，得到，再由勾股定理得，即可求解．
【详解】解：，，
，
∵，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：．
6．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）我们常见的炒菜锅是抛物线面，锅盖是圆弧面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的圆弧记为．
(1)求的解析式和所在圆的半径；
(2)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．
【答案】(1)；5
(2)将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能正常盖上，理由见解析．
【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、已知两点坐标求两点距离、圆的基本概念辨析
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，勾股定理，圆的基本性质，熟知相关知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法可求出对应的函数解析式；设所在圆的圆心为T，连接，则，证明垂直平分，则点T在直线上，由勾股定理得，解方程即可得到答案；
（2）在中，当时，；设直线与交于，则，解得或（舍去），再证明，据此可得结论．
【详解】（1）解：设解析式为，
把代入中得，，
∴，
∴解析式为；
设所在圆的圆心为T，连接，则，
∵，
∴
∵，
∴垂直平分，
∴点T在直线上，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴所在圆的半径为5；
（2）解；将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能正常盖上，理由如下：
在中，当时，；
设直线与交于，
由（1）可得，的半径为5，
∴，
∴或（舍去）
∴，
∵，
∴，即
∴将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能正常盖上．
7．（24-25九年级上·浙江金华·期末）尺规作图问题：在中作一个度数为的圆心角．
以下是小华的作图过程，他分两步完成，如图所示：
第一步：以上一点为圆心，长为半径作弧，交于点，连结．
第二步：分别以，为圆心，大于线段长度的长为半径作圆弧交于圆内一点，连结并延长交于点．
请根据他的作图过程回答以下问题：
(1)求的度数．
(2)说明的度数为的理由．
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、等边三角形的判定和性质、圆的基本概念辨析
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，尺规作图，等边三角形的判定与性质，圆的基本性质，理解等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，尺规作图是解决问题的关键．
（1）连接，由第一步作图可知：，则是等边三角形，根据等边三角形的性质可得出的度数；
（2）连接，，由第二步作图可知：，由此可依据判定和全等，则，再根据得，由此可得的度数．
【详解】（1）解：连接，如图1所示：
由第一步作图可知：，
，
，
是等边三角形，
；
（2）解：连接，，如图2所示：
由第二步作图可知：，
在和中，
，，，
，
，
，
，
，
即．
8．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，是半圆的直径，是半圆上的一点．
(1)作的平分线交半圆于点．
(2)在（1）的作图下，连接，求证：．
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析
【知识点】角平分线的有关计算、作角平分线(尺规作图)、根据等边对等角证明、圆的基本概念辨析
【分析】此题考查了角平分线的作图、等腰三角形的判定和性质、圆的基本性质等知识，
（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）由角平分线定义得到．由得到，则，即可证明．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）如图．
平分，
．
，
，
，
．
地 城
考点02
利用弧、弦、圆心角的关系求解
一、选择题
1．（24-25九年级上·广西百色·期末）如图，在中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解
【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，熟记“同圆中等弧所对圆心角相等”是解决问题的关键．
根据“同圆中等弧所对圆心角相等”得．
【详解】解：，，
．
故选：A．
2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，是的直径，为上的点，且，连接．若弦，则直径的长为（ ）
A．3 B．6 C．6 D．6
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定和性质、利用弧、弦、圆心角的关系求解
【分析】本题考查圆周角定理的推论，等边三角形的判定及性质．
连接，，，，由，得到，从而是等边三角形，进而即可解答．
【详解】解：连接，，，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴直径．
故选：B
3．（24-25九年级上·四川德阳·期末）如图，A、B是上的两点，，C是的中点，则四边形是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定和性质、证明四边形是菱形、利用弧、弦、圆心角的关系求解
【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质，菱形的判定和圆周角定理，连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到，则有，证明和都是等边三角形，由四边相等的四边形是菱形即可求解，解题的关键是熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等及等边三角形的判定与性质，菱形的判定方法．
【详解】解：如图，连接，
∵是弧的中点，
∴；
又∵，
∴，
∵，
∴和都是等边三角形，
∴，
∴四边形是是菱形，
故选：C．
二、非选择题
4．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在中，若，，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解
【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是掌握在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角也相等．根据圆心角、弧、弦的关系定理直接推出．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
5．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，的弦、相交于点，，为，则 °．
【答案】
【知识点】三角形的外角的定义及性质、利用弧、弦、圆心角的关系求解
【分析】本题考查了圆心角圆周角之间的关系，以及三角形的外角性质，熟练掌握基本性质是解题关键；
先通过得到，再通过为得到，进而再通过三角形的外角性质可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵为，
∴，
∵根据三角形的外角性质可知，
∴，
故答案为：100．
6．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，已知的直径为，点是半圆上一个三等分点，则 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定和性质、利用弧、弦、圆心角的关系求解
【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定和性质，连接，可得，即得为等边三角形，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵点是半圆上一个三等分点，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵直径为，
∴，
故答案为：．
7．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知是的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点，若．
(1)求的度数；
(2)若，求的值；
(3)在（2）的基础上求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解
【分析】（1）连接，由垂径定理得到，再利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理得到，进而得到即可求解；
（2）由（1）易得，利用含角直角三角形的性质得到的长度，进而求解；
（3）由（2）可得到的长度，，利用含角直角三角形的性质得到，再结合，利用勾股定理求出，的长度，进而求出的值．
【详解】（1）解：如图，连接，
，
，．
又，
，
即，
，
，
．
（2）解：，
．
，
．
又，
，
，
．
（3）解：由（2）得 ，,
.
，，
，
．
，
，
，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理，含角直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
8．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，是半圆的直径，点O为圆心，C是半圆上一点，连接．
(1)用无刻度的直尺和圆规作图：在半圆上确定一点P，使得(保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下,连接，，若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解
【分析】本题考查作图—复杂作图， 垂径定理，勾股定理，圆周角定理；
（1）过点作交于点，点即为所求；
（2）利用勾股定理求出，再求出，利用三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：∵是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形的面积．
地 城
考点03
切线的性质定理
一、选择题
1．(24-25九年级上·江西南昌·期末)如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠C＝55°，则∠P等于（ ）
A．110° B．70° C．140° D．55°
【答案】B
【分析】连接，根据切线的性质定理，结合四边形的内角和定理，即可推出∠的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠的度数．
【详解】连接OB、OA，如图，
∵PA、PB分别与圆O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P，
∵∠C＝55°，
∴∠AOB＝2∠C＝110°，
∴∠P＝180°﹣110°＝70°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，关键在于熟练灵活运用切线的性质，通过作辅助线构建四边形．
2．(24-25九年级上·陕西安康·期末)如图，已知与相切于点A，是的直径，连接交于点D，E为上一点，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键：
连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，即可求出的度数，再根据同弧所对的圆周角相等得出，再根据切线的性质得出，即可求出的度数．
【详解】解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵与相切于点A，是的直径，
∴，
∴，
故选：B．
3．(24-25九年级上·重庆市·期末)如图，以为直径的交于点，是的切线，点为中点，连接．若，，则的半径是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形性质，勾股定理，切线的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．连接，利用圆周角定理，推出，结合直角三角形性质，得到，利用切线的性质和勾股定理求出，进而即可得到的半径．
【详解】解：连接，
是的直径，
，
，
点为中点，，
，
是的切线，
，
，
，
，
则的半径是2，
故选：C．
二、非选择题
4．(24-25九年级上·广西南宁·期末)如图，在中，，，点为边上一点且，点为边上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，若的半径为，则四边形面积的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据切线的性质可得，，则有，当的值最小时，四边形面积有最小值，由勾股定理可得，则有最小时，的值最小，根据时，的值最小，由含角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，，
∴，
∴，
∵的半径为，
∴，
∵，
∴，
∴当的值最小时，四边形面积有最小值，
在中，，
∴，
∴最小时，的值最小，
∴当时，的值最小，
∵，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识的综合，掌握切线的性质得到，当的值最小时，四边形面积有最小值，最小时，的值最小是解题的关键．
5．(24-25九年级上·内蒙古赤峰市·期末)抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，分别与相切于点，，延长，交于点．若，的半径为，则图中的长为 ．（结果保留）
【答案】
【知识点】切线的性质定理、求弧长
【分析】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键．
连接，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案．
【详解】连接，
∵分别与相切于点C，D，
∴，
∵，，
∴，
∴（），
故答案为：．
6．(24-25九年级上·江西南昌·期末)如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90o，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2cm，AD＝4cm．
(1)求⊙O的直径BE的长；
(2)计算△ABC的面积．
【答案】（1）BE＝6；(2) S△ABC＝24.
【分析】（1）连接OD，由切线的性质得OD⊥AC，，在Rt△ODA中运用勾股定理可以求出半径OD，即可求得直径BE的长；
（2）由切线长定理知，CD=BC，在Rt△ABC中运用勾股定理可以求出BC，则可由直角三角形的面积公式求得△ABC的面积．
【详解】（1）连接OD，
∴OD⊥AC
∴△ODA是直角三角形
设半径为r
∴AO＝r＋2
∴
解之得：r＝3
∴BE＝6
(2)∵∠ABC＝900
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切线
∵CD切⊙O于D
∴CB＝CD
令CB＝x
∴AC＝x＋4， CB＝x，AB＝8
∵
∴x＝6.
∴S△ABC＝24（cm2）.
故答案为（1）BE＝6；(2) S△ABC＝24
【点睛】本题考查勾股定理，切线的定义，切线长定理.
7．(24-25九年级上·北京市海淀区·期末)如图，，分别与相切于，两点，的延长线交弦于点，，连接．
(1)求证：；
(2)若，的半径为2，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】切线的性质定理、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值
【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，矩形的判定和性质．
（1）连接，由切线的性质得，再由四边形内角和得，由平角的性质得，进而得，再由垂径定理得，继而可得结论；
（2）过点C作于点M，先由已知得四边形是矩形，进而得，，，结合（1）易得是等腰直角三角形，进而可得，，再由即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，分别与相切于，两点，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，平分，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点C作于点M，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵的半径为2，即，
∴，
∴，，
∴．
地 城
考点04
圆周角定理
一、选择题
1．(24-25九年级上·广西南宁·期末)如图，在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了圆周角定理.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，据此进行解答即可.
【详解】解：∵，
∴
故选：C
2．(24-25九年级上·陕西安康·期末)如图， △内接于⊙O,是⊙O的直径，∠.则∠的度数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先连接BD，由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠CBD的度数，继而求得∠D的度数，然后由圆周角定理，求得∠A的度数．
【详解】连接BD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∵∠BCD＝54°，
∴∠D＝90°−∠BCD＝36°，
∴∠A＝∠D＝36°．
故选A．
【点睛】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
3．(24-25九年级上·重庆市·期末)如图，中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理“在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”，熟练掌握圆周角定理是解题关键．根据在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解即可得．
【详解】解：∵在中，，
∴，
故选：C．
4．(24-25九年级上·内蒙古赤峰市·期末)如图，已知是的直径，，，是圆上的点，且，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】含30度角的直角三角形、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角
【分析】本题考查了圆周角定理，角所对直角边是斜边的一半，由圆周角定理可得，，然后根据角所对直角边是斜边的一半即可求解，掌握圆周角定理及角所对直角边是斜边的一半的应用是解题的关键．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
故选：A．
5．(24-25九年级上·北京市海淀区·期末)如图，点A是上一点，点，为上与点A不重合的两点．若再从下列三个表述中选取一个作为题设，以作为结论，则所有能组成真命题的表述的序号是（ ）
①垂直平分；
②四边形是平行四边形；
③．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】圆周角定理、判断命题真假、已知圆内接四边形求角度、根据菱形的性质与判定求角度
【分析】①根据线段垂直平分线的性质可证和都为等边三角形，得出，即，即说明原命题为真命题；②根据题意易证平行四边形是菱形，即可证和都为等边三角形，得出，即，即说明原命题为真命题；③分类讨论：当点A在优弧上时，由圆周角定理可直接得出；当点A在劣弧上时，在优弧取点D，连接，，由圆周角定理得出，再根据圆内接四边形的性质得出，即说明原命题为假命题．
【详解】解：①题设：垂直平分；结论：．
如图，连接，，
∵垂直平分，，
∴，
∴和都为等边三角形，
∴，
∴，即此时为真命题；
②题设：四边形是平行四边形；结论：．
如图，
∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，
∴．
∵，
∴和都为等边三角形，
∴，
∴，即此时为真命题；
③题设：；结论：．
分类讨论：当点A在优弧上时，如图，
∴；
当点A在劣弧上时，如图，在优弧取点D，连接，，
∴，
∴．
综上可知当时，或，故原命题为假命题．
故选：A．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，判断真假命题等知识．熟练掌握上述知识是解题关键．
二、非选择题
6．(24-25九年级上·北京市海淀区·期末)如图，为的直径，内接于．若，则 ．
【答案】50
【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理的应用、半圆（直径）所对的圆周角是直角
【分析】此题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点．
连接，首先根据同弧所对的圆周角相等得到，然后由直径得到，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】如图所示，连接
∵
∴
∵为的直径
∴
∴．
故答案为：50．
7．(24-25九年级上·江西南昌·期末)如图，在中，请仅用无刻度直尺作出，使得．（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，已知是的一条弦：
(2)在图2中，已知点A在上，点B在外．
【答案】(1)图形见解析；
(2)图形见解析．
【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角定理，全等三角形的判定与性质，灵活运用圆中相关定理是解答本题的关键．
（1）作直径，，连结，由圆周角定理得，，则，由相等的圆心角所对的弦相等，即得；
（2）设与相交于点C，作直径，，连结，并延长，两线相交于点，由（1）可知，因为，所以，因为，所以，因为，所以，又因为，所以，故．
【详解】（1）
（2）
8．(24-25九年级上·北京市海淀区·期末)已知：如图，是的弦．
求作：上的点，使得．
作法：①连接并延长交于；
②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；
③作直线交于点，，连接，．
所以，点，就是所求作的点．
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：连接，．
，，
（______）（填推理的依据）．
．
，，，都在上，
，（______）（填推理的依据）．
．
【答案】(1)见解析
(2)三线合一，圆周角定理
【知识点】作垂线(尺规作图)、圆周角定理、根据三线合一证明
【分析】此题考查了尺规作图，等腰三角形三线合一性质，圆周角定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据题干中的作图方法作图即可；
（2）首先由三线合一得到，然后利用圆周角定理求解即可．
【详解】（1）如图所示，点，即为所求．
（2）证明：连接，．
，，
（三线合一）（填推理的依据）．
．
，，，都在上，
，（圆周角定理）（填推理的依据）．
．
地 城
考点05
弧长和扇形面积
一、选择题
1．(24-25九年级上·江西南昌·期末)如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝2∠B，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π B．2π C．3π D．6π
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质可以求得∠C的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积．
【详解】解：∵在▱ABCD中，∠A＝2∠B，∠A+∠B＝180°，
∴∠A＝120°，
∵∠C＝∠A＝120°，⊙C的半径为3，
∴图中阴影部分的面积是：＝3π，
故选C．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用扇形面积的计算公式解答．
2．(24-25九年级上·广西南宁·期末)的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径是（ ）
A．12 B．9 C．6 D．5
【答案】C
【分析】此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式（为圆心角，为半径），根据弧长公式即可求解．
【详解】解：设此弧所在圆的半径为，
则，
解得：，
故选：C．
3．(24-25九年级上·北京市海淀区·期末)如图，以点为圆心的两个同心圆中，点，在大圆上，点，在小圆上，和的长度分别是，．若扇形与扇形的面积相等，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【知识点】求扇形面积
【分析】此题考查了扇形面积公式，即等于弧长与半径乘积的一半．设大圆半径为，小圆半径为，得到，则，即可得答案．
【详解】解：设大圆半径为，小圆半径为，
则扇形的面积，扇形的面积，
∵扇形与扇形的面积相等，
∴，
∵
∴，
即，
故选：B
二、非选择题
4．(24-25九年级上·江西南昌·期末)若一个扇形的圆心角为，面积为，则这个扇形的弧长为 （结果保留）
【答案】
【分析】先利用扇形的面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式即可得．
【详解】设扇形的半径为
则
解得或（不符题意，舍去）
则这个扇形的弧长为
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式、弧长公式，熟记公式是解题关键．
5．(24-25九年级上·陕西安康·期末)如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算，连接，，证明，可得，求解，再利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：连接，，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，即点是的中点，，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
6．(24-25九年级上·重庆市·期末)如图，扇形中，，连接，以A为旋转中心，将旋转得到，若，则阴影部分的面积为 ．（结果保留）
【答案】/
【分析】连接交于E，先证明是等边三角形，，从而得到，，继而求得，，即可由，求解．
【详解】解：连接交于E，
，，
，
由旋转可知，
，
，
是等边三角形，
，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的面积，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾股定理等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
地 城
考点06
垂径定理
一、选择题
1．（24-25九年级上·北京朝阳·期末）如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值
【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，利用点到直线的距离的定义得到，则根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长，也考查了勾股定理．
【详解】解：∵圆心O到弦的距离，
，
，
在中，，，
∴，
．
故选：C．
2．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，在中，圆心O到的距离为，的半径为，则弦的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
由圆心O到的距离为，即，则，再利用勾股定理求出的长，进而求得弦的长．
【详解】解：由题意可得：∵，，
∴，
在中，，
根据勾股定理得：，
∴．
故选：D．
3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图1是圆形干果盘，其示意图如图2所示，四条隔板，，，
长度相等，横纵隔板互相垂直交于隔板的三等分点，测得，则该干果盘的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值
【分析】本题主要运用垂径定理和勾股定理求解．过点O作于点K，连接，
由垂径定理求出，根据题意再求出，最后利用勾股定理即可计算圆的半径．
【详解】解：如图，过点O作于点K，连接，
则，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
则该干果盘的半径为．
故选∶A．
4．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理．连接，根据垂径定理可得，再根据勾股定理求出，则，最后根据，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
是的直径，弦于点，
，
在中，，
，
，
．
故选：D．
二、非选择题
5．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图所示，是一个直径为的圆柱形输油管的横截面，若此时油面宽，则油面的深度为 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是运用垂径定理，勾股定理解决实际问题；过O作于D，交于E，连接，根据垂径定理得，再根据勾股定理得，再求即可得解．
【详解】解：设圆心为O，过O作于D，交于E，连接，
，
， ，
直径为，
，
在中，，
，
油面的深度为，
故答案为：．
6．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段圆弧所在圆的圆心．已知米，C是上的一点，，垂足为D，米．则这段弯路的半径是 米．
【答案】145
【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，由垂径定理可得米，设这段弯路的半径是x米，则米，米，由勾股定理可得，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵C是上的一点，，垂足为D，
∴米，
设这段弯路的半径是x米，则米，
∴米，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴这段弯路的半径是145米，
故答案为：145．
7．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，已知为的直径，为的弦，且．若，，则的长是 ．
【答案】2
【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值
【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理求出的长是解此题的关键．根据垂径定理即可求得的长，然后利用勾股定理即可求得的长，即可得出答案．
【详解】解：，
，
在中，，
，
故答案为：2．
8．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，是⊙的直径，⊙的弦在直线的上方，且，以为直径向下作半圆（圆心为）交于、两点，若，则 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值
【分析】本题考查了垂径定理及其推论，勾股定理等知识，应用好垂径定理及其推论是解题的关键．设，则得，，；连接、、，过点作于；由垂径定理得，从而；由是的中点，则得，在中，由勾股定理求得，在中由勾股定理得，在中，由勾股定理得：，由此建立方程求得的值，即可求得结论．
【详解】解：，
设，则，
，，
如图，连接、、，过点作于；
，；
为的一条弦，且，
，
；
由题意知，是的中点，且为的直径，
，
由垂径定理推论知：；
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
地 城
考点07
圆与四边形
一、选择题
1．（24-25九年级上·重庆江北·期末）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】已知圆内接四边形求角度
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键，根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
2．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，为内接四边形，为直径，C为中点，若，则（ ）
A．128° B．116° C．154° D．126°
【答案】B
【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、已知圆内接四边形求角度
【分析】因为点C是弧的中点，所以可知，又根据为直径，得到．由此求出，再利用圆内接四边形的性质求出的度数．
【详解】解：C为中点，若，
∴，
∵为直径，
∴．
∴，
∵为内接四边形，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题主要考查圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题关键．
3．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，点，，，在上，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度
【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，根据圆内接四边形的性质，求出的度数，圆周角定理，求出的度数即可．
【详解】解：∵点，，，在上，，
∴，
∴；
故选B．
4．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，四边形内接于．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】已知圆内接四边形求角度
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的对角互补计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
5．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，是的直径，点C，D，E在圆上，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度
【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90度，圆内接四边形的性质．连接，得出，，再利用圆内接四边形对角互补求解可得出答案．
【详解】解：连接，
∵同弧所对的圆周角相等，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
二、非选择题
6．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，四边形内接于，为延长线上一点，如果，那么 ．
【答案】/度
【知识点】已知圆内接四边形求角度
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．
根据题意，得，通过圆内接四边形的性质，可得，即可求解．
【详解】解：，
，
四边形内接于，
．
故答案为：．
7．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”．
(1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ；
(2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”；
(3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长．
【答案】(1)90，120
(2)见解析
(3)或
【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度
【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解；
（2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证；
（3）连接，分四种情况：当时，则；当时；当时；当时；分别结合“等对角四边形”的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵“等对角四边形”内接于，，
∴，，，
∴，
故答案为：90，120；
（2）证明：∵“等对角四边形”内接于，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是“等对角四边形”；
（3）解：如图1，连接，当时，则，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是“等对角四边形”，是直径，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图2，当时，此时，，
∴，
∴，
∴四边形是“等对角四边形”，
作，交于E，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，则，，，
∴四边形不是“等对角四边形”，
当时，则，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形不是“等对角四边形”，
综上所述：或．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理、“等对角四边形”的定义， 掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
8．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，四边形内接于是的直径，，求的度数．
【答案】
【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、已知圆内接四边形求角度
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
由圆周角定理得出，再根据圆内接四边形的性质求出，即可求解．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
又∵，
∴，
在中，
．
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