专题07 圆的有关性质、点和圆、直线与圆的位置关系（期末真题汇编52题，天津专用）九年级数学上学期人教版

专题07 圆的有关性质、点和圆、直线与圆的位置关系 5大高频考点概览 考点01圆的有关性质 考点02 点和圆的位置关系 考点03 证明某直线是圆的切线 考点04 切线的性质定理 考点05 应用切线长定理求解 地 城 考点01 圆的有关性质 一、单选题 1．(24-25九上·天津静海区·期末)如图，四边形ABCD内接于⊙O，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．先根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ， 故选：C． 2．(24-25九上·天津滨海新区·期末)如图，是的直径，是的弦，连接，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了圆周角定理．根据直径所对的圆周角为直角得到，根据同弧所对的圆周角相等得到，利用直角三角形两锐角互余即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故选：B 3．(24-25九上·天津汇文中学·期末)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑，内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，在这个不变图形中，应该能求出正方形边长和圆的直径，如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了垂径定理的应用、正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程．直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 4．(24-25九上·天津西青区·期末)如图，为的直径，点C，D是圆上两点，且分别在两侧，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆周角定理，由平角的定义可得出，再根据圆周角定理得出，故可得结论． 【详解】解：∵ ∴， ∵所对的圆心角是，所对的圆周角是, ∴， 故选：A． 5．(24-25九上·天津西青区·期末)如图，是的直径，点是上一点，点是的中点，连接，，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角形的内角和等知识，连接，得，由圆内接四边形的性质得，由点是的中点得，进而得，再由三角形的内角和定理得，再由即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6．(24-25九上·天津河北区·期末)如图，为半圆的直径，点为上一点，连接，且，按以下步骤操作：①以点为圆心，以适当的长为半径画弧交于点，交于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线交于点，交于点，若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由为半圆的直径得，即得，进而由角平分线可得，得到，即得，最后由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， 又由作图可知，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了角平分线的画法和性质，圆周角定理，弧弦圆心角的关系，直角三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 7．(24-25九上·天津河西区·期末)如图，，是的两条弦，如果，于，于，则下面结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查垂径定理、全等三角形的性质与判定、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理、全等三角形的性质与判定、弧、弦的关系是解题的关键；根据弦、弧的关系及垂径定理判断求解即可． 【详解】解：∵，于，于， ∴， 故A正确，不符合题意； 连接，如图所示， ∵， ∴， ∴，故B选项正确； ∵， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； 只有时，， 故D不正确，符合题意； 故选：D． 8．(24-25九上·天津河东区·期末)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，作直线分别与弧交于点，与线段交于点，若测出，则圆形工件的半径为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，设圆的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意可得直线垂直平分， ∴圆心在所在直线上，连接，设圆的半径为， 则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 故选：C． 9．(24-25九上·天津南开区·期末)如图，中，弦相交于点，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角，同弧所对的圆周角相等，根据三角形的外角的性质，求出的度数，同弧所对的圆周角相等，得到，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选B． 10．(23-24九上·天津宁河区·期末)如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据垂径定理推出，再利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：，是直径，， ， 在中，（）， （）， 故选：． 二、解答题 1．(24-25九上·天津部分区·期末)如图，内接于，是的直径，，垂足为D． (1)求证：； (2)已知的半径为5，，求长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由垂径定理，得到，进而得到，三线合一，得到，等边对等角，得到，即可得出； （2）先求出的长，勾股定理求出的长，垂径定理得到即可． 【详解】（1）证明：∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵的半径为5，， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径，， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，中垂线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理，是解题的关键． 2．(24-25九上·天津第二十一中学·期末)平面直角坐标系中，正方形的点A在y轴上，点C在x轴上，点，另有一动点E，连接． (1)如图，当点E在边上时，将绕点A顺时针旋转，得到，连接交y轴于点D． ①若点E的坐标为，求线段的长； ②设点，，试用含m的式子表示S； (2)当点E满足，（点E不与点O重合），连接．现在以O为中心，将顺时针旋转，得到，求当取得最大值时点E的坐标． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由旋转的性质及正方形的性质可知，，，由，，可得，．然后在中，利用勾股定理即可求得；②由，，可得，，根据三角形的面积公式求出，，那么； （2）根据知点E在以A为圆心，长为半径的圆上运动，而是由顺时针旋转得到的，将绕点O顺时针旋转得到，则点P在以为圆心，为半径的圆上运动，此时最大，运用勾股定理求出，以及，可得结论． 【详解】（1）①由题设，知，； ∵，， ∴，， 在中，． ②∵，， ∴，． ∴，． ∴． （2）∵ ∴点E在以A为圆心，长为半径的圆上运动，而是由顺时针旋转得到的， ∴将绕点O顺时针旋转得到，则点P在以为圆心，为半径的圆上运动，此时最大， 连接并延长，与的交点为点P，如图， 将逆时针旋转得到，连接， 过作于点D，过点E作轴于点F， 由旋转得，是等边三角形， ∴，， ∴， 又为，中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，其中涉及到旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形的面积，二次函数最值的求法以及圆的有关计算等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合是解题的关键． 3．(23-24九上·天津宁河区·期末)已知内接于，，，D是上的点．    (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，，垂足为E，求的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查圆的内接四边形，圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键． （1）由四边形是的内接四边形的性质求出答案即可； （2）根据等弧所对的圆周角相等求出答案． 【详解】（1）解：， ． 四边形是的内接四边形， ． ， ； （2）解：连接． ， ． ． ． ．    4．(24-25九上·天津静海区·期末)如图，的直径垂直弦于点E，连接，G是弧的中点，连接，延长交的延长线于点F． (1)若，，求的长； (2)判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)8 (2)是等腰三角形，证明见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，根据垂径定理可得，最后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，即可解答； （2）连接，利用同角的余角相等结合圆周角定理，可得，最后利用等角对等边可得，即可解答． 【详解】（1）解：连接， 的直径垂直弦于点E，且，， ，， ，则， 在中，， ； （2）解：等腰三角形 证明：连接， 点G是的中点， ， ， 的直径垂直弦于点E， ， ， ， ， 是等腰三角形． 5．(24-25九上·天津河西区·期末)如图，有一个圆形纸片，是弦，量得半径为，圆心角． (1)求弦的长； (2)若用剪刀剪下这个圆心角为的扇形，再用这个扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的底面圆的半径是多少？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，弧长公式，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过点作于，则，然后由等腰三角形的性质可得，则，最后由勾股定理即可求解； （）设圆锥体底面半径为，再根据弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：过点作于， 由垂径定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设圆锥体底面半径为， ∵该扇形的弧长等于圆锥体底面圆的周长， ∴， ∴． 6．(24-25九上·天津河东区·期末)已知四边形是的内接四边形，是的直径， (1)如图①，连接和，若，求的度数； (2)如图②，连接和，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． （1）根据圆周角定理得出，再结合得出的度数，最后利用圆内接四边形的性质即可求出的度数； （2）根据圆内接四边形的性质得出，再根据圆周角定理得出，再结合图形计算即可解答． 【详解】（1）解：是的直径， ， 又， ， 四边形是的内接四边形， ， ， 的度数为． （2）解：四边形是的内接四边形， ， 又， ，即， 是的直径， ， ， ， 的度数为． 7．(24-25九上·天津红桥区·期末)已知的半径为5，四边形内接于，． (1)如图①，若，求弦和的长； (2)如图②，连接，若，求弦的长和的大小． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）连接．由已知得，为的直径，则得，在中，由勾股定理求得．在中，由勾股定理即可求得； （2）连接．由及直径对的圆周角是直角得，，进而有，则有．在中，由勾股定理求得．由，得是等边三角形，则可求得的度数． 【详解】（1）解：如图，连接． ， ． 为的直径． ． 的半径为5， ． 又， 在中，． 在中，由， 解得． （2）解：如图，连接． ， ． ． ． 在中，． ， ∴是等边三角形， ． ． 【点睛】本题考查了90度角对的弦是直径，同弧对的圆周角相等，相等的圆周角对的弦也相等，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 三、填空题 1．(24-25九上·天津静海区·期末)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点，，均在格点上． （1）线段的长等于 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 分别取格点、，再连接、分别与圆交于点、，最后连接、交于点，点即为所求 【分析】本题考查了作图，圆周角定理，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）利用直径所对的圆周角是直角，分别取格点、，再连接、分别与圆交于点、，得到，最后连接、交于点，点即为所求． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）分别取格点、，再连接、分别与圆交于点、，最后连接、交于点，点即为所求． 2．(24-25九上·天津西青区·期末)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，内接于圆，且顶点A，B均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点M，使，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 5 图见解析 ，理由见解析 【分析】本题主要考查网格与勾股定理，直径或半圆所对圆周角为直角，等圆或同圆中，等弧所对圆周角相等，掌握勾股定理，圆的基础知识是解题的关键． （1）根据网格与勾股定理即可求解； （2）根据直径或半圆所对圆周角为直角，等圆或同圆中，等弧所对圆周角相等，直角三角形两锐角互余的方法作图即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：5； （2）如图所示，作直径交于点，连接并延长交于点，连接， ∵直径交于点， ∴点为圆心， ∴为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求点的位置． 3．(24-25九上·天津南开区·期末)如图，点是圆上一动点，弦，是的平分线，．当 （度）时，四边形的面积最大，最大面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理的推论；先求得，再根据已知条件得，当最大时，四边形面积最大，求出，从而计算出最大面积； 【详解】平分， ， ， 如图所示，过点作于点， ， 在中，＝，则，＝， ， ， ，为定值， ∴当最大时，四边形面积最大， 在中，边不变，其最长的高为过圆心与垂直（即的中垂线）与圆交于点，此时四边形面积最大． ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∵为圆的直径， ∴， ， ， 四边形的最大面积为． 故答案为：；． 地 城 考点02 点和圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25九上·天津滨海新区·期末)的半径为6，点P到圆心O的距离为8，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，比较圆心到点的距离与半径的大小进行判断即可． 【详解】解：∵点P到圆心O的距离为8，的半径为6， ∴圆心到点的距离大于半径， ∴P在圆的外部， 故选：C． 2．(24-25九上·天津海河中学·期末)已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在圆外 B．点P在圆上 C．点P在圆内 D．无法确定 【答案】A 【分析】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．据此解答即可． 【详解】解：∵的半径为，点P到圆心O的距离为， ∴， ∴点P与的位置关系是：P在外． 故选：A． 3．(24-25九上·天津河西区·期末)已知点在外，，那么的半径有可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系的判断，先设半径为，再根据点与圆的位置关系解答即可，解题的关键是熟记若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【详解】解：设半径为， ∵点在外， ∴， 则选项符合题意， 故选：． 4．(23-24九上·天津滨海新区·期末)的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，比较圆心到点的距离与半径的大小进行判断即可． 【详解】∵点P到圆心O的距离为3，的半径为5， ∴圆心到点的距离小于半径， ∴P在圆的内部， 故选A． 二、填空题 1．(23-24九上·天津和平区·期末)如图，在正方形中，，点，分别为边，上动点，且，连接，交于点，连接，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】先证明，进而得出，则在为直径的圆上运动，进而即可求解． 【详解】解：在正方形中，，，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴在为直径的圆上运动， 如图所示，当点E与点C重合，点F与点D重合时最小， 根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角所对的弦是直径，勾股定理，得出点的轨迹是解题的关键． 地 城 考点03 证明某直线是圆的切线 一、单选题 1．(23-24九上·天津南开区·期末)如图，点P是外一定点，连接线段，与交于点A.按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①分别以P，O为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，交于点B； ②以点为圆心，以为半径作，与交于点Q，R两点； ③连接，，，，，线段与相交于点C. 则下列说法中不一定正确的是（    ） A．，均为的切线 B． C． D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了尺规作图，圆周角定理，圆与圆位置关系，切线证明，圆内接四边形等知识点，解题的关键是理解题意； 根据作图得出为的直径，根据圆周角定理和切线证明可判断A，根据Q、O、R、P在上，运用圆内接四边形可判断B，根据圆与圆位置关系及三角形面积可判断D，根据圆周角定理可判断C； 【详解】解：根据作图可得：为的直径，Q、O、R、P在上， 是的半径， ，均为的切线，故A正确； Q、O、R、P在上， Q、O、R、P四点共圆，是的内接四边形， ，故B正确； 由作图可知，为与的圆心连线，为与的公共弦， ， ，故D正确； 所对圆心角为，所对圆周角为， 不一定等于， 不一定等于，故C不一定正确； 故选：C． 2．(24-25九上·天津蓟州区·期末)如图1和图2，已知点P是上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点P．以下是甲、乙两人的作法： 甲：如图1，连接，以点P为圆心，长为半径画弧交于点A，连接并延长，再在上截取，直线即为所求； 乙：如图2，作直径，在上取一点B（异于点P，A），连接和，过点P作，则直线即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（　　）    A．甲、乙两人的作法都正确 B．甲、乙两人的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．甲的作法错误，乙的作法正确 【答案】A 【分析】对于甲先证明是等边三角形，得到，再由，得到，即可利用三角形外角的性质得到，则，即可证明是的切线； 对于乙由直径所对的圆周角是直角得到，则，进而得到，则，即可证明是的切线． 【详解】解：甲正确． 理由：如图1中，连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线， 乙正确． 理由：∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线， 故选：A．    【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 二、解答题 1．(23-24上·天津和平区第九十中学·期末)如图，已知是的直径，是的弦，，连接BC与相交于点D，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，求AC的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角得到，由是的直径，得到，，结合切线的判定即可求解； （2）过点D作，过点D作，可证四边形AMDF是矩形，矩形的性质，等腰三角形的性质得到，根据等面积法得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ．即， ， 是的切线． （2）解：过点D作，过点D作， ， 四边形AMDF是矩形， ， ， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题主要考查切线的判定，直径或半圆所对圆周角是直角，矩形的判定和性质，等边对角，三线合一，勾股定理，等面积法求高等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 2．(24-25九上·天津滨海新区·期末)在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均为格点，且都在同一个圆上． （Ⅰ）圆直径的长度等于 ； （Ⅱ）请用无刻度的直尺在给定的网格中，画出圆的切线，并简要说明点D的位置是如何找到的 ． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、圆的切线的判定、三角形的中位线定理、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键． （Ⅰ）结合网格特点，利用勾股定理求解即可得； （Ⅱ）取格点，连接，交于点，作直线即为所求．理由是：取格点，连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，即，再根据三角形的中位线定理可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得． 【详解】解：（Ⅰ）由网格可知，， 所以圆直径的长度等于， 故答案为：． （Ⅱ）如图，取格点，连接，交于点，作直线即为所求． 理由：如图，取格点，连接，交于点， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵四边形是矩形， ∴点是对角线的中点， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 又∵是圆的直径， ∴是圆的切线． 3．(24-25九上·天津第二十一中学·期末)在中，，以为直径的与交于点，过点作，交的延长线于，垂足为． (1)如图①，求证：直线是的切线； (2)如图②，作于，交于，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接,由,得到，则,得到，而,则,根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接是的直径，根据圆周角定理的推论得到，而,则，在中，利用勾股定理可计算出,再利用等积法得到,可计算出,然后根据垂径定理即可得解． 【详解】（1）证明：连接,如图， , ， , ， ， ∴， ， ， 直线是的切线； （2）解：连接， 是的直径， ， , ， , ， 在中，， 于， 由三角形面积公式，得， , , . 【点睛】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理的推论，垂径定理以及勾股定理等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 4．(23-24九上·天津泰达中学·期末)已知是的直径，点B是圆上除点A，C以外的点，点D是弦的中点，连接并延长交圆于点E，过点E作，交的延长线于点F． (1)如图1，求证：直线与相切； (2)如图2，连接，若的直径是10，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）连接，则，由垂径定理得，，再根据，可知，进而可得结论； （2）由圆周角定理可知，，再证明，，可得，由勾股定理得，，根据即可求解． 【详解】（1）证明：连接，则， ∵点D是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线过半径的外端点E，并且垂直于半径， ∴直线与相切． （2）∵是的直径，且， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴． 地 城 考点04 切线的性质定理 一、单选题 1．(24-25九上·天津静海区·期末)如图，是的弦，是的切线，为切点，经过圆心．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余，熟知切线的性质和圆周角定理是解答的关键．连接，根据切线性质得到，再根据圆周角定理得到，然后利用直角三角形的两个锐角互余，求解即可． 【详解】解：如图，连接， 是的切线，为切点， ， ， ， ， 故选：C． 2．(23-24九上·天津滨海新区·期末)如图，是的弦，是的切线，A为切点，经过圆心O，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余，熟知切线的性质和圆周角定理是解答的关键． 连接，根据切线性质得到，再根据圆周角定理得到，然后利用直角三角形的两个锐角互余，求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线，A为切点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 1．(24-25九上·天津河西区·期末)如图，在每个小正方形边长为1的网格中，内接于圆，点，均落在格点上，且过点的网格线为圆的切线，点为格线上一点．    （1）线段的长等于 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出的内心（点），并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】（1）根据勾股定理求出答案即可； （2）找到的中点，的中点E，连接，相交于点P，则点P即为所求． 【详解】解：（1）， 故答案为： （2）如图，连接圆与网格线的交点，H，与过点的网格线交于点，则为的外心，，取与网格线的交点，连接交圆于点，则为的中点，再利用平行线分线段成比例定理和网格的特点找到的中点M，连接并延长交于点E，则点E为的中点，连接，相交于点P，则点P即为所求．    证明：∵过点的网格线为圆的切线， ∴是的外接圆直径， ∵， ∴是的外接圆直径， ∴与的交点O是的外心， 由网格的特点可知，点G是的中点， ∴， ∴， ∴， 即平分, 由网格的特点可知，， ∴， ∴点M是的中点， ∴， ∴， ∴， 即平分， 则与的交点P即为的内心， 故答案为：如图，连接圆与网格线的交点，H，与过点的网格线交于点，则为的外心，，取与网格线的交点，连接交圆于点，则为的中点，再利用平行线分线段成比例定理和网格的特点找到的中点M，连接并延长交于点E，则点E为的中点，连接，相交于点P，则点P即为所求． 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、切线的性质定理、勾股定理、三角形外心和内心等知识，找到的中点，的中点E，是解题的关键 三、解答题 1．(24-25九上·天津滨海新区·期末)在中，为直径，C为上一点．    (1)如图①，过点C作的切线，与的延长线相交于点P，若，求的大小； (2)如图②，D为上一点，且经过的中点E，连接并延长，与的延长线相交于点P，若，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理、切线的性质、圆周角定理、三角形外角的性质等知识，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）如图，连接，根据切线的性质可得，再根据圆周角定理可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答； （2）根据垂径定理得到，进而得到，再根据圆周角定理可得，最后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接． ∵与相切于点C． ∴，即．     ∵， ∴． 在中，， ∴．    （2）解：∵E为的中点， ∴，即．   ∵在中，， ∴．     ∴．   ∵是的一个外角， ∴． 2．(24-25九上·天津和平区天津第十九中学·期末)已知，的半径为5．在中，，，点A在上． (1)如图1，的顶点C在上，，分别交于D，E两点，连接，．求的大小和的长； (2)如图2，的顶点C在外，且边与相切于点M，边与相交于点N，连接，，求和的长． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由等腰三角形及三角形的内角和定理得，点C在上，且，在中，由勾股定理得：，从而得；然后利用圆内接四边形的性质及解直角三角形即可求解； （2）如图，连接，过点O作于点H，由切线性质得于点M，即，证四边形为矩形，得，，即，又由垂径定理得，即，从而利用勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点C在上，且， ∴为直径， ∵的半径为5， ∴， ∴在中，，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴四边形内接于圆，且， ∴， ∴，， ∴； （2）解：如图，连接，过点O作于点H， ∵切于点M，且为半径， ∴于点M，即， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，且过圆心， ∴，即； 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； ∴在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，切线的性质定理和矩形的判定及性质，熟练掌握解直角三角形以及切线的性质定理和矩形的判定及性质是解题的关键． 3．(24-25九上·天津西青区·期末)已知中，，为的弦． (1)如图①，半径，垂足为点，若，求弦的长； (2)如图②，过圆上一点作的切线，满足，过点作，垂足为，与相交于点，若的半径是3，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得出，，结合，得出，结合半径都相等进行列式计算，得，则．最后结合勾股定理列式计算，即可作答． （2）连接，因为切于点，则，因为，所以．因为，得．则，又，故，所以，在中，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：， ，． ， ． ， ． ，． 在中，． ． （2）解：如图，连接， 切于点， ， 即 ， ． ， ． ． 又， ． ． 在中，， ． ． 【点睛】本题考查了垂直定理，勾股定理，切线的性质，30度所对的直角边是斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4．(24-25九上·天津河西区·期末)如图，已知是的外接圆，于，且点是的中点． (1)如图①，若，求和的大小： (2)如图②，若过点作的切线，与的延长线交于点，且，，求的半径． 【答案】(1)， (2)的半径是10 【分析】（1）由垂径定理可得，得出，再由三角形中位线的性质可得出结论； （2）连接，证明，结合可得四边形是平行四边形，得出，由勾股定理复，设，则，在中，由勾股定理得，，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：， ． ． ． ． 点，分别是，的中点， 是的中位线． ． ． （2）解：连接， 是的切线， ． 于， ． ， ． 由（1）知， 四边形是平行四边形， ， ． 设，则， 在中，， ， 解得． 的半径是10． 【点睛】本题主要考查垂径定理，切线的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质以及三角形的中位线定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 5．(24-25九上·天津河西区·期末)如图，已知是的外接圆，于，且点是的中点． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若过点作的切线，与的延长线交于点，且，，求的半径． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，平行四边形的判断和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键； （1）根据题意，可得，结合垂直平分线的性质得到，进而判定是的中位线，进而求解即可； （2）连接，根据是的切线得到，判定，四边形是平行四边形，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵于， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径是． 6．(24-25九上·天津西青区·期末)已知中，，为的弦． (1)如图①，半径，垂足为点，若，求弦的长； (2)如图②，过圆上一点作的切线，满足，过点作，垂足为，与相交于点，若的半径是3，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查垂径定理，切线的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． （1）设，则，在中根据角所对直角边等于斜边的一半得出，再由勾股定理列式求出，从而可得出结论； （2）连接，根据切线的性质和平行线的性质得出由等边对等角得出再由直角三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 解得，, ∴ ∴ 在中， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接，如图， ∵是的切线， ∴即， ∵， ∴， ∴ ∵，即 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在中，， ∴ ∴， 解得，（负值舍去） 7．(24-25九上·天津河东区·期末)如图，分别与切于点．连接并延长，分别与交于点．过点作于点，于点．若，，求的半径． 【答案】 【分析】如图，连接，根据分别与切于点，得出，证明，得出，从而证明四边形为正方形，得出，在中，勾股定理求出，在中，勾股定理求出，列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 分别与切于点， ． ∵， ， ， 又， ， ． 四边形为矩形， 又， 四边形为正方形， ， 在中，． ， ， ， 在中，， ， ， 的半径为． 【点睛】该题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线． 8．(24-25九上·天津红桥区·期末)如图，为的直径，切于点C，交的延长线于点D． (1)如图①，若，求的大小； (2)如图②，若，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了切线的性质、等边对等角、三角形外角的性质等知识． （1）连接．由切线的性质得到．求出．由等边对等角得到．则．即可得到的大小； （2）连接．由等边对等角得．进一步得到．由得到．则．即可得到． 【详解】（1）解：连接． 是的切线， ． ． ． ． ． （2）连接． 是的切线， ． ． ． ． ． ． 9．(24-25九上·天津南开区·期末)已知中，，为的弦，直线与相切于点． (1)如图1，连接，若，直径与相交于点，求和的大小； (2)如图2，若，，垂足为，与相交于点，，求线段的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据切线性质得出于点，即，根据平行线的性质得出，求出，根据垂径定理得出，，求出，得出，根据圆周角定理得出； （2）连接，求出，根据直角三角形的性质得出，设，则，根据勾股定理得出，即可得出，求出x的值即可． 【详解】（1）解：如图1所示， ∵为的切线，且为直径， ∴于点，即， ∵， ∴， ∴， 即于点， ∵于点，且为直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接， 由（1）可知，且， ∵，， ∴， ∴在中，，， ∴， 设，则， ∴由勾股定理， 即， 解得，负值舍去， 即线段的长为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，切线的性质，垂径定理，直角三角形的性质，圆周角定理，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． 地 城 考点05 应用切线长定理求解 一、单选题 1．(23-24九上·天津南开区·期末)如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，则的周长为（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，根据即可得到的周长． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：A． 2．(24-25九上·天津南开区·期末)如图，在中，，，．的内切圆与，分别相切于点，连接．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交于两点；分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法错误的是（   ） A．平分 B．点在射线上 C． D．的半径为1 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的内切圆，尺规作图作角平分线，连接，根据作图可知平分，为三角形的内切圆，根据内心是三角形三条角平分线的交点，证明四边形为正方形，圆周角定理求出的度数，切线长定理求出的半径，逐一进行判断即可． 【详解】解：由作图可知：平分，故选项A正确； ∵是的内切圆， ∴点为三角形三条角平分线的交点， ∴点在射线上，故选项B正确； 连接，则：， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴，故选项C正确； ∵，，， ∴， 设的半径为，则：， ∴， ∴， ∴，故选项D错误； 故选D． 3．(24-25九上·天津西青区·期末)如图，是的切线，为切点，经过圆心，若，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质定理，切线长定理，勾股定理，根据切线长定理，得到，根据切线性质，得，勾股定理计算即可． 【详解】∵是的切线，为切点，经过圆心，， ∴，，， ∴， 故选：B． 4．(23-24上·天津和平区第九十中学·期末)一根钢管放在形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是，如果，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的切线定理，切线长性质定理，直角三角形的判定和性质，含角的直角三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． 利用切线的性质和切线长性质定理，证明得出对应角相等，再利用含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：由图可知，直线与相切， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 1．(23-24九上·天津第一中学·期末)如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D、E、F，若的半径为2，，则的长 ． 【答案】10 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2．设，，则，由，由此即可解决问题； 【详解】解：如图连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2． ∵的内切圆与分别相切于点D、E、F， ∴可以假设，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 2．(23-24九上·天津和平区益中学校·期末)如图，中，为直径，，分别切于点，．过点作于点，交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】连接、、，由是的直径，弦于点，得垂直平分，则，由与相切于点，与相切于点，得，，则，而，则，可证明四边形是菱形，则，推导出，，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、、， ∵是的直径，弦于点， ∴垂直平分，， ∴， ∵与相切于点，与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查直径定理、圆周角定理、切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 3．(24-25九上·天津津南区·期末)已知：如图，为的直径，是的切线，A、C为切点，．则的度数为 ．    【答案】56° 【分析】由圆的切线的性质，得，结合得．由切线长定理得到，得是等腰三角形，从而可得． 【详解】∵是的切线，为的直径， ∴，即． ∵， ∴． 又∵切于点A、C， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题着重考查了圆的切线的性质定理、切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质定理和切线长定理． 三、解答题 1．(23-24九上·天津和平区益中学校·期末)已知：为直径，，分别切于，，切于，，． (1)求证：； (2)求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，三角形的面积，勾股定理； （1）连结，根据切线长定理得到，然后根据平行得到，即可证明结论； （2）根据勾股定理求出长，再根据三角形的面积求出长，即可得到长解答即可． 【详解】（1）解：连结， 分别切于，切于， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，，， ， ， 由（1）知， ， ， ， 四边形的周长为． 2．如图，，是⊙O的切线，，为切点，是⊙O的直径． (1)若，求的度数； (2)若，，求⊙O的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用切线的性质得到，则利用互余计算出的度数，再根据切线长定理得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数； (2)连接，根据切线的性质得到，，推出是等边三角形，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）∵是⊙O的切线， ∴，即． ∴． ∵，是⊙O的切线， ∴， ∴， ∴． （2）连接， ∵，且， ∴是等边三角形， ∴，． ∵为直径， ∴， 在中， 由勾股定理：，可得， ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 2 / 62 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07圆的有关性质、点和圆、直线与圆的位置关系 ☆5大高频考点概览 考点01圆的有关性质 考点02点和圆的位置关系 考点03证明某直线是圆的切线 考点04切线的性质定理 考点05应用切线长定理求解 考点01 圆的有关性质 一、单选题 1.(24-25九上·天津静海区期末)如图，四边形ABCD内接于⊙O,∠A0C=140°，则∠ABC的大小为() B A.40° B.80° C.110° D.140° 2.(24-25九上·天津滨海新区·期末)如图，AB是⊙0的直径，CD是OO的弦，连接AD,BC,BD.若 ∠BCD=25°，则∠ABD的度数为() A.25° B.65 C.750 D.90 3.(24-25九上·天津汇文中学期末)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一 段，中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑，内方圆径若能知， 堪作算中第一.”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰 好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，在这个不变图形中，应该能求出正方形边长和圆的直径， 如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是() 1117 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 A.π(x+3)2-x2=72 B.+3r=2 2 C.π(x+3)2-x2=32 D.+3=6 4.(2425九上·天津西青区·期末)如图，AB为O0的直径，点C,D是圆上两点，且分别在AB两侧，若 ∠BOC=130°，则∠ADC的大小是() D B A.25 B.30 C.50 D.65 5.(24-25九上天津西青区期末)如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙0上一点，点D是BC的中点，连接 AC,CD,DB,若LBAC=80°，则LACD的度数是() D B A.100 B.110 C.120° D.130° 6.(24-25九上天津河北区期末)如图，AB为半圆0的直径，点C为⊙0上一点，连接AC,BC,且 ∠ABC=60°，按以下步骤操作：①以点B为圆心，以适当的长为半径画弧交AB于点M,交BC于点N; ②分别以点M,N为圆心，大于】MN的长为半径作弧，两弧相交于点P;③作射线BP交00于点D,交 AC于点E,若CD=I,则AC的长为() 2117 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 E A.2W5 B.√5 C.2 D.2√2 7.(24-25九上·天津河西区期末)如图，AB,CD是⊙0的两条弦，如果AB=CD,OE1AB于E, OF⊥CD于F,则下面结论不一定正确的是() B A.CF=BE B.OE=OF C.∠C=LCAB D.CA=AB 8.(24-25九上·天津河东区·期末)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的 解决方案是：在工件圆驱上在取两点B,连接B,分别以AB为國心，大于号B的长为半径面，两 弧交于P,Q两点，作直线PQ分别与弧AB交于点C,与线段AB交于点D,若测出AB=40cm,CD=I0cm, 则圆形工件的半径为() P C D 米Q A.50cm B.35cm C.25cm D.20cm 9.(24-25九上·天津南开区期末)如图，⊙0中，弦AB,CD相交于点E,∠A=36°，∠BED=76°，则∠B的 大小为() 0 A.15° B.40° C.75° D.35° 3117 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 10.(23-24九上·天津宁河区·期末)如图，AB是O0的直径，弦CD⊥AB于点E,OC=5cm,CD=6cm, 则AE的长为() C A B A.9cm B.8cm C.7cm D.6cm 二、解答题 1.(24-25九上·天津部分区期末)如图，ABC内接于O0,AE是O0的直径，AE⊥BC,垂足为D. E (I)求证：∠AB0=∠CAE; (②)已知O0的半径为5，DE=2,求BC长 2.(2425九上·天津第二十一中学·期末)平面直角坐标系中，正方形OABC的点A在y轴上，点C在x轴上， 点B(4,4,另有一动点E,连接AE. y 5---1B E D FO (I)如图，当点E在BC边上时，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，得到△AOF,连接EF交y轴于点D. ①若点E的坐标为4,3)，求线段EF的长； ②设点E(4,m),S=SA4BE+SAFCE,试用含m的式子表示S; 4/17 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (②)当点E满足AE=OA,(点E不与点O重合)，连接OE.现在以O为中心，将OE顺时针旋转60°，得到 OP,求当AP取得最大值时点E的坐标. 3.(23-24九上·天津宁河区期末)已知ABC内接于⊙0，AB=AC,LACB=68°，D是⊙0上的点. A A D 图① 图② (I)如图①，求∠ADC和LBDC的大小： (2)如图②，OD⊥AC,垂足为E,求∠ODC的大小 4.(24-25九上·天津静海区·期末)如图，⊙0的直径CD垂直弦AB于点E,连接AC,G是弧BC的中点，连 接AG,延长CG交AB的延长线于点F. G D (I)若CE=8,DE=2,求AB的长： (②)判断△GAF的形状，并证明你的结论. 5.(24-25九上·天津河西区·期末)如图，有一个圆形纸片O0,AB是弦，量得00半径为10cm,圆心角 ∠A0B=120°. (1)求弦AB的长； (2)若用剪刀剪下这个圆心角为120°的扇形，再用这个扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的底面圆的半径是 多少？ 6.(24-25九上·天津河东区·期末)已知四边形ABCD是00的内接四边形，BE是⊙0的直径， 5/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E 图① 图② (I)如图①，连接DE和DB,若LDBE=25°，求∠C的度数； (2)如图②，连接AE和OD,若∠BCD=2LBAD,求∠DOE的度数. 7.(24-25九上·天津红桥区期末)已知O0的半径为5，四边形ABCD内接于⊙0，∠BAC=∠DAC=45°. B B 图① 图② (I)如图①，若AB=6,求弦AD和BC的长； (2)如图②，连接OA,若LACB=2LACD,求弦AB的长和LOAC的大小. 三、填空题 1.(24-25九上·天津静海区期末)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，,B,C均在格 点上 (1)线段AB的长等于 (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心0，并简要说明点0的位置是如何找到的（不要 求证明) 2.(24-25九上·天津西青区·期末)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC内接于圆，且顶点A, B均在格点上. 6/17 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (1)线段AB的长为 (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点M,使∠MCB+∠BAC=90°，并简要说明点 M的位置是如何找到的（不要求证明） 3.(24-25九上·天津南开区期末)如图，点P是圆上一动点，弦AB=3,PC是∠APB的平分线， ∠BAC=30°.当∠PAC=(度)时，四边形PACB的面积最大，最大面积为 B 目目 考点02 点和圆的位置关系 一、单选题 1.(24-25九上·天津滨海新区期末)00的半径为6，点P到圆心O的距离为8，则点P与⊙0的位置关系 是() A.点P在圆内B.点P在圆上 C.点P在圆外 D.不能确定 2.(24-25九上·天津海河中学期末)已知00的半径为2cm,点P到圆心O的距离为3cm,则点P与00的 位置关系是() A.点P在圆外B.点P在圆上 C.点P在圆内 D.无法确定 3.(24-25九上·天津河西区·期末)已知点P在00外，PO=8cm,那么00的半径有可能为() A.7cm B.8cm C.9cm D.10cm 4.(23-24九上·天津滨海新区·期末)00的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P与⊙0的位置关系 是() A.点P在圆内B.点P在圆上 C.点P在圆外 D.不能确定 7/17 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二、填空题 1.(23-24九上·天津和平区期末)如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E,F分别为边BC,CD上动点， 且BE+DF=4,连接BF,AE交于点G,连接DG,则线段DG长度的最小值为一 目目 考点03 证明某直线是圆的切线 一、单选题 1.(23-24九上·天津南开区期末)如图，点P是⊙0外一定点，连接线段OP,与00交于点A.按照如下尺 规作图的步骤进行操作： ①分别以P,O为圆心，以大于)PO长为半径画弧，两弧交于点M,N,作直线MN,交P0于点B; ②以点B为圆心，以BO为半径作0B,与⊙0交于点Q,R两点； ③连接P2,PR,O0,OR,OR,线段QR与PO相交于点C 则下列说法中不一定正确的是() M R A.PQ,PR均为OO的切线 B.∠QPR+∠QOR=180° C.40=00 D.OP.OC=PO.00 2.(24-25九上·天津蓟州区期末)如图1和图2，已知点P是⊙0上一点，用直尺和圆规过点P作一条直线， 使它与⊙0相切于点P.以下是甲、乙两人的作法： 甲：如图1，连接OP,以点P为圆心，OP长为半径画弧交O0于点A,连接并延长OA,再在OA上截取 8/17 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 AB=OP,直线PB即为所求； 乙：如图2，作直径PA,在OO上取一点B(异于点P,A),连接AB和BP,过点P作∠BPC=∠A,则直 线PC即为所求， 对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是() 图1 图2 A.甲、乙两人的作法都正确 B.甲、乙两人的作法都错误 C.甲的作法正确，乙的作法错误 D.甲的作法错误，乙的作法正确 二、解答题 1.(23-24上·天津和平区第九十中学期末)如图，已知AE是00的直径，AB是⊙0的弦，AB=AC,连接 BC与OO相交于点D,连接AD,DE,AD=CD. (①)求证：AC是⊙0的切线： (2)若AE=10,AD=8,求AC的长 2.(24-25九上·天津滨海新区·期末)在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，点A,B,C均为格 点，且都在同一个圆上 (I)圆直径的长度等于-： 9117 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (Ⅱ)请用无刻度的直尺在给定的网格中，画出圆的切线CD,并简要说明点D的位置是如何找到的_， 3.(24-25九上天津第二十一中学期末)在ABC中，AB=BC,以AB为直径的O0与AC交于点D,过点 D作DF⊥BC,交AB的延长线于E,垂足为F. C D G 图① 图② (I)如图①，求证：直线DE是OO的切线； (2)如图②，作DG⊥AB于H,交⊙0于G,若AB=5,AC=8,求DG的长. 4.(23-24九上·天津泰达中学期末)已知AC是⊙0的直径，点B是圆上除点A,C以外的点，点D是弦BC 的中点，连接OD并延长交圆于点E,过点E作EF∥BC,交AC的延长线于点F. D B 图1 图2 (1)如图1，求证：直线EF与o0相切； (②)如图2，连接AB,若⊙0的直径是10，∠A=45°，求CF的长. 目目 考点04 切线的性质定理 一、单选题 1.(24-25九上·天津静海区期末)如图，AB是⊙0的弦，AC是⊙0的切线，A为切点，BC经过圆心0.若 ∠B=21°，则∠C的大小是() B A.21 B.42° C.48° D.69° 2.(23-24九上·天津滨海新区·期末)如图，AB是⊙0的弦，AC是⊙0的切线，A为切点，BC经过圆心O, 若∠B=21°，则∠C的大小是() 10/17